1、27.2.3 27.2.3 相似三角形应用举例相似三角形应用举例 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 27.2 27.2 相似三角形相似三角形 1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角 形的性质是什么？形的性质是什么？ 2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直 接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？ 导入新知导入新知 怎样测量怎样测量 河宽？河宽？ 导入新知导入新知 世界上最宽的河世界上
2、最宽的河 亚马逊河亚马逊河 导入新知导入新知 世界上最高的树世界上最高的树 红杉红杉 导入新知导入新知 旗杆旗杆 导入新知导入新知 乐山大佛乐山大佛 怎样测量这些怎样测量这些 非常高大物体非常高大物体 的高度？的高度？ 利用利用相似三角形相似三角形可以解决一些不能直接测量的物可以解决一些不能直接测量的物 体的高度及两物之间的距离问题体的高度及两物之间的距离问题. . 导入新知导入新知 1.能运用三角形能运用三角形相似的性质定理与判定定理相似的性质定理与判定定理 进行简单的几何推理进行简单的几何推理. 2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转 化为化为
3、相似三角形相似三角形的的数学模型数学模型，能利用相似三角形能利用相似三角形 的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高 度和宽度的测量问题度和宽度的测量问题. 素养目标素养目标 古希腊数学家、天文学家古希腊数学家、天文学家 泰勒斯利用相似三角形的原理，泰勒斯利用相似三角形的原理， 测量金字塔的高度测量金字塔的高度. . 探究新知探究新知 知识点 1 利用相似三角形测物体利用相似三角形测物体 例例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三 角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光
4、线构成角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成 两个相似三角形，来测量金字塔的高度两个相似三角形，来测量金字塔的高度 如图，如果木杆如图，如果木杆EF长长2m，它的影长，它的影长FD为为3m，测得，测得OA为为 201m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO 解：解：太阳光是平行光线，因此太阳光是平行光线，因此BAOEDF. 又又AOBDFE90, ABODEF 因此金字塔的高为因此金字塔的高为134m 素养考点素养考点 1 利用相似三角形测物体的高利用相似三角形测物体的高 探究新知探究新知 怎样测出怎样测出 OA的长？的长？ , 【讨论讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意
5、哪些问题？利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？ 【方法总结方法总结】在在同一时刻同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与，太阳光下不同物体的高度之比与 其影长之比其影长之比相等相等利用太阳光测量物体的高度需要注意：利用太阳光测量物体的高度需要注意： （1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着 太阳位置的变化而发生变化，因此要在太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻同一时刻测量影长测量影长 （2）被测物体的）被测物体的底部底部必须在可以必须在可以到达到达的地方，否则，测不到的地方，否则，测不到 被测物体的影长，从而计算不出
6、物体的高被测物体的影长，从而计算不出物体的高 （3）表达式：）表达式：物物1 1高高 ：物：物2 2高高 = = 影影1 1长长 ：影：影2 2长长. . 探究新知探究新知 在在某一时刻，测得一根高为某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为的竹竿的影长为3m，同时，同时 测得一栋高楼的影长为测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？，这栋高楼的高度是多少？ ABC ABC, 解得解得 AC=54m. 答：答：这栋高楼的高度是这栋高楼的高度是54m. 解：解： A B C 1.8m 3m A B C 90m ? 巩固练习巩固练习 , 即即 . . A F E B O 还有还有其他测量
7、方法吗？其他测量方法吗？ ABOAEF 平面镜平面镜 【想一想想一想】 探究新知探究新知 AF OA EF OB AF EFOA OB 测高方法二：测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“用“利用镜子的反射测量高度利用镜子的反射测量高度”的原理解决”的原理解决. . 探究新知探究新知 注：注：反射角与入射角相等是隐含条件反射角与入射角相等是隐含条件. . 如如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，出发
8、经平面镜反射后， 刚好射到古城墙的顶端刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知处，已知 AB = 2 米，且测得米，且测得 BP = 3 米，米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是米，那么该古城墙的高度是 （ ） A. 6米米 B. 8米米 C. 18米米 D. 24米米 B 巩固练习巩固练习 例例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标 点点P，在近岸取点，在近岸取点Q和和S，使点，使点P、Q、S共线且直线共线且直线PS与河垂直，与河垂直， 接着在过点接着在过点S且与且与PS垂直的直线垂直的直线a上选择适当的点上选择适当的点
