1、第 1 页 图 1 图 3 图 4 九年级数学下册知识点归纳九年级数学下册知识点归纳 第一章第一章 直角三角形边的关系直角三角形边的关系 一锐角三角函数一锐角三角函数 1.1.正切正切： 定义：在RtABC中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切 ，记作 tanA， 即 的邻边 的对边 A A A tan ; tanA 是一个完整的符号，它表示A 的正切，记号里习惯省去角的符号“”； tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A 的对边与邻边的比； tanA 不表示“tan”乘以“A”； 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A 是锐角的正切； tanA 的值越大，梯子越陡，A 越大；A
2、 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.2.正弦正弦 ： 定义：在RtABC中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即 斜边 的对边A A sin ; 3.3.余余弦弦： 定义：在RtABC中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即 斜边 的邻边A A cos ; 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 二特殊角的三角函数值二特殊角的三角函数值 三三角函数的计算三三角函数的计算 1.1. 仰角仰角: :当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角仰角 2.2. 俯角：俯角：当
3、从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角俯角 3.3.规律：规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在 090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或 减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。 4.4.坡度：坡度：如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比 )。用字母 i 表示，即A l h itan 5.5.方位角：方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角 。如图 3，OA、OB、OC 的方位角分别为 45、 135、225。 6.方向角：方向角：指北或指
4、南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方向角 。如图 4，OA、OB、OC、OD 的方向 角分别是；北偏东 30，南偏东 45(东南方向)、南偏西为 60，北偏西 60。 7.7.同角的三角函数间的关系同角的三角函数间的关系： 互余关系 sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A) 平方关系：商数关系： 30 45 60 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 图 2 h i=h:l l A B C 第 2 页 8.8.解直角三角形：解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除
5、直角外的已 知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边须知一条边） 。 9.9.直角三角形变焦关系：直角三角形变焦关系： 在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b2=c2； (2)两锐角的关系：AB=90； (3)边与角之间的关系： ;cot,tan,cos,sin a b A b a A c b A c a A ;cot,tan,cos,sin b a B a b B c a B c b B (4)面积公式: c chab 2 1 2 1 S (hc为 C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径 2 cba
6、 r (6)直角三角形的外接圆半径cR 2 1 10.10.三角函数的应用三角函数的应用 11.11.利用三角函数测高利用三角函数测高 第 3 页 第二章第二章 二次函数二次函数 1.1.概念：概念：一般地，若两个变量 x，y 之间对应关系可以表示成cbxaxy 2 (a、b、c 是常数,a0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数 。自变量 x 的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系， 列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围 。 2.2. 图像性质：图像性质： (1)(1)二次函数二次函数 y yaxax 2 2的图象： 的图象： 是一条顶点在原点
7、且关于 y 轴对称的抛物线抛物线 。)0( 2 aaxy是二次函数cbxaxy 2 的特例，此时常数 b=c=0. （2 2）抛物线的描述：）抛物线的描述：开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与 x 轴的交点。 函数的取值范围是全体实数； 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是 y 轴(或称直线 x0)。 当 a0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当 a0 时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 函数的增减性： A、当 a0 时 .,0 ;,0 增大而增大随时 增大而减小随时 xyx xyx B、当 a0 时 .,0 ;,0 增大而减小随时 增大而增
8、大随时 xyx xyx 当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。 最大值或最小值：当 a0，且 x0 时函数有最小值，最小值是 0；当 a0，且 x0 时函数有最大值，最大值是 0。 （3 3）二次函数）二次函数caxy 2 的图象：的图象：是一条顶点在 y 轴上且与 y 轴对称的抛物线，二次函数caxy 2 的图象中，a 的 符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 （4 4）二次函数）二次函数cbxaxy 2 的图象：的图象：是以直线 a b x 2 为对称轴，顶点坐标为（ a b 2 ， a bac 4 4 2
9、 ）的抛物线抛物线。（开 口方向和大小由 a 来决定） |a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴 y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越快； |a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴 y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越慢。 （5 5）二次函数）二次函数cbxaxy 2 的图象与的图象与 y yaxax 2 2的图象的关系： 的图象的关系： cbxaxy 2 的图象可以由的图象可以由 y yaxax 2 2的图象平移得到：（利用顶点坐标 的图象平移得到：（利用顶点坐标） （6 6）二次函数）二次函数khxay 2 )(的图象：的图象：是以直线 x=h 为对称轴，顶点坐标为
10、（h，k）的抛物线抛物线。（开口方向和大小 由 a 来决定） （7 7）二次函数）二次函数cbxaxy 2 的性质：的性质： 二次函数cbxaxy 2 配方成 a bac a b xay 4 4 ) 2 ( 2 2 则抛物线的 对称轴：x= a b 2 顶点坐标：（ a b 2 ， a bac 4 4 2 ） 增减性：若 a0，当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而增大。 第 4 页 若 a0，则当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而减小。 最值：若 a0，则当 x= a b 2 时， a bac y 4 4 2 最小 ；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点； acb4 2 =
