1、第 1 页（共 12 页） 2020-2021 学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 | 22Axx， 2B ，1，0，1，2，则(AB ) A 2，1，0 B 2，1，0，1 C 2，1，0，1，2 D | 22xx 2 （4 分）若ab，0c ，则下列不等式成立的是( ) A 22 acbc B ab cc Cacbc Dabc 3 （4 分）
2、已知命题:0px ，cos1x，则命题p的否定为( ) A0 x ，cos1x B0 x ，cos1x C0 x ，cos1x D0 x ，cos1x 4 （4 分）下列函数是奇函数的是( ) A( )2xf x B 2 ( )logf xx C 2 ( )f xx D 3 ( )f xx 5 （4 分）已知 3 sin 5 ， 2 ，则tan的值为( ) A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 6 （4 分）设xR，则“1x ”是“ 1 2x x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （4 分）函数( )2sin() 6 f xx
3、 在区间, 3 2 上的最大值为( ) A2 B1 C3 D2 8 （4 分）已知函数 2 2 ,0 ( ) 1 1,0 xx x f x x x ，则( )f x的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 9 （4 分）已知指数函数 x ya是减函数，若 2 ma，2an ，log 2 a p ，则m，n，p的 大小关系是( ) Amnp Bnmp Cnpm Dpnm 第 2 页（共 12 页） 10 （4 分）已知函数 1( ) 2xf x ， 2( ) 21fxx， 1( ) log(1) a g xx a， 2( ) (0)gxxkk，则 下列结论正确的是( ) A函数 1( ) f
4、x和 2( ) fx的图象有且只有一个公共点 B 0 xR，当 0 xx时，恒有 12 ( )( )g xgx C当2a 时， 0 (0,)x， 1010 ()()f xg x D当 1 a k 时，方程 12 ( )( )g xgx有解 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分） 5 tan 4 12 （4 分）函数 0.5 ( )log(32)f xx的定义域为 13 （4 分） 1 1 3 2 3 2log 8(27) 14 （4 分）若函数( )sin(2)() 22 f xx 的一个零点为 6 x ，则 15 （4 分）一种
5、药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人 就有危险现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例 衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为ymg （1）y关于x的函数解析式为 ； （2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过 小时 （精确到0.1) （参考数据： 0.3 0.20.6170， 2.3 0.80.5986， 7.2 0.80.2006， 7.3 0.80.1916) 16 （4 分）函数( )f x的定义域为 1，1)，其图象如图所示函数( )g x是定义域为R的偶 函数，满足(2)( )g xg x，且当
6、1x ，0时，( )( )g xf x给出下列三个结论： 1 (1) 2 g； 不等式( )0g x 的解集为R； 函数( )g x的单调递增区间为2k，21k，Zk 其中所有正确结论的序号是 第 3 页（共 12 页） 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 36 分分. 17 （9 分）记不等式0()axaR的解集为A，不等式 2 230 xx的解集为B （）当1a 时，求AB； （）若 R AB ，求实数a的取值范围 18 （9 分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，其终边与单位圆O的交点为 3 1 (, ) 22 （）求sin，sin() 2 的值； （）若(0,) 2
7、 ，求函数( )sin( sin)f xx的最小正周期和单调递增区间 19 （9 分）已知函数( )2xf xab的图象过原点，且f（1）1 （）求实数a，b的值； （）若xR ，( )f xm，请写出m的最大值； （）判断并证明函数 1 ( ) y f x 在区间(0,)上的单调性 20 （9 分）设函数( )f x的定义域为I，如果存在区间m，nI，使得( )f x在区间m，n 上是单调函数且值域为m，n，那么称( )f x在区间m，n上具有性质P （）分别判断函数( )cosf xx和 3 ( )g xx在区间 1，1上是否具有性质P； （不需要解 答过程） （）若函数( )h xxa在
