1、27.2 27.2 相似三角形相似三角形 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 27.2.1 27.2.1 相似三角形相似三角形的的判定判定 ( (第第2 2课时课时) ) 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应 角相等对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的角相等对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的 简便方法（简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）类似地，判定两个三）类似地，判定两个三 角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 类似于判定三角形全等的类似于判定三角形
2、全等的SSS方法，我们能不能通过三边方法，我们能不能通过三边 来判断两个三角形相似呢？来判断两个三角形相似呢？ 探究探究！探究探究！ 讨论一下？讨论一下？ 导入新知导入新知 2. 会运用“会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似三组对应边的比相等的两个三角形相似” 判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理. . 1. 复习已经学过的复习已经学过的三角形相似的判定定理三角形相似的判定定理 . . 素养目标素养目标 3. 培养学生探究交流能力，发展推理能力培养学生探究交流能力，发展推理能力. . 1. .定义法定义法: :对应角相等对应角相等，对应边的
3、比相等对应边的比相等的两个三角形相似的两个三角形相似. . 如何判断两个三角形是否相似如何判断两个三角形是否相似? ? DEBC ADE ABC D E A B C A B C D E 2.平行法平行法: :平行于平行于三角形一边的直线和其他两边三角形一边的直线和其他两边( (或两边的延长线）或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似相交，所构成的三角形与原三角形相似. . A型型 X型型 探究新知探究新知 知识点 1 三边对应成比例的两三角形相似三边对应成比例的两三角形相似 还有没有其还有没有其 他简单的判他简单的判 断方法呢？断方法呢？ ABBCAC ABBCAC 是否有是否有A
4、BCABC？ A B C 三边对应三边对应 成比例成比例 探究新知探究新知 C B A A B C C B A 通过测量不难发现通过测量不难发现A=A，B=B， C=C，又因为两个三角形的边对应成比例，又因为两个三角形的边对应成比例， 所以所以 ABC ABC. 下面我们用前下面我们用前面所学的面所学的 定理定理证明该结论证明该结论. 探究新知探究新知 已知已知:如图，在如图，在ABC和和ABC中，中，AB:AB=AC:AC=BC:BC. 求证求证:ABCABC. 证明证明: :在在ABC的边的边AB( (或延长线或延长线) )上截取上截取AD=AB, A B C A B C D E 过点过点
5、D作作DEBC交交AC于点于点E. 又又 AB:AB=BC:BC=CA:CA, AD:AB=AE:AC=DE:BC,ADEABC . AD=AB, AD:AB=AB:AB. DE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA. 因此因此DE=BC,EA=CA. ABCABC. ADEABC. 探究新知探究新知 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似 归纳：归纳： ABBCCA A BB CC A ， ABC ABC. 符号语言：符号语言： 探究新知探究新知 【讨论讨论】在用三边的比判定两个三角形相似
6、时，如何寻在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻 找对应边？找对应边？ 【总结总结】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先利用三边的比判定两个三角形相似时，应先 将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算 它们它们对应边的比对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三，最后由比值是否相等来确定两个三 角形是否相似角形是否相似 探究新知探究新知 例例1 已知已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， AB =12 cm ， BC=18 cm ， AC=24 cm ，试说明，试说明ABC ABC. ABC ABC. 探究新知探究新知 素
7、养考点素养考点 1 利用三边成比例判断三角形相似利用三边成比例判断三角形相似 解：解： 61 183 BC , B C 41 123 AB , A B 81 243 AC , AC ABBCAC A BB CAC . . 探究新知探究新知 方法点拨 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个 三角形的三边的长，分别算出三条对应边的三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值比值，看是，看是 否相等，计算时否相等，计算时最大边与最大边对应最大边与最大边对应，最短边与最短边最短边与最短边 对应对应. . 在在ABC和和DEF中中，如果如果AB4，BC3，
8、AC6；DE 2.4，EF1.2，FD1.6，那么这两个三角形能否相似那么这两个三角形能否相似 的结论是的结论是_，理由是，理由是_ 如图，在大小为如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的的正方形网格中，是相似三角形的 是（是（ ） 相似相似 C 三组对应边的比相等三组对应边的比相等 巩固练习巩固练习 A. 和和 B. 和和 C. 和和 D. 和和 例例2 如如图，在图，在 RtABC 与与 RtABC中中，C =C = 90 ， ， 且且 求证：求证： ABCABC. 1 2 A BAC . ABAC 证明：证明：由已知条件得由已知条件得 AB = 2 AB，AC = 2 AC， B