9、T，确定，确定PT与过与过 点点Q且垂直且垂直PS的直线的直线b的交点的交点R如果测得如果测得QS45m， ST90m，QR60m，求河的宽度，求河的宽度PQ 解：解：PQRPST90，PP， 解得解得PQ90. P Q R S T a b PQRPST 因此，河宽大约为因此，河宽大约为90m. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用相似三角形测物体的宽利用相似三角形测物体的宽 ST QR PS PQ , 90 60 45 , PQ PQ ST QR QSPQ PQ 即即 , , 【讨论讨论】测量测量前面例题前面例题中的河宽，你还有哪些方法？中的河宽，你还有哪些方法？ 【方法总结方法总结
10、】利用相似测量利用相似测量不能直接到达不能直接到达的两点间的距离，的两点间的距离， 关键是构造关键是构造相似三角形相似三角形，构造的相似三角形可以为“，构造的相似三角形可以为“A”字型，字型， 也可以为“也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三 角形的性质求出所要求的两点间的距离该例题还可参照课角形的性质求出所要求的两点间的距离该例题还可参照课 本本P41页练习页练习2设计测量方案设计测量方案 探究新知探究新知 如图，测得如图，测得BD=200m，DC=50m，EC=70m，求河宽求河宽AB A D B E C 解：解： ABCE, ABD
11、ECD. 答：答：河宽河宽AB为为280m. 巩固练习巩固练习 . 200 5070 AB 即即 . . AB=280m. 解得解得 测量如河宽等不易直接测量的物体的测量如河宽等不易直接测量的物体的 宽度，常宽度，常构造相似三角形构造相似三角形求解求解. . 归纳：归纳： 探究新知探究新知 例例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB8m和和CD12m，两树底，两树底 部的距离部的距离BD5m一个人估计自己眼睛距地面一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵她沿着正对这两棵 树的一条水平直路树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小
12、于多少从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少 时，就不能看到右边较高的树的顶端点时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？了？ 分析：分析：如图（如图（1），设观察者眼睛的位），设观察者眼睛的位 置为点置为点F，画出观察者的水平视线，画出观察者的水平视线FG， 分别交分别交AB、CD于点于点H、K视线视线FA、FG 的夹角的夹角AFH是观察点是观察点A时的仰角时的仰角.类似类似 地，地，CFK是观察点是观察点C时的仰角由于时的仰角由于 树的遮挡，区域树的遮挡，区域和和都在观察者看都在观察者看 不到的区域（盲区）之内不到的区域（盲区）之内 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 利用相似三
13、角形测量有遮挡的物体利用相似三角形测量有遮挡的物体 图（图（1） 仰角仰角 水平线水平线 视线视线 解：解：如图（如图（2），假设观察者从左向右走到点），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点时，她的眼睛的位置点E 与两棵树顶端点与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上恰在一条直线上 由题意可知，由题意可知，ABl，CDl, ABCD，AEHCEK. 即即 . . 8 1 66 4 512 1 610 4 EH. EH. 解得解得 EH8（m）. 由此可知，如果观察者继续前进，由此可知，如果观察者继续前进， 即她与左边树的距离小于即她与左边树的距离小于8m时，由于这时，由于这 棵树的遮挡，右
14、边树的顶端点棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察在观察 者的盲区之内，观察者看不到它者的盲区之内，观察者看不到它 探究新知探究新知 图（图（2） EHAH EKCK , 【讨论讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是 怎样的怎样的? ? 【方法总结方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作 垂线，根据垂线，根据人、物体都与地面垂直人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，构造相似三角形数学模型， 利用相似三角形利用相似三角形对应边的比相等对应边的比相等解决问题解决问题 探究新知探究新知 如如图
15、，图，ADAB，EF AB，BC AB，DH BC，DH交交EF 于于G点，则点，则AD_，图中的相似三角形是，图中的相似三角形是 _ EG BH DGF DHC 巩固练习巩固练习 1.如图如图利用标杆利用标杆BE测量建筑物的高度已知标杆测量建筑物的高度已知标杆BE高 高1.2m， 测得测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物则建筑物CD的高是（的高是（ ） A9.3m B10.5m C12.4m D14m 连接中考连接中考 B 2.孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五 百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，百年前
