1、青岛市高三教学质量检测 数学试题 2021.01 说明：本试卷分第 I 卷(单项选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 6 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。将第 I 卷(单项选择题)的正确答案选项填涂在答题卡上，考试结 束后，将答题卡交回。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1设集合 2 9,2 , x AxR f xxBy yxR，则集合AB为 A0,3 B3,3 C0,3 D3,0 2设 i 是虚数单位，复数 3 2 1 i z i ，则复数 z 的共轭复数
2、为 A1 i B1+i C1 i D1 i 3齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等 马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方 的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为 A 1 9 B 1 6 C 1 4 D 1 3 4已知直线m 平面，直线n平面，则“mn”是“/ /”的 A充分不必要条件 B必要不充分条作 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 中 国 的 5G 技 术 世 界 领 先 ， 其 数 学 原 理 之 一 便 是 著 名 的 香 农 公 式 ： 2 l o g1 S CW N 它表示：在受噪声干
3、扰的信道中，最大信息传递速率 C(单位：bit s)取决于信道宽度 W(单位：HZ)、信道内信号的平均功率 S(单位：dB)、信道内部的高 斯噪声功率 N(单位：dB)的大小，其中 S N 叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度 W 变 为原来 2 倍，而将信噪比 S N 从 1000 提升至 4000，则 C 大约增加了(附：1g20.3) A110 B120 C130 D140 6若 ba0，则下列不等式：ab； 11 ba 2 ab ba ； 2 2 2 a ab b 中， 正确的不等式有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7已知方程 22 22 1 2 xy mnmn 表示双曲线，
4、且该双曲线两焦点间的距离为 6，则n的 取值范围是 A3,6 B(1，3) C(3，6) D, 3 8记函数 f xg x与的定义域的交集为 I，若存在 0 xI，使得对任意xI，不等 式 0 0f xg xxx 恒成立，则称 ,f xg x构成“单交函数对” 下列所 给的两个函数构成“单交函数对”的有 A ,1 x f xe g xx B ln ,sinf xx g xx C 2, 2xf xx g x D 3 1 ,f xxg x x 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，
5、有选错的得 0 分。 9空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好， 表 1 是空气质量指数与空气质量的对应关系， 图 1 是经整理后的某市 2019 年 2 月与 2020 年 2 月的空气质量指数频率分布直方图 下列叙述正确的是 A该市 2020 年 2 月份的空气质量为优的天数的频率为 0.8 B该市 2020 年 2 月份的空气质量整体上优于 2019 年 2 月份的空气质量 C 该市 2020 年 2 月份空气质量指数的中位数大于 2019 年 2 月份空气质量指数的中位数 D该市 2020 年 2 月份空气质量指数的方差大于 2019 年 2
6、 月份空气质量指数的方差 10.在长方体 1111 ABCDABC D值为中， 1 2 3,2,ABADAC与面 ABCD 所成角的 正切值为 3 2 ，则下列说法正确的是 A长方体的体积为 24 B直线 1 AC与直线 BD 所成的角的余弦值为 7 7 C长方体外接球的表面积为28 D点 D 到面 1 ACD的距离为 3 15 5 11ABC的内角 A， B， C 的对边分别为, , 3 a b cA ， 点 D 是边 AB 边上一点， AD=5， CD=7，sinsin 2 AB cBb 下列说法正确的是 A8AC B 3 C C32AB BC D16 3 ABC S 12已知函数 2 2
7、 1 4sin 2 x x ex f x e ，则下列说法正确的是 A f x是奇函数，且 f x只有一个零点 B fxfx成立 C f x为 R 上的增函数，且 f x的值域为0, D f x为 R 上的增函数，且当0 x时， 0fx 第 II 卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 5 2 2 x x 的展开式中的x项系数为_； 14平面向量ab与的夹角为 120，2,01ab，则2ab等于_； 15已知数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，则 n a的通项公式 n a _；若数列 n b的通项公式 n bn，将数列 n
8、 b中与 n a相同的项去掉剩下的项依次构成数列 n c， n c的前n项和为 n T，则 100 T_(本题第一个空 2 分，第二个空 3 分) 16已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为 F，点 00 , 10 2 p M xx 是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段 MF 相交于点 A，且被直线 2 p x 截得的弦长为3 MA，若 2 MA AF ，则AF _ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 已知函数 sin,0,0 3 f xAxA 只能同时满足下列三个条件中的两个： 图象上一个最低点为 11 ,
