1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UR，集合0A，1，2，3，4，5，|3BxR x，则图中阴影 部分所表示的集合是( ) A0，1，2 B1，2 C0，1，2，3，4 D0，1，2，3 2 （5 分）全称量词命题“对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都是 2
2、 1 () 2 n ”的 否定为( ) A对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都不是 2 1 () 2 n B对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都大于 2 1 () 2 n C存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是 2 1 () 2 n D存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和是 2 1 () 2 n 3 （5 分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A( )f xx，( )10 xg xlg B 2 1 ( ) 1 x f x x ，( )1g xx C 2 ( )f xx， 2 ( )()g xx D( )1f x ， 0 ( )g xx 4 （5 分）已
3、知，(0,) 2 ， 3 cos 2 ， 1 cos() 3 ，则cos( ) A 3 6 B 2 23 6 C 32 2 6 D1 2 6 6 5 （5 分）已知0a ，0b ，0ab，则下列不等式中正确的是( ) A 22 ab B 2 aab Cabab D22ab 6 （5 分）已知2aln，2b ， 2 1 logc e ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 7 （5 分）已知函数( ) xx f xee，则不等式 2 (2)(1)0fxfx 成立的一个充分不必要 第 2 页（共 15 页） 条件为( ) A( 2,1) B(0,1) C 1 (,1) 2 D 1 (,
4、)(1,) 2 8 （5 分）已知 2 2 ( )log (3 )f xxaxa在2，)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A(,4) B( 4，4 C(, 4)2 ，) D 4，4) 9 （5 分）已知x，(0,)y，且1xy，若不等式 222 11 24 xyxymm恒成立，则 实数m的取值范围是( ) A 3 (,1) 2 B 3 ,1 2 C( 2,1) D(， 3) (1 2 ，) 10 （5 分） 已知函数 2 26 ( )(5) m f xmmx 是幂函数， 对任意 1 x， 2 (0,)x ， 且 12 xx， 满足 12 12 ( )() 0 f xf x xx ，若a，
5、bR，且0ab，则f（a）f（b）的值( ) A恒大于 0 B恒小于 0 C等于 0 D无法判断 11 （5 分）已知函数( )cos()(0f xx ，0)的图象关于点(,0) 8 对称，且其 相邻对称轴间的距离为 2 3 ， 将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后， 得到函数( )g x的 图象，则下列说法中正确的是( ) A( )f x的最小正周期 4 3 T B 5 8 C 317 ( )cos() 248 g xx D( )g x在0, 2 上的单调递减区间为, 8 2 12 （5 分）已知函数 2 |,0 ( ) |1|,0 log x x f x xx ，若 1234
6、1 ( )( )( )( )(f xf xf xf xx， 2 x， 3 x， 4 x 互不相等） ，则 1234 xxxx的取值范围是( )（注：函数 1 ( )h xx x 在(0，1上单调 第 3 页（共 15 页） 递减，在(1,)上单调递增） A 1 (,0) 2 B 1 ,0 2 C 1 0, ) 2 D 1 (0, 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）sin95cos185tan240 14 （5 分）已知函数 2 (0) ( ) 1 ( ) (0) 2 x log x x f x x ，若f（a
7、）4，则a 15 （5 分）已知在ABC中，cos()0AB， 2 sin 3 C ，则sin2C 16 （5 分）已知函数 1 ( )(1 |) 1 | f xlnx x ，若(log 3) a ff（1）(0a 且1)a ，则a的 取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（10 分） 设集合 1 |( ) , 20 2 x Ay yx 剟， |01Bxlnx剟， |12Cx txt ，tR （）求AB； （）若ACC，求t的取值范围 18 （12 分） （）化简： cos20 (tan203
