1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 |1Ax x ， |2Bx x，则()( R AB ) A |1x x B |1x x C |1x x D | 12xx 2 （5 分）函数 1 ( )(1) 2 f xln x x 的定义域为( ) A(0，2)(2，) B0，2)(2，
2、) C(1，2)(2， ) D1，2)(2，) 3 （5 分）已知 0.3 0.3a ， 0.3 3b ， 3 log 0.3c ，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcab 4 （5 分）下列说法中错误的是( ) A空间中， “一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线” B空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直 线与平面平行 C空间中，两个平面之间的位置关系有且只有三种：两个平面平行、两个平面相交和两 个平面垂直 D空间中两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线和异面直线 5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是 4
3、3 ，则(a ) A 2 33 B1 C2 D2 6 （5 分）若直线20 xy与圆 22 ()2xmy有公共点，则实数m的取值范围是( ) 第 2 页（共 19 页） A 3，1 B 1，3 C 4，0 D0，4 7 （5 分）已知 3 log 21a，则2( a ) A 1 3 B1 C2 D3 8 （5 分）阿波罗尼乌斯(Apollonius，约前262 约前190)是古希腊时期的数学家、天文学 家师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越 常人的智慧写出了经典之作圆锥曲线论 该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几 何的大部分内容的论断和证明在其第七卷
4、平面轨迹中提出：如果一个移动的点与两定 点之间距离的比是常量（且不等于1)，则它的轨迹是一个圆现在已知两个定点的坐标分 别为( 1,0)A ，(2,0)B，动点P满足 | 2 | PA PB ，则P点轨迹方程为( ) A 22 650 xyx B 22 670 xyx C 22 1070 xyx D 22 14 50 3 xyx 9 （5 分）如图，在正方体ABCDA B C D 中，线段B D 上有两个动点E，F，若线段EF 长度为一定值，则下列结论中错误的是( ) AACBE BBD 平面ABE C/ /EF平面ABCD D三棱锥BAEF的体积为定值 10 （5 分）在三棱锥PABC中，P
5、APB，过P作PO 平面ABC，O为垂足，M为AB 的中点，则下列结论中肯定成立的是( ) AOCAOCB BOAOB COCAB DC，O，M三点共线 11 （5 分）已知点 0 (Q x，1)，若在圆 22 :1O xy上存在点P，使得60OQP，则 0 x的 取值范围是( ) A 1 3 ， 1 3 B 1 2 ， 1 2 C 2 2 ， 2 2 D 3 3 ， 3 3 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）已知函数( )2f xlnxx的零点为a，记函数g（a）2lnaa k，若g（a） 0恒成立，则正整数k的最大值为( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题
6、：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）空间中，线段PQ的端点坐标分别为(1，4，7)，(3，4，5)，则线段PQ的 中点M的坐标为 14 （5 分）已知函数 4,(0) ( ) 21,(0) x xx f x x ，若f（a）3，则a的值为 15 （5 分）已知函数 2 ( )1 21 x f x ，则不等式(21)(2)0fxf x的解集为 16（5 分） 在正三棱锥PABC中，E，F分别为棱PA，AB上的点，3PEEA，3BFFA， 且CEEF若2 3PB ，则三棱锥PABC的外接球的体积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步
7、骤共三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共 6 小题，共小题，共 70 分分 17 （10 分）设集合3A，5， 2 |50Bx xxm，满足2AB ，3，5 （）求集合B； （）若集合 |10Cx ax ，且满足BCC，求所有满足条件的a的集合 18 （12 分）在ABC中，已知(1,6)M是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别 为270 xy，60 xy （）若AMBC，求直线BC的方程； （）若|BMCM，求直线BC在x轴上的截距 19 （12 分）如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形， 1 2AAAB，60BAD， M，E分别为 11 AD，B
