1、2020九 年 级 下 数 学 复 习 讲 义 第 10 讲 反 比 例 函 数 2 3 1 第 11 讲 反 比 例 函 数 综 合 2 5 5 第 12 讲 相 似 三 角 形 2 7 6 第 13 讲 相 似 模 型 3 0 6 第 14 讲 锐 角 三 角 函 数 3 3 2 第 15 讲 解 直角三角形 3 4 6 第 16 讲 圆 的 综 合 3 6 5 第 17 讲 期 末 复 习 之 代 数 部 分 3 9 0 第 18 讲 期 末 复 习 之 几 何 部 分 4 1 1 第 19讲 期 末 复 习 之 综 合 部 分 4 32 反比例函数 一、反比例函数的定义 一般地，形如
2、( 为常数， )的函数，叫做反比例函数 其中 是自变量， 是函数，自变量 的取值范围是不等于 的一切实数 【拓展】【拓展】 反比例函数三种表达式： ( )； ( )； ( ) 自变量 的取值范围是 ，函数值 【注意】【注意】 成反比例关系不一定是反比例函数， 如 与 成反比例，则 ； 若 与 成反比例，则 1 下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2 时，函数 是反比例函数 二、反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数图象 通过列表、描点、连线画出反比例函数 ， 的图象如下： 列表： 描点、连线： 观察可得： 反比例函数的图象是由两条曲线组成，它是双曲线 双曲线的两
3、个分支是断开的，延伸部分无限接近坐标轴，但与坐标轴没有交点 2. 反比例函数的图象和性质 反比例函数 ( ) 的符号 图象 图象特征 双曲线的两个分支分别位于第一、三象限 双曲线的两个分支分别位于第二、四象限 函数增减性 在每一个象限内， 随 的增大而减小 在每一个象限内， 随 的增大而增大 【注意】【注意】 反比例函数的增减性不是连续的，在描述其增减性时，一定要加上“在每一个象限内” 已知自变量的大小，比较函数值的大小，不能笼统的利用“ ， 随 的增大而减小”， 而是先看象限，确定正负；只有在同一象限才能利用增减性比较函数值大小 反比例函数图象与性质 3 已知函数 的图象经过点 ，下列说法正
4、确的是（ ） A. 随 的增大而增大 B. 函数的图象只在第一象限 C. 当时 时，必有 D. 点 不在此函数的图象上 4 已知函数 是反比例函数，图象在二、四象限，则 的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5 若函数 图象在其象限内 的值随 值的增大而增大，则 的取值范围是 6 对于双曲线 ，当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7 若点 ， ， 在反比例函数 的图像上，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8 已知点 、 是反比例函数 （ ）的图象上的两点，且 满足条件的 值可以是（ ） A. B. C. D. 9 点 和 都
5、在双曲线 上，若 ，则 （填 ， 或 ） 10 已知 ， ， 是反比例函数 图象上的三个点，且 ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11 在反比例函数 的图象上有两点 ， ，当 时，有 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12 已知 ， 是反比例函数 （ ）图象上的两个点，当 时， ，那么一次函数 的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 函数图象问题 13 在同一直角坐标系中，函数 与 （ ）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 14 反比例函数 与一次函数 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B
6、. C. D. 15 一次函数 和反比例函数 在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 16 定义新运算： ，则函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 17 已知反比例函数 的图象如图所示，则一元二次方程 根的情况是 （ ） A. 没有实根 B. 有两个不等实根 C. 有两个相等实根 D. 无法确定 三、反比例函数的解析式 1. 待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数的解析式 （ ）中，只有一个待定系数 ， 的值确定，反比例函数的解析式也就确定了， 因而只需给出一对 ， 的对应值或确定反比例函数图象上一个点的坐标 ， 即可 2. 反比例函数解析式与图象一一对应的
