1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科）学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题一、选择题 1命题“ 0 xR， 0 1 2 2 x ”的否定是( ) A 0 xR， 0 1 2 2 x BxR ， 1 2 2 x CxR ， 1 2 2 x D 0 xR， 0 1 2 2 x 2若直线过两点( 1,1)，(2,13)，则此直线的倾斜角是( ) A30 B60 C150 D120 3 “1a ，1b ”是“1ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4某四棱锥的三视图如图所示
2、，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最大值为( ) A3 2 B2 3 C2 2 D2 5双曲线 2 2 1 3 x y的焦点到渐近线的距离是( ) A1 B2 C3 D2 6O为空间任意一点，A，B，C三点不共线，若 111 326 OPOAOBOC，则A，B， C，P四点( ) A一定不共面 B不一定共面 C一定共面 D无法判断 7圆 22 :2440C xyxy关于直线10 xy 对称的圆的方程是( ) A 22 (1)9xy B 22 (1)3xy 第 2 页（共 19 页） C 22 (3)(2)3xy D 22 (3)(2)9xy 8如果椭圆 22 1 369 xy 的弦被点(4,2)
3、平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A20 xy B5240 xy C280 xy D23120 xy 9蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切 线 的 交 点 必 在 一 个 与 椭 圆 同 心 的 圆 上 ， 该 圆 称 为 原 椭 圆 的 蒙 日 圆 ， 若 椭 圆 22 :1(0) 2 xy Ca aa 的蒙日圆为 22 4xy，(a ) A1 B2 C3 D4 10已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，2PAPDAB， 90APD，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于( ) A4 3 B3 C12 D20
4、11如图所示， 1 F和 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，A和B是以O为 圆心，以 1 |OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 2 F AB是等边三角形，则双 曲线的离心率为( ) A 5 2 B 3 2 C3 D31 12如图，棱长为 1 的正方形体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 AB的中点，M、N分别为 体对角线 1 AC和棱 11 C D上任意一点，则 2 2 PMMN的最小值为( ) A 2 4 B 2 2 C1 D2 二、填空题二、填空题 第 3 页（共 19 页） 13抛物线 2 8xy的准线方程为 14 已知有两条
5、直线60 xmy和(2)320mxym互相平行， 则实数m的值为 15已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，下列命题中： 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 若/ /ab，/ /bc，则/ /ac； 若a 平面，b 平面，则a，b一定是异面直线； 若a，b与c成等角，则/ /ab 真命题是 .（填序号） 16已知直线l经过抛物线 2 : 8 x C y 的焦点，与抛物线交于A，B，且8 AB xx，点D是 弧(AOB O为原点） 上一动点， 以D为圆心的圆与直线l相切， 当圆D的面积最大时， 圆D的 标准方程为 三、解答题三、解答题 17设命题p：实数m满足 2 680mm；命题
6、q：曲线 22 1 15 xy mm 表示双曲线若 p为假命题，pq为真命题，求m的取值范围 18已知，圆 22 :8120C xyy，直线:20l axya （1）当a为何值时，直线l与圆C相切； （2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且2 2AB 时，求直线l的方程 19如图，直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，1AB ，2AC ， 1 2AA ，D，E分 别为BC， 11 AC的中点 （1）证明： 1 / /C D平面ABE； （2）求 1 CC与平面ABE所成角的余弦值 第 4 页（共 19 页） 20已知动圆C过点(1,0)F，且与直线1x 相切 （1）求动圆圆心C的轨迹方程