8、区间m，n上具有性质P， （）求实数a的取值范围； （）求nm的最大值 第 4 页（共 12 页） 2020-2021 学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 | 22Axx， 2B ，1，0，1，2，则(AB ) A 2，1，0 B 2，1，0，1 C 2，1，0，1，2 D | 22xx 【解答】解： | 2
9、2Axx， 2B ，1，0，1，2， 2AB ，1，0，1 故选：B 2 （4 分）若ab，0c ，则下列不等式成立的是( ) A 22 acbc B ab cc Cacbc Dabc 【解答】解：ab，0c ， 22 acbc， a c 与 b c 大小关系不确定，acbc，a与bc的大小关系不确定 则下列不等式成立的是A 故选：A 3 （4 分）已知命题:0px ，cos1x，则命题p的否定为( ) A0 x ，cos1x B0 x ，cos1x C0 x ，cos1x D0 x ，cos1x 【解答】 解：命题:0px ，cos1x， 则命题p的否定为0 x ，cos1x ； 故选：A
10、4 （4 分）下列函数是奇函数的是( ) A( )2xf x B 2 ( )logf xx C 2 ( )f xx D 3 ( )f xx 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，( )2xf x ，是指数函数，不是奇函数，不符合题意， 对于B， 2 ( )logf xx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意， 对于C， 2 ( )f xx，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意， 对于D， 3 ( )f xx，是奇函数，符合题意， 第 5 页（共 12 页） 故选：D 5 （4 分）已知 3 sin 5 ， 2 ，则tan的值为( ) A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3
11、 【解答】解： 3 sin 5 ， 2 ， 2 4 cos1 5 sin ， 则 sin3 tan cos4 故选：B 6 （4 分）设xR，则“1x ”是“ 1 2x x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 1 20 xx x ， 由1x ，可推出0 x ，故“1x ”是“ 1 2x x ”的充分条件， 由0 x ，不能够推出1x ，故“1x ”是“ 1 2x x ”的不必要条件， 故“1x ”是“ 1 2x x ”的充分不必要条件 故选：A 7 （4 分）函数( )2sin() 6 f xx 在区间, 3 2 上的最大值为(
12、 ) A2 B1 C3 D2 【解答】解：由于, 3 2 x ， 所以, 66 3 x ， 则： 13 sin() , 622 x ， 故( )1, 3f x 所以当 2 x 时，函数的最大值为3 故选：C 第 6 页（共 12 页） 8 （4 分）已知函数 2 2 ,0 ( ) 1 1,0 xx x f x x x ，则( )f x的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：因为 2 2 ,0 ( ) 1 1,0 xx x f x x x ， 所以当0 x时，由 2 20 xx，可得0 x ， 当0 x 时，由 1 10 x ，解得1x ， 所以( )f x的零点个数为 2 故选
13、：C 9 （4 分）已知指数函数 x ya是减函数，若 2 ma，2an ，log 2 a p ，则m，n，p的 大小关系是( ) Amnp Bnmp Cnpm Dpnm 【解答】解：指数函数 x ya是减函数，01a， 20 01aa ，01m， 0 221 a ，1n， log 2log 10 aa ，0p， nmp， 故选：B 10 （4 分）已知函数 1( ) 2xf x ， 2( ) 21fxx， 1( ) log(1) a g xx a， 2( ) (0)gxxkk，则 下列结论正确的是( ) A函数 1( ) f x和 2( ) fx的图象有且只有一个公共点 B 0 xR，当 0
