1、5.2 等差数列等差数列 等差数列等差数列 52.1 第第 1 课时课时 等差数列的定义等差数列的定义 最新课程标准 1.理解等差数列的概念(难点) 2掌握等差数列的通项公式及运用(重点、难点) 3掌握等差数列的判定方法(重点) 教材要点教材要点 知识点一 等差数列的概念 如果一个数列an从第_项起， 每一项与它的前一项之 差都等于_常数 d，那么这个数列an就叫做等差数列，这 个常数 d 叫做等差数列的_ 状元随笔 等差数列的定义用符号怎么表示？ 提示 an1and(n1，d 为常数) 知识点二 等差数列的通项公式 若等差数列的首项为 a1，公差为 d，则其通项 an_. 状元随笔 等差数列
2、的通项公式是什么函数模型？ 提示 d0 时，一次函数；d0 时，常值函数 知识点三 等差数列的单调性 等差数列an中，若公差 d0，则数列an为_数列； 若公差 d0，则数列an为_数列 基础自测基础自测 1下列数列中不是等差数列的为( ) A6,6,6,6,6 B2，1,0,1,2 C5,8,11,14 D0,1,3,6,10 2数列an的通项公式 an2n5，则此数列( ) A是公差为 2 的等差数列 B是公差为 5 的等差数列 C是首项为 5 的等差数列 D是公差为 n 的等差数列 3已知等差数列an中，首项 a14，公差 d2，则通项 公式 an_. 4若 2，a，b，c,9 成等差数
3、列，则 ca_. 题型一 等差数列的概念 例 1 已知数列an的通项公式 anpn2qn(p，qR，且 p， q 为常数) (1)当 p 和 q 满足什么条件时，数列an是等差数列？ (2)设 cnan1an；求证：对任意实数 p 和 q，数列cn是等差 数列 状元随笔 已知等差数列an的首项为 a1，公差为 d，在数 列bn中，bn3an4，试判断bn是不是等差数列？ 提示 可以利用 a1和 d 写出 bn的通项公式，也可以直接利 用定义判断 bn1bn是不是常数 根据题意，知 bn13an14，则 bn1bn3an14(3an 4)3(an1an)3d(常数) 由等差数列的定义知，数列bn
4、是等差数列 方法归纳 等差数列的判定方法有以下三种： 1定义法：an1and(常数)(nN)an为等差数列； 2等差中项法：2an1anan2(nN)an为等差数列； 3通项公式法：ananb(a，b 是常数，nN)an为等 差数列 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差 中项法 跟踪训练 1 数列an的通项公式 an43n，则此数列 ( ) A是公差为 4 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 C是公差为3 的等差数列 D是首项为 4 的等差数列 题型二 等差数列的通项公式及其应用 状元随笔 在等差数列an中，能用 a1，d 两个基本量表示 an，那么能否用an中任意一项 a
5、m和 d 表示 an? 提示 由ana1(n1)d， ama1(m1)d， 两式相减可得：anam(nm)d， 则anam(nm)d. 例 2 (1)在等差数列an中，已知 a47，a1025，求通项公 式 an； (2)已知数列an为等差数列，a35 4，a7 7 4，求 a15 的值 状元随笔 设出基本量 a1，d.利用方程组的思想求解，当然 也可以利用等差数列的一般形式 anam(n m)d 求解 方法归纳 1 应用等差数列的通项公式求 a1和 d， 运用了方程的思想 一 般地，可由 ama，anb，得 a1m1da a1n1db， 求出 a1和 d，从 而确定通项公式 2若已知等差数列
6、中的任意两项 am，an，求通项公式或其它 项时，则运用 aman(mn)d 较为简捷 跟踪训练 2 401 是不是等差数列5， 9， 13， 的项？ 如果是，是第几项？ 题型三 等差数列及其应用 例 3 某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上 安装路灯，安装第 1 盏后，往后每隔 50 米安装 1 盏，试问安装第 5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两 灯间隔距离表示第 n 盏灯的距离吗？ 跟踪训练 3 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行， 此后每 4 年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能 算出 2016 年 8 月在巴西里约热内卢举行的奥