7、E； （2）已知点(1, 2)P，(8,2)Q，过点Q的直线l交曲线E于点A，B，设直线PA，PB的 斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值，并求出此定值 21 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，A BP C，/ /ADBC，ADCD， 且 2222P CB CA DC D，2PA （1）证明：直线PA 平面ABCD； （2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的余弦值为 37 37 ？如果存 在，求 PM PD 的值；如果不存在，请说明理由 22在平面直角坐标系xOy中已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 3 2 e ，且椭圆
8、C上一点N到左焦点 1 F距离的最大值为23， 过点(3,0)M的直线交椭圆C于点A、B （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆上一点，且满足(0)(OAOBtOP tO为坐标原点） ，当|3AB 时，求 实数t的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2020-2021 学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科）学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1命题“ 0 xR， 0 1 2 2 x ”的否定是( ) A 0 xR， 0 1 2 2 x BxR ， 1 2 2 x CxR ， 1 2 2 x D 0 xR， 0
9、1 2 2 x 【解答】解：命题“ 0 xR， 0 1 2 2 x ”为特称命题， 则其的否定为xR ， 1 2 2 x 故选：C 2若直线过两点( 1,1)，(2,13)，则此直线的倾斜角是( ) A30 B60 C150 D120 【解答】解：过两点( 1,1)，(2,13)的直线的斜率为1 (13)3 123 ， 故直线的倾斜角为150， 故选：C 3 “1a ，1b ”是“1ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： “1a ，1b ” “1ab ” ，反之不成立，例如取 1 2 a ，4b “1a ，1b ”是“1ab ”的
10、充分不必要条件 故选：A 4某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最大值为( ) 第 6 页（共 19 页） A3 2 B2 3 C2 2 D2 【解答】解：根据几何体的三视图转化为几何体的直观图：该几何体为四棱锥体； 如图所示： 其中AE 平面BCDE 1 222 2 ABE S， 1 222 2 ADE S ， 1 22 22 2 2 ABC S ， 22 1 2222 2 2 ACD S， 所以侧面ACD和侧面ABC的面积为最大侧面， 面积为2 2 故选：C 5双曲线 2 2 1 3 x y的焦点到渐近线的距离是( ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：双曲线 2 2
11、 1 3 x y的渐近线为 3 3 yx ， 2 3a ， 2 1b ， 222 3 14cab ，即2C ， 第 7 页（共 19 页） 设一个焦点(2,0)F，渐近线方程为 3 0 3 xy， 则焦点F到其渐近线的距离 2 32 3 |2| 33 1 2 3 3 1() 3 3 d ， 故选：A 6O为空间任意一点，A，B，C三点不共线，若 111 326 OPOAOBOC，则A，B， C，P四点( ) A一定不共面 B不一定共面 C一定共面 D无法判断 【解答】解：O为空间任意一点，A，B，C三点不共线， 111 326 OPOAOBOC， 111 1 326 ， A，B，C，P四点一定
12、共面 故选：C 7圆 22 :2440C xyxy关于直线10 xy 对称的圆的方程是( ) A 22 (1)9xy B 22 (1)3xy C 22 (3)(2)3xy D 22 (3)(2)9xy 【解答】解：圆 22 :2440C xyxy可化为 22 (1)(2)9xy， 故圆C的圆心( 1,2)C ，半径为 3， 设( 1,2)C 关于直线10 xy 对称的点C ( , )m n， 则 2 1 1 12 10 22 n m mn ，解得 1 0 m n ， 故圆C关于直线10 xy 对称的圆的方程是 22 (1)9xy 故选：A 8如果椭圆 22 1 369 xy 的弦被点(4,2)
13、平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A20 xy B5240 xy C280 xy D23120 xy 【解答】解：设弦的端点为 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y， 第 8 页（共 19 页） 代入椭圆方程，得： 22 11 93636 9xy， 22 22 93636 9xy； 得： 12121212 9()()36()()0 xxxxyyyy； 由中点坐标 12 4 2 xx ， 12 2 2 yy ， 代入上式，得 1212 72()144()0 xxyy， 直线斜率为 21 21 1 2 yy k xx ， 所求弦的直线方程为： 1 2(4) 2 yx ， 即28
