1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集 U1，2，3，A1，2，则UA（ ） A1 B2 C3 D1，3 2 （5 分）365是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 3 （5 分）命题“xR，x12”的否定是（ ） AxR，x12 BxR，x12 CxR，x12 D
2、xR，x12 4 （5 分）扇形的半径为 1，圆心角为 2，则扇形的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）已知 alog21 2，b（ 1 2） 2，c2 1 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bbac Cacb Dabc 6 （5 分）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手” ，其从军行传诵至今， 内容为： “青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还 ”由 此推断， “返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）函数 f（x）x+cosx 的零点所在的区间为（
3、） A （1， 1 2） B （ 1 2 ，0） C （0，1 2） D （1 2 ，1） 8 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）= 1 2f（x） ，当 x（0，1时，f（x）x（1 x） 若存在 xm，+） ，使得 f（x）= 3 64有解，则实数 m 的取值范围为（ ） A （，1 2 B （，3 2 C （，9 4 D （，11 4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有
4、选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结 合百般好， 隔裂分家万事休 在数学学习和研究中， 常用函数的图象来研究函数的性质 下 列函数中，在（0，+）上单调递增且图象关于 y 轴对称的是（ ） 第 2 页（共 14 页） Af（x）x3 Bf（x）x2 Cyx 2 Df（x）|x| 10 （5 分）设 a，b，cR，ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa+cb+c Be aeb Cac2bc2 D 11 （5 分）将函数 f（x）sin（2x） （0 2）的图象上所有的点向左平行移动 3个
5、 单位长度，得到偶函数 h（x）的图象，则下列结论中正确的有（ ） Ah（x）的图象关于点（ 4，0）对称 Bh（x）的图象关于 x= 2对称 Ch（x）在 12， 2 3 上的值域为 1 2， 3 2 Dh（x）在 6 ， 2上单调递减 12 （5 分）若函数 f（x）对x1，x2（1，+） ， （x1x2） ，不等式(1)(2) 1222 1 成立， 则称 f（x）在（1，+）上为“平方差减函数” ，则下列函数中是“平方差减函数”的有 （ ） Af（x）2x+1 Bf（x）x2+2x+1 Cf（x）x2log2x Df（x）x2x+ 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小
6、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知幂函数 yf（x）的图象过点（2，2） ，则 f（4） 14 （5 分）已知 sin= 5 13，则 cos（ 3 2 + ） 15 （5 分）若 f（x）= 2 ， 0 2 + 1，0，则不等式 f（x）4 的解集为 16 （5 分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字 计算方法成了当务之急，数学家约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中 的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 abNblogaN， 现已知 alog36，2b36，则（1 + 2 ）3 = 四、解答
7、题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知集合 Ax|x2，Bx|3x5 （1）求 AB； 第 3 页（共 14 页） （2）定义 MNx|xM 且 xN，求 AB 18 （12 分）给定两个条件：充分不必要，必要不充分，从上述两个条件中，任选一 个补充在下面问题中，并加以解答 问题：已知 p：实数 x 满足 x23ax+2a20，a0 （1）若 a1，求实数 x 的取值范围； （2）已知 q：实数 x 满足 2x3若存在实数 a，使得 p 是 q 的_条件，则求出 a 的取
8、值范围；若不存在，请说明理由 19 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ，它们的终 边分别与单位圆相交于 P，Q 两点，P，Q 的纵坐标分别为3 5， 4 5 （1）求 sin 的值； （2）求 + 20 （12 分）已知函数 f（x）cos4x2sinxcosxsin4x+m（x0， 2）的最大值为 1 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求使 f（x）0 成立时自变量 x 的集合 21 （12 分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种 饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为 14 元，月销售量为 9 万瓶 （1
