1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1616 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1已知集合 Ax|x25，B3，2，1，2，4，则 AB（ ） A2，2 B2，1，2 C2，1，3，2 D,5，5- 2i 为虚数单位，复数 = 2+ 12 + 1 + ，复数 z 的共轭复数为，则的虚部为（ ） Ai B2i C2 D1 3设 ， 是非零向量， “ =0”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4在( 1 2) 6( + 3)的展开式中，常数项为（
2、 ） A 15 2 B15 2 C 5 2 D5 2 5函数() = ( 1 +1)的图象大致为（ ） A B C D 6设 a= 1 4log2 1 3， = ( 1 2) 0.3则有（ ） Aa+bab Ba+bab Ca+bab Dabab 7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的 一个近似公式 d16 9 3 人们还用过一些类似的近似公式根据 3.14159判断，下 列近似公式中最精确的一个是（ ） Ad16 9 3 Bd 2 3 Cd300 157 3 Dd21
3、11 3 8已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 的两个交点分别为 A，B， 且满足 = 2 ，为 AB 的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为（ ） A11 4 B9 4 C5 2 D5 4 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分，部 分选对的得分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是（ ） A在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B某地气象局预报：6 月 9 日本地降水概率为 90
4、%，结果这天没下雨，这表明天气预报 并不科学 C回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D在回归直线方程 = 0.1 + 10中，当解释变量每增加 1 个单位时，预报变量多增加 0.1 个单位 10线段 AB 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上，ABEF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所 在平面垂直，且 AB2，ADEF1则（ ） ADF平面 BCE B异面直线 BF 与 DC 所成的角为 30 CEFC 为直角三角形 DVCBEF：VFABCD1：4 11已知函数 f（x）sincosx+cossinx，其中x表示不超过实数 x 的最大整数，下列关于 f（x）结论
5、正确的是（ ） A( 2) = 1 Bf（x）的一个周期是 2 Cf（x）在（0，）上单调递减 Df（x）的最大值大于2 12已知直线 yx+2 分别与函数 yex和 ylnx 的图象交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则下列结论正确的是（ ） Ax1+x22 B1+ 22 Cx1lnx2+x2lnx10 D12 2 三、填空题：三、填空题： 13已知( ) = 2，则 + = 14在平行四边形 ABCD 中，AD2AB6，DAB60， = 1 2 ， = 1 2 若 =2 ，则 = 155 人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是 （用数字作 答） ；5 人并排
6、站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是 （用数字作答） 16设双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|2c，过 F2作x轴的垂线， 与双曲线在第一象限的交点为A， 点Q坐标为(， 3 2 )且满足|F2Q|F2A|， 若在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得|PF1|+|PQ| 7 6|F1F2|成立， 则双曲线的离心率的取值 范围是 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，_，DC2在下面给出的三个条件中任选 一个，补充在上面的
7、问题中，并加以解答 （选出一种可行的方案解答，若选出多个方案 分别解答，则按第一个解答记分） 3AB4BC， sinACB= 2 3； ( + 6) = 3； 2BCcosACB2AC3AB （）求DAC 的大小； （）求ADC 面积的最大值 18如图 1，四边形 ABCD 为矩形，BC2AB，E 为 AD 的中点，将ABE、DCE 分别沿 BE、CE 折起得图 2，使得平面 ABE平面 BCE，平面 DCE平面 BCE （）求证：平面 ABE平面 DCE； （）若 F 为线段 BC 的中点，求直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值 19已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和= (+1