7、 满足函数关系式 （ ）的点 在其对应的图象上 反之，函数图象上的点的坐标 满足函数关系式 3. 反比例函数图象上点的坐标 已知 点在反比例函数 （ ）上，若 点横坐标为 ，则 点纵坐标为 ； 已知 点在反比例函数 （ ）上，若 点纵坐标为 ，则 点横坐标为 18 若反比例函数 的图象经过点 ，其中 ，则反比例函数图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 19 若 与 是同类项，点 在双曲线 上，则 的值为 20 根据函数学习中积累的知识与经验，请你构造一个函数，使其图象与 轴有交点，但与 轴无交 点，这个函数表达式可以为 21 在平面直角坐
8、标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的 倍的点称之为“理想点”，例如点 ， ， ， 都是“理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个 若点 是反比例函数 （ 为常数， ）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表 达式 22 如图，在平面直角坐标系 中， ， ，双曲线 与线段 有公共点，则 的取值 范围是 23 如图，等腰直角三角形 位于第一象限， ，直角顶点 在直线 上，其中 点 的横坐标为 ，且两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，若双曲线 （ ）与 有 交点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 24 如图，四边形 是平行四边形， ， ，点 在 轴的负半轴上，将 绕点 逆 时针旋转得
9、到平行四边形 ， 经过点 ，点 恰好落在 轴的正半轴上若点 在反比例函 数 的图像上，则 的值为 25 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象 限的图象经过点 ，若 ，则 的值为 四、反比例函数的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 反比例函数图象是轴对称图形，关于直线 和 成轴对称 轴对称 反比例函数是中心对称图形，双曲线的两支图象关于原点成中心对称 如图： ，若已知点 ，则可得 中心对称 由于正比例函数和反比例函数都是关于原点中心对称的函数， 若这两个函数有交点，则这两交点一定关于原点成中心对称 如图， 、 两点关于原点对称， 、 两点也是关于原点对称
10、 26 当 时，双曲线 与直线 的公共点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 27 如图，在同一平面直角坐标系中，直线 与双曲线 相交于 ， 两点， 已知点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 28 如图，直线 （ ）与曲线 交于点 ， ，则 的值是 29 如图，已知点 是反比例函数 图象上的一点，连接 并延长交双曲线的另一分支于点 ，点 是 轴上一动点；若 是等腰三角形，则点 的坐标是 五、反比例函数中 的几何意义 的几何意义的几何意义 过双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，垂线段与坐标轴所围成矩形的面积为 四边形 四边形 【拓展】【拓展】 过双曲线上任一点向坐
11、标轴作一条垂线，并连接此点和原点，这两条线段与坐标轴所围成三角形的面积 为 【总结】 利用反比例函数的解析式求矩形或三角形面积时应该加上绝对值符号； 反过来通过矩形或是三角形面积求函数解析式时要根据函数图象经过的象限确定 的正负 【注意】【注意】 在同一直角坐标系中，随着 的增大，反比例函数 图象的位置相对于坐标原点越来越远 【方法】沿着箭头所指的方向 值越来越大 30 老师在一直角坐标系中画了一个反比例函数的图象，请同学们观察此图象有什么特点，小付说： 与直线 有两个交点小楠：图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为 ，请你根据他们俩 的说法写出此反比例函数的表达式： 31 如图，在平面直角坐
12、标系 中，点 为函数 图象上任意一点，过点 作 轴于 点 ，则 的面积是（ ） A. B. C. D. 32 在反比例函数 的图象中，阴影部分的面积不等于 的是（ ） A. B. C. D. 33 如图， ， 是函数 的图象上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴，如果 的面积记为 ，那么（ ） A. B. C. D. 34 如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点 作 轴，垂足为点 ，线段 交反比例 函数 的图象于点 ，则 的面积为 35 如图， 的直角边 在 轴上， ，反比例函数 经过另一条直角边 的中 点 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 36 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的面