9、）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高 1 元，则月销售量将减少 5000 瓶要使 月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售 价到 x 元，并投入1 2x 2 万元作为技术革新费用，投入 2 万元作为固定宣传费用试问：技 术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售 量 t（万瓶）的最小值，以及 t 取最小值时的每瓶饮料的售价 22 （12 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ln（ex+e x）+2021 （1）判断函数 g（x）的奇偶性并证明； （2）若x1
10、（0，+） ，x2R，使得 f（2x1）+mf（x1）g（x2）0 成立，求实数 m 第 4 页（共 14 页） 的取值范围 第 5 页（共 14 页） 2020-2021 学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集 U1，2，3，A1，2，则UA（ ） A1 B2 C3 D1，3 【解答】解：U1，2，
11、3，A1，2， UA3 故选：C 2 （5 分）365是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【解答】解：因为 365360+5，5是第一象限角， 所以 365是第一象限角 故选：A 3 （5 分）命题“xR，x12”的否定是（ ） AxR，x12 BxR，x12 CxR，x12 DxR，x12 【解答】解：命题“xR，x12”的否定是xR，x12， 故选：D 4 （5 分）扇形的半径为 1，圆心角为 2，则扇形的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：扇形的半径为 1，圆心角为 2，扇形的弧长为 2， 所以扇形的面积为：1 2 2 1 = 1 故选：A 5
12、 （5 分）已知 alog21 2，b（ 1 2） 2，c2 1 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bbac Cacb Dabc 【解答】解：2 1 2 = 1，a1， (1 2) 2 =4，b4， 2 1 2= 2，c= 2， 第 6 页（共 14 页） acb， 故选：C 6 （5 分）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手” ，其从军行传诵至今， 内容为： “青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还 ”由 此推断， “返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由题意可知：
13、 “返回家乡”则可推出“攻破楼兰” ， “攻破楼兰”不能够推出“返回家乡” ， 故“返回家乡”是“攻破楼兰”的充分不必要条件 故选：B 7 （5 分）函数 f（x）x+cosx 的零点所在的区间为（ ） A （1， 1 2） B （ 1 2 ，0） C （0，1 2） D （1 2 ，1） 【解答】解：根据题意，f（x）x+cosx， 则 f（1）1+cos10，f（ 1 2）= 1 2 +cos1 2 1 2 +cos 6 0， 则函数 f（x）x+cosx 的零点所在的区间为（1， 1 2） ， 故选：A 8 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）= 1 2f（x） ，当
14、x（0，1时，f（x）x（1 x） 若存在 xm，+） ，使得 f（x）= 3 64有解，则实数 m 的取值范围为（ ） A （，1 2 B （，3 2 C （，9 4 D （，11 4 【解答】解：f（x+1）= 1 2f（x） ，当 x（0，1时，f（x）x（1x） 当 x（1，2时，f（x）= 1 2（x1） （x2） 当 x（2，3时，f（x）= 1 4（x2） （x3） 当 x（3，4时，f（x）= 1 8（x3） （x4） 根据 f（x）= 3 64，结合图象可得， 3 64 = 1 4（x2） （x3） ， 所以 x= 9 4，所以 m 9 4， 第 7 页（共 14 页） 所以
15、 m 的取值范围为(， 9 4 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结 合百般好， 隔裂分家万事休 在数学学习和研究中， 常用函数的图象来研究函数的性质 下 列函数中，在（0，+）上单调递增且图象关于 y 轴对称的是（ ） Af（x）x3 Bf（x）
16、x2 Cyx 2 Df（x）|x| 【解答】解：对于 A，f（x）x3为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 对于 B，f（x）x2为偶函数，图象关于 y 轴对称，且在（0，+）上单调递增，符合题 意； 对于 C，yx 2=1 2为偶函数，在（0，+）上单调递减，不符合题意； 对于 D，f（x）|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，且在（0，+）上单调递增，符合题 意 故选：BD 10 （5 分）设 a，b，cR，ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa+cb+c Be aeb Cac2bc2 D 【解答】解：对于 A，因为 ab，所以 a+cb+c，故 A 正确； 对于 B，因为 ab，