8、C的中点 （）求证： 1/ / MB平面 1 C DE； （）求证：DE 平面 11 BCC B； （）求三棱锥 1 MC DE的体积 第 4 页（共 19 页） 20 （12 分）已知圆C经过点(2,0)A，与直线2xy相切，且圆心C在直线210 xy 上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点(0,1)，并且被圆C截得的弦长为 2，求直线l的方程 21 （12 分）2020 年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范 围之广、防控难度之大均创历史之最面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实 践中凸显了中国社会主义制度的优越性， 在向全球提供支援及分享抗疫经
9、验中体现出了大国 担当的责任和情怀据报载，截至目前，我国有 5 种疫苗正在开展三期临床试验如图为某 种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的 近似曲线，其中，OM，MN为线段，且MN所在直线的斜率为 1 2 当3t时，y与t之 间满足： 1 ( ) 3 t a y （其中a为常数） （）结合图象，写出使用后y与t之间的函数关系式( )yf t，其中0t ； （）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于 1 3 微克时治疗有效，求使用一次治疗 有效的时间范围 22 （12 分）已知函数( ) 2 xx eae f x 是奇函数，( ) 2 xx ebe
10、g x 偶函数 （）求a，b的值； （）求证： 22 ( ) ( )1g xf x； 第 5 页（共 19 页） （）若方程 2 ( )( )30g xf xk在 ( 21)ln，)上有一个实数根，求k的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分
11、）已知集合 |1Ax x ， |2Bx x，则()( R AB ) A |1x x B |1x x C |1x x D | 12xx 【解答】解： |1Ax x ， |2Bx x， |2 RB x x，() |1 R ABx x 故选：A 2 （5 分）函数 1 ( )(1) 2 f xln x x 的定义域为( ) A(0，2)(2，) B0，2)(2，) C(1，2)(2， ) D1，2)(2，) 【解答】解：要使函数有意义，则 10 20 x x ， 即 1 2 x x ， 即函数的定义域为(1，2)(2，)， 故选：C 3 （5 分）已知 0.3 0.3a ， 0.3 3b ， 3 l
12、og 0.3c ，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcab 【解答】解： 0.30 0.30.31a ， 0.30 0331b ， 33 log 0.3log 10c ， abc 故选：A 4 （5 分）下列说法中错误的是( ) A空间中， “一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线” B空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直 第 7 页（共 19 页） 线与平面平行 C空间中，两个平面之间的位置关系有且只有三种：两个平面平行、两个平面相交和两 个平面垂直 D空间中两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线和异面直线 【解答】解：空间中，
13、 “一条直线在平面内”也可以说“平面经过这条直线” ，故A正确； 空间中，直线与平面的位置关系有且只有三种： 直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行，故B正确； 空间中，两个平面之间的位置关系有且只有两种： 两个平面平行，两个平面相交，垂直是相交的特殊情况，故C错误； 空间中两条直线的位置关系有且只有三种： 相交直线、平行直线和异面直线，故D正确 故选：C 5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是 4 3 ，则(a ) A 2 33 B1 C2 D2 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体； 如图所示： 第 8 页（共 19 页） 故 114
