1、26.1 26.1 反比例函数反比例函数 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 26.1.1 26.1.1 反比例函数反比例函数 当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻 的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越 安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？ 导入新知导入新知 1. 理解并掌握理解并掌握反比例函数反比例函数的概念的概念. . 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，能判断一个给定的函数是否为反比例函数，
2、 并会用并会用待定系数法待定系数法求函数解析式求函数解析式. . 素养目标素养目标 3. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数能根据实际问题中的条件确定反比例函数 的解析式，体会函数的的解析式，体会函数的模型思想模型思想. . 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它 们的解析式们的解析式. . ( (1) ) 京沪线铁路全程为京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度，某次列车的平均速度v ( (单单 位：位：km/h) ) 随此次列车的全程运行时间随此次列车的全程运行时间t ( (单位：单位：h) ) 的变化而的变化而 变
3、化；变化； 1463 .v t 探究新知探究新知 知识点知识点 1 反比例函数的定义反比例函数的定义 ( (2) ) 某住宅小区要种植一块面积为某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，的矩形草坪， 草坪的长草坪的长 y ( (单位：单位：m) ) 随宽随宽 x ( (单位：单位：m) )的变化而变化；的变化而变化； ( (3) ) 已知北京市的总面积为已知北京市的总面积为1.64104 km2 ，人均占有面，人均占有面 积积 S ( (单位：单位：km2/ /人人) ) 随全市总人口随全市总人口 n ( (单位：人单位：人) ) 的变化的变化 而变化而变化. . 4 1.64
4、10 .S n 1000 .y x 探究新知探究新知 【观察观察】这三个函数解析式有什么共同点？这三个函数解析式有什么共同点？ x y 1000 4 1.64 10 S nt v 1463 一般地一般地, ,形如形如 ( (k是常数，是常数，k0) )的函数称为的函数称为 反比例函数反比例函数，其中，其中x是自变量，是自变量，y是函数是函数 都是都是 的形式，其中的形式，其中k是非零是非零常数常数. . k y = x 传授新知传授新知 k y x 探究新知探究新知 反比例函数：反比例函数：形如形如 （k为常数，且为常数，且k0） x k y 【思考思考】 1. .自变量自变量x的取值范围是什
5、么？的取值范围是什么？ 探究新知探究新知 因为因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是的取值范围是所有非零实数所有非零实数. 2.在实际问题中自变量在实际问题中自变量x的取值的取值范围是什么？范围是什么？ 要根要根据具体情况来确定据具体情况来确定. . 例如，在前面得到的第二个解析式例如，在前面得到的第二个解析式 ，x的的 取值范围是取值范围是 x0，且当，且当 x 取每一个确定的值时，取每一个确定的值时，y 都都 有唯一确定的值有唯一确定的值与其对应与其对应. . x y 1000 反比例函数的三种表达方式：反比例函数的三种表达方式：( (
6、注意注意 k 0) 0) k y x ， 1 ykx ，.xyk 探究新知探究新知 )0( 1 kkxy3.形如形如 的式子是反比例函数吗？的式子是反比例函数吗？ ) 0( kkxy式子式子 呢？呢？ 巩固练习巩固练习 下列下列函数中哪些是反比例函数函数中哪些是反比例函数, ,并指出相应并指出相应k的值？的值？ y =3x-1 y =2x2 x y 1 3 2x y y =3x-1 3 1 xy 3 2 y x 不是不是 是，是，k = 1 不是不是 不是不是 是，是，k = 3 是，是， 1 3 k 是，是， 3 2 k 巩固练习巩固练习 在在下列函数中，下列函数中，y 是是 x 的反比例函
