1、二轮大题专练二轮大题专练 4解三角形（解三角形（周长的最值周长的最值） 1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 3 B （1）若4a ，3c ，求sin A的值； （2）若ABC的面积为4 3，求ABC周长的最小值 2锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A，B，C 顺次成等差 数列 （1）若2a ，3c ，求b的大小； （2）若2 3b ，求ABC的周长的取值范围 3在ABC中，D在线段AB上，且 5AD ，3BD ，2CBCD （1）若 5 cos 5 CDB ，求ABC的面积； （2）求ABC周长的最大值 4已知函数 ( )4sin2 cos(2) 3
2、 f xxx （）求函数 ( )f x的单调递增区间； （）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若( )0 4 A f， 3a ，求 ABC 周长的取值范围 5在ABC中， ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，ABC为锐角三角形， 且满足条件 3 cossin 3 aBbAc （1）求A的大小； （2）若2a ，求ABC周长的取值范围 6已知在ABC中， 2 3sin()12sin 2 C AB （1）求角C的大小； （2）若BAC与ABC的内角平分线交于点，ABC的外接圆半径为 2，求ABI周长的 最大值 7在ABC中，D在线段AB上，且 5AD ，3BD ，2CBCD
3、 （1）若 5 cos 5 CDB ，求ABC的面积； （2）求ABC周长的最大值 二轮大题专练二轮大题专练 4解三角形（解三角形（周长的最值）答案周长的最值）答案 1.解：（1）由余弦定理可得 222 1 2cos16924313 2 bacacB ， 则13b ，由正弦定理可得 sinsin ab AB ，则 3 4 sin2 39 2 sin 1313 aB A b ， （2）因为ABC的面积为4 3， 所以 13 sin4 3 24 acBac，则16ac ， 由余弦定理可得 22222 2cosbacacBacac，则 2 16bac ，（当且仅当a c 时， 等号成立），即4b，
4、因为 2222 ()3bacacacac， 所以 22 ()3464acbacac， 所以8ac ，（当且仅当a c 时，等号成立）， 故12abc ，即ABC周长的最小值为 12 2.解：（1）由ABC且2B AC， 所以 3 B ， 由余弦定理得， 222 1 2cos492237 2 bacacB ， 故7b ， （2）由正弦定理得， 2 3 sinsin3 2 ac AC ， 故4sinaA，4sincC， 所以ABC的周长4sin4sin2 3abcAC， 2 4sin4sin()2 3 3 AA ， 4sin2sin2 3cos2 3AAA， 6sin2 3cos2 3AA， 31
5、 4 3(sincos )2 3 22 AA， 4 3sin()2 3 6 A ， ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 A A ， 解得， 62 A ， 则 2 363 A ， 3 sin() 1 26 A ， ABC的周长的取值范围(62 3，6 3 3.解：（1）设CDm，则 2CBm， 在BCD中，由余弦定理知， 2222 35 cos 225 CDBDBCm CDB CD BDm ， 解得5m ， 5CD，2 5CB ， 由余弦定理知， 222 92052 5 cos 252 3 2 5 BCBDCD CBD BC BD ， 2 5 sin1 5 CBDcosCBD， 故ABC
6、的面积 115 sin2 588 225 SBC ABCBD （2）由（1）知，CDm，2CBm， 2 3 cos 2 m CDB m ， CDACDB， 2 3 coscos 2 m CDACDB m ， 在ACD中，由余弦定理知， 2 22222 3 2cos252 54(10) 2 m ACADCDAD CDADCmmm m ， 2 2 10ACm ， 设ABC的周长为z，则 222 2 ( 10) 82(10) 82284 5 2 mm zABBCACmm ， 当且仅当 2 10mm ，即5m 时，等号成立， 故ABC的周长的最大值为84 5 4.解：（） 13 ( )4sin2 co
7、s(2)4sin2 ( cos2sin2 ) 322 f xxxxxx 2 2sin2 cos22 3sin 2sin43cos43xxxxx 2sin(4)3 3 x ， 令4 2 32 xk ，2 2 k ，kZ，则 5 224 k x ， 224 k ，kZ， 函数( )f x的单调递增区间为 5 224 k ， 224 k ，kZ （）由（）可知， ()2sin()30 43 A fA ， 3 sin() 32 A ， (0, )A ， ( 33 A ， 4 ) 3 ， 2 33 A ，即 3 A ， 2 3 BC 由正弦定理知， 2 sinsinsin abc ABC ， 2sinb
8、B ，2sincC， 231 2sin2sin2sin2sin()2sin2(cossin)3sin3cos2 3sin() 3226 bcBCBBBBBBBB ， 2 (0,) 3 B ，( 66 B ， 5 ) 6 ， 1 sin()( 62 B ，1， ( 3bc ，2 3， 5.解：（1）由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 3 cossin 3 aBbAc， 3 sincossinsinsin 3 ABBAC， 而sin sin()sincoscossinCABABAB ， 且sin0B ，tan3A， (0,) 2 A ， 3 A （2）由（1）知， 3 A ，
9、2 3 BC ， 2 sinsinsin sin 3 abc ABC ， 4 3 sin 3 bB ， 4 3 sin 3 cC， 4 34 32 2(sinsin)2sinsin() 333 abcBCBB 4 331 2(sincossin) 322 BBB 4 3 33 2( sincos ) 322 BB 31 24(sincos ) 22 BB 4sin()2 6 B ， ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 B B ，解得( 6 B ，) 2 ， ( 63 B ， 2 ) 3 ， 3 sin()( 62 B ，1， 故ABC周长的取值范围为(2 32，6 6.解：（1） 2
10、3sin()12sin 2 C AB ，且ABC， 3sin1 1cos2cosCCC ，即3sincos2CC， 2sin()2 6 C (0, )C ， ( 66 C ， 7 ) 6 ， 62 C ，即 3 C （2）ABC的外接圆半径为 2， 由正弦定理知， 224 sin sin 3 ABAB ACB ，2 3AB， 3 ACB ， 2 3 ABCBAC ， BAC与ABC的内角平分线交于点， 3 ABIBAI ， 2 3 AIB ， 设ABI，则 3 BAI ，且0 3 ， 在ABI中，由正弦定理得， 2 3 4 2 sinsin sin()sin 33 BIAIAB AIB ， 4
11、sin() 3 BI ，4sinAI， ABI的周长为 31 2 34sin()4sin2 34(cossin )4sin 322 2 32 3cos2sin4sin()2 3 3 ， 0 3 ， 2 333 ， 当 32 ，即 6 时， ABI的周长取得最大值，为42 3， 故ABI的周长的最大值为42 3 7.解：（1）设CDm，则 2CBm， 在BCD中，由余弦定理知， 2222 35 cos 225 CDBDBCm CDB CD BDm ， 解得5m ， 5CD，2 5CB ， 由余弦定理知， 222 92052 5 cos 252 3 2 5 BCBDCD CBD BC BD ， 2
12、 5 sin1 5 CBDcosCBD， 故ABC的面积 115 sin2 588 225 SBC ABCBD （2）由（1）知，CDm，2CBm， 2 3 cos 2 m CDB m ， CDACDB， 2 3 coscos 2 m CDACDB m ， 在ACD中，由余弦定理知， 2 22222 3 2cos252 54(10) 2 m ACADCDAD CDADCmmm m ， 2 2 10ACm ， 设ABC的周长为z，则 222 2 ( 10) 82(10) 82284 5 2 mm zABBCACmm ， 当且仅当 2 10mm ，即5m 时，等号成立， 故ABC的周长的最大值为84 5