14、 xx时，恒有 12 ( )( )g xgx C当2a 时， 0 (0,)x， 1010 ()()f xg x D当 1 a k 时，方程 12 ( )( )g xgx有解 【解答】解：选项 1 :( )2xAf x ， 2( ) 21fxx， 1(0) 1f， 2(0) 1f， 1 f（2） 2 4f（2）5， 1 f（3） 2 8f（3）7， 第 7 页（共 12 页） 则函数 1( ) f x和 2( ) fx的图象有一个交点(0,1)，还有一个交点横坐标在(2,3)上，故选项A不 正确； 选项B：当2a ，1k时， 122 ( )log( )g xxgxx恒成立， 故不 0 xR，当
15、0 xx时，恒有 12 ( )( )g xgx，故选项B不正确； 选项C： 当2a 时， 1( ) f x与 1( ) g x的图象关于yx对称， 1( ) f x的图象恒在直线yx上方， 1( ) g x的图象恒在直线yx下方， 故不存在 0 (0,)x ， 1010 ()()f xg x， 故选项C不正确； 选项 11 :( )D g xlog xlog x k k ， 1 1a k ，所以01k， 1 g（1） 2 0g（1） k， 1 g（2） 2 log 2g k （2）2 k，所以存在(1,2)上的数使得 方程 12 ( )( )g xgx有解，故选项D正确 故选：D 二、填空题共
16、二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分） 5 tan 4 1 【解答】解： 5 tantan1 44 ， 故答案为：1 12 （4 分）函数 0.5 ( )log(32)f xx的定义域为 2 ( 3 ，) 【解答】解：由题意得：320 x ，解得： 2 3 x ， 故函数的定义域是 2 ( 3 ，)， 故答案为： 2 ( 3 ，) 13 （4 分） 1 1 3 2 3 2log 8(27) 3 2 【解答】解：原式 1 33 3 2 1 32(3 ) 2 log 3 33 2 3 2 故答案为： 3 2 14 （4 分）若函数( )sin(2
17、)() 22 f xx 的一个零点为 6 x ，则 3 【 解 答 】 解 ： 因 为 函 数( )sin(2)() 22 f xx 的 一 个 零 点 为 6 x ， 所 以 第 8 页（共 12 页） sin(2)0 6 ，可得 3 k，Zk， 又因为 22 ，所以 3 ， 故答案为： 3 15 （4 分）一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人 就有危险现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例 衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为ymg （1）y关于x的函数解析式为 25000.8xy ，0 x，) ； （2
18、）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过 小时 （精确到0.1) （参考数据： 0.3 0.20.6170， 2.3 0.80.5986， 7.2 0.80.2006， 7.3 0.80.1916) 【解答】解： （1）由题意可知，药在血液中以每小时20%的比例衰减， 所以给病人注射了这种药2500mg，经过x小时后，药物在病人血液中的量为 2500(120%)25000.8 xx y ， 所以y关于x的函数解析式为25000.80 x yx，) （2）因为药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有 危险， 所以令25000.8500 x ，得0.80
19、.2 x ， 7.2 0.80.2006， 7.3 0.80.1916， 7.2x ， 故要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过 7.2 小时 故答案为：25000.80 x yx，)；7.2 16 （4 分）函数( )f x的定义域为 1，1)，其图象如图所示函数( )g x是定义域为R的偶 函数，满足(2)( )g xg x，且当 1x ，0时，( )( )g xf x给出下列三个结论： 1 (1) 2 g； 不等式( )0g x 的解集为R； 函数( )g x的单调递增区间为2k，21k，Zk 其中所有正确结论的序号是 第 9 页（共 12 页） 【解答】解：因为 1x ，0时，(
20、 )( )g xf x， 所以 1 ( 1)( 1) 2 gf， 因为( )g x是定义域为R的偶函数， 所以g（1） 1 ( 1) 2 g，故选项正确； 由题意可知，(0)0g，故选项不正确； 因为( )g x在 1，0单调递减， 所以( )g x在0，1单调递增， 因为(2)( )g xg x， 所以( )g x是以2T 为周期的周期函数， 所以2k，21k上( )g x单调递增， 故选项正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 36 分分. 17 （9 分）记不等式0()axaR的解集为A，不等式 2 230 xx的解集为B （）当1a 时，求AB； （）若 R