14、0 xy 故选：C 9蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切 线 的 交 点 必 在 一 个 与 椭 圆 同 心 的 圆 上 ， 该 圆 称 为 原 椭 圆 的 蒙 日 圆 ， 若 椭 圆 22 :1(0) 2 xy Ca aa 的蒙日圆为 22 4xy，(a ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上 找两个特殊点分别为(0,)a，( 2a，0)，则两条切线分别是2xa，ya， 则两条直线的交点为( 2Pa，)a， 而P在蒙日圆上， 所以 22 ( 2)()4aa， 解得1a ， 故选：A 10已知
15、三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，2PAPDAB， 90APD，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于( ) A4 3 B3 C12 D20 第 9 页（共 19 页） 【解答】解：设球心为O，如图 由2PAPDAB，90APD，可求得2 2AD ， 在矩形ABCD中，可求得对角线 22 2(2 2)2 3BD ， 由于点P、A、B、C、D都在同一球面上， 球的半径 1 3 2 RBD 则此球的表面积等于 2 412R 故选：C 11如图所示， 1 F和 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，A和B是以O为 圆心，以 1
16、 |OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 2 F AB是等边三角形，则双 曲线的离心率为( ) A 5 2 B 3 2 C3 D31 【解答】解：连接 1 AF，则 12 90F AF， 2 60AF B， 1 |AFc， 2 |3AFc， 32cca， 2 31 31 e ， 故选：D 第 10 页（共 19 页） 12如图，棱长为 1 的正方形体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 AB的中点，M、N分别为 体对角线 1 AC和棱 11 C D上任意一点，则 2 2 PMMN的最小值为( ) A 2 4 B 2 2 C1 D2 【解答】解：如图：MN的最小值就是M到 11
17、C D的距离， 2 2 恰好是MN与平面 11 CDDC所 成角的正弦函数值，就是M到平面 11 CDDC的距离， 2 2 PMMN的最小值为，P到 11 CDDC平面的距离 所以 2 2 PMMN的最小值为：1 故选：C 二、填空题二、填空题 13抛物线 2 8xy的准线方程为 2y 【解答】解：抛物线的方程为 2 8xy， 抛物线开口向上，28p ，可得2 2 p 因此抛物线的焦点为(0,2)，准线方程为2y 故答案为：2y 第 11 页（共 19 页） 14已知有两条直线60 xmy和(2)320mxym互相平行，则实数m的值为 1 【解答】解：由两条直线60 xmy和(2)320mxy
18、m互相平行可得 111 222 abc abc ， 即 16 232 m mm ， 解得1m ， 故答案为1 15已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，下列命题中： 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 若/ /ab，/ /bc，则/ /ac； 若a 平面，b 平面，则a，b一定是异面直线； 若a，b与c成等角，则/ /ab 真命题是 .（填序号） 【解答】解：由a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，知： 对于，在正方体 1111 ABCDABC D中， ABBCB，ABADA，/ /BCAD， ABBCB， 1 ABAAA，BC与 1 AA是异面直线， ABBCB， 1 AB
19、BBB， 1 BCBBB， a与b相交，b与c相交，则a与c相交、平行或异面，故错误； 对于，若/ /ab，/ /bc，则由平行公理得/ /ac，故正确； 对于，若a 平面，b 平面，则a，b有可能是共面直线，故错误； 对于，若a，b与c成等角，则a与b相交、平行或异面，故错误 故答案为： 第 12 页（共 19 页） 16已知直线l经过抛物线 2 : 8 x C y 的焦点，与抛物线交于A，B，且8 AB xx，点D是 弧(AOB O为原点） 上一动点， 以D为圆心的圆与直线l相切， 当圆D的面积最大时， 圆D的 标准方程为 22 (4)(2)8xy 【解答】解：设( A A x，) A y