13、积为 ，点 在 轴上，点 在反比例函数 的图 象上，则 的值为 37 如图，已知点 在反比例函数 上，作 ，点 为斜边 的中点，连 并延长 交 轴于点 ，若 的面积为 ，则 反比例基础综合题 38 如图，直线 与双曲线 （ ）相交于 、 两点，在 轴上找一点 ，当 的值最小时，点 的坐标为 y x O 39 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，函数 的图象过点 和矩形的顶点 （ ） （1） 求 的值 （2） 连接 ， ，若 的面积为 ，求直线 的解析式 40 如图，一次函数 与反比例函数 交于 ， ，与 轴、 轴分别交于 点 、 （1） 直接写出一次函数 的表达式和
14、反比例函数 的表达式 （2） 求证： 41 在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究 在平面直角坐标系中，若一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函 数 的图象交于 、 两点，则 和 有怎样的数量关系？ 同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究 小勇说：我们可以从特殊入手，取 进行研究（如图），此时我发现 小攀说：在图中，分别从点 、 两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图 形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图中，此时 ，这一结论仍然成立，即 _的面积 _的面积，此面积的值为_ 小高说：我还发现，在图或图中连接某两个已知点，得到的线段与
15、和 都相等，这条线 段是_ （1） 请完成以上填空 （2） 请结合以上三位同学的讨论，对图所示的情况下，证 （3） 小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在 第一象限时， 总是成立的，但我发现当 的取值不同时，这两个交点有可能在不 同象限，结论还成立吗？ 请你结合小峰提出的问题，在图中画出示意图，并判断结论是否成立若成立，请写出证 明过程；若不成立，请说明理由 六、反比例函数中探究规律问题 1. 探究规律一 如图，正方形 ， 的顶点 、 、 在坐标轴上，点 在 上，点 、 在函数 （ ）的图象上，则点 的坐标_ 依题可知，点 ， 设小正方形 的边长为 ，
16、则 ， ， 点 在反比例函数 的图象上， 故 ，即 ， ， （舍）， 即 42 如图，正方形 ， 的顶点 、 、 在坐标轴上，点 在 上，点 、 在函数 （ ）的图象上，则点 的坐标是 43 如图，四边形 是矩形， 是正方形，点 、 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴 上，点 在 上，点 、 在反比例函数 的图象上， ， ，则正方形 的边 长为 44 如图，点 在反比例函数 的图象上，过点 分别作 轴和 轴的垂线，垂足为 和 ，点 的坐标为 ，取 轴上一点 ，过点 分别作 轴的垂线交反比例函数图象于点 ，过 作线段 的垂线交 于点 ，依次在 轴上取点 ， 按此规律作矩 形，则第 （ ， 为整
17、数）个矩形） 的面积为 45 在函数 的图象上有点 ， ， ， ， ， ，它们的横坐标依次为 ， ， ， ， ， 过点 ， ， ， ， ， 分别作 轴、 轴的垂线段，构成如图所示的若干个 矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为 ， ， ， ， ，则点 的坐标为 ； ； （用含 的代数式表示） 46 如图，在反比例函数 的图象上，有点 ， ， ， ， ， （ 为正整数，且 ），它们的横坐标依次为 ， ， ， ， ， （ 为正整数，且 ）分别过这些点作 轴 与 轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ， ， （ 为正整数，且 ），那么 ， （用含有 的代数式表
18、示） 2. 探究规律二 如图， 、 ， ， 在函数 （ ， ）的图象上， ， ， ， ， 都是等腰直角三角形， 斜边 ， ， ， ，都在 轴上 的坐标为_， 的坐标为_ _ 依题可知， ， 设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， 的坐标为 ， 则 ， ， 的坐标为 ， 则 ， ， 以此类推， 的坐标为 ， 则 ， ， ， 【总结】【总结】 点 的横坐标与 的横坐标之间存在的关系为： 如图， 、 ， ， 在函数 （ ， ）的图象上， ， ， ， ， 都是等边三角形， 边 ， ， ， ，都在 轴上 的坐标为_， 的坐标为_ 设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， 的横坐标为