16、，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺， 立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一 根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同 时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈丈=10尺，尺， 1尺尺=10寸），则竹竿的长为（寸），则竹竿的长为（ ） A五丈五丈 B四丈五尺四丈五尺 C一丈一丈 D五尺五尺 B 连接中考连接中考 C 1. 如图，要测量旗杆如图，要测量旗杆 AB 的高度，的高度， 可在地面上
17、竖一根竹竿可在地面上竖一根竹竿 DE， 测量出测量出 DE 的长以及的长以及 DE 和和 AB 在同一时刻下地面上的影长即在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求可，则下面能用来求AB长的等式是长的等式是 （ ） A B C D ABEF DEBC ABDE = EFBC ABBC = DEEF ABAC = DEDF 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学 知识测量学校旗杆的高度，当身高知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在米的楚阳同学站在 C 处时
18、，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一 时刻，其他成员测得时刻，其他成员测得 AC = 2 米，米，AB = 10 米，则旗杆的高米，则旗杆的高 度是度是_米米 8 课堂检测课堂检测 3. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标 作为点作为点 A，再在河的这一边选点，再在河的这一边选点 B 和和 C，使，使 ABBC，然后，再，然后，再 选点选点 E，使，使 EC BC ，用视线确定，用视线确定 BC 和和 AE 的交点的交点 D 此时如果测得此时如果测得 BD120米，
19、米， DC60米，米，EC50米，米， 求两岸间的大致距离求两岸间的大致距离 AB E A D C B 60m 50m 120m 课堂检测课堂检测 解：解： ADBEDC， ABCECD90， ABDECD. ，即即 ， ABBD ECDC 120 5060 AB 解得解得 AB = 100( (m) ). 因此，两岸间的大致距离为因此，两岸间的大致距离为 100 m. E A D C B 60m 50m 120m 课堂检测课堂检测 如如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测来测 量操场旗杆量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调
20、整测量位置，使斜边的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地与地 面保持平行，并使边面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，米，EF = 0.25 米，目测点米，目测点 D 到地面的距离到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗米，到旗 杆的水平距离杆的水平距离 DC = 20 米，米， 求旗杆的高度求旗杆的高度. A B C D G E F 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 A B C D G E F 解：解：由题意可得：由题意可得：DEFDCA， DE=0.5米，米，EF=0.25米，米，DG
21、=1.5米，米，DC=20米，米， 则则 . DEEF DCCA 解得：解得：AC = 10， AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）. 答：答：旗杆的高度为旗杆的高度为 11.5 m. 0.50.25 20 CA ， 课堂检测课堂检测 如如图，某一时刻，旗杆图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一的影子的一部分在地面上，另一 部分在建筑物的墙面上小明测得旗杆部分在建筑物的墙面上小明测得旗杆 AB 在地面上的影长在地面上的影长 BC 为为 9.6 m，在墙面上的影长，在墙面上的影长 CD 为为 2 m同一时刻，小明又同一时刻，小明又 测得竖立于地面长
22、测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为的标杆的影长为 1.2 m请帮助小明请帮助小明 求出旗杆的高度求出旗杆的高度 A B C D 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 解：解：如图：过点如图：过点 D 作作 DEBC，交，交 AB 于点于点 E， DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， 在同一时刻物高与影长成正比例，在同一时刻物高与影长成正比例， EA : ED=1 : 1.2， AE = 8 m， AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， 故学校旗杆的高度为故学校旗杆的高度为 10 m. E A B C D 课堂检测课堂检测 相似相似 三角三角 形的形的 应用应用 举例举例 利用相似三角形测量利用相似三角形测量高度高度 利用相似三角形测量利用相似三角形测量宽度宽度 利用相似解决利用相似解决有遮挡物有遮挡物问题问题 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
