1、三角恒等变换三角恒等变换 考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、 半角公式，但不要求记忆) 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin cos cos sin ； (2)cos( )cos cos sin sin ； (3)tan( ) tan tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2
2、2sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 2 2tan 1tan2. 提醒： (1)二倍角公式就是两角和的正弦、 余弦、 正切公式中 的特殊情况 (2)二倍角是相对的，如 2是 4的 2 倍，3 是 3 2 的 2 倍 3辅助角公式 asin bcos a2b2sin() 其中sin b a2b2，cos a a2b2 . 常用结论 1公式的常用变式 tan tan tan( )(1tan tan )； sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan 1tan2； cos 2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1ta
3、n2. 2降幂公式 sin21cos 2 2 ； cos21cos 2 2 ； sin cos 1 2sin 2. 3升幂公式 1cos 2cos2 2； 1cos 2sin2 2； 1sin sin 2cos 2 2 ； 1sin sin 2cos 2 2 . 4半角正切公式 tan 2 sin 1cos 1cos sin . 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立 ( ) (2)公式 asin xbcos xa2b2sin(x)中 的取值与 a，b 的值无关 ( ) (3)cos 2cos2 2112sin 2 2. ( )
4、 (4)当 是第一象限角时，sin 2 1cos 2 . ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知 cos 3 5， 是第三象限角，则 cos 4 为( ) A 2 10 B 2 10 C 7 2 10 D7 2 10 A cos 3 5， 是第三象限角， sin 1cos24 5. cos 4 2 2 (cos sin ) 2 2 3 5 4 5 2 10.故选 A 2已知 sin cos 4 3，则 sin 2( ) A7 9 B 2 9 C 2 9 D 7 9 A sin cos 4 3， (sin cos )212sin cos 1sin 216 9 ，
5、sin 27 9. 故选 A 3计算：sin 108 cos 42 cos 72 sin 42 . 1 2 原式sin(180 72 )cos 42 cos 72 sin 42 sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 sin(72 42 ) sin 30 1 2. 4若 tan 1 3，tan() 1 2，则 tan . 1 7 tan tan() tan 1 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7. 第第 1 1 课时课时 两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切 公式及二倍角公式公式及二倍角公式 考点一 公式的直接应用 应用公式化简求值的策略 (1)首先要
6、记住公式的结构特征和符号变化规律 例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反” (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用 (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 典例 1 (1)(2020 全国卷)已知 (0，)，且 3cos 28cos 5，则 sin ( ) A 5 3 B2 3 C 1 3 D 5 9 (2)已知 ， 为锐角，tan 4 3，cos() 5 5 . 求 cos 2 的值； 求 tan()的值 (1)A 由 3cos 28cos 5，得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 2 3或 cos 2(舍去) 又
7、(0，)，sin 0， sin 1cos21 2 3 2 5 3 ，故选 A (2)解 因为 tan 4 3， 所以 sin 4 3cos . 因为 sin2cos21，所以 cos2 9 25， 因此 cos 22cos21 7 25. 因为 ， 为锐角，所以 (0，). 又因为 cos() 5 5 ， 所以 sin()1cos22 5 5 ， 因此 tan()2. 因为 tan 4 3，所以 tan 2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此，tan()tan2() tan 2tan 1tan 2tan 2 11. 跟进训练 1(2020 全国卷)已知 2tan tan 4 7，则 ta
8、n ( ) A2 B1 C1 D2 D 由已知得 2tan tan 1 1tan 7，得 tan 2. 2(2019 全国卷)已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin ( ) A1 5 B 5 5 C 3 3 D2 5 5 B 由二倍角公式可知 4sin cos 2cos2. 0， 2 ，cos 0， 2sin cos ，tan 1 2，sin 5 5 .故选 B 考点二 公式的逆用和变形 两角和、差及倍角公式的逆用和变形的技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 (2)公式的一些常用变形 sin sin cos()cos cos ； cos sin