17、所以ab，所以 e aeb，故 B 正确； 对于 C，若 c0，则 ac2bc2，故 C 错误； 对于 D，取 a2，b1，则 =2， = 1 2，则 ，故 D 错误 故选：AB 11 （5 分）将函数 f（x）sin（2x） （0 2）的图象上所有的点向左平行移动 3个 第 8 页（共 14 页） 单位长度，得到偶函数 h（x）的图象，则下列结论中正确的有（ ） Ah（x）的图象关于点（ 4，0）对称 Bh（x）的图象关于 x= 2对称 Ch（x）在 12， 2 3 上的值域为 1 2， 3 2 Dh（x）在 6 ， 2上单调递减 【解答】 解： 将函数 f （x） sin （2x）（0 2
18、） 的图象上所有的点向左平行移动 3个单 位长度，得到函数 h（x）sin（2x+ 2 3 ）的图象， 由于函数 h（x）为偶函数， 故2 3 k+ 2， 所以 k+ 6， 由于 0 2， 所以当 k0 时，= 6 所以 h（x）sin（2x+ 2 3 6）sin（2x+ 2）cos2x， 对于 A：当 x= 4时，h（ 4）0，故 A 正确； 对于 B：当 x= 2时 h（ 2）cos（）1，故 B 正确； 当 x 12， 2 3 时，2 6 ， 4 3 ，所以() 1， 3 2 ，故 C 错误； 对于 D： 6 ， 2，所以2 3 ，根据函数的性质，函数在该区间上单调递减， 故 D 正确
19、故选：AD 12 （5 分）若函数 f（x）对x1，x2（1，+） ， （x1x2） ，不等式(1)(2) 1222 1 成立， 则称 f（x）在（1，+）上为“平方差减函数” ，则下列函数中是“平方差减函数”的有 （ ） Af（x）2x+1 Bf（x）x2+2x+1 Cf（x）x2log2x Df（x）x2x+ 2 第 9 页（共 14 页） 【解答】解：根据题意，设 g（x）f（x）x2， 若 f（x）在（1，+）上为“平方差减函数” ，则对x1，x2（1，+） ， （x1x2） ，不等 式(1)(2) 1222 1 成立， 则有(1)(2) 1222 1= (1)12(2)22 1222
20、 = 1 1+2 (1)(2) 12 =0， 则有(1)(2) 12 0，则函数 g（x）f（x）x2在1，+）为减函数， 反之，若函数 g（x）f（x）x2在1，+）为减函数，则有(1)(2) 12 =（x1+x2） (1)12(2)22 1222 0，即 f（x）在（1，+）上为“平方差减函数” ， 分析选项： 对于 A，f（x）2x1，g（x）f（x）x2x22x1，为开口向下，对称轴为 x 1 的二次函数，g（x）在区间1，+）为减函数，则 f（x）在（1，+）上为“平 方差减函数” ； 对于 B，f（x）x2+2x+1，g（x）f（x）x22x+1，g（x）在区间1，+）为增函 数，
21、则 f（x）在（1，+）上不是“平方差减函数” ； 对于 C，f（x）x2log2x，g（x）f（x）x2log2x，g（x）在区间1，+）为减 函数，则 f（x）在（1，+）上为“平方差减函数” ； 对于 D，f（x）x2x+ 2 ，g（x）f（x）x 2x+2 ，g（x）在区间1，+）为减 函数，则 f（x）在（1，+）上为“平方差减函数” ； 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知幂函数 yf（x）的图象过点（2，2） ，则 f（4） 2 【解答】解：设幂函数 yf（x）x，R， 其图象过点（2
22、，2） ， 2= 2， 解得 = 1 2， f（x）= 1 2， f（4）= 4 1 2=2 故答案为：2 第 10 页（共 14 页） 14 （5 分）已知 sin= 5 13，则 cos（ 3 2 + ） 5 13 【解答】解：sin= 5 13，cos（ 3 2 + ）sin= 5 13， 故答案为： 5 13 15 （5 分）若 f（x）= 2 ， 0 2 + 1，0，则不等式 f（x）4 的解集为 （， 3 2） （2，+） 【解答】解：x0 时，由 2x4，解得 x2， x0 时，由2x+14，解得 x 3 2， 故不等式的解集是（， 3 2）（2，+） ， 故答案为： （， 3
23、2）（2，+） 16 （5 分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字 计算方法成了当务之急，数学家约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中 的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 abNblogaN， 现已知 alog36，2b36，则（1 + 2 ）3 = 2 【解答】解：因为 alog36，2b36，所以 blog236， 故1 + 2 = 1 36 + 2 236 = 1 36 + 2 226 = 63 + 62 = 66 = 1， = 36 236 = 36 33 336 32 = 1 2 32 = 32， 所以3 = 33
24、 2 = 2， 故（1 + 2 ）3 = 1 2 = 2 故答案为：2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知集合 Ax|x2，Bx|3x5 （1）求 AB； （2）定义 MNx|xM 且 xN，求 AB 【解答】解： （1）Ax|x2，Bx|3x5， 第 11 页（共 14 页） ABx|x2； （2）MNx|xM 且 xN，Ax|x2，Bx|3x5， ABx|2x3 或 x5 18 （12 分）给定两个条件：充分不必要，必要不充分，从上述两个条件中，任选一 个