9、C 2 = AB 2AC 2 = ( 2 AB )2( 2 AC )2 = 4 AB 24 AC 2 = 4 ( AB 2AC 2 ) = 4 BC 2 = ( 2 BC )2. ABCABC. BC=2BC， 1 . 2 B CA BA C BCABAC 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 判断三角形相似判断三角形相似 如图，如图，ABC中，点中，点 D，E，F 分别是分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：的中点，求证：ABCEFD ABCEFD. 证明：证明：ABC中，点中，点D，E，F分别是分别是AB，BC， CA的中点，的中点， 111 = 222 DEACDFBCEFAB， 1
10、 = 2 DEDFEF ACBCAB =， 巩固练习巩固练习 试说明试说明BAD=CAE. A D C E B ABCADE. BAC=DAE. BACDAC=DAEDAC 即即BAD=CAE. . ABBCAC ADDEAE 例例3 如图已知：如图已知： . ABBCAC ADDEAE 解：解： 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 利用三角形利用三角形相似说明角相似说明角相等相等 解：解：相等的角有相等的角有BAC=DAE， B=ADE，C=E，BAD=CAE. 理由如下：理由如下： 在在 ABC 和和 ADE 中中， AB : AD = BC : DE = AC : AE， ABCAD
11、E， BAC=DAE，B= ADE ，C=E. BACCAD =DAECAD ， BAD=CAE. 故图中相等的角有故图中相等的角有BAC=DAE， B=ADE，C=E，BAD=CAE. 如如图，已知图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角找出图中相等的角 ( (对顶角除外对顶角除外) )，并说明你的理由，并说明你的理由. . A B C D E 巩固练习巩固练习 如图如图，小正方形的边长均为，小正方形的边长均为1， ，则下列图中的三角形（阴影部则下列图中的三角形（阴影部 分）与分）与ABC相似的是相似的是（ ） A B C D 连接中考连接中考 B
12、1下列各组三角形一定相似的是（下列各组三角形一定相似的是（ ） A两个直角三角形两个直角三角形 B两个钝角三角形两个钝角三角形 C两个等腰三角形两个等腰三角形 D两个等边三角形两个等边三角形 D 2.下列判断，不正确的是（下列判断，不正确的是（ ） A两条直角边分别是两条直角边分别是3、4和和6、8的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似. B斜边长和一条直角边长分别是斜边长和一条直角边长分别是 、 4和和 、2的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似. C两条边长分别是两条边长分别是7、4和和14、8的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似. D斜边长和一条直角边长分别是斜边长和一条直角边长
13、分别是5、3和和2.5、1.5的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似. 2 55 C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3. 如图如图，APD=90，AP=PB=BC=CD，下列结论正确下列结论正确 的是（的是（ ） A. PABPCA B. PABPDA C. ABCDBA D. ABCDCA A C B P D C 课堂检测课堂检测 4. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由 A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 课堂检测课堂检测 解：解：在在 ABC 中中，AB BC CA，在在 DEF中中，
14、DE EF FD. DEF ABC. 2.4 0.6 4 DE AB ， ， ， 2.1 0.6 3.5 EF BC 1.8 0.6 3 FD CA DEEFFD ABBCCA . 课堂检测课堂检测 D F E 1.8 2.1 2.4 A B C 3 3.5 4 要要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长 分别为分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边，它的另外两条边 长应当是多少？你有几个答案？长应当是多少？你有几个答案？ 方案方案( (1) ) 解：解：设另外两条边长
15、分别为设另外两条边长分别为x , y 方案方案( (2) ) 方案方案( (3) ) 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 x x 15 , 522 y y 1 ,3; 62 k 1 21 , 42 x x 28 , 455 y y 212 ,; 655 k 2 2 , 5 x x 14 , 433 y y 15 ,. 533 ,k 3 21 63 如如图，某地四个乡镇图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，之间建有公路， 已知已知 AB = 14 千米，千米， AD = 28 千米千米，BD = 21 千米千米， DC = 31.5 千米，公路千米，公路 AB 与与 CD 平行吗？平行吗？ 说出你的理由说出你的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解：解：公路公路 AB 与与 CD 平行平行. 2 = 3 ABADBD BDBCDC =， ABDBDC， ABD=BDC，ABDC. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 三边三边 成比成比 例两例两 个三个三 角形角形 相似相似 利用利用三边三边判定两个三角形相似判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理的相似三角形的判定定理的运用运用 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