19、 ， 的横坐标为 ， 的坐标为 ， ， ， 的坐标为 ， ， ， ， ， 的坐标为 ， ， ， ， ， 的坐标为 ， ， ， ， 故 ， 47 如图，点 ，点 ， ，点 都在函数 （ ）的图象上， ， ， ， ， 都是等腰直角三角形，斜边 ， ， ， ， 都在 轴上（ 是大于或等于 的正整数），已知点 的坐标为 ，则点 的坐 标为 ；点 的坐标为 ；点 的坐标为 （用含 的式子表示） 48 如图所示， 、 ， ， 在函数 （ ）的图象上， ， ， ， ， 都是等腰直角三角形，斜边 ， ， ， ， 都在 轴上，则 49 如图， 、 、 （ 为正整数）分别是反比例函数 在第一象限图象上的点， 、
20、、 分别为 轴上的点，且 、 、 均为等边 三角形若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 50 如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，双曲线 在 上取点 ，过点 作 轴的垂线交双曲线于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，请继续操作并探究：过点 作 轴 的垂线交双曲线于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， ，这样依次得到 上的点 ， ， ， ， ， 记点 的横坐标为 ，若 ，则 ， ；若要将上述 操作无限次地进行下去，则 不能取的值是 反比例函数综合 一、反比例函数与一次函数交点问题 求一次函数 与反比例函数 的交点 联立 ，整理得 ， 解得 ， 即一次函数与反比例函数的交点坐标
21、为 ， 【总结】【总结】 联立两个函数 所得的一元二次方程 ，求解一元二次方程 意味着一次函数与反比例函数有两个不相同交点， 当判别式 时 直线与双曲线相交，方程的两根即为交点的横坐标 意味着一次函数与反比例函数只有一个交点， 当判别式 时 直线与双曲线相切，方程的根即为交点的横坐标 意味着一次函数与反比例函数没有交点， 当判别式 时 直线与双曲线相离 已知一次函数解析式为 （只含一个待定系数），反比例函数解析式为 ， 且直线与双曲线的交点个数情况已知，求参数的取值或取值范围 联立一次函数与反比例函数 ，得到的一元二次方程 直线与双曲线 交点个数 递推关系 判别式 相交 相切 相离 依据判别式
22、的等式（或不等式）关系，可求待定系数的取值（或取值范围） 【注意】【注意】 当 确定，一次函数 是平行于 的直线， 当 确定，一次函数 是绕定点 旋转的直线 一次函数 是绕过定点 旋转的直线 1 如图，双曲线 与直线 相交于点 ， ，且点 的坐标为 ，点 的纵坐标为 根据图象信息可得关于 的方程 的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2 如果一次函数 （ ）与反比例函数 的图象相交于点 ，那么该直线 与双曲线的另一个交点为 3 直线 与反比例函数 的图象交于 、 两点，且与 、 轴交于 、 两点， 点的坐 标为 （1） 求反比例函数的解析式 （2） 把直线 绕着点 顺时针旋转到
23、 ，使直线 轴，且与反比例函数的图 象交于点 ，求旋转角大小及线段 的长 4 若关于 的不等式组 ，恰有三个整数解，则关于 的一次函数 的图像与反比 例函数 的图像的公共点的个数为 二、反比例函数与不等式 1. 已知自变量取值范围，求函数值取值范围 反比例函数 图象上两点 、 函数图象 自变量取值范围 函数值取值范围 5 对于反比例函数 ，如果当 时有最大值 ，则当 时，有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值 6 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，点 的坐标为 （1） 求出 值并确定反比例函数的表达式 （2） 请直接写出当 时， 的取值范围
24、2. 反比例函数与不等式 如图，一次函数 与反比例函数 相交于 、 分别过 、 两点作 轴的垂线 ， ，则 、 、 轴将直线和双曲线分成四段： ， ， 、 当 时 双曲线在直线上方，即 当 时 双曲线在直线下方，即 当 时 双曲线在直线上方，即 当 时 双曲线在直线下方，即 【方法】【方法】 口诀：“ 轴左右分两区，交点两旁再划分；数形结合来分析，取等取 要当心” 7 如图，正比例函数 和反比例函数 的图象交于 ， ， 两点，给出下列结论： ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 随 的增大而减小 其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8 如图，已知直线 与 轴、 轴相
25、交于 、 两点，与 的图象相交于 、 两点，连接 、 ，给出下列结论： ； ； ； 不等式 的解集是 或 ，其中正确的结论的序号是 9 已知反比例函数 （ 为常数， ） （1） 其图象与正比例函数 的图象的一个交点为 ，若点 的纵坐标是 ，求 的值 （2） 若在其图象的每一支上， 随 的增大而减小，求 的取值范围 （3） 若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 、 ，当 时， 试比较 与 的大小 10 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于点 和 点 （1） 求直线与双曲线的表达式 （2） 对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点动点 是双曲线 上的整点， 过点 作垂直于 轴