7、数的是的反比例函数的是（ ） A. B. C. xy =5 D. 5 8 x yxy 2 3 2 2 x y C 例例1 已知函数已知函数 是反比例函数，是反比例函数， 求求 m 的值的值. . 2 2233 21 mm ymmx 所以所以 2m2 + 3m3=1 2m2 + m10 解得解得 m =2. . 解：解：因为因为 是反比例函数，是反比例函数， 2 2233 21 mm ymmx 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用反比例函数的定义求字母的值利用反比例函数的定义求字母的值 归纳总结：归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义已知某个函数为反比例函数，只需
8、要根据反比例函数的定义 列出方程列出方程( (组组) )求解即可，如本题中求解即可，如本题中 x 的次数为的次数为1，且系数，且系数不等于不等于0. ( (1) )当当m =_时，函数时，函数 是是反比例函数反比例函数. . 22 4 m x y ( (2) )已知函数已知函数 是反比例函数是反比例函数, ,则则 m =_. 7 3 m xy 巩固练习巩固练习 1.5 6 ( (3) )若函数若函数 是反比例函数是反比例函数, ,则则m的的 值为值为_. 2 5 (2) m ymx 2 例例2 已知已知 y 是是 x 的反比例函数，并且当的反比例函数，并且当 x=2时，时，y=6. ( (1)
9、 ) 写出写出 y 关于关于 x 的函数解析式；的函数解析式； 分析：分析：因为因为 y 是是 x 的反比例函数，所以设的反比例函数，所以设 .把把 x=2 和和 y=6 代代 入上式，就可求出常数入上式，就可求出常数 k 的值的值. . k y x 解：解：( (1) )设设 . . 因为当因为当 x=2时，时，y=6，所以有，所以有 k y x 6. 2 k 解得解得 k =12. 因此因此 12 .y x 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用待定系数法求反比例函数的解析式利用待定系数法求反比例函数的解析式 ( (2) ) 当当 x=4 时，求时，求 y 的值的值. . 12 3.
10、 4 y ( (2) )把把 x=4 代入代入 ，得，得 12 y x 探究新知探究新知 用待定系数法求反比例函数解析式的一般用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤步骤是：是： （1）设设，即设所求的反比例函数解析式为，即设所求的反比例函数解析式为 （k0） （2）代代，即将已知条件中对应的，即将已知条件中对应的 x、y 值代入值代入 中得到关中得到关 于于k的的方程方程 （3）解解，即解方程，求出，即解方程，求出 k 的值的值 （4）定定，即将，即将 k 值代入值代入 中，确定函数解析式中，确定函数解析式 x k y x k y x k y 归纳总结归纳总结 已知已知 y 与与 x+1 成
11、反比例，并且当成反比例，并且当 x = 3 时，时，y = 4. ( (1) ) 写写出出 y 关于关于 x 的函数解析式；的函数解析式； ( (2) ) 当当 x = 7 时，求时，求 y 的的值值 解：解：( (1) ) 设设 ，因为当，因为当 x = 3 时，时，y =4 ， 1 k y x 所以有所以有 ，解得，解得 k =16，因此因此 . . 4 3 1 k 16 1 y x ( (2) ) 当当 x = 7 时，时， 16 2. 71 y 巩固练习巩固练习 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察 前方物
12、体是动态的，车速增加，视野变窄前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. . 当车速当车速为为 50km/h 时，视野时，视野 为为 80 度，如果视野度，如果视野 f (度度) 是车速是车速 v (km/h) 的反比例函数，求的反比例函数，求 f 关于关于 v 的的 函数解析式，并计算当车速为函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数时视野的度数. 当当 v=100 时，时，f =40. . 所以所以当车速为当车速为100km/h 时视野为时视野为40度度. 解：解：设设 . . 由题意知，当由题意知，当 v =50时，时，f =80， k f v 80. 50 k 解解得得 k =