8、) 2 ， （）求数列an的通项公式 an； （）设= 2 +2 +1；若称使数列bn的前 n 项和为整数的正整数 n 为“优化数” ， 试求区间（0，2020）内所有“优化数”的和 S 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1616（答案解析）（答案解析） 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1已知集合 Ax|x25，B3，2，1，2，4，则 AB（ ） A2，2 B2，1，2 C2，1，3，2 D,5，5- 【解答】解： = *| 55+，B3，2，1，2，4， AB2，1，2 故选：B 2i 为虚数单
9、位，复数 = 2+ 12 + 1 + ，复数 z 的共轭复数为，则的虚部为（ ） Ai B2i C2 D1 【解答】解： = 2+ 12 + 1 + = (2+)(1+2) (12)(1+2) + 1 + = 1 + 2， = 1 2， 则的虚部为2 故选：C 3设 ， 是非零向量， “ =0”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：可知 ， 是非零向量，若 =0，则 ； ， 是非零向量，若 ，则 =0； 则“ =0”是“ ”的充分必要条件， 故选：C 4在( 1 2) 6( + 3)的展开式中，常数项为（ ） A 15 2
10、 B15 2 C 5 2 D5 2 【解答】解：因为（x 1 2） 6 的通项公式为：Tr+1= 6 x6r （ 1 2） r（1 2） r 6 x6 2r； 62r0 时，r3； 62r1 时，r 不存在； ( 1 2) 6( + 3)的展开式中，常数项为： （1 2） 3 6 3 3= 15 2 ； 故选：A 5函数() = ( 1 +1)的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，设 g（x）= 1 +1，有 g（x）= 1 +1 = （ 1 +1）g（x） ， 则 f（x）cosxsing（x），有 f（x）cos（x）sing（x）cosxsing（x） cosxsin
11、g（x）f（x） ， 即函数 f（x）为奇函数，排除 AB， 又由 f（1）cos1sin（1 +1）0，排除 D； 故选：C 6设 a= 1 4log2 1 3， = ( 1 2) 0.3则有（ ） Aa+bab Ba+bab Ca+bab Dabab 【解答】解：a= 1 4log2 1 3 =log2(1 3) 1 4=log23 1 4log24 1 4= 1 2， b= (1 2) 0.3(1 2) 0.5 = 2 2 ， ab0，a+b0，a+bab， 故选：A 7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆径， “开立圆术”相当
12、于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的 一个近似公式 d16 9 3 人们还用过一些类似的近似公式根据 3.14159判断，下 列近似公式中最精确的一个是（ ） Ad16 9 3 Bd 2 3 Cd300 157 3 Dd21 11 3 【解答】解：由 V= 4 3 ( 2) 3，解得 d= 6 3 设选项中的常数为 ，则 = 6 选项 A 代入得 = 69 16 =3.375；选项 B 代入得 = 6 2 =3； 选项 C 代入得 = 6157 300 =3.14；选项 D 代入得 = 116 21 =3.142857 由于 D 的值最接近 的真实值 故选：D 8已知抛物线 C：y24x
13、 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 的两个交点分别为 A，B， 且满足 = 2 ，为 AB 的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为（ ） A11 4 B9 4 C5 2 D5 4 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点坐标为（1，0） ，准线方程为 x1， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，满足 = 2 ，为 AB 的中点， 则|AF|2|BF|，x1+12（x2+1） ，x12x2+1， |y1|2|y2|，x14x2，x12，x2= 1 2， 线段 AB 的中点到该抛物线准线的距离为1 2（x1+1）+（x2+1）= 9 4 故选：B 二、多项选择题：在每小题给出的选项中
14、，有多项符合题目要求全部选对的得二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分，部 分选对的得分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是（ ） A在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B某地气象局预报：6 月 9 日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这表明天气预报 并不科学 C回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D在回归直线方程 = 0.1 + 10中，当解释变量每增加 1 个单位时，预报变量多增加 0.1 个单位 【解答】解：对于 A，可用残差图判断模型的拟合效果，
15、残差点比较均匀地落在水平的 带状区域中，说明这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越 高故 A 错误； 对于 B，6 月 9 日本地降水概率为 90%，只是表明下雨的可能性是 90%，有可能这天不 下雨，不能说明天气预报并不科学，故 B 错误； 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故 C 正确； 在回归直线方程 = 0.1 + 10中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 增加 0.1 个单位，故 D 正确 故选：CD 10线段 AB 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上，ABEF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所 在平面垂直，且 A