26、的直线，交直线 于点 ，当点 位于点 下方时，请直接写出整点 的坐标 三、反比例函数的应用 反比例函数在实际生活和科学领域都有广泛的应用， 我们通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系， 将文字转化为数学语言，再利用反比例函数的思想方法来解决实际问题 1. 用反比例函数解决实际问题的方法和步骤 审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系 根据常量与变量之间的关系，设出函数的关系式，待定的系数用字母来表示 由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写出函数关系式，并注意关系式中的自变量的取值范围 用函数关系去解决实际问题 2. 运用反比例函数模型解觉实际问题时，要掌握一
27、些基本的模型 （ ）当长方体体积为定值时，底面积与高成反比例函数关系， 当三角形面积为定值时，底边长与高成反比例函数关系 （ ）当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系 （ ）当力 所作的功一定时，力 与物体在 方向通过的距离 成反比例函数关系 （ ）杠杆定律：力 力臂 定值 （ ）压强公式： ，其中 为压强， 为压力， 为受力面积 【注意】【注意】 求出函数关系式后，要注意自变量的取值范围； 求出问题的解，既要符合题目中的方程，还要符合实际意义 11 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函 数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池
28、为电源的用电器，其限制电流不能超过 ，那么 用电器可变电阻 应控制的范围是 12 当温度不变时，气球内气体的气压 （单位： ）是气体体积 （单位： ）的函数，下表记录 了一组实验数据： （单位： ） （单位： ） 与 的函数关系可能是（ ） A. B. C. D. 13 “单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的 比值右图描述了某次单词复习中 ， ， ， 四位同学的单词记忆效率 与复习的单词个数 的 情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ） A. B. C. D. 14 为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已
29、知药物燃烧时，室内每立方米空气中 的含药量 （毫克）与时间 （分钟）成正比；药物释放完毕后， （毫克）与时间 （分钟）成反 比例关系，如图所示现测得 分钟燃毕，此时室内每立方米空气中的含药量为 毫克，据图中提 供的信息，解答下列问题： y（ 毫克 ） x O （ 分钟 ） （1） 药物燃烧时， 关于 函数关系式是 ，自变量 的取值范围是 ；药物燃烧 后，y关于 函数关系式是 （2） 研究表明，当室内空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进入教室， 那么从药物释放开始，至少需要经过 分钟后，学生才能进入教室 （3） 研究表明，当室内空气中每立方米的含药量不低于 毫克且持续时间不低于
30、分钟时，才 能有效杀灭空气中的病毒，那么此次消毒是否有效？为什么？ 四、反比例函数与三角形面积 直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 求 的面积 一般采用分割的方法求面积 反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长 交双曲线于点 ，连接 、则 梯形 用分割的方法求 的面积 15 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象 的一个交点为 （1） 分别求反比例函数和一次函数的表达式 （2） 过点 作 轴，垂足为 ，若点 在反比例函数图象上，且 的面积等于 ，请直 接写出点 的坐标 16 如图，反比例函数 的图象经过点 ，直
31、线 与双曲线 在第二、四 象限分别相交于 ， 两点，与 轴、 轴分别相交于 ， 两点 （1） 求 的值 （2） 当 时，求 的面积 （3） 连接 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说 明理由 17 已知，如图，一次函数 （ 、 为常数， ）的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点， 且与反比例函数 （ 为常数且 ）的图象在第二象限交于点 轴，垂直为 ，若 （1） 求点 和点 的坐标 （2） 求反比例函数的解析式 （3） 若两函数图象的另一个交点为 ，在 轴上有一点 ，使得 ，求点 的坐标 五、反比例函数与几何综合 1. 反比例函数与线段、角度、距离问题 18 如图，在平面