9、 2 12 M ；函数 f x的图象可由2sin 4 yx 的图 象平移得到；函数 f x的周期为 (I)请写出这两个条件序号，并求出 f x的解析式； (II)求 f x的单调增区间及对称轴方程 18(本小题满分 12 分) 已知正项数列 n a， 且点 1 , nn aanN 在函数 2 1yx的图象上，n n ba为和 1n a 的等比中项， 22 1nnn cbb (I)证明：数列 n a， n c为等差数列； (II)若 22222 112342 1, nn aTbbbbb ，求 n T 19(本小题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，D，E 分别是 BC，A
10、C 的中点，AB=BC (I)求证： 11/ / AB面 DEC1； ()若 1 3AAACAB，求面 1 DEC与面 111 ABC所成锐二面角的余弦值 20(本小题满分 12 分) 山东省 2020 年高考实施新的高考改革方案考生的高考总成绩由 3 门统一高考科目成绩 和自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为 750 分其中，统 一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目是从 物理、化学、生物、历史、政治、地理 6 科中选择 3 门作为选考科目，语、数、外三科 各占 150 分，选考科目成绩采用“赋分制” ，即原始分数不直接用，而是
11、按照学生分数在 本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分根据高考综合改革方案，将每 门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为 A、B+、B、C+、C、D+、D、E 共 8 个 等级 参照正态分布原则， 确定各等级人数所占比例分别为 3、 7、 16、 24、 24、 16、7、3等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成 绩，依照等比例转换法则，分别转换到 91100、8190、7180，6170、5160、41 50、3140、2130 八个分数区间，得到考生的等级成绩 举例说明： 某同学化学学科原始分为 65 分，该学科 C+等级的原始分分布区间为 58
12、69，则该同学 化学学科的原始成绩属 C+等级而 C+等级的转换分区间为 6170，那么该同学化学学 科的转换分为： 设该同学化学科的转换等级分为x， 696570 655861 x x ，求得66.73x 四舍五入后该 同学化学学科赋分成绩为 67 (I)某校高一年级共 2000 人， 为给高一学生合理选科提供依据， 对六个选考科目进行测试， 其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 2 69,10N (i)求物理原始分在区间(69，79)的人数；(四舍五入后取整数) (ii)若小明同学在这次考试中物理原始分为 90 分， 求小明转换后的等级成绩； (精确到 0.1) ()按高考改革方案，若从全
13、省考生中随机抽取 4 人，记 X 表示这 4 人中等级成绩在区 间61，80的人数，求 X 的分布列和数学期望 (附：若随机变量： 2 ,N )，则P=68.26， 1.81.894%P ，2295.44%P 3399.74%P 21(本小题满分 12 分) 设 F1、F2分别是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点，E 是椭圆 C 的上顶点， 12 EFF是等边三角形，短轴长为2 3 (I)求椭圆 C 的方程； ()已知A， B分别为椭圆左右顶点， 位于y轴两侧的P， Q分别是椭圆C和圆 222 xyb 上的两个动点，且直线 PQ 与 x 轴平行，直线 AP，BP 分别与
14、y轴交于 M，N，证明： 90MQN 22(本小题满分 12 分) 已知函数 ln1f xmx (I)当2cosmkkN ，求函数 2 4g xxf xx的单调区间； ()当0m时，若函数 31 2 x f xh x x 与的图象存在唯一的公切线，求m的取值范 围 高三数学试题参考答案 2021.01 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B D C A B AB AC ABD BD 二、填空题 13. 80- 14. 2 15. 2n 5545 16. 5 2 三、解答题 17. 解： （）矛盾：若成立，则1w =，将1w =代入( )f
15、x，得 11 (, 2) 12 M 不 是最低点； 矛盾：若成立，则周期为2，与显然矛盾。 所以，成立， 2 分 ( )2sin(2) 3 f xx 5 分 （）增区间为 5 , 1212 kkkZ 8 分 对称轴方程为 5 , 212 k xkZ 10 分 18. 解: （）Q点 * 1 (,)() nn aanN + 在函数 2 1yx=+图象上 1 1 nn aa + =+ 数列 n a为等差数列 2 分 n bQ为 n a和 1n a +的等比中项, 2 1nnn ba a 22 1121121 ()2 nnnnnnnnnnn cbbaaaaaaaa + =-=?-= 12 2 nn