16、B2，ADEF1则（ ） ADF平面 BCE B异面直线 BF 与 DC 所成的角为 30 CEFC 为直角三角形 DVCBEF：VFABCD1：4 【解答】解：对于 A，ABCDEF，CDFE 四点共面， 若 DF平面 BCE，则 DFCE，可得四边形 CDFE 为平行四边形，得 CDEFAB， 与已知矛盾，故 A 错误； 对于 B，ABDC， 异面直线 BF 与 DC 所成的角即为ABF， 在等腰梯形 AFEB 中，由 AB2，EF1，可得AOFFOEEOB60， 则BAF60，得ABF30，故 B 正确； 对于 C，在BEF 中，由分析 B 时可得，BEFE1，BF= 3， 又 BC1
17、且 BC底面，得 = 2，CF2，EF1， 则 CF2+EF2CE2，可得EFC 为钝角三角形，故 C 错误； 对于 D，过点 F 作 FGAB 于 G， 平面 ABCD平面 ABEF， FG平面 ABCD， VFABCD= 1 3SABCDFG= 2 3FG CB平面 ABEF， VFCBEVCBEF= 1 3SBEFCB= 1 3 1 2EFFGCB= 1 6FG VCBEF：VFABCD1：4，故 D 正确 故选：BD 11已知函数 f（x）sincosx+cossinx，其中x表示不超过实数 x 的最大整数，下列关于 f（x）结论正确的是（ ） A( 2) = 1 Bf（x）的一个周期
18、是 2 Cf（x）在（0，）上单调递减 Df（x）的最大值大于2 【解答】解：f（ 2）sincos（ 2）+cossin（ 2）sin0+cos1sin0+cos1cos1， 故 A 正确； f（x+2）sincos（x+2）+cossin（x+2）sincosx+cossinxf（x） ， f（x）的一个周期是 2，故 B 正确； 当 x（0， 2）时，0sinx1，0cosx1，sinxcosx0， f（x）sincosx+cossinxsin0+cos01，故 C 错误； f（0）sincos0+cossin0sin1+cos0sin1+1 2 2 +12，故 D 正确 正确结论的 A
19、BD 故选：ABD 12已知直线 yx+2 分别与函数 yex和 ylnx 的图象交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则下列结论正确的是（ ） Ax1+x22 B1+ 22 Cx1lnx2+x2lnx10 D12 2 【解答】解：画出图形，如图，由于函数 ylnx 和函数 yex是互为反函数， 故函数ylnx 及函数 yex的图象关于直线 yx 对称， 从而直线 yx+2 与函数ylnx 及函数 yex的图象的交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 也关于直线 yx 对称，x2y1，x1y2， 又 A（x1，y1）在 yx+2 上，即有 x1+y12，故 x1+x22，故选项
20、 A 正确； 1+ 221 2=21+2=2e，故 B 正确； 将 yx+2 与 yex联立可得x+2ex，即 ex+x20， 设 f（x）ex+x2，则函数为单调递增函数， 因为 f（0）1+0210，f（1 2）e 1 2+ 1 2 2e 1 2 3 2 0， 故函数 f（x）的零点在（0，1 2）上，即 0 x1 1 2，由 x1+x22 得，1x22， x1lnx2+x2lnx1x1lnx2x2ln 1 1 x1lnx2x2lnx2（x1x2）lnx20，故 C 正确 记 g（x）2xlnx，则 g（1）10，g（）2 1 2 = 3 2 0， 则 1x2，又 x1x2（2x2）x2x
21、2lnx2， 易知函数 yxlnx 在（1，e）上单调递增， 故 x1x2x2lnx2 = 2 ，故选项 D 错误 故选：ABC 三、填空题：三、填空题： 13已知( ) = 2，则 + = 1 3 【解答】解：tan（）2，tan2， + = +1 1 = 2+1 21 = 1 3， 故答案为：1 3 14在平行四边形 ABCD 中，AD2AB6，DAB60， = 1 2 ， = 1 2 若 =2 ，则 = 21 【解答】解：以 A 为原点，AD 为 x 轴，AD 的垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系， 则 A（0，0） ，B（3 2 ， 33 2 ） ，D（6，0） ，F（7 2
22、 ， 33 2 ） ，E（13 2 ， 3 2 ） ， 设点 G 的坐标为（x，y） ， =2 ，( 7 2 ， 33 2 ) = 2(13 2 ， 3 2 )，解得 = 11 2 ， = 53 6 ， (11 2 ， 53 6 ) = (11 2 ， 53 6 ) (9 2， 33 2 ) = 99 4 153 12 = 21 故答案为：21 155 人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是 72 （用数字作 答） ；5 人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是 3 10 （用数字作答） 【解答】解：根据题意，对于第一空：把其他三人全排列，有 A336 种排法， 三人排
23、好后，有 4 个空位，将甲乙安排到空位中，有 A4212 种排法， 故甲乙不相邻的安排方法有 61272 种； 对于第二空：5 人并排站成一行，有 A55120 种排法， 甲乙两人之间恰有 1 人，有 C31A22A3336 种排法， 则甲乙两人之间恰好有一人的概率 P= 36 120 = 3 10； 故答案为：72， 3 10 16设双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|2c，过 F2作x轴的垂线， 与双曲线在第一象限的交点为A， 点Q坐标为(， 3 2 )且满足|F2Q|F2A|， 若在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得|PF1|+|PQ|
