1、第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3因式分解 第2课时 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想（重点） 2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解（难点） 学习目标 导入新课导入新课 a米米 b米米 b米米 a米米 (a-b) 情境引入 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米 的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此 图形变换，你能得到什么公式？ a2- - b2=(a+b)(a- -b) 讲授新课讲授新课 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解 因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b
2、 a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 用平方差公式进行因式分解 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式， 为什么？ 符合平方差的形式 的多项式才能用平方 差公式进行因式分解， 即能写成: ( )2- ( )2的形式. 两数是平方，两数是平方， 减号在中央减号在中央 （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 2
3、(1)49;x 例1 分解因式： 22 (2 )3x(23)(23);xx 22 (2)()() .xpxq a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x 3 3 () ()() ()xpx qxpx q (2)原式 (2)().xpqpq 22 ()()xpxqa b 典例精析 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、 还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方 差的形式，就能用平方差公式因式分解. 分解因式： (1)(ab)24a2； (2)9(mn)2(mn)2. 针对训练 (2m4n)(4m2n) 解：(1)原式(ab2a)(a
4、b2a) (ba)(3ab)； (2)原式(3m3nmn)(3m3nmn) 4(m2n)(2mn) 若用平方差公式分解后的结 果中有公因式，一定要再用 提公因式法继续分解. ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 2015220142 = （2mn）2 - ( 3xy)2 = (x+z)2 - (y+p)2 = 例2 分解因式： 443 (1);(2).xya bab 解：(1)原式(x2)2-(y2)2 (x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是 否还有能继续分解的因式， 若有，则需继续分解. (x2+y2)(x+y)(x-y); (2)原式ab(a2-1)
5、 分解因式时，一般先用提公 因式法进行分解，然后再用 公式法.最后进行检查. ab(a+1)(a-1). 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点， 一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必 须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止 分解因式： (1)5m2a45m2b4； (2)a24b2a2b. 针对训练 (a2b)(a2b1). 5m2(a2b2)(ab)(ab)； 解：(1)原式5m2(a4b4) 5m2(a2b2)(a2b2) (2)原式(a24b2)(a2b) (a2b)(a2b)(a2b) 例3 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值 xy2. 解：x2y2(xy)(xy)
6、2， xy1， 联立组成二元一次方程组， 解得 1 , 2 3 . 2 x y 方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或 未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然 后整体代入或联立方程组求值. 例4 计算下列各题： (1)1012992； (2)53.524-46.524. 解：(1)原式(10199)(10199)400； (2)原式4(53.5246.52) =4(53.546.5)(53.546.5) 41007=2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用 因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2 一定能被8整除
7、 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n， n为整数， 8n被8整除， 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整 式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) Aa2(b)2 B5m220mn Cx2y2 Dx29 当堂练习当堂练习 D 2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ） A3(x2+4x+3) B3(x2+2x+3) C(3x+3)(x+3) D3(x+1)(x+3) D 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ） A-21 B
8、21 C-10 D10 A 4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=_; (2) (a+b)2-(a-b)2=_; (3) 9xy3-36x3y=_; (4) -a4+16=_. (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值 是_. 4 6.已知4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值 原式=-405=-200 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)（2m-
9、3n)， 当4m+n=40，2m-3n=5时， 7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长 为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积 解：根据题意，得 6.8241.62 6.82 (21.6)2 6.823.22 (6.83.2)(6.8 3.2) 103.6 36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2. 8. (1)992-1能否被100整除吗？ 解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=10098， 所以，(2n+1)2-25能被4整除. (2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 所以992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) 2(n-2)=4(n+3)(n-2). 课堂小结课堂小结 平 方 差 公 式 分 解 因 式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没 有分解到不能再分解为止.
