1、20252025聚焦新中考必备备考点透析 第二章方程（组）与不等式（组）2.1一次方程（组）数 学目录录1 1 知识概览主题构建紧贴课标考点过关2 2聚焦题型重难突破3 3四川中考真题精练4 43 3返回目录返回目录 知识概览主题构建 4 4返回目录返回目录 紧贴课标考点过关 考点1等式与方程1.等式的定义用“”表示相等关系的式子叫作等式.易错提示：“”本身具有“对称性”和“传递性”，即若AB，则BA；若AB，BC，则AC.5 5返回目录返回目录2.等式的性质文字描述数学语言性质1等式两边都 同一个数或式子，所得结果仍是等式若ab，则acbc性质2等式两边都乘或除以（除数不能是0）同一个数或式
2、子，所得结果仍是等式加或减加或减6 6返回目录返回目录3.方程（组）及其解（1）方程的定义：含有 的等式叫作方程.（2）方程的解：使方程左、右两边 的未知数的值叫作方程的解.只含有 未知数的方程的解，也叫作方程的根.（3）整式方程：方程的左、右两边都是整式的方程，叫作整式方程.未知数未知数相等相等一个一个7 7返回目录返回目录 1.一元一次方程的定义在一个方程中，只含有一个（一元），并且未知数的 是1（一次），这样的方程叫作一元一次方程.未知数未知数指数指数考点2一元一次方程及其解法8 8返回目录返回目录2.解一元一次方程的一般步骤变形具体操作去分母在方程两边都乘各分母的 （不含分母的项也要乘
3、）去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号（去括号时，注意括号内的项是否需要变号）移项把方程中含有 的项都移到方程的一边，移到另外一边（移项要变号）最小公倍数最小公倍数未知数未知数常数常数项项9 9返回目录返回目录合并同类项把方程化成axb（a0）的形式（注意合并时，系数相加，字母及其指数均不变）系数化为11010返回目录返回目录 1.二元一次方程（组）的相关概念（1）二元一次方程：含有 未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫作二元一次方程.（2）二元一次方程组：两个未知数相同的二元一次方程所组成的一组方程叫作二元一次方程组.两个两个1考点3二元一次方程（组）及其解法1111
4、返回目录返回目录（3）二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫作二元一次方程的一个解.二元一次方程的每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值.一般地，一个二元一次方程的解有无数个.（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的 解，叫作二元一次方程组的解.通常情况下，二元一次方程组有唯一解或无解.当两个二元一次方程同解时，方程组有无数个解.公共公共1212返回目录返回目录2.解二元一次方程组的方法和步骤代入消元法加减消元法（1）选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数（1）利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系
5、数化成相等或相反数的形式（2）将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（2）利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（3）解这个一元一次方程，求出未知数的值1313返回目录返回目录代入消元法加减消元法（4）将求得的未知数的值代入（1）中变形后的方程中，求出另一个未知数的值（4）将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值（5）用大括号“”联立两个未知数的值，就是方程组的解（6）最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否都满足左边右边）1414返回目录返回目录方法点拨：代入消元法和加减消元法的选用：
6、一般来讲，代入消元法适用于方程组中一个方程的某个未知数的系数为1或1的情况；加减消元法适用于两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系的情况.1515返回目录返回目录3.三元一次方程（组）的相关概念三元一次方程：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作三元一次方程.三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有3个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.4.解三元一次方程组的基本思路通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一
7、致的.1616返回目录返回目录 1.列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审：审题，弄清题意，明确已知量和未知量，找出相等关系.（2）设：设适当的未知数（要有单位）.（3）列：根据相等关系列出方程（组）.（4）解：解出所列的方程（组）.（5）答：检验所求得的解是否符合实际问题，并规范作答.考点4一次方程（组）的应用（高频考点）1717返回目录返回目录方法点拨：当直接设未知数不好列方程时，可以选择间接设未知数，具体要视情况而定.易错提示：（1）设未知数和写答案时都要带上单位.（2）写答案前，一定要先检验所得到的解是否符合实际问题.1818返回目录返回目录2.列一元一次方程解实际问题中等量关系的常见
8、类型类型重要等量关系数字问题10十位数字个位数字两位数定期储蓄利息本金利率期数本息和本金利息打折销售销售价标价折扣销售额销售价销量利润销售价进价利润进价利润率1919返回目录返回目录类型重要等量关系行程问题数量关系路程速度时间相向而遇甲走的路程乙走的路程全程同向追及同地不同时：s先行者s追及者同时不同地：s追及者s先行者两地距离水中航行顺水速度静水速度水流速度逆水速度静水速度水流速度2020返回目录返回目录类型重要等量关系工程问题工作总量工作时间工作效率购买、分配问题2121返回目录返回目录 聚焦题型重难突破 题型1一元一次方程的解法 （2024绵阳中考模拟）解方程：分析分析：先去分母、去括号