24、 7 6|F1F2|成立， 则双曲线的离心率的取值 范围是 (3 2， 10 2 ) 【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 由 xc，yb 2 2 1 = 2 ，可得 A（c， 2 ） ， 由点 Q 坐标为(， 3 2 )且满足|F2Q|F2A|， 可得3 2 2 ，即 3a22b22c22a2， 即 c2 5 2a 2，则 e= 10 2 ， 又|PF1|PF2|2a， 则|PF1|+|PQ|2a+|PF2|+|PQ|2a+|F2Q|2a+ 3 2 ， 当且仅当 Q，P，F2三点共线时，上式取得等号 由题意可得7 2 7 62c，即 c 3 2a，可得
25、e= 3 2， 综上可得3 2 e 10 2 ， 故答案为： （3 2， 10 2 ） 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，_，DC2在下面给出的三个条件中任选 一个，补充在上面的问题中，并加以解答 （选出一种可行的方案解答，若选出多个方案 分别解答，则按第一个解答记分） 3AB4BC， sinACB= 2 3； ( + 6) = 3； 2BCcosACB2AC3AB （）求DAC 的大小； （）求ADC 面积的最大值 【解答】 （I）解：若选在ABC，由正弦定理可得： =
26、 ， 又3 = 4， = 2 3可得： = 1 2， = 6， 又 所以 = 2 ，所以 = 3； （II）在ACD 中，DC2，由余弦定理可得：DC24AC2+AD2ACADACAD， 即 ACAD4， = 1 2 1 2 4 3 2 = 3，当且仅当 ACAD 时取“” 若选择 （I）由( + 6) = 3可得： = 6， 又 ABAD 所以 = 2 ，所以 = 3； （II）在ACD 中，DC2，由余弦定理可得：DC24AC2+AD2ACADACAD， 即 ACAD4， = 1 2 1 2 4 3 2 = 3， 当且仅当 ACAD 时取“” 若选（I）2 = 2 3， 由正弦定理得：2
27、= 2 3， 2 = 2( + ) 3 可得： = 3 2 ，所以 = 6， 又 ABAD， 所以 = 2 ，所以 = 3； （II）在ACD 中，DC2，由余弦定理可得：DC24AC2+AD2ACADACAD， 即 ACAD4， = 1 2 1 2 4 3 2 = 3，当且仅当 ACAD 时取“” 18如图 1，四边形 ABCD 为矩形，BC2AB，E 为 AD 的中点，将ABE、DCE 分别沿 BE、CE 折起得图 2，使得平面 ABE平面 BCE，平面 DCE平面 BCE （）求证：平面 ABE平面 DCE； （）若 F 为线段 BC 的中点，求直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值
28、 【解答】 （）证明：在图 1 中，BC2AB，且 E 为 AB 的中点， AEAB，得AEB45， 同理DEC45，则CEB90，得 BECE， 又平面 ABE平面 BCE，平面 ABE平面 BCEBE，CE平面 ABE， 又 CE平面 DCE，平面 ABE平面 DCE； （）解：由题意，以 E 为坐标原点，EB，EC 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直 角坐标系， 设 AB1，则 E（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，2，0） ， A（ 2 2 ，0， 2 2 ） ，D（0， 2 2 ， 2 2 ） ，F（ 2 2 ， 2 2 ，0） 向量 = ( 2 2 ，0， 2 2
29、 )， = (0， 2 2 ， 2 2 )， 设平面 ADE 的法向量为 =（x，y，z） 由 = 2 2 + 2 2 = 0 = 2 2 + 2 2 = 0 ，取 z1，得 =（1，1，1） ， 又 = (0， 2 2 ， 2 2 )，设直线 FA 与平面 ADE 所成角为 ， 则 sin|cos ， |=| | | | | = 2 13 = 6 3 故直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值为 6 3 19已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和= (+1) 2 ， （）求数列an的通项公式 an； （）设= 2 +2 +1；若称使数列bn的前 n 项和为整数的正整数 n 为“优化数”
30、 ， 试求区间（0，2020）内所有“优化数”的和 S 【解答】解： （I）由数列an的前 n 项和= (+1) 2 ， 知：当 n1 时，有 S1= 1(1+1) 2 =a1，又 a10，a11； 当1时，= 1= (+1) 2 1(1+1) 2 ，整理得： （an+an1） （anan1 1）0， 因为 an+an10，所以有 anan11，所以数列an是首项 a11，公差 d1 的等差数 列， ana1+（n1）dn （II）由 ann 知：= 2 +2 +1 = 2 +2 +1， 所以数列bn的前 n 项和为1+ 2+ 3+ + = 2 3 2 + 2 4 3 + 2 5 4 + + 2 +2 +1 = 2(3 2 4 3 5 4 +2 +1) = 2( + 2) 1 令 b1+b2+b3+bnk（kZ） ，则有2( + 2) 1 = ， = 2+1 2， 由 n（0，2020） ，kZ 知：k10 且 kN* 所以区间（0，2020）内所有“优化数”的和为 S（222）+（232）+（2 42）+ +（2102） = (22+ 23+ 24+ + 210) 18 = 22(129) 12 18 = 211 22 = 2026