8、) sin40 ； （）证明： 2 1tan(3)1sin2 1tan(3)12sin xx xx 19 （12 分）已知函数 1 ( )2f xx x ，(0,)x （）用函数单调性的定义证明：( )f x是增函数 （） 若 2 2 3 ( )( log) log g xfx x ， 则当x为何值时，( )g x取得最小值？并求出其最小值 20（12 分） 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案： 当年销售利润不超过 100 万元时， 按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过 100 万元时，若超出A万元，则奖励 2 log (1)A万元，没超出部分仍按5%进行奖励记奖金为y万元，年销售
9、利润为x万元 （）写出y关于x的函数解析式； （）如果业务员小张获得了 10 万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？ 21（12分） 已知函数( )2sin()(0f xx ，0)的最大值和最小正周期相同，( )f x 的图象过点(0, 3)，且在区间 1 0, 12 上为增函数 （）求函数( )f x的解析式； 第 4 页（共 15 页） （）若函数( )( )1g xf x在区间(0, )b上只有 4 个零点，求b的最大值 22 （12 分）已知函数( )(1) x f xmxln e （）若 1 2 m ，判断( )f x的奇偶性； （）若1m ，不等式( )1f x 的解集； （）
10、若1m ， 22( ) ( )6 xf xx g xee ，且存在 0 0 x ，1，使得 0 ()ng x成立，求实数n的 取值范围 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UR，集合0A，1，2，3，4，5，|3BxR x，则图中
11、阴影 部分所表示的集合是( ) A0，1，2 B1，2 C0，1，2，3，4 D0，1，2，3 【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为 U AB， 全集UR，集合0A，1，2，3，4，5， |3Bx x， |3 RB x x， 0 R AB，1，2， 故选：A 2 （5 分）全称量词命题“对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都是 2 1 () 2 n ”的 否定为( ) A对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都不是 2 1 () 2 n B对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都大于 2 1 () 2 n C存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是 2 1 ()
12、2 n D存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和是 2 1 () 2 n 【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则否定为：存在正奇数n，使得所有不大于n的 正奇数的和不是 2 1 () 2 n ， 故选：C 3 （5 分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A( )f xx，( )10 xg xlg B 2 1 ( ) 1 x f x x ，( )1g xx 第 6 页（共 15 页） C 2 ( )f xx， 2 ( )()g xx D( )1f x ， 0 ( )g xx 【解答】解：A( )f xx的定义域为R，( )g xx，定义域为R， 两个函数的定义域和对应法则相同，是
13、相等函数 B( )1(1)f xxx ，( )1g xx的定义域为R， 两个函数的定义域不相同，不是相等函数， C( ) |f xx，定义域为 |0 x x ，( )(0)g xx x， 两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数， D( )1(0)g xx，( )1f x 的定义域为R， 两个函数的定义域不相同，不是相等函数， 故选：A 4 （5 分）已知，(0,) 2 ， 3 cos 2 ， 1 cos() 3 ，则cos( ) A 3 6 B 2 23 6 C 32 2 6 D1 2 6 6 【解答】解：，(0,) 2 ， 3 cos 2 ， 1 cos() 3 ， 2 1 sin
14、1sin 2 ， 2 2 2 sin()1cos () 3 ， 则 1312 232 2 coscos()cos()cossin()sin 32236 ， 故选：C 5 （5 分）已知0a ，0b ，0ab，则下列不等式中正确的是( ) A 22 ab B 2 aab Cabab D22ab 【解答】解：由0a ，0b ，0ab，可得| |ab， 所以 22 ab，故A错误； 2 ()0aaba ab，故 2 aab ，故B正确； |abab ，|abab ，所以abab，故C错误； 由0ab，可得ba ，所以22ba ，故D错误 故选：B 6 （5 分）已知2aln，2b ， 2 1 log