9、先去分母、去括号，然后移项、合并同类项然后移项、合并同类项，最后化未知数最后化未知数的系数为的系数为1.2222返回目录返回目录解答解答：去分母去分母，得得：3（25x）4（52x）6（13x）.去括号去括号，得得615x208x618x.移项移项，得得15x8x18x6620.合并同类项合并同类项，得得5x20.系数化为系数化为1，得得x4.解题技巧解题技巧：解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为合并同类项、系数化为1，针对方程的特点针对方程的特点，灵活应用灵活应用，各种步骤都是为各种步骤都是为使方程逐渐使方程逐渐向
10、向xa形式转化形式转化.2323返回目录返回目录 题型2二元一次方程组的解分析分析：（：（方法一方法一）由由x2y4可可得得x42y，代入第二个方程中代入第二个方程中，可得可得2（42y）y5，解解得得y1.将将y1代入第一个方程中代入第一个方程中，可可得得x214，解解得得x2.xy211.2424返回目录返回目录由由，得得xy1.答案答案：1解题技巧解题技巧：此题可以先解出二元一次方程组此题可以先解出二元一次方程组，再求代数式的值再求代数式的值；也也可以观察代数式的特点可以观察代数式的特点，由两方程相减直接得由两方程相减直接得到到xy的值的值，从而省略解从而省略解方程的步骤方程的步骤.25
11、25返回目录返回目录 题型3一元一次方程的应用 （2024吉林长春中考）九章算术是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3 400钱；每人出300钱，剩余100钱.问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题.分析分析：设合伙人数设合伙人数为为x人人，根据每人出根据每人出400钱钱，剩余剩余3 400钱钱；每人出每人出300钱钱，剩余剩余100钱钱，列方程求解是解题关键列方程求解是解题关键.2626返回目录返回目录解答解答：设合伙人数设合伙人数为为x人人.由题意由题意，得
12、得400 x3 400300 x100.解解得得x33.则则400 x3 4009 800.即合伙人数为即合伙人数为33人人，金价为金价为9 800钱钱.解题技巧解题技巧：本题考查了一元一次方程的应用本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等解题的关键是找准等量关系量关系，列出一元一次方程列出一元一次方程.2727返回目录返回目录 题型4二元一次方程组的应用 （2023湖北宜昌中考）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍.豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈30202
13、302828返回目录返回目录（1）求豆沙粽和肉粽的单价.（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，上表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）.根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价.2929返回目录返回目录分析分析：（：（1）设豆沙粽的单价设豆沙粽的单价为为x元元，则肉粽的单价为则肉粽的单价为2x元元，由购买由购买豆沙粽豆沙粽10个个，肉粽肉粽12个个，共付款共付款136元元，列出方程即可求解列出方程即可求解.（2）设豆沙设豆沙粽优惠后的单价粽优惠后的单价为为a元元，肉粽优惠后的单价肉粽优惠后的单价为为b元元，由题意列出方程组由题意列出方程组，即可求解即
14、可求解.解答解答：（：（1）设豆沙粽的单价设豆沙粽的单价为为x元元，则肉粽的单价为则肉粽的单价为2x元元.根据题意根据题意，得得10 x122x136.解解得得x4，2x8.即豆沙粽的单价为即豆沙粽的单价为4元元，肉粽的单价为肉粽的单价为8元元.3030返回目录返回目录解题技巧解题技巧：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用应用，解题的关键是找准等量关系解题的关键是找准等量关系，分别正确列出二元一次方程组和一分别正确列出二元一次方程组和一元一次方程元一次方程.3131返回目录返回目录 四川中考真题精练 解解：去分母去分母，得得3（x
15、3）2（x1）24.去括号去括号，得得3x92x224.移项、合并同类项移项、合并同类项，得得5x35.系数化为系数化为1，得得x7.3232返回目录返回目录解解：去分母去分母，得得6x3（x2）62（2x1）.去括号去括号，得得6x3x664x2.移项移项，得得6x3x4x662.合并同类项合并同类项，得得x2.系数化为系数化为1，得得x2.3333返回目录返回目录 A.0B.1C.2D.3B1题型2二元一次方程（组）的解及其解法3434返回目录返回目录13535返回目录返回目录3636返回目录返回目录3737返回目录返回目录3838返回目录返回目录 （一）根据实际问题列方程组9.（2022
16、南充中考）孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡有x只，可列方程为（D）A.4x2（94x）35B.4x2（35x）94C.2x4（94x）35D.2x4（35x）94D3939返回目录返回目录10.（2023成都中考）孙子算经是中国古代重要的数学著作，是算经十书之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（A）A4040返回目录返回目录11.（2024南充中