14、323 Va a a，整理得 3 8a ， 所以2a 故选：D 6 （5 分）若直线20 xy与圆 22 ()2xmy有公共点，则实数m的取值范围是( ) A 3，1 B 1，3 C 4，0 D0，4 【解答】解：由圆 22 ()2xmy， 则圆心坐标为( ,0)C m，半径为2r 直线20 xy与圆 22 ()2xmy有公共点， |2| 2 2 m ，解得40m 剟 实数m的取值范围为 4，0 故选：C 7 （5 分）已知 3 log 21a，则2( a ) A 1 3 B1 C2 D3 【解答】解： 3 log 21a， 2 3 1 log 3 2 a log ， 23 223 loga
15、故选：D 8 （5 分）阿波罗尼乌斯(Apollonius，约前262 约前190)是古希腊时期的数学家、天文学 家师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越 常人的智慧写出了经典之作圆锥曲线论 该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几 何的大部分内容的论断和证明在其第七卷平面轨迹中提出：如果一个移动的点与两定 点之间距离的比是常量（且不等于1)，则它的轨迹是一个圆现在已知两个定点的坐标分 别为( 1,0)A ，(2,0)B，动点P满足 | 2 | PA PB ，则P点轨迹方程为( ) A 22 650 xyx B 22 670 xyx 第 9 页（共 19
16、页） C 22 1070 xyx D 22 14 50 3 xyx 【解答】解：设( , )P x y，由动点P满足 | 2 | PA PB ，得： 22 22 (1)| 2 | (2) xyPA PB xy ， 化简得： 2222 4(2)4(1)xyxy， 整理得： 22 650 xyx， 故选：A 9 （5 分）如图，在正方体ABCDA B C D 中，线段B D 上有两个动点E，F，若线段EF 长度为一定值，则下列结论中错误的是( ) AACBE BBD 平面ABE C/ /EF平面ABCD D三棱锥BAEF的体积为定值 【解答】解：连结BD，底面ABCD是正方形，故ACBD， 又DD
17、 平面ABCD，且AC 平面ABCD， 故DDAC ，又BD和 DD 是平面BB D D 中两条相交直线， 所以AC 平面BB D D ，而BE是平面BB D D 内的直线， 因此ACBE成立， 故选项A正确； 若BD 平面ABE，又AB 平面ABE， 所以BDAB， 但显然45ABD， 所以BD 平面ABE不成立， 故选项B错误； 正方体ABCDA B C D 中，平面/ /ABCD平面A B C D ，又EF 平面A B C D ， 所以/ /EF平面ABCD， 第 10 页（共 19 页） 故选项C正确； 因为点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB D D 的距离，等于正方体面对角线的
18、一半， 即三棱锥BAEF的高为定值， 而BEF的边EF为定值，高为正方体的棱长， 故BEF的面积为定值， 故 1 3 BAEFBEF VSAA 为定值， 故选项D正确 故选：B 10 （5 分）在三棱锥PABC中，PAPB，过P作PO 平面ABC，O为垂足，M为AB 的中点，则下列结论中肯定成立的是( ) AOCAOCB BOAOB COCAB DC，O，M三点共线 【解答】解：连结OM，MP， 因为PO 平面ABC，AB 平面ABC， 所以POAB， 又因为PAPB且M为AB的中点， 所以PMAB，又POPMP，PO，PM 平面POM， 故AB 平面POM，又OM 平面POM， 所以ABOM
19、，M为AB的中点， 所以OAOB 因为点C 的位置无法确定，所以选项A，C，D不一定成立 故选：B 第 11 页（共 19 页） 11 （5 分）已知点 0 (Q x，1)，若在圆 22 :1O xy上存在点P，使得60OQP，则 0 x的 取值范围是( ) A 1 3 ， 1 3 B 1 2 ， 1 2 C 2 2 ， 2 2 D 3 3 ， 3 3 【解答】解：由题意画出图形如图：点 0 (Q x，1)， 要使圆 22 :1O xy上存在点P，使得60OQP， 则OQP的最大值大于或等于60时一定存在点P，使得60OQP， 而当QP与圆相切时OQP取得最大值， 此时1OP ， |3 | t
20、an603 OP Q P 图中只有Q到Q之间的区域满足 3 | 3 QP ， 0 x的取值范围是 3 3 ， 3 3 故选：D 12 （5 分）已知函数( )2f xlnxx的零点为a，记函数g（a）2lnaa k，若g（a） 0恒成立，则正整数k的最大值为( ) A1 B2 C3 D4 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：( )f x的定义域是(0,)， 1 ( )10fx x ，故( )f x在(0,)递增， 而f（1）10 ，f（2）20ln， 故12a， 由g（a）202lnaalnaak得：2224ak， 故正整数k的最大值为 3， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本