25、补充在下面问题中，并加以解答 问题：已知 p：实数 x 满足 x23ax+2a20，a0 （1）若 a1，求实数 x 的取值范围； （2）已知 q：实数 x 满足 2x3若存在实数 a，使得 p 是 q 的_条件，则求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）因为 a1，解不等式 x23x+20，可得 1x2， 所以实数 x 的取值范围为（1，2） ； （2）由 x23ax+2a20，a0，可得 ax2a， 若选： 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 则有 a2 且 2a3，不等式组无解， 所以实数 a 的值不存在； 若选： 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 则有 a
26、2 且 2a3，解得3 2 2， 所以实数 a 的取值范围为(3 2，2 19 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ，它们的终 边分别与单位圆相交于 P，Q 两点，P，Q 的纵坐标分别为3 5， 4 5 （1）求 sin 的值； （2）求 + 【解答】解： （1）以 Ox 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别与单位圆相交于 P， 第 12 页（共 14 页） Q 两点，P，Q 的纵坐标分别为3 5， 4 5 sin= 3 5，sin= 4 5 （2）由题意可得 cos= 1 2 = 4 5，cos= 1 2 =3 5 +（0，） ，cos（+）cosc
27、ossinsin= 4 5 3 5 3 5 4 5 =0， += 2 20 （12 分）已知函数 f（x）cos4x2sinxcosxsin4x+m（x0， 2）的最大值为 1 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求使 f（x）0 成立时自变量 x 的集合 【解答】 解： （1） 函数 f （x） cos4x2sinxcosxsin4x+m （cos2x+sin2x） （cos2xsin2x） sin2x+mcos2xsin2x+m= 2sim（ 4 2x）+m， （x0， 2） 函数 f（x）的最小正周期 T= 2 |2| =； （2）x0， 2，（ 4 2x） 4， 4， sim（
28、 4 2x） 2 2 ， 2 2 ， 2sim（ 4 2x）+mm1，m+1， f（x）的最大值为 1，m+11，解得 m0 使 f（x）0 成立，即2sim（ 4 2x）0，化为：sim（2x 4）0， 4 2x 4 0， 解得：0 x 8， 使 f（x）0 成立时自变量 x 的集合为0， 8 21 （12 分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种 饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为 14 元，月销售量为 9 万瓶 （1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高 1 元，则月销售量将减少 5000 瓶要使 月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多
29、少元？ （2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售 第 13 页（共 14 页） 价到 x 元，并投入1 2x 2 万元作为技术革新费用，投入 2 万元作为固定宣传费用试问：技 术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售 量 t（万瓶）的最小值，以及 t 取最小值时的每瓶饮料的售价 【解答】解： （1）设饮料每瓶售价最多为 x 元， 则90.5（x14）x149，即 x232x+2520， 解得：14x18， 所以要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为 18 元 （2）当 x14 时，由题意可得，tx14
30、9+ 1 2 2+2， 即当 x14 时，t 128 + 2， 128 + 2 2128 2 =16，当且仅当128 = 2即 x16 时，等号成立， t16， 所以技术革新后，该饮料月销售量 t 至少达到 16 万个时，可使月销售收入不低于原来的 月销售收入与总投入之和，此时每瓶饮料的售价为 16 元 22 （12 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ln（ex+e x）+2021 （1）判断函数 g（x）的奇偶性并证明； （2）若x1（0，+） ，x2R，使得 f（2x1）+mf（x1）g（x2）0 成立，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）g（x）ln（ex+e x）+2021
31、为偶函数 理由：g（x）的定义域为 R，且 g（x）ln（e x+ex）+2021g（x） ， 所以 g（x）为偶函数； （2）由 e x+ex2 =2，当且仅当 x0 时，取得等号， 可得 g（x）ln2+2021， 由x1（0，+） ，x2R，使得 f（2x1）+mf（x1）g（x2）0 成立， 可得 f（2x）+mf（x）ln2+2021 对 x（0，+）恒成立， 即为 e2x+mexln2+2021 对 x（0，+）恒成立， 可令 tex（t1） ，则 t2+mtln2+2021 对 t（1，+）恒成立， 可得 m 2+20212 = 2+2021 t 对 t（1，+）恒成立， 第 14 页（共 14 页） 设 h（t）= 2+2021 t，可得 h（t）在 t（1，+）递减， 则 h（t）h（1）ln2+2020， 则 mln2+2020 即 m 的取值范围是ln2+2020，+）