32、直角坐标系 中的第一象限内，反比例函数图象过 和另一动点 （1） 求此函数表达式 （2） 如果 ，写出 的取值范围 （3） 直线 与坐标轴交于点 ，如果 ，直接写出点 的坐标 19 如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与一次函数 的图象的一个交 点为 （1） 求这个一次函数的表达式 （2） 如果 是 轴上一点，且满足 ，直接写出点 的坐标 20 在平面直角坐标 中，直线 与双曲线 的一个交点为 ，与 轴交于点 （1） 求 的值和点 的坐标 （2） 点 在 轴上，点 到直线 的距离为 ，直接写出点 的坐标 21 如图所示，正比例函数 的图像与反比例函数 （ ）在第一象限的图像交于 点，
33、 过 点作 轴的垂线，垂足为 ，已知 的面积为 （1） 求反比例函数的解析式 （2） 如果 为反比例函数在第一象限图像上的点（点 与点 不重合），且 点的横坐标为 在 轴上求一点 ，使 最小 在 轴上求一点 ，使 最大 2. 反比例函数与几何综合问题 22 如图所示， 为双曲线 上的一点，过点 作 轴、 轴的垂线，分别交直线 于 、 两点，若直线 与 轴交于点 ，与 轴相交于点 ，则 的值为 23 如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，点 和点 分别在 轴， 轴的正半轴上，且点 ， ， ， 构成的四边形为正方形 （1） 求 的值； （2） 求点 的坐标 24 已知：如图，一次函数 的图象与
34、反比例函数 的图象交于 、 两点，且点 的坐标 为 （1） 求反比例函数 的表达式 （2） 点 在反比例函数 的图象上，求 的面积 （3） 在 轴上找出点 ，使 是以 为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标 3. 反比例函数综合问题 25 已知反比例函数 的图象经过点 （1） 试确定此反比例函数的解析式 （2） 点 是坐标原点，将线段 绕 点顺时针旋转 得到线段 判断点 是否在此反比例 函数的图象上，并说明理由 （3） 已知点 也在此反比例函数的图象上（其中 ），过 点作 轴的垂线， 交 轴于点 若线段 上存在一点 ，使得 的面积是 ，设 点的纵坐标为 ， 求 的值 26 如图
35、，在平面直角坐标系 中，点 在直线 上， 轴，且点 的纵坐标 为 ，双曲线 经过点 （1） 求 的值及双曲线 的解析式 （2） 经过点 的直线与双曲线 的另一个交点为点 ，且 的面积为 求直线 的解析式； 过点 作 轴交直线 于点 ，点 是直线 上的一个动点若将 以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形， 直接写出所有满足条件的点 的坐标 27 在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经 过点 （1） 求反比例函数的解析式 （2） 一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 且 的面积等于 求一次函数的解析式 （3）
36、 在（ ）的条件下，直线 与双曲线 交于第一象限的点 ，将直线 向右平 移 个单位后，与双曲线 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求 的 值 28 阅读下列材料： 某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，点 在反比例函 数 的图象上，求点 到直线 的距离 （1） 如图 ，他过点 作 于点 ， 轴分别交 轴于点 ，交直线 于点 他发现 ， ，可求出 的长，再利用 求出 的长，即为点 到直 线 的距离 请回答： 图 中， ，点 到直线 的距离 （2） 参考该同学思考问题的方法，解决下列问题： 在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，点 是反比例函数 的图 象上的一个动点，且点 在
37、第一象限，设点 到直线 的距离为 如图 ，若 ， ，则 _ 如图 ，当 时， （ ）若 ，则 _； （ ）在点 运动的过程中， 的最小值为_ 29 阅读理解：对于任意正实数 、 ， ， ，只有当 时，等号成立 结论：在 （ 、 均为正实数）中，若 为定值 ，则 ，只有当 时， 有最小值 根据上述内容，回答下列问题： （1） 若 ，只有当 时， 有最小值 （2） 过原点 的直线 与反比例函数 的图像交于 、 两点，则线段 长度的最小值为 ；若点 为反比例函数 在第一象限的图像上的一动点，过点 分别作 轴、 轴，垂足分别为 、 ，则四边形 周长的最小值为 （3） 如图所示，已知 ， ， 为双曲线