21、大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）空间中，线段PQ的端点坐标分别为(1，4，7)，(3，4，5)，则线段PQ的 中点M的坐标为 (2，0，1) 【解答】解：因为线段PQ的端点坐标分别为(1，4，7)，(3，4，5)， 所以线段PQ的中点M的坐标为(2，0，1) 故答案为：(2，0，1) 14 （5 分）已知函数 4,(0) ( ) 21,(0) x xx f x x ，若f（a）3，则a的值为 1或 2 【解答】解：根据题意， 4,(0) ( ) 21,(0) x xx f x x ， 若0a 时，f（a）43a，则1a ， 若0a时，f（a）
22、213 a ，则2a ， 综合可得：1a 或 2， 故答案为：1或 2 15（5 分） 已知函数 2 ( )1 21 x f x ， 则不等式(21)(2)0fxf x的解集为 (1,) 【解答】解：函数 2 ( )1 21 x f x 的定义域为R， 且 222122 ()111( ) 21212121 xx xxxx fxf x ， 所以( )f x为奇函数，且( )f x在R上单调递增， 则不等式(21)(2)0fxf x等价于(21)(2)(2)fxf xfx ， 所以212xx ， 解得1x ， 第 13 页（共 19 页） 即不等式的解集为(1,) 故答案为：(1,) 16（5 分
23、） 在正三棱锥PABC中，E，F分别为棱PA，AB上的点，3PEEA，3BFFA， 且CEEF若2 3PB ，则三棱锥PABC的外接球的体积为 36 【解答】解：在正三棱锥PABC中，2 3PAPBPC， ABC为正三角形，设ABC的中心为O， 由题意， 11 , 44 AEAP AFAB， 故/ /EFPB，又CEEF，故CEPB， 连结PO，BO，正三棱锥的定义可知，PO 平面ABC，AC 平面ABC， 故POAC，又BOAC，BOPOO，BO，PO 平面POB， 故AC 平面POB，又PB 平面POB， 所以PBAC，PBCE，CEACC，CE，AC 平面PAC， 所以PB 平面PAC，
24、因为PA平面PAC，PC 平面PAC， 故PBPA，PBPC， 故PBC，PAB，PAC为等腰直角三角形， 则22 6BCABACPB， 设外接球的球心为M，则M在PO上，所以PMMBR， 又 22 2POPBOB， 则 22222 (2)8PMROMOBR， 解得3R ， 故外接球的体积为 33 44 336 33 R 故答案为：36 第 14 页（共 19 页） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共 6 小题，共小题，共 70 分分 17 （10 分）设集合3A，5， 2 |50Bx xxm，满足2AB ，3，5 （）求集
25、合B； （）若集合 |10Cx ax ，且满足BCC，求所有满足条件的a的集合 【解答】解： （）3A，5，2AB ，3，5， 2B ，且 2 |50Bx xxm， 4100m ，解得6m ， 2 |5602Bx xx，3； （）BCC， CB，且 |1Cx ax， 0a 时，C ，满足CB； 0a 时， 1 C a ，则 1 2 a 或 3，解得 1 2 a 或 1 3 ， 满足条件的a的集合为： 1 1 0, 3 2 18 （12 分）在ABC中，已知(1,6)M是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别 为270 xy，60 xy （）若AMBC，求直线BC的方程； （）若|BMCM
26、，求直线BC在x轴上的截距 【解答】解： （）联立方程 270 60 xy xy ，解得1x ，5y ， 第 15 页（共 19 页） 故点( 1,5)A ，又(1,6)M， 所以 651 1( 1)2 AM k， 因为AMBC， 所以2 BC k， 又M为BC边上的一点， 所以直线BC的方程为62(1)yx ，即280 xy； （）因为|BMCM，所以点M为BC的中点， 设点( , )B m n，( , )C a b，则有2ma，12nb， 点B在直线AB上，点C在直线AC上，且( 1,5)A ， 所以有 55 2,1 11 nb ma ， 解得3m ，1n ，5a ，11b ， 故点( 3
27、,1)B ，(5,11)C， 所以直线BC的方程为 13 11 153 yx ，即54190 xy， 令0y ，解得 19 5 x ， 故直线BC在x轴上的截距为19 5 19 （12 分）如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形， 1 2AAAB，60BAD， M，E分别为 11 AD，BC的中点 （）求证： 1/ / MB平面 1 C DE； （）求证：DE 平面 11 BCC B； （）求三棱锥 1 MC DE的体积 【解答】解： （）证明：直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形， M，E分别为 11 AD，BC的中点， 第 16 页（共 19 页） 1/ /