20、，( B B x，) B y， 因为点A，B在抛物线 2 : 8 x C y 上， 所以 2 8 A A x y ， 2 8 B B x y ， 两式相减得， 22 8 AB AB xx yy ， 即 ()() 8 ABAB AB xxxx yy ， 所以 8 ABAB AB yyxx xx ， 又因为8 AB xx， 所以1 8 ABAB AB yyxx xx k， 所以直线l的方程为2yx， 联立 2 2 8 yx x y ，解得 44 2 64 2 x y 或 44 2 64 2 x y ， 所以(44 2A，64 2)，(44 2B，64 2) 设点 2 ( ,) 8 t D t， 因
21、为点D是弧(AOB O为原点）上一动点， 所以44 244 2t ，且 2 20 8 t t ， 第 13 页（共 19 页） 当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大， 点D到直线l的距离 2 2 22 |2| 2 8 (2) 28 1( 1) t t t dt 2 2 221 (2)4(4) 2828 t tt， 当4t 时，2 2d 最大 ， 所以圆D的标准方程为 22 (4)(2)8xy 故答案为： 22 (4)(2)8xy 三、解答题三、解答题 17设命题p：实数m满足 2 680mm；命题q：曲线 22 1 15 xy mm 表示双曲线若 p为假命题，pq为真命题，求m的取值范围
22、 【解答】解：命题p：实数m满足 2 680mm；得:24pm， 若命题q：曲线 22 1 15 xy mm 表示双曲线 则(1)(5)0mm，得15m ，即: 15qm 若p为假命题，pvq为真命题， 则q为真命题 则由4m或2m以及15m 联立可得 45m或12m ， 即实数m的取值范围是|45mm或12m 18已知，圆 22 :8120C xyy，直线:20l axya （1）当a为何值时，直线l与圆C相切； 第 14 页（共 19 页） （2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且2 2AB 时，求直线l的方程 【解答】解：将圆C的方程 22 8120 xyy配方得标准方程为 22 (4)
23、4xy， 则此圆的圆心为(0,4)，半径为 2 （1）若直线l与圆C相切，则有 2 |42 | 2 1 a a 解得 3 4 a （2）联立方程 22 20 8120 axya xyy 并消去y， 得 2222 (1)4(2 )4(43)0axaa xaa 设此方程的两根分别为 1 x、 2 x， 所以 2 12 2 4(2 ) 1 aa xx a ， 2 12 2 4(43) 1 aa x x a 则 2222 12121212 ()()(1)()42 2ABxxyyaxxx x 两边平方并代入解得：7a 或1a ， 直线l的方程是7140 xy和20 xy 另解：圆心到直线的距离为 2 |
24、42 | 1 a d a ， 2 2 22 4ABd，可得2d ， 解方程可得7a 或1a ， 直线l的方程是7140 xy和20 xy 19如图，直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，1AB ，2AC ， 1 2AA ，D，E分 别为BC， 11 AC的中点 （1）证明： 1 / /C D平面ABE； （2）求 1 CC与平面ABE所成角的余弦值 第 15 页（共 19 页） 【解答】 （1）证明：取AB的中点H，连结EH，HD， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 1/ / ECAC，且 1 1 2 ECAC， 因为D为BC的中点，H为AB的中点， 所以/ /HDAC，且 1 2
25、HDAC， 所以 1/ / ECHD，且 1 ECHD， 则四边形 1 DHEC为平行四边形， 所以 1/ / DCHE，又EH 平面ABE， 1 DC 平面ABE， 所以 1 / /C D平面ABE； （2）解：在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC， 所以 1 AAAB， 又因为ABAC，且 1 ACAAA， 所以AB 平面 11 ACC A， 在平面 11 ACC A内过 1 A作 1 AFAE于F， 因为 1 AF 平面 11 ACC A， 第 16 页（共 19 页） 所以 1 ABAF，又ABAEA， 所以 1 AF 平面ABE，又 11 / /CCAA， 所以
26、 1 A AE即为 1 CC与平面ABE所成的角， 因为 1 2AA ， 1 1AE ， 所以5AE ， 所以 1 22 5 cos 55 A AE， 故 1 CC与平面ABE所成角的余弦值为 2 5 5 20已知动圆C过点(1,0)F，且与直线1x 相切 （1）求动圆圆心C的轨迹方程E； （2）已知点(1, 2)P，(8,2)Q，过点Q的直线l交曲线E于点A，B，设直线PA，PB的 斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值，并求出此定值 【解答】 （1）解：设圆心( , )C x y，因为动圆C过点(1,0)F，且与直线1x 相切， 所以有 22 (1)|1|xyx，化简可得