7、运会是第几届吗？若 已知届数，你能确定相应的年份吗？ 教材反思 1本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列 的通项公式，难点是等差数列的证明 2掌握判断一个数列是等差数列的常用方法： (1)an1and(d 为常数，nN)an是等差数列； (2)2an1anan2(nN)an是等差数列； (3)anknb(k，b 为常数，nN)an是等差数列 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即 可 3会灵活运用等差数列的通项公式解决问题由等差数列的 通项公式 ana1(n1)d 可以看出，只要知道首项 a1和公差 d， 就可以求出通项公式反过来，在 a1、d、n、an四个量中，只要
8、 知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量. 温馨提示：请完成课时分层温馨提示：请完成课时分层作业作业 三三 52 等差数列等差数列 52.1 等差数列等差数列 第第 1 课时课时 等差数列的定义等差数列的定义 新知初探新知初探 自主学习自主学习 知识点一 2 同一个 公差 知识点二 a1(n1)d 知识点三 递增 递减 基础自测基础自测 1解析：A 中给出的是常数列，是等差数列，公差为 0； B 中给出的数列是等差数列，公差为 1； C 中给出的数列是等差数列，公差为 3； D 中给出的数列第 2 项减去第 1 项等于 1，第 3 项减去第 2 项等于 2，故此数列不是等差数列 答案：D 2
9、解析：an1an2(n1)5(2n5)2， an是公差为 2 的等差数列 答案：A 3解析：a14，d2， an4(n1)(2)62n. 答案：62n 4解析：由题意得该等差数列的公差 d92 51 7 4， 所以 ca2d7 2. 答案：7 2 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 例 1 解析：(1)解：an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn) 2pnpq，要使an是等差数列，则 2pnpq 应是一个与 n 无关的常数，所以只有 2p0，即 p0. 故当 p0，qR 时，数列an是等差数列 (2)证明：cnan1an2pnpq， cn1an2an12p(n1)pq. 而 cn1cn2p
10、 为一个常数， cn是等差数列 跟踪训练 1 解析：an1an43(n1)(43n)3. an是公差为3 的等差数列 答案：C 例 2 解析：(1)法一：a47，a1025， 则 a13d7， a19d25， 得 a12， d3. an2(n1)33n5， 通项公式 an3n5(nN) 法二：a47，a1025， a10a46d18，d3， ana4(n4)d3n5(nN) (2)法一：由 a35 4， a77 4， 得 a12d5 4， a16d7 4， 解得 a111 4 ，d3 4. a15a1(151)d 11 4 14 3 4 31 4 . 法二：由 a7a3(73)d， 即7 4
11、5 44d， 解得 d3 4. a15a3(153)d5 412 3 4 31 4 . 跟踪训练 2 解析：由 a15，d9(5)4， 得这个数列的通项公式为 an54(n1)4n1. 由题意知，4014n1， 得 n100，即401 是这个数列的第 100 项 例 3 解析：设第 1 盏路灯到第 1 盏路灯的距离记为 a1，第 2 盏路灯到第 1 盏路灯的距离记为 a2， 第 n 盏路灯到第 1 盏路灯的距离记为 an， 则 a1，a2，an，构成一个以 a10 为首项，以 d50 为 公差的一个等差数列 所以有 a10，a2a1d05050， a3a2da12d0250100， a4a3d
12、a13d0350150， a5a4da14d0450200， ana1(n1)d50n50， 所以，第 5 盏路灯距离第 1 盏路灯 200 米， 第 n 盏路灯距离第 1 盏路灯(50n50)米 跟踪训练 3 解析：设第一届的年份为 a1，第二届的年份为 a2，第 n 届的年份为 an，则 a1，a2，an，构成一个以 a1 1896 为首项，以 d4 为公差的等差数列，其通项公式为 ana1 (n1)d18964(n1)4n1892，即 an4n1892，由 an 2016，知 4n18922016，所以 n31. 故 2016 年举行的奥运会为第 31 届 已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通 项公式 ana1(n1)d 中，知道其中任何三个量，均可求得第四 个量