11、0 抛物线与 x 轴有 1 个交点； acb4 2 0 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）； （3 3）当acb4 2 0 时， 设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、 B， 则这两个点之间的距离： 化简后即为：)04( | 4 | 2 2 acb a acb AB 这就是抛物线与 x 轴的两交点之间的距离公式。 第 5 页 第三章第三章 圆圆 1.1.圆的定义：圆的定义： 描述性定义：描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆 ；固 定的端点 O 叫做圆心 ；线段 OA 叫做半径 ；以点 O 为圆心的圆，记作O，读作
12、“圆 O” 集合性定义：集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ，定长叫做圆的半径 ，圆心定圆的位置， 半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆 。 对圆的定义的理解：对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面； 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 2.2.点与圆的位置关系及其数量特征：点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 3. 3. 圆
13、的对称性圆的对称性: : （1) 1) 与圆相关的概念：与圆相关的概念： 弦和直径弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 。 直径：经过圆心的弦叫做直径 。 弧、 半圆、 优弧、 劣弧弧、 半圆、 优弧、 劣弧： 弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ， 简称弧 ， 用符号 “” 表示， 以 CD 为端点的弧记为 “” ， 读作“圆弧 CD”或“弧 CD” 。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆 。优弧：大于半圆的弧叫做优弧 。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) 弓形：弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 。 同心圆：同心圆：圆心相同
14、，半径不等的两个圆叫做同心圆 。 等圆：等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 等弧：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 。 圆心角：圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 . 弦心距弦心距: :从圆心到弦的距离叫做弦心距 . （2 2）圆是轴对称图形）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各 组量都分别相等. 4.4.垂
15、径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：推论：平分一般弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 5.5.圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系: : （1 1）圆周角：）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. （2 2）圆周角定理）圆周角定理: :圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半. 推论推论 1: 1: 同弧或等弧所对
16、的圆周角相等。 推论推论 2 2:直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； （3）圆内接四边形：圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形. 圆内接四边圆内接四边形的性质形的性质: : 圆内接四边形的对角互补; 6 6 确定圆的条件确定圆的条件: : 第 6 页 （1 1） 理解确定一个圆必备两个条件） 理解确定一个圆必备两个条件: :圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过 两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. （2 2）经过三点作圆要分两种情况）经过三点作圆要分两种情况: : 经过同一直
17、线上的三点不能作圆. 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理定理: : 不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆. . （尺规作图）（尺规作图） 7.7.三角形的外接圆、三角形的外心。三角形的外接圆、三角形的外心。 (1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 8.8.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 (1)(1)相交相交: : 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线. (2)(2
18、)相切相切: : 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. (3)(3)相离相离: : 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. (4)(4)直线与圆的位置关系的数量特征直线与圆的位置关系的数量特征: : 设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交. d=r 直线 L 和O 相切. dr 直线 L 和O 相离. (5(5）切线的判定定理）切线的判定定理: : 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线. 切线的性质定理切线的性质定理: :圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
19、 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. 垂直于切线; 过切点; 过圆心. (6(6）三角形的内切圆、内心）三角形的内切圆、内心. . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形内心的性质三角形内心的性质: :三角形的内心到三边的距离相等. ( (三角形的内切圆作法尺规作图三角形的内切圆作法尺规作图) ) 9 9 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式切线长定理：过圆外一点
20、所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式. . 10.10.圆内接正多边形圆内接正多边形 (1)定义：定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆. (2)中心角、边心距：中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离. 11.11.弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积 (1) 弧长公式弧长公式: : 弧长 180 Rn l (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) (2)扇形定义扇形定义: :一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. (3) 扇形的面积公式扇形的面积公式: :扇形的面积 360 2 Rn S 扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 扇形的面积S扇形=LR2 12.12.与圆有关的辅助与圆有关的辅助线线 (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）圆心向弦作垂线） (2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）直径添线成直角） (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）切点圆心要相连）