27、 2 4yx，所以动圆圆心的轨迹方程为 2 4yx； （2）证明：显然直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为8(2)xm y， 联立方程组 2 4 8(2) yx xm y ，可得 2 48320ymym， 则 22 164(832)16(28)0mmmm， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 4yym， 12 832y ym， 又(1, 2)P， 所以 1212 12 22 121212 222216 11(2)(2) 11 44 yyyy yyxxyy k k 1212 16164 2()4832847y yyymm ， 所以 12 k k为定值，且定值为
28、 4 7 21 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，A BP C，/ /ADBC，ADCD， 且 2222P CB CA DC D，2PA 第 17 页（共 19 页） （1）证明：直线PA 平面ABCD； （2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的余弦值为 37 37 ？如果存 在，求 PM PD 的值；如果不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明：/ /ADBC，ADCD，且222 2BCADCD， 2ABAC， ABAC， 又ABPC，ACPCC，AC、PC 平面PAC， AB平面PAC， ABPA， 2PAAC，2 2PC ，PAAC， 又ABACA，AB、AC 平
29、面ABCD， PA平面ABCD （2）解：假设存在点M满足题意，过点M作/ /MNPA，交AD于点N，取BC的中点E， 连接AE，则AE，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，AE，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则(0A，0，0)，( 2C，2，0)，(0D，2，0)，(0P，0，2)， 第 18 页（共 19 页） ( 2AC ，2，0)， 设(0,1) PM PD ，则(0M，2，22 )， (0AM ，2，22 )， 设平面MAC的法向量为(nx，y，) z，则 0 0 n AC n AM ，即 220 2(22 )0 xy yz ， 令1y ，
30、则1x ， 2(1) z ，(1n ，1，) 2(1) ， 由（1）知，(0AP ，0，2)是平面ACD的一个法向量， 二面角MACD的余弦值为 37 37 ， |cosAP， 2 2 372(1) | | | 37| | 22() 2(1) AP n n APn ， 化简得， 2 8210 ， 解得 1 4 或 1 2 ， (0,1)， 1 4 ， 故存在点M满足题意，且 1 4 PM PD 22在平面直角坐标系xOy中已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 3 2 e ，且椭圆 C上一点N到左焦点 1 F距离的最大值为23， 过点(3,0)M的直线交椭圆C于点A、B
31、 （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆上一点，且满足(0)(OAOBtOP tO为坐标原点） ，当|3AB 时，求 实数t的取值范围 【解答】解： （1） 222 2 22 3 4 cab e aa ， 22 4ab，又因23ac， 222 cab， 解得， 2 1b ， 2 4a ，故椭圆方程为， 2 2 1 4 x y （2） 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，( , )P x y， 由题知直线AB的斜率存在， 直线AB的为(3)yxk， 由 2 2 (3) 1 4 yx x y k ，整理得 2222 (14)243640 xxkkk， 第 19 页（共 19
32、 页） 则 2 12 2 24 14 xx k k ， 2 12 2 364 14 x x k k ， 2222 ( 24)16(91)(14)0 kkk，解得 2 1 5 k， 由题意得 1212 (,)( , )OAOBxxyyt x y， 则 2 12 2 124 () (14) xxx tt k k ， 1212 2 116 () ()6 (14) yyyxx ttt k kk k ， 由点P在椭圆上，得 222 222222 (24)144 4 (14)(14)tt kk kk ，化简得 222 36(14)tkk， 由 2 12 |1|3ABxxk，得 22 1212 (1)()43xxx xk， 将 12 xx， 12 x x代入化简得， 22 (81)(1613)0kk，得 2 810 k， 由式得， 2 2 22 369 9 1414 t k kk ， 由得 2 3t ，0t ， 03t ， 故实数t的范围为：03t