38、（ ）上的任意一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 求四边形 面积的最小值，并说明此时四边形 的形状 六、反比例函数与新定义 30 在平面直角坐标系 中，对于点 和 ，给出如下定义 如果 ，那么对称点 为点 的“亲密点” 例如：点 的“亲密点”为点 ，点 的“亲密点”为点 （1） 解答： 1 判断点 的“亲密点”是否在函数 的图象上，并说明理由 2 若位于 轴上方的两点 和 的“亲密点”都在某反比例函数图象上，请求出 该反比例函数的解析式 （2） 如果点 是一次函数 图象上点 的“亲密点”，求点 的坐标 31 如图，在平面直角坐标系 中，定义直线 与双曲线 的交点 （ 、 为正整数） 为 “双曲
39、格点”，双曲线 在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于 轴的直线为对 称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线” （1） 回答下列问题： 1 “双曲格点” 的坐标为 2 若线段 的长为 个单位长度，则 （2） 图中的曲线 是双曲线 的一条“派生曲线”，且经过点 ，则 的解析式为 _ （3） 画出双曲线 的“派生曲线” （ 与双曲线 不重合），使其经过“双曲格 点” 、 、 32 在平面直角坐标系 中，对于双曲线 和双曲线 ，如果 ，则称 双曲线 和双曲线 为“倍半双曲线”，双曲线 是双曲线 的“倍双曲线”，双曲线 是双曲线 的“半双曲线” （1） 请你写出双曲线 的“倍双曲线”是 ；
40、双曲线 的“半双曲线”是 （2） 如图 ，在平面直角坐标系 中，已知点 是双曲线 在第一象限内任意一点，过点 与 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 ，求 的面积 （3） 如图 ，已知点 是双曲线 在第一象限内任意一点，过点 与 轴平行的直线 交双曲线 的“半双曲线”于点 ，过点 与 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲 线”于点 ，若 的面积记为 ，且 ，求 的取值范围 相似三角形 一、图形的相似 1. 相似图形定义 我们把形状相同的图形叫做相似图形 定义 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 图形 【注意】 当“形状相同”、“大小相同”时，两个图形是全等的，全等是
41、相似的一种特殊情况 2. 相似多边形 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做 定义 相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比 图形 如图，两个大小不同的四边形 和四边形 中， ， ， ， ， ， 因此四边形 和四边形 相似 由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形的对应角相等，对应边成比例 任意两个大小不同的等边三角形、等腰直角三角形、正方形、正多边形、圆都是相似 【注意】 图形 1 下列说法：全等三角形一定是相似三角形相似三角形一定不是全等三角形边数相同的 两个正多边形相似边数相同，对应角分别相等的两个多边形相似其中，正确命题
42、的个数为 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2 现给出下列 对几何图形：两个圆；两个菱形：两个长方形；两个正六边形，其中 是相似图形 3. 比例线段 成比例线段 对于四条线段 ， ， ， ，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线 成比例线段 段的比相等，如 （即 ），我们就说这四条线段成比例 比例中项 若 ，则 ，线段 叫线段 、 的比例中项 判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之 【判断】 比与后两条线段之比是否相等即可 3 已知线段 ， ，线段 是 、 的比例中项，那么 等于 4 已知三个数 、 、 ，请你再添上一个数，使它们成比例
43、，求出所有符合条件的数 比例的性质 基本性质 反比性质 更比性质 或 合比性质 等比性质 （其中 为正整数，且 ） 5 已知 ，则 6 已知 ，则 7 若 ，则 的值为 黄金分割 如图，点 把线段 分成两条线段 和 ，若 ，则称线段 被 点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比 黄金分割 设 ， ，则 ， ， ， ， 计算 整理得， ， ， （舍）， 即 已知线段 ，求作线段 的黄金分割点 作图 过点 作 ，使得 ； 连接 ，在 上截取 ； 作法 在 上截取 点 就是所求的黄金分割点 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美
