1、28.2 28.2 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 28.2.1 28.2.1 解解直角三角形直角三角形 导入新知导入新知 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面 所成的角所成的角一般要满足一般要满足50 75. .现有一个长现有一个长6m的梯子，问：的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？）？ （2）当梯子底端距离墙面）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角时，梯子与地面所成
2、的角等于多等于多 少（精确到少（精确到1）？这时人能够安全使用这个梯子吗？）？这时人能够安全使用这个梯子吗？ 1. 了解解直角三角形的了解解直角三角形的意义和条件意义和条件. 2. 理解理解直角三角形直角三角形中的五个元素之间的联系中的五个元素之间的联系. 素养目标素养目标 3. 能根据直角三角形中除直角以外的能根据直角三角形中除直角以外的两个元两个元 素素（至少有一个是边至少有一个是边），解直角三角形），解直角三角形. 利用计算器可得利用计算器可得 . . 根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角 你愿意试着计算一下吗？你愿意试着计算一
3、下吗？ 如图，设塔顶中心点为如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A， 过过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在，在RtABC中，中，C90， BC5.2m，AB54.5m. 0954. 0 5 .54 2 . 5 sin AB BC A 5 28A 将上述问题推广到一般将上述问题推广到一般情形，情形，就是：已知直角三角形的斜就是：已知直角三角形的斜 边和一条直角边，求它的锐角的度数边和一条直角边，求它的锐角的度数. . 探究新知探究新知 知识点知识点 1 解直角三角形的概念解直角三角形的概念 在直角三角形在直角三
4、角形 中知道几个条中知道几个条 件可以求解呢？件可以求解呢？ 在在RtABC中中, 不能不能 不能不能 一角一角 一角一角 一边一边 A B C 两角两角 （2）根据）根据A=60,B=30, 你能求出这你能求出这 个三角形的其他元素吗个三角形的其他元素吗? （1）根据）根据A= 60，你能求出这个三角形，你能求出这个三角形 的其他元素吗的其他元素吗? （3）根据）根据A= 60, ,斜边斜边AB=4, ,你能求出这个三角形的其你能求出这个三角形的其 他元素吗他元素吗? ? B AC BC 两边两边 A B AB 探究新知探究新知 （4）根据）根据 ，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的你能求
5、出这个三角形的 其他元素吗？其他元素吗？ 32BC 你发现了你发现了 什么？什么？ 在在RtABC中中, , 在直角三角形的六个元素中在直角三角形的六个元素中, ,除直除直 角外角外, ,如果知道如果知道两两个元素个元素, ,( (其中至少有其中至少有 一个是边一个是边),),就可以求出其余三个元素就可以求出其余三个元素. . 我发现我发现 了：了： 一角一边一角一边 两边两边 两角两角 不能求其它元素不能求其它元素 一角一角 能求其它元素能求其它元素 探究新知探究新知 解直角三角形的解直角三角形的依据依据： A C B a b c a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）； ( (1) )三边
6、之间的关系三边之间的关系: ( (2) )锐角之间的关系锐角之间的关系: A B 90； ； ( (3) )边角之间的关系边角之间的关系: 探究新知探究新知 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过 程，叫作程，叫作解直角三角形解直角三角形. . c a A sin c b A cos b a A tan 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 解直角三角形的解直角三角形的原则原则： ( (1) )有斜有斜（斜边）（斜边）用弦用弦（正弦、余弦），（正弦、余弦），无斜无斜（斜边）（斜边） 用切用切（正切）；（正切）； ( (2) )宁乘勿除宁乘勿除
7、：选取便于计算的关系式，若能用乘法计：选取便于计算的关系式，若能用乘法计 算就不用除法计算；算就不用除法计算； ( (3) )取原避中取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间：若能用原始数据计算，应避免使用中间 数据求解数据求解. . 如图，在如图，在RtABC中，中，根据根据AC2.4，斜边，斜边 AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 2222222 62.45.5.ABACBCBCABAC 2.4 coscos0.466 . 6 AC AAA AB A B C 6 2.4 探究新知探究新知 知识点知识点 2 知道两边解直角三角形知道两边解直
8、角三角形 9090 6624 . ABB- A- 22 2.ABAC A B C 2 6 例例 如图，在如图，在RtABC中，中，C = 90， ， ，解这个直角三角形，解这个直角三角形. 6BC 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 已知两边解直角三角形已知两边解直角三角形 2AC 解：解： 6 tan3 2 BC A AC ， 在在RtABC中，中，C90， a = 30 , b = 20, 解这个直角三角形解这个直角三角形. 解：解：根据根据勾股定理，得勾股定理，得 2222 302010 13.cab 909056.333.7 . BA A B C b=20 a=30 c 巩固练习巩