15、c e ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 【解答】解：021lnlne，01a， 第 7 页（共 15 页） 22 1 loglog0ce e ， bac， 故选：D 7 （5 分）已知函数( ) xx f xee，则不等式 2 (2)(1)0fxfx 成立的一个充分不必要 条件为( ) A( 2,1) B(0,1) C 1 (,1) 2 D 1 (,)(1,) 2 【解答】解：因为函数( ) xx f xee，则()( )fxf x ， 所以函数( )f x为奇函数， 又( )0 xx fxee恒成立，故( )f x在R上单调递增， 故 2 (2)(1)0fxfx ，可变形
16、为 2 (2)(1)fxf x， 所以 2 21xx， 解得 1 1 2 x， 所以不等式 2 (2)(1)0fxfx 成立的一个充分不必要条件为可以为(0,1)x 故选：B 8 （5 分）已知 2 2 ( )log (3 )f xxaxa在2，)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A(,4) B( 4，4 C(, 4)2 ，) D 4，4) 【解答】解：函数 2 2 ( )log (3 )f xxaxa在2，)上是增函数， 2 3yxaxa在2，)上是增函数且大于零， 2 2 2 2230 a aa ， 解得44a ， 实数a的取值范围是( 4，4 故选：B 第 8 页（共 15 页）
17、9 （5 分）已知x，(0,)y，且1xy，若不等式 222 11 24 xyxymm恒成立，则 实数m的取值范围是( ) A 3 (,1) 2 B 3 ,1 2 C( 2,1) D(， 3) (1 2 ，) 【解答】解：因为1xy，所以 222 ()1xyxyxyxyxy ， 而x，(0,)y，且1xy，则2xyxy ， 所以 2 1 () 24 xy xy ，则 222 3 ()1 4 xyxyxyxyxy ， 要使不等式 222 11 24 xyxymm恒成立，只需 2 311 424 mm即可， 即 2 13 0 22 mm， 3 ()(1)0 2 mm，解得： 3 1 2 m 故选：
18、A 10 （5 分） 已知函数 2 26 ( )(5) m f xmmx 是幂函数， 对任意 1 x， 2 (0,)x ， 且 12 xx， 满足 12 12 ( )() 0 f xf x xx ，若a，bR，且0ab，则f（a）f（b）的值( ) A恒大于 0 B恒小于 0 C等于 0 D无法判断 【解答】解：由题意得： 2 51mm，解得：3m 或2m ， 若对任意 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx，满足 12 12 ( )() 0 f xf x xx ， 则( )f x在(0,)单调递增， 3m 时， 3 ( )f xx，符合题意，2m 时， 2 1 ( )f x x ，不合题
19、意， 故 3 ( )f xx，由于a，bR，且0ab， 所以ab ，由于函数为单调递增函数和奇函数，故f（a）()fb， 所以f（a）f （b） ， 所以f（a）f（b）0， 即f（a）f（b）的值恒大于 0， 故选：A 11 （5 分）已知函数( )cos()(0f xx ，0)的图象关于点(,0) 8 对称，且其 第 9 页（共 15 页） 相邻对称轴间的距离为 2 3 ， 将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后， 得到函数( )g x的 图象，则下列说法中正确的是( ) A( )f x的最小正周期 4 3 T B 5 8 C 317 ( )cos() 248 g xx D(
20、)g x在0, 2 上的单调递减区间为, 8 2 【解答】解：函数( )cos()(0f xx ，0)的图象关于点(,0) 8 对称， 且其相邻对称轴间的距离为 2 3 ， 1 22 23 ，且 82 k，Zk， 3 2 ， 11 16 ，函数 311 ( )cos() 216 f xx 将函数 311 ( )cos() 216 f xx 的图象向左平移 3 个单位长度后， 得到函数 31133 ( )cos()cos() 2216216 g xxx 的图象 显然，( )f x的最小正周期为 24 3 3 2 ，故A正确； 显然，B、C错误； 令 33 22 216 x k 剟k，求得 441
21、9 38324 x k剟k，Zk， 可得( )f x的减区间为 4 3 8 k， 419 324 k，Zk 结合0 x， 2 ，可得函数的减区间为0， 2 ，故D错误， 故选：A 12 （5 分）已知函数 2 |,0 ( ) |1|,0 log x x f x xx ，若 12341 ( )( )( )( )(f xf xf xf xx， 2 x， 3 x， 4 x 互不相等） ，则 1234 xxxx的取值范围是( )（注：函数 1 ( )h xx x 在(0，1上单调 递减，在(1,)上单调递增） A 1 (,0) 2 B 1 ,0 2 C 1 0, ) 2 D 1 (0, 2 第 10
