1、第 1 页（共 12 页） 2020-2021 学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求 1 （4 分）已知集合1A，2，3，4，2B ，4，6，8，则AB中元素的个数为( ) A1 B2 C3 D4 2 （4 分）当1a 时，在同一坐标系中，函数 x ya与logayx的图象是( ) A B C D 3 （4 分）已知aR，则“1a ”是“ 1 1 a
2、”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 4 （4 分）下列函数中，在区间( 1,1)上为减函数的是( ) A 1 1 y x B2xy C(1)yln x D2 x y 5 （4 分）若0ab，0cd，则一定有( ) A ab cd B ab cd C ab dc D ab dc 6 （4 分）已知函数( )f x是奇函数，且当0 x 时， 2 1 ( )f xx x ，则( 1)(f ) A2 B0 C1 D2 7 （4 分）已知函数 2 6 ( )logf xx x ，在下列区间中，包含( )f x的零点的区间是( ) A( 0，1) B( 1，
3、2) C( 2，4) D(4,) 8 （4 分）设 3 log 7a ， 1.1 2b ， 3.1 0.8c ，则( ) 第 2 页（共 12 页） Abac Bcab Ccba Dacb 9 （4 分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经 过 3 分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高 度，则H与下落时间t（分)的函数关系表示的图象只可能是( ) A B C D 10 （4 分）袋中装有 5 个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随 机抽取 3 个小球设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为(
4、) A 2 5 B 3 5 C 2 3 D 9 10 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 11 （4 分）命题“存在xR，使得 2 250 xx”的否定是 12 （4 分）函数 1 2 2 log (1)yxx的定义域为 13 （4 分）某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图， 如图所示，由此估计日销售量不低于 50 件的概率为 14 （4 分）设 1,0 ( ) 2 ,0 x x x f x x ，则( ( 2)f f 第 3 页（共 12 页） 15 （4 分）设( )f x是定义在R上的函数
5、，若存在两个不等实数 1 x， 2 xR，使得 1212 ()() () 22 xxf xf x f ，则称函数( )f x具有性质P，那么下列函数： 1 &0 ( ) 0&0 x f xx x ； 2 ( )f xx； 2 ( ) |1|f xx； 具有性质P的函数的个数为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （7 分）已知集合 3 | 5 2 Axx ， |1Bx x或2x ，UR （）求AB； （）求() U AB 17 （7 分）某篮球队在本赛季已结束的 8 场比赛中，
6、队员甲得分统计的茎叶图如图： （）求甲在比赛中得分的均值和方差； （）从甲比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析，求抽到 2 场都 不超过均值的概率 18 （7 分）对于四个正数x，y，z，w，如果xwyz，那么称( , )x y是( , )z w的“下位序 对” （）对于 2，3，7，11，试求(2,7)的“下位序对” ； （）设a，b，c，d均为正数，且( , )a b是( , )c d的“下位序对” ，试判断, c a ac d b bd 之间 的大小关系 19 （9 分）已知函数 2 ( )log |f xx （）求函数( )f x的定义域及(2)f 的值
7、； （）判断函数( )f x的奇偶性； （）判断( )f x在(,0)上的单调性，并给予证明 20 （10 分）某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产x件，需另投入成本为 ( )C x当年产量不足 80 件时， 2 1 ( )10 3 C xxx（万元） ；当年产量不小于 80 件时 第 4 页（共 12 页） 10000 . ( )511450C xx x （万元）每件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的产 品能全部售完 （1）写出年利润( )L x（万元）关于年产量x（件)的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 第 5 页（共
8、 12 页） 2020-2021 学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求 1 （4 分）已知集合1A，2，3，4，2B ，4，6，8，则AB中元素的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：集合1A，2，3，4，2B ，4，6，8， 2AB，4， AB中元素的个数为 2 故选：B 2 （4 分）当1a 时，在