28、 MBDE， 1 MB 平面 1 C DE，DE 平面 1 C DE， 1/ / MB平面 1 C DE （）证明：直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形， 1 CC平面ABCD， DE 平面ABCD， 1 DECC， 1 2AAAB，60BAD，E为BC的中点 DEBC， 1 BCCCC，BC 平面 11 BCC B， 1 CC 平面 11 BCC B， DE平面 11 BCC B （）解：直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形， 1 2AAAB， 60BAD，M，E分别为 11 AD，BC的中点，DE 平面 11 BCC B， 1 C到平面DME的距离是 1 C到
29、1 B E的距离d， 1111 11 22 B EdBCCC，即 22 11 2122 22 d ， 解得 4 5 d ， 三棱锥 1 MC DE的体积为： 11 1 3 MC DECMDEMDE VVdS 1412 5 55 3235 20 （12 分）已知圆C经过点(2,0)A，与直线2xy相切，且圆心C在直线210 xy 上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点(0,1)，并且被圆C截得的弦长为 2，求直线l的方程 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）因为圆心C在直线210 xy 上，可设圆心为( ,12 )C aa 则点C到直线2xy的距离 |1| 2 a d 据
30、题意，|dAC，则 22 |1| (2)(12 ) 2 a aa ， 解得1a 所以圆心为(1, 1)C，半径2rd， 则所求圆的方程是 22 (1)(1)2xy （2）k不存在时，0 x 符合题意； k存在时，设直线方程为10kxy ，圆心到直线的距离 2 |2| 1 1 k k ， 3 4 k ， 直线方程为3440 xy 综上所述，直线方程为0 x 或3440 xy 21 （12 分）2020 年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范 围之广、防控难度之大均创历史之最面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实 践中凸显了中国社会主义制度的优越性， 在向全球提供
31、支援及分享抗疫经验中体现出了大国 担当的责任和情怀据报载，截至目前，我国有 5 种疫苗正在开展三期临床试验如图为某 种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的 近似曲线，其中，OM，MN为线段，且MN所在直线的斜率为 1 2 当3t时，y与t之 间满足： 1 ( ) 3 t a y （其中a为常数） （）结合图象，写出使用后y与t之间的函数关系式( )yf t，其中0t ； （）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于 1 3 微克时治疗有效，求使用一次治疗 有效的时间范围 【解答】解： （）当01t 时，直线OM的方程为4yt， 第 18 页（共 19
32、 页） 当1t 时，4y ，即点(1,4)M， 当13t 时， 代入点M的坐标， 得到直线MN的方程为 1 4(1) 2 yt ， 即 19 22 yt ， 当3t 时，3y ，即点(3,3)N， 当3t 时，代入点N的坐标，得到 3 1 3( ) 3 a ，解得：4a ， 4 1 ( ) 3 t y ， 4 4 ,01 19 ( ),13 22 1 ( ),3 3 t tt f ttt t （）令 1 4 3 t ，得 1 12 t ，即5t 分钟， 令 4 11 ( ) 33 t ，得5t ，即5t 小时， 使用一次治疗有效的时间范围为用药后的 5 分钟到 5 小时之间的时间 22 （12
33、 分）已知函数( ) 2 xx eae f x 是奇函数，( ) 2 xx ebe g x 偶函数 （）求a，b的值； （）求证： 22 ( ) ( )1g xf x； （）若方程 2 ( )( )30g xf xk在 ( 21)ln，)上有一个实数根，求k的取值范围 【解答】解： （）因为函数( ) 2 xx eae f x 是奇函数，则 1 (0)0 2 a f ，解得1a ， 因为( ) 2 xx ebe g x 偶函数，所以()( )gxg x，即 22 xxxx ebeebe ， 所以(1)()0 xx bee恒成立，即1b ； （）证明： 2222 22 22 ( ) ( )1 44 xxxx eeee g xf x ； （）由（）知 22 ( ) ( )1g xf x，则 22 ( )( )3 ( )( )20g xf xf xf xkk， 令( )tf x，2t，)，方程 2 ( )( )30g xf xk在 ( 21)ln，)上有一个实数根， ( )f x在R上单调递增， 可转化为 2 ( )2h tttk在2，)上有一个零点， 而(0)2h ， 开口向上， 所以只需h（2） 0， 第 19 页（共 19 页） 即422 0k?，即1k?， 所以k的取值范围为1，)