21、AB ，求实数a的取值范围 【解答】解： （）由0ax 得，x a， |Ax x a， 由 2 230 xx得，1x 或3x ， |1Bx x ，或3x ， 当1a 时， |1Ax x， |1ABx x，或1x ； （）由（）知， |Ax x a， | 13 RB xx 剟， R AB ， 3a ， 第 10 页（共 12 页） 实数a的取值范围是(，3 18 （9 分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，其终边与单位圆O的交点为 3 1 (, ) 22 （）求sin，sin() 2 的值； （）若(0,) 2 ，求函数( )sin( sin)f xx的最小正周期和单调递增区间 【解答】
22、解： （）依题意知 1 sin 2 ， 3 cos 2 所以 3 sin()cos 22 （4 分） （）由（）知， 1 sin 2 ， 因为(0,) 2 ，所以 6 ， 所以 1 ( )sin() 26 f xx ， 令 1 26 zx ，由xR得，zR，且sinyz的最小正周期为2， 即sin(2 )sinzz，于是 11 sin(2 )sin() 2626 xx ， 所以 11 sin( (4 )sin() 2626 xx ， 由周期函数的定义可知，函数( )f x的最小正周期为4 （在求周期时，直接用公式 2 | T 获得答案的，同样给分） 由 1 22, 2262 xZ k 剟kk得
23、， 24 44, 33 xZ k 剟kk， 所以函数( )f x的单调递增区间是 24 4,4, 33 Z kkk（9 分） 19 （9 分）已知函数( )2xf xab的图象过原点，且f（1）1 （）求实数a，b的值； （）若xR ，( )f xm，请写出m的最大值； （）判断并证明函数 1 ( ) y f x 在区间(0,)上的单调性 【解答】解： （）因为( )2xf xab的图象过原点，且f（1）1， 第 11 页（共 12 页） 所以 0 21 ab ab ， 解得 1 1 a b （） 因为1a ，1b ， 所以( )21 x f x 是单调递增函数， 对xR ，( )1f x ，
24、 所以1m， 故m的最大值为1 （）由（）知，( )21 x f x ， 所以 11 ( )21 x y f x ， 所以 1 ( ) y f x 在区间(0,)上是单调递减函数，证明如下： 令 1 ( ) 21 x g x ， 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx， 则 2121 121212 12 11(21)(21)22 ( )() 2121(21)(21)(21)(21) xxxx xxxxxx g xg x ， 因为 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx， 所以 1212 22 ,21,21 xxxx ， 所以 21 12 22 0 (21)(21) xx xx ，即 1
25、2 ( )()g xg x， 所以 1 ( ) 21 x g x 在区间(0,)上是单调递减函数， 即 1 ( ) y f x 在区间(0,)上是单调递减函数 20 （9 分）设函数( )f x的定义域为I，如果存在区间m，nI，使得( )f x在区间m，n 上是单调函数且值域为m，n，那么称( )f x在区间m，n上具有性质P （）分别判断函数( )cosf xx和 3 ( )g xx在区间 1，1上是否具有性质P； （不需要解 答过程） （）若函数( )h xxa在区间m，n上具有性质P， （）求实数a的取值范围； （）求nm的最大值 【解答】解： （）函数( )cosf xx在区间 1，
26、1上不具有性质P， 3 ( )g xx在区间 1， 第 12 页（共 12 页） 1上具有性质P （）( ) i方法 1：因为函数( )h xxa在区间m，n上具有性质P， 则( )h xx在0，)有两个不相等的实数根m，(0)n m， 即xax在0，)有两个不相等的实数根 设(0)xt t，即 2 0tta 在0，)有两个不相等的实数根 所以 0 0a ，即 140 0 a a 解得 1 0 4 a 所以，实数a的取值范围 1 (,0 4 方法 2：因为函数( )h xxa在0，)单调递增， 函数( )h xxa在区间m，n上具有性质P， 则( )h xx在0，)有两个不相等的实数根m，(0)n m， 即xax在0，)有两个不相等的实数根 设(0)xt t，即 2 att在0，)有两个不相等的实数根 所以，实数a的取值范围 1 (,0 4 ( )ii因为 2 ()414nmnmmna， 又 1 0 4 a ，所以当0a 时，nm取最大值 1