22、页（共 15 页） 【解答】解：作出函数 2 |,0 ( ) |1|,0 log x x f x xx 的图象， 如图， 1 2 x 或 2 时，( )1f x ， 令 1234 ()()()()tf xf xf xf x， 设 1234 xxxx，则有 12 2xx ， 34 1xx，且 3 1 1 2 x ， 故 1234343 3 1 22xxxxxxx x ， 因为函数 1 ( )h xx x 在(0，1上单调递减，在(1,)上单调递增， 故 3 3 1 x x 的最小值趋近于 1 12 1 ，最大值等于 115 1 22 2 1234 xxxx的取值范围是(0， 1 2 ， 故选：D
23、 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）sin95cos185tan240 3 【解答】解：sin95cos185tan240 sin95cos(9095 )tan(18060 ) sin95sin95tan60 3 故答案为：3 14 （5 分）已知函数 2 (0) ( ) 1 ( ) (0) 2 x log x x f x x ，若f（a）4，则a 2或 16 【解答】解：当0a 时，f（a） 2 log4a，解得16a ； 第 11 页（共 15 页） 当0a时， 1 ( )( )4 2 a f a ，解得2a
24、 ， 所以2a 或16a 故答案为：2或 16 15 （5 分）已知在ABC中，cos()0AB， 2 sin 3 C ，则sin2C 2 14 9 【解答】解：在ABC中，cos()cos()cos0ABCC ， 可得cos0C ，可得C为钝角， 又 2 sin 3 C ，可得 2 7 cos1 3 Csin C ， 则 272 14 sin22sincos2() 339 CCC 故答案为： 2 14 9 16 （5 分）已知函数 1 ( )(1 |) 1 | f xlnx x ，若(log 3) a ff（1）(0a 且1)a ，则a的 取值范围为 1 ,1)(1,3 3 【解答】解：因为
25、函数 11 ()(1 |)(1 |)( ) 1 |1 | fxlnxlnxf x xx ， 所以( )f x为偶函数，则只需考虑0 x 时( )f x的单调性 因为(1)yln x和 1 1 y x 在(0,)都是递增函数， 所以( )f x在(0,)上单调递增，在(,0)上单调递减， 若(log 3) a ff（1） ，则|log 3| 1 a ，所以 3 1 31 a a log log ， 解得 1 1 13 3 aa或剟， 所以a的取值范围为 1 ,1)(1,3 3 故答案为： 1 ,1)(1,3 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解
26、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（10 分） 设集合 1 |( ) , 20 2 x Ay yx 剟， |01Bxlnx剟， |12Cx txt ，tR （）求AB； （）若ACC，求t的取值范围 第 12 页（共 15 页） 【解答】解：（）集合 1 |( ) , 20 |14 2 x Ay yxyy 剟剟， |01 |1Bxlnxxx e剟剟， |1ABxx e剟； （）集合 |14Ayy剟， |12Cx txt ，tR，ACC， CA， 当C 时，1 2tt ，解得1t， 当C 时， 12 1 1 24 tt t t ，解得12t 综上，t的取值范围是(，2 18 （12 分
27、） （）化简： cos20 (tan203) sin40 ； （）证明： 2 1tan(3)1sin2 1tan(3)12sin xx xx 【解答】解：（）原式 sin20cos20sin203cos20cos202sin(2060 )2sin40 (3)2 cos20sin40cos20sin40sin40sin40 （）左边 sin 1 1tan()1tancossin cos sin 1tan()1tancossin 1 cos x xxxx x x xxxx x ， 右边 222 22 (cossin )(sincos )(cossin )cossin cos2(cossin )(c
28、ossin )cossin xxxxxxxx xcos xsin xxxxxxx ， 则左边右边，即等式成立 19 （12 分）已知函数 1 ( )2f xx x ，(0,)x （）用函数单调性的定义证明：( )f x是增函数 （） 若 2 2 3 ( )( log) log g xfx x ， 则当x为何值时，( )g x取得最小值？并求出其最小值 【解答】 （）证明：在区间(0,)内任取 1 x， 2 x，且 12 xx， 则 1212 12 11 ( )()(2)(2)f xf xxx xx 12 12 12 2() xx xx x x 12 12 1 ()(2)xx x x ， 第 1