44、 感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例 画家们发现，按 来设计的比例，画出的画最优美，在达芬奇的作品维特鲁威人、蒙娜丽 莎、还有最后的晚餐中都运用了黄金分割 建筑师们对数字 特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲 尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹 8 如果线段 ，点 是线段 的黄金分割点，那么较长的线段 9 已知矩形 是黄金矩形（邻边之比等于黄金比），已知短边 长为 ，则长边 10 阅读下列材料： 如图 ，在线段 上找一点 （ ），若 ，则称点 为线段 的黄金分 割点，这时比值为 ，人们把 称为黄金分割数长期以来，很多人都认为黄 金分割数是一个
45、很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种 法应 用了黄金分割数 我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图 ，在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，过 点 作 ，且 ，连接 ；以 为圆心， 为半径作弧，交 于 ；再以 为圆 心， 为半径作弧，交 于点 ，则点 就是线段 的黄金分割点 根据材料回答下列问题： （1） 线段 长为 ，点 在数轴上表示的数为 （2） 在（ ）中计算线段 长的依据是 二、相似三角形判定 1. 相似三角形定义 如图，在 和 中 相似三角形 ， ， ， ， 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说 和 相似，相似比为 相似用符号“ ”表示，读作“相似
46、于” 和 相似记作“ ” 【补充】【补充】 ，与全等三角形一样，表示对应顶点的字母写在对应位置上 相似比带有顺序性， ，其相似比 ； 反过来 ， 全等三角形是相似比为 的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形 2. 相似三角形的判定 平行线分线段成比例的基本事实 【思考】：【思考】： 判定两个三角形全等时，除了可以验证它们的所有角和边相等外，还可以使用简便的判定方法 （ 、 、 、 、 中 ） 类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 【探究】：【探究】： 任意两条直线 、 被三条平行直线 、 、 所截 分别度量 、 、 在 上截得的两条线段 、 和在 上截得的两条线段
47、 、 的长度 与 相等吗？任意平移 ， 与 还相等吗？ 【结论】：【结论】： 可以发现，当 时，有 ， ， ， 等 【定理】：【定理】： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的 基本事实 ， ，可以说成“上比下等于上比下”， ，可以说成“下比上等于下比上”， ，可以说成“上比全等于上比全”， 可以说成“下比全等于下比全” 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况： 可以看成是平行于 的边 的直线 ， ， 【推论】：【推论】： 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 在 中， ， 和 有什么关系？ 过点 作
48、交 于 ， ， ， ， 四边形 是平行四边形 ， ， ， ， 由相似的定义可证明 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形 与原三角形相似 判定一 若 ，则 【总结】【总结】 “ ”字相似模型 “ ”字相似模型 平行出 相似 在平行四边形 中， 是 延长线上一点，连接 交 于点 ，交 于点 11 如图， ， 、 相交于点 ，点 、 分别是 、 的中点，若 ， ， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 12 如图， 是 的中位线， 、 分别是 、 的中点，若 ，则 13 如图所示，已知 ， ， ，则 的长为 14 已知： 中， 是 的平分线， 交 于 ， ，
49、，求 的长 由一个点出发有两个或多个“ ”字相似模型或“ ”字相似模型，通常把这样的组合图形称之为“线束”图 已知 图形 结论 三边成比例 三边成比例的两个三角形相似 判定二 15 如图，每个小正方形边长均为 ，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中 相似的是（ ） A. B. C. D. 16 如图，在边长为 的正方形网格中有两个三角形 和 ，试证这两个三角形相似 两边成比例且夹角相等 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定三 ， 17 已知：如图，正方形 的边长 ， ， 求证： 18 如图，已知在 中， 平分 交 于 ，点 在 延长线上，且 （1） 求证： （2） 求证： 19 如图，在 中， ， ， ，以 为边作 ， ， ，延长 至点 ，使 ，连接 求证： 20 如图所示，四边形 、 、 都是边长为 的正方形 （1） 求证： （2） 求证： 21 如图，点 是正方形 的对角线 上的一个动点（不与 ， 重合），作 交边 于点 ，联结 ， 交于点 求证： 两角分别相等 两角分别相等的两个三角形相似 判定四 ， 【补充】 判定两