9、同一坐标系中，函数 x ya与logayx的图象是( ) A B C D 【解答】解：1a 时，函数 x ya与logayx的均为增函数， 故选：B 3 （4 分）已知aR，则“1a ”是“ 1 1 a ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解：aR，则“1a ” “ 1 1 a ” ， 第 6 页（共 12 页） “ 1 1 a ” “1a 或0a ” ， “1a ”是“ 1 1 a ”的充分非必要条件 故选：A 4 （4 分）下列函数中，在区间( 1,1)上为减函数的是( ) A 1 1 y x B2xy C(1)yln x D2 x
10、y 【解答】解： 1 1 y x ，2xy 和(1)yln x在( 1,1)上都为增函数，2 x y 在( 1,1)上是 减函数 故选：D 5 （4 分）若0ab，0cd，则一定有( ) A ab cd B ab cd C ab dc D ab dc 【解答】解：0cd， 11 dc ， 又0ab， ab dc 故选：C 6 （4 分）已知函数( )f x是奇函数，且当0 x 时， 2 1 ( )f xx x ，则( 1)(f ) A2 B0 C1 D2 【解答】解：( )f x是定义在R上的奇函数， ()( )fxf x ，( 1)ff （1） ， 又当0 x 时， 2 1 ( )f xx
11、x ， f（1） 2 112 ，( 1)2f ， 故选：A 7 （4 分）已知函数 2 6 ( )logf xx x ，在下列区间中，包含( )f x的零点的区间是( ) A( 0，1) B( 1，2) C( 2，4) D(4,) 【解答】解：函数 2 6 ( )( )logf xf xx x ，在其定义域上连续， 第 7 页（共 12 页） f（4） 3 20 2 ， f（2）310 ； 故函数( )f x的零点在区间(2,4)上， 故选：C 8 （4 分）设 3 log 7a ， 1.1 2b ， 3.1 0.8c ，则( ) Abac Bcab Ccba Dacb 【解答】解： 3 1l
12、og 72， 1.1 22b ， 3.1 0.81c ， 则cab， 故选：B 9 （4 分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经 过 3 分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高 度，则H与下落时间t（分)的函数关系表示的图象只可能是( ) A B C D 【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口， 当时间取 1 2 t时，漏斗中液面下落的高度不 会达到漏斗高度的 1 2 ，对比四个选项的图象可得结果 故选：B 10 （4 分）袋中装有 5 个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随 第 8 页（共 12
13、页） 机抽取 3 个小球设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为( ) A 2 5 B 3 5 C 2 3 D 9 10 【解答】解：从口袋中 5 个小球中随机摸出 3 个小球，共有 3 5 10C 种选法，则既没有黑球 也没有白球只有 1 种， 每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为 19 1 1010 ， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 11 （4 分）命题“存在xR，使得 2 250 xx”的否定是 对任何xR，都有 2 250 xx 【解答】解：因为命题“存在xR，使得 2 25
14、0 xx”是特称命题，根据特称命题的否 定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何xR，都有 2 250 xx 故答案为：对任何xR，都有 2 250 xx 12 （4 分）函数 1 2 2 log (1)yxx的定义域为 0，1) 【解答】解：要使原函数有意义，则： 0 10 x x ； 01x； 原函数的定义域为0，1) 故答案为：0，1) 13 （4 分）某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图， 如图所示，由此估计日销售量不低于 50 件的概率为 0.55 【解答】解：由频率分布直方图得： 日销售量不低于 50 件的频率为： 1(0.0150.03) 100.5
15、5 第 9 页（共 12 页） 估计日销售量不低于 50 件的概率为 0.55 故答案为：0.55 14 （4 分）设 1,0 ( ) 2 ,0 x x x f x x ，则( ( 2)f f 1 2 【解答】解：函数 1(0) ( ) 2 (0) x x x f x x ， 11 ( ( 2)( ) 42 f ff， 故答案为： 1 2 15 （4 分）设( )f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数 1 x， 2 xR，使得 1212 ()() () 22 xxf xf x f ，则称函数( )f x具有性质P，那么下列函数： 1 &0 ( ) 0&0 x f xx x ； 2 ( )
16、f xx； 2 ( ) |1|f xx； 具有性质P的函数的个数为 2 【解答】解：函数 1 &0 ( ) 0&0 x f xx x ， 因为函数( )f x为奇函数，可找到关于原点对称的点， 比如 1 1x ， 2 1x ，则有 1( 1)1 1(1)( 1) ()0 222 ff f ， 故选项具有性质P； 函数 2 ( )f xx， 假设存在两个不等实数 1 x， 2 xR，使得 1212 ()() () 22 xxf xf x f ， 即 22 21212 () 22 xxxx ，解得 12 xx，与假设矛盾， 故不存在，故选项不具有性质P； 函数 2 ( ) |1|f xx，故函数(