16、ca + = 12+1 2()=2 nnnn ccaa + -=-为常数 n c为等差数列 6 分 （） 22222 12342nn Tbbbbb 13521n cccc 8 分 1 1aQ=， 2 2a =， 2 12 24cdad= n c 是以 1 4c =为首项，公差为 2 的等差数列 10 分 2 (1) 4422 2 n n n Tnnn - = ?+ 12 分 19. 证明： （）,D EQ分别是,BC AC的中点 /DEAB， 11 / /DEAB DE Q面 1 DEC， 11 AB 面 1 DEC 11/ / AB面 1 DEC 4 分 （）在ABC中， 33ACABBCQ
17、 由余弦定理得120ABC 6 分 设 1 DEC与面 111 ABC所成锐二面角的平面角为， ABBCa，则 1 3AAACa 取 11 AC得中点F，因为三棱柱 111 ABCABC为直棱柱 所以，以E为原点，以 ,EC EB EF uuu r uur uuu r 方向为正方向建立空间 直角坐标系. 7 分 3 (,0) 44 a a D , 1 3 (,0, 3 ) 2 a Ca 3 (,0) 44 a a ED uuu r , 1 3 (,0, 3 ) 2 a ECa uuu r B C A C1 A1 B1 D E x z y 设 1 ( , , )nx y z u r 为面 1 D
18、EC的一个法向量，则 1 0 0 n ED n EC r uuu r r uuu r 3 0 44 3 30 2 aa xy a xaz 解得： 1 1 (1,3,) 2 n u r 9 分 显然 2 (0,0,1)n u u r 是面 111 ABC的一个法向量 10 分 12 12 17 cos| 17 | n n nn u r u u r u ru u r 12 分 20. 解:（） （i）因为物理考试原始分基本服从正态分布 2 69,10N， 所以 1 (6979)(5979)0.3413 2 PP 所以物理原始分在区间(69,79)的人数为2000 0.3413682.6683人；
19、4 分 （ii）Q原始成绩基本服从正态分布 2 (69,10 )N: 1 0.94 (1.8 )0.03 2 p , 即(87)0.03p A等级原始分布为87100 小明 90 分为A等级，等级转化区间为91100 设小明等级分数为x 则有100 10090 913 x x 解得: 93.1x 8 分 （）由题意得，随机抽取 1 人，其等级成绩在区间61,80内的概率为 2 5 ， 随机抽取 4 人，则 2 4, 5 XB . 9 分 4 381 0 5625 P X ， 3 1 4 23216 1 55625 P XC ， 22 2 4 23216 2 55625 P XC ， 31 3
20、4 2396 3 55625 P XC ， 4 216 4 5625 P X . X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 数学期望 28 4 55 E X . 12 分 21. 解：（） 12 EF FQ是等边三角形 3 ,2bc ac 1 分 3b Q 222 3,1,4bca 椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）设P点坐标 00 (,)xy，Q点坐标 0 ( ,)t y AP直线方程为 0 0 (2) 2 y yx x M坐标为 0 0 2 (0,) 2 y x BP直线方程为 0 0 (2) 2 y
21、 yx x N坐标为 0 0 2 (0,) 2 y x 8 分 0 0 0 2 (,), 2 y QNty x uuu r 0 0 0 2 (,), 2 y QMty x uuur 2 220 0 2 0 4 4 y QN QMty x uuu r uuur 10 分 ,P QQ分别在椭圆和圆上 22 0 3ty， 22 00 1 43 xy 2 220 0 2 0 4 0 4 y QN QMty x uuu r uuur 90MQN 12 分 22. 解: （） 2 ( )2cosln41g xxkxx 2cos ( )24 k g xx x 当k为奇数时, 22 ( )242 240g x
22、xx xx 函数在(0,)单调递增 2 分 当k为偶数时, 2 22(21) ( )24 xx g xx xx 令( )0g x解得: 12x 函数在(0,12)单调递减,在(12,)单调递增 4 分 （） ( ) m fx x , 2 1 ( ) 2 h x x 设函数( )f x与( )h x上各有一点 2 112 2 31 ( ,ln1), (,) 2 x A x mxB x x , 则( )f x以点A为切点的切线方程为: 1 1 ln1 m yxmxm x , ( )h x以点B为切点的切线方程为: 2 2 22 32 22 xx y xx ， 6 分 由两条切线重合，得: 2 21
23、 2 1 2 1 2 32 ln1 2 m xx x mxm x 由题知，方程组有唯一解 消去 1 x，整理得： 2 2 11 2lnln20 2 mxmmm x 8 分 令 22 112121 g( )2lnln2( ) 2 mmx xmxmmmg x xxxx ， 易知( )g x在区间）（ m2 1 , 0单调递减，在区间 1 (,) 2m 上单调递增。 Q两函数图象存在公切线， 11 2lnln20 2 mxmmm x 有唯一解 g( )x的最小值 1 ()=0 2 g m 即 11 2ln2ln2=0 22 mmmmm m 10 分 1 ln2=0 2 mmm 令 12 ( )ln2,( )ln21ln2 22 mmmmmmmm m 易知( )m在区间 1 0, 2 （）单调递减，在区间 1 (,) 2 上单调递增。 又 1 ( )0 2 ，所以 1 ln20 2 mmm ，只有唯一实根 1 2 m . 当 1 2 m 时，函数( )f x与( )h x的图象有且只有一条公切线 12 分