13、4000. 因此因此 4000 .f v 所以所以 知识点知识点 2 建立反比例函数的模型解答问题建立反比例函数的模型解答问题 探究新知探究新知 如图，已知菱如图，已知菱形形 ABCD 的面积为的面积为180，设它的两条对角线，设它的两条对角线 AC， BD的长分别为的长分别为x，y. 写出变量写出变量 y与与 x 之间的关系式，并指出之间的关系式，并指出 它是什么函数它是什么函数. A B C D 解解: :因为菱形的面积等于两条对角线长因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半，乘积的一半， 所以所以 1 180. 2 ABCD Sxy 菱形 所以变量所以变量 y与与 x 之间的关系式为之
14、间的关系式为 ， 它是反比例函数它是反比例函数. . 360 y x 巩固练习巩固练习 连接中考连接中考 C 已知反比例函数的解析式为已知反比例函数的解析式为 ，则则a的取值范围是的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 C a2 Da=2 2a y x 1. 下列函数：（下列函数：（1） ，（，（2） ， （3）xy=9，（，（4） ，（，（5） ， （6） y=2x1，（，（7） ， 其中是反比例函数的是其中是反比例函数的是_ （2） 4 x y 3 y x 5 1 y x 2 3 y x 2 3 5 yx 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 （3） （5） 3矩形的面积为矩
15、形的面积为4，一条边的长为，一条边的长为x，另一条边，另一条边的长的长为为y，则，则y 与与x的函数解析式为的函数解析式为 2苹果每千克苹果每千克x元，花元，花10元钱可买元钱可买y千克的苹果千克的苹果，则，则y与与x之间之间 的函数解析式为的函数解析式为_ 10 y x 4 y x 课堂检测课堂检测 4若函数若函数 是反比例函数是反比例函数，则，则m的取值的取值 是是 3 5已知已知y与与x成反比例，且当成反比例，且当x=2时，时，y=3，则，则 y与与x之间的函数之间的函数 解析式是解析式是 ，当，当x=3时时，y= 2 2 8 )3( m xmy 6 y x 课堂检测课堂检测 小小明家离
16、学明家离学校校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时，每天他往返于两地之间，有时 步行，有时骑车假设小明每天上学时的平均速度为步行，有时骑车假设小明每天上学时的平均速度为 v ( ( m/min ) )，所用的时间为，所用的时间为 t ( ( min ) ) ( (1) ) 求变量求变量 v 和和 t 之间的函数关系式；之间的函数关系式； 解：解： ( (t0) ) 1000 v t 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 ( (2) ) 小明星期二步行上学用了小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上，星期三骑自行车上 学用了学用了 8 min，那么他星期三上
17、学时的平均速度比星期二快，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快 多少？多少？ 12540 = 85 ( ( m/min ) ) 答：答：他星期三上学时的平均速度比星期二快他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. . 解：解：当当 t = 25 时，时， ； 1000 40 25 v 当当 t = 8 时，时， ； 1000 125 8 v 课堂检测课堂检测 已已知知 y = y1+y2，y1与与 ( (x1) ) 成正比例，成正比例，y2 与与 ( (x + 1) ) 成反比例，成反比例， 当当 x=0 时，时，y =3；当；当 x =1 时，时，y = 1，求：，求： ( (
18、1) ) y 关于关于 x 的关系式的关系式； 解：解：设设 y1 = k1( (x1) () (k10) )， ( (k20) )， 2 2 1 k y x 则则 . 2 1 1 1 k ykx x x = 0 时，时，y =3；x =1 时，时，y = 1， k1=1，k2=2. 3=k1+k2 ， 2 1 1 2 k ， 2 1. 1 yx x 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 ( (2) ) 当当 时，时，y 的值的值. . 1 2 x 课堂检测课堂检测 解：解：把把 代入代入 ( (1) ) 中函数关系式，中函数关系式， 得得 11. 2 y 1 2 x 建立反比例函数模型建立反比例函数模型 用用待定系数法待定系数法求反比例函数解求反比例函数解 析式析式 反比例函数：反比例函数：定义定义/ /三种表达三种表达 方式方式 反 比 例 函 数 反 比 例 函 数 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