17、 )f x为偶函数，且(0)1f， 令 2 ( ) |1| 1f xx，解得2x ， 则存在 12 2,2xx ，使得 22( 2)(2) ()(0)1 22 ff ff ， 故选项具有性质P 第 10 页（共 12 页） 所以具有性质P的函数的个数为 2 个 故答案为：2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （7 分）已知集合 3 | 5 2 Axx ， |1Bx x或2x ，UR （）求AB； （）求() U AB 【解答】解： （）集合 3 | 5 2 Axx ， |1B
18、x x或2x ， | 51ABxx （）UR， |1Bx x或2x ， |12 UB xx剟 3 () |1 2 U ABxx剟 17 （7 分）某篮球队在本赛季已结束的 8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图： （）求甲在比赛中得分的均值和方差； （）从甲比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析，求抽到 2 场都 不超过均值的概率 【解答】解： （）甲在比赛中得分的均值为 1 (78101517192123)15 8 x ， 方差为 22222222 1 ( 8)( 7)02468 32.25 8 s ， （）甲得分在 20 分以下的 6 场比赛分别为 7，8，
19、10，15，17，19 从中随机抽取 2 场，这 2 场比赛的得分如下： (7,8)，(7,10)，(7,15)，(7,17)，(7,19)，(8,10)，(8,15)，(8,17)， (8,19)，(10,15)，(10,17)，(10,19)，(15,17)，(15,19)，(17,19)，共 15 种， 其中抽到 2 场都不超过均值的情形是：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(8,10)，(8,15)，(10,15)， 共 6 种， 第 11 页（共 12 页） 所以抽到 2 场都不超过均值的概率为 62 155 P 18 （7 分）对于四个正数x，y，z，w，如果xwyz，那么称
20、( , )x y是( , )z w的“下位序 对” （）对于 2，3，7，11，试求(2,7)的“下位序对” ； （）设a，b，c，d均为正数，且( , )a b是( , )c d的“下位序对” ，试判断, c a ac d b bd 之间 的大小关系 【解答】解： （）因为3711 2， 所以(2,7)的“下位序对”是(3,11)； （）因为( , )a b是( , )c d的“下位序对” ， 所以adbc， 因为a，b，c，d均为正数， 0 () acabcad bdbbd b ， 所以 aca bdb ， 同理可证 acc bdd ， 综上所述， aacc bbdd 19 （9 分）已知
21、函数 2 ( )log |f xx （）求函数( )f x的定义域及(2)f 的值； （）判断函数( )f x的奇偶性； （）判断( )f x在(,0)上的单调性，并给予证明 【解答】解： （）根据题意，函数 2 ( )log |f xx，则有| 0 x ， 解得0 x ，即函数的定义域为 |0 x x ， 22 1 (2)log |2 | log (2) 2 f ； （） 2 ( )log |f xx，其定义域为 |0 x x ， 则 22 ()log | log |( )fxxxf x，则( )f x为偶函数； （）( )f x在(,0)上为减函数， 证明：当(,0)x 时， 2 ( )l
22、og ()f xx， 第 12 页（共 12 页） 设 12 0 xx，则 1 1221222 2 ( )()log ()log ()log x f xf xxx x ， 又由 12 0 xx，则 12 0 xx ，所以 1 2 1 x x ， 所以 1 122 2 ( )()log0 x f xf x x ， 故( )f x在(,0)上为减函数 20 （10 分）某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产x件，需另投入成本为 ( )C x当年产量不足 80 件时， 2 1 ( )10 3 C xxx（万元） ；当年产量不小于 80 件时 10000 . ( )511450C xx
23、 x （万元）每件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的产 品能全部售完 （1）写出年利润( )L x（万元）关于年产量x（件)的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【解答】解： （1）当080 x时，根据年利润销售收入成本， 22 11 ( )501025040250 33 L xxxxxx ； 当80 x时，根据年利润销售收入成本， 1000010000 ( )505114502501200()L xxxx xx 综合可得， 2 1 40250,080 3 ( ) 10000 1200(),80 xxx L x xx x （2）当080 x时， 22 11 ( )40250(60)950 33 L xxxx ， 当60 x 时，( )L x取得最大值(60)950L万元； 当80 x时， 1000010000 ( )1200() 1200212002001000L xxx xx ， 当且仅当 10000 x x ，即100 x 时，( )L x取得最大值(100)1000L万元 综合，由于9501000， 当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元