29、3 页（共 15 页） 因为 12 0 xx，所以 12 0 xx， 12 0 x x ， 所以 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x， 所以( )f x在区间(0,)上是增函数； （）解：函数 2 2 3 ( )( log) log g xfx x ， 因为( )f x的定义域是(0,)， 则有 2 log0 x，解得01x， 22 222 131 ( )2()2()g xlog xlog x log xlog xlog x ， 令 2 logtx，因为01x，则0t ， 当0t 时， 11 2() 4 ()4ytt tt ， 当且仅当 1 t t ，即1t 时取等号
30、， 即 2 log1x ，此时 1 2 x 时，函数取得最小值 4 20（12 分） 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案： 当年销售利润不超过 100 万元时， 按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过 100 万元时，若超出A万元，则奖励 2 log (1)A万元，没超出部分仍按5%进行奖励记奖金为y万元，年销售利润为x万元 （）写出y关于x的函数解析式； （）如果业务员小张获得了 10 万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？ 【解答】解： （1）由题意可知，当销售利润100 x万元时，5%0.05yxx， 当销售利润100 x 万元时， 2 1000.05log (100)1y
31、x， 所以y关于x的函数关系式为 2 0.05 ,100 5(99),100 x x y logxx ， （2）因为小张的奖金为 10 万元，设其销售的利润为x万元， 当100 x时，100.05x，解得200100 x ，所以不符题意， 当100 x 时，则 2 105log (99)x，解得131x ， 故小张的年销售利润为 131 万元 21（12分） 已知函数( )2sin()(0f xx ，0)的最大值和最小正周期相同，( )f x 的图象过点(0, 3)，且在区间 1 0, 12 上为增函数 （）求函数( )f x的解析式； 第 14 页（共 15 页） （）若函数( )( )1g
32、 xf x在区间(0, )b上只有 4 个零点，求b的最大值 【解答】解： （）由函数( )2sin()(0f xx ，0)的最大值和最小正周期相 同， 可得 2 2T ，解得 ( )f x的图象过点(0, 3)， 得32sin， 3 sin 2 ， 由0，可知 3 或 2 3 ， 当 2 3 时， 2 ( )2sin() 3 f xx ， 当 1 0, 12 x时， 223 , 334 x ， 此时( )f x单调递减，不符合题意， 于是( )2sin() 3 f xx ； (（）令( )( )10g xf x ，即 1 sin() 32 x ， 函数sin() 3 yx 与 1 2 y 在
33、每个周期中都有两个交点， 当 7 4 36 x ，即 29 6 x 时，刚好有 5 个交点， 所以函数( )g x在区间(0, )b上只有 4 个零点时，b的最大值为 29 6 22 （12 分）已知函数( )(1) x f xmxln e （）若 1 2 m ，判断( )f x的奇偶性； （）若1m ，不等式( )1f x 的解集； （）若1m ， 22( ) ( )6 xf xx g xee ，且存在 0 0 x ，1，使得 0 ()ng x成立，求实数n的 取值范围 【解答】解： （1）若 1 2 m ，则 1 ( )(1) 2 x f xxln e，其定义域为R， 111 ()(1)
34、22 x x x e fxxln exln e 11 (1)(1)( ) 22 xx xln exxln ef x ， ( )f x为偶函数； 第 15 页（共 15 页） （2）若1m ，则不等式( )1f x 可化为(1)1 x xln e ， 即 1 1 1 x x e lnln ee ， 1 1 x x e ee ， 1 1 xx ee ，(1)1 x e e， 1 1 x e e ， 1 1 xln e ， 不等式( )1f x 的解集为 1 (,) 1 ln e ； （3）若1m ，则 22( ) ( )6 xf xx g xee 2 22(1)(1) 66 xx xx ln exln ex eeee 22 (1)641 xxxx eeee， 令 x te，0 x，1，则1 x te， e， 此时 22 ( )4141 xx g xeett ，记 2 ( )41h ttt，1t， e， 2 ( )41h ttt开口向上，对称轴为2t ， 2 ( )(2)2813 min h th ； 即 2 ( )41 xx g xee在0 x，1的最小值为( )3 min g x ， 存在 0 0 x ，1，使得 0 ()ng x成立， 只需 0 ()3 min ng x ， 即实数n的取值范围为( 3,)