17、考）我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（A）A4141返回目录返回目录12.（2023遂宁中考）九章算术是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质
18、量忽略不计），问黄金、白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（D）D4242返回目录返回目录（二）列一次方程（组）解决实际问题13.（2023巴中中考）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（C）A.6B.8C.12D.16C4343返回目录返回目录14.（2024宜宾中考）元朝朱世杰所著的算学启蒙中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日
19、行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天.问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（D）A.5天B.10天C.15天D.20天D4444返回目录返回目录15.（2023自贡中考）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车的载客量.解解：设该客车的载客量设该客车的载客量为为x人人.根据题意根据题意，得得4x305x10.解解得得x40.即该客车的载客量为即该客车的载客量为40人人.4545返回目录返回目录16.（2022雅安中考）某商场购进A、B
20、两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元.（1）A、B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）4646返回目录返回目录（2）若该商场计划购进A、B两种商品共80件，其中A商品m件.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A、B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式.解解：（：（2）A商商品品m件件，B商品商品（80m）件件，w（150100）m（8060）（80m）30m1 600.4747返回目录返回目录17.（2022广元中考）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书
21、和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？4848返回目录返回目录（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本.按此优惠，社区至少要准备多少购书款？4949返回目录返回目录解解：（：（2）设购买科技类图设购买科技类图书书m本本，购买这两种图书的总金额购买这两种图书的总金额为为
22、w元元，则则购买文学类图书购买文学类图书（100m）本本.当当30m40时时，w38m26（100m）12m2 600.120，w随随m的增大而增大的增大而增大，2 960w3 080.当当40m50时时，w38（m40）m26（100m）（m26）23 276.10，当当m26时时，w随随m的增大而减小的增大而减小，2 700w3 080.当当50m60时时，w38（5040）m26（100m）2m2 600.20，w随随m的增大而增的增大而增大大，2 700w2 720.综上综上，当当30m60时时，w的最小值为的最小值为2 700.即即社区至少要准备社区至少要准备2 700元购书款元购书
23、款.5050返回目录返回目录18.为改善城市人居环境，成都市生活垃圾管理条例（以下简称条例）于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾.（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；解解：（：（1）设每设每个个B型点位每天处理生活垃型点位每天处理生活垃圾圾x吨吨，则每则每个个A型点位每天型点位每天处理生活垃圾处理生活垃圾（x7）吨吨.根据题意根据题意，得得12（x7）10 x920.解解得得x38.故每故每个个B型点位每天处理生活垃圾型点位每天处理生活垃圾
24、38吨吨.5151返回目录返回目录（2）由于条例的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？5252返回目录返回目录5353返回目录返回目录B5454返回目录返回目录核心素养应用意识20.（2022湖南娄底中考）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的
25、平均滞尘总量为62mg.（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量.解解：5555返回目录返回目录解解：（：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为为xmg，一片国槐树叶一一片国槐树叶一一片银杏树叶一年的平均滞尘量为一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞一片国槐树叶一年的平均滞尘量为尘量为22mg.5656返回目录返回目录（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？解解：（：（2）50000402000000（mg）2kg，即这三棵银杏树一年的即这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约平均滞尘总量约2kg.解解：（：（2）50000402000000（mg）2kg，即这三棵银杏树一年的即这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约平均滞尘总量约2kg.