9、固练习 303 tan1.5, 202 a A b 56.3 , A 如图，在如图，在RtABC中，根据中，根据A75，斜边，斜边AB 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75 探究新知探究新知 知识点 3 已知一边和一锐角解直角三角形已知一边和一锐角解直角三角形 sinsin6 sin75 ， BC ABCABA AB coscos6 cos75 ， AC AACABA AB 9090907515.ABBA 例例 如如图，图，在在RtABC中中，C90，B35，b=20， 解这个直角三角形解这个直角三角形 ( (结果保留小数点后一位
10、结果保留小数点后一位).). A B C b 20 c a 35 tan, b B a 解解： sin, b B c 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 已知一边和一锐角解直角三角形已知一边和一锐角解直角三角形 在在RtABC,C=90, A=45, c=4 解这个直角三角形解这个直角三角形. C B A 45 c=4 解：解： A=45， B=90A=45. a b 巩固练习巩固练习 sin,A a c 2 sinsin45442 2. 2 aA c cos,A b c 2 coscos45442 2. 2 bA c 2 2 也可以：也可以： A= B=45， b=a= . 解解：过点过
11、点A作作 ADBC于于D. 在在ACD中，中，C=45，AC=2， CD=AD= AC sinC = 2sin45= . . 在在ABD中，中，B=30， 如如图，在图，在ABC中中，B=30，C=45，AC=2，求求 BC. D A B C 2 巩固练习巩固练习 26.BCCDBD 3 26. tan3 AD BD B 如图，在如图，在RtABC 中，中，C=90， ， BC = 5， 试求试求AB的长的长. . 1 cos 3 A A C B 设设 1 , 3 ABx ACx， 探究新知探究新知 已知一边和三角函数值解直角三角形已知一边和三角函数值解直角三角形 知识点 4 2 22 1 5
12、 . 3 xx 解：解： 1 . 3 AC AB 12 15 215 2 , 44 xx （舍去（舍去）. . AB的长为的长为 在在RtABC中中，C=90，sinA = 0.8 ，BC=8，则则 AC的的值为值为( ( ) ) A4 B6 C8 D10 B 如如图，在图，在菱形菱形ABCD中，中，AEBC于点于点E，EC=4， ，则菱形的周长是则菱形的周长是 ( ( ) ) A10 B20 C40 D28 C 巩固练习巩固练习 5 4 sinB 连接中考连接中考 解：解：如图作如图作CHAB于于H 在在RtBCH中中，BC=12，B=30， 如图如图，在，在ABC中中，BC=12， ，B=
13、30；求求 AC和和AB的长的长 4 3 tanA H 36 22 CHBCBH6 2 1 BCCH ， ， 22 10AC= AH +CH ， AH=8， AH CH A 4 3 tan 在在RtACH中，中， ， 86 3AB=AH+BH . . 1.在下列直角三角形中不能求解的是（在下列直角三角形中不能求解的是（ ） A.已知一直角边一锐角已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角已知一斜边一锐角 C.已知两边已知两边 D.已知两角已知两角 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 在在RtABC中，中，C=90，B=37，BC=32，则则 AC =_ ( (参考数
14、据：参考数据：sin370.60，cos370.80， tan370.75) ). 3. 如图，已知如图，已知RtABC中，斜边中，斜边BC上的高上的高AD=3， 则则 AC 的长为的长为 . . 4 cos 5 B， 24 3.75 课堂检测课堂检测 4. 在在 RtABC 中中，C90，B72，c = 14. 根据条件解直角三角形根据条件解直角三角形. A B C b a c=14 课堂检测课堂检测 解：解： cos14 cos724.33.acB sin14 sin7213.3.bcB 907218 .A 如图，已知如图，已知 AC = 4，求求 AB 和和 BC 的长的长 能 力 提
15、升 题能 力 提 升 题 分析：分析：作作CDAB于点于点D，根据三角函数的定义，根据三角函数的定义，在在 RtACD，RtCDB中中，即可求出，即可求出 CD，AD，BD 的长，从的长，从 而求解而求解 课堂检测课堂检测 在在RtCDB中中，DCB=ACBACD=45， D 解：解：如图，如图，作作CDAB于点于点D， 在在RtACD中中，A=30， ACD=90-A=60. 3 cos42 3. 2 AD ACA = BD=CD=2. 2 2 2. cos BC DCB 课堂检测课堂检测 22 3.ABADBD 如如图，图，在在RtABC中中，C90，AC=6， BAC 的平分线的平分线
16、，解这个直角三角形，解这个直角三角形. . 4 3AD AD平分平分BAC， D A B C 6 4 3 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 CAD=30. 解：解： 126 3.ABBC， CAB=60, , B=30, 解直角三角形解直角三角形 依据依据 解法：只要知道五个元素中解法：只要知道五个元素中 的两个元素（的两个元素（至少有一个是至少有一个是 边边），就可以求出余下的三），就可以求出余下的三 个未知元素个未知元素. . 勾股定理勾股定理 两锐角互余两锐角互余 锐角的三角函数锐角的三角函数 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