9、sin()sin cos ； 1 sin sin 2 cos 2 2； sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan21； cos 2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2； tan tan tan( )(1tan tan ) 公式的逆用 典例 21 (1)(2020 全国卷)已知 sin sin 3 1，则 sin 6 ( ) A1 2 B 3 3 C2 3 D 2 2 (2)化简 sin 10 1 3tan 10 . (1)B (2)1 4 (1)由 sin sin 3 1，得 sin sin cos 3cos sin 31， 整理得3 2sin
10、3 2 cos 1， 即 3 3 2 sin 1 2cos 1， 即 3sin 6 1， sin 6 3 3 ，故选 B (2) sin 10 1 3tan 10 sin 10 cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10 cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4sin30 10 1 4. 点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现1 2，1， 3 2 ， 3等这些数值时，一 定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式 (2)tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以 知二求一，且常
11、与一元二次方程根与系数的关系结合命题 公式的变形 典例 22 (1)若 0， 则 1sin cos sin 2cos 2 22cos . (2)化简 sin2 6 sin2 6 sin2 的结果是 (1)cos (2)1 2 (1)由 (0，)，得 0 2 2， cos 20， 22cos 4cos2 22cos 2. 又(1sin cos ) sin 2cos 2 2sin 2cos 22cos 2 2 sin 2cos 2 2cos 2 sin2 2cos 2 2 2cos 2cos ， 故原式 2cos 2cos 2cos 2 cos . (2)原式 1cos 2 3 2 1cos 2
12、3 2 sin2 11 2 cos 2 3 cos 2 3 sin2 1cos 2 cos 3sin 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1 2. 跟进训练 1设 acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 ， b 2 2 (sin 56 cos 56 )，c1tan 239 1tan239 ，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bbac Ccab Dacb D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得 acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 cos 50 cos 127 sin 50 sin 127 cos(50 127 )cos(77 )
13、cos 77 sin 13 ，b 2 2 (sin 56 cos 56 ) 2 2 sin 56 2 2 cos 56 sin(56 45 )sin 11 ，c1tan 239 1tan239 1sin 239 cos239 1sin 239 cos239 cos239 sin239 cos 78 sin 12 .因为函数 y sin x，x 0， 2 为增函数，所以 sin 13 sin 12 sin 11 ，所以 acb.故选 D 2若 3 4，则(1tan )(1tan ) . 2 由 3 4 得 tan()tan 3 4 1， (1tan )(1tan )1tan tan tan ta
14、n tan()(1tan tan )tan tan 1 1tan tan tan tan 12. 考点三 利用“角的变换”求值 三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式 (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差 的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” 典例 3 (1)已知 cos x 6 1 3，则 cos xcos x 3 ( ) A 3 2 B 3 C1 2 D 3 3 (2)若 0， 2 ，且 sin 6 1 3，则 cos 3 . (3)已知 sin 6 1 4，则 cos 2
15、32 . (1)D (2)2 61 6 (3)7 8 (1)法一：cos xcos x 3 cos x 6 6 cos x 6 6 2cos x 6 cos 6 3 3 ，故选 D 法二：cos xcos x 3 cos xcos xcos 3sin xsin 3 3 2 sin x3 2cos x 3 3 2 cos x1 2sin x 3cos x 6 3 3 ，故选 D (2)由于角 为锐角，且 sin 6 1 3， 则 cos 6 2 2 3 ， 则 cos 3 cos 6 6 cos 6 cos 6sin 6 sin 6 2 2 3 3 2 1 3 1 2 2 61 6 . (3)c
16、os 3 cos 2 6 sin 6 1 4， cos 2 32 2cos 2 3 12 1 4 2 17 8. 点评：常见的配角技巧：2()()，()， 2 2 ， 2 2 ， 2 2 2 等 跟进训练 1已知 sin 4 2 10， 2， ， 则(1)cos ； (2)sin 2 4 . (1)3 5 (2) 17 2 50 (1)由 2， 知 4 3 4 ，5 4 ， cos 4 1sin2 4 1 2 10 2 7 2 10 ， cos cos 4 4 cos 4 cos 4sin 4 sin 4 7 2 10 2 2 2 10 2 2 3 5. (2)由 2， 和(1)知，得 sin 4 5. sin 22sin cos 2 3 5 4 5 24 25， cos 22cos212 3 5 217 25， sin 2 4 sin 2cos 4cos 2sin 4 2 2 24 25 7 25 17 2 50 . 2已知 cos(75 )1 3，则 cos(30 2)的值为 7 9 cos(75 )sin(15 ) 1 3， 所以 cos(30 2)12sin2(15 )12 9 7 9.
