1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年辽宁省抚顺市六校高二（上）期末数学试卷学年辽宁省抚顺市六校高二（上）期末数学试卷 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）直线320 xy的倾斜角为( ) A 3 B 4 C 3 4 D 2 3 2 （5 分） 25 3 ()x x 的展开式中 4 x的系数是( ) A90 B80 C70 D60 3 （5 分）抛物线 2 20 xy的准线方程为( ) A5x B5y C5x D5y 4 （5 分）设m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则
2、下列结论正确的 是( ) A若/ /，m，n，则/ /mn B若，m，n，则mn C若/ /mn，m，则n D若m，/ /n，则/ /mn 5 （5 分）已知直线 1: 0laxbya， 2: 0lxayb，若 12 / /ll，且这两条直线间的距离 为 1，则点( , )P a b到坐标原点的距离为( ) A2 3 B3 3 C12 D27 6（5 分） 正三棱柱 111 ABCABC的底面边长和高均为 2， 点D为侧棱 1 CC的中点， 连接AD， BD，则点 1 C到平面ABD的距离为( ) A 7 2 B 5 2 C 3 2 D 2 2 7 （5 分）在三棱锥ABCD中，AB 平面BC
3、D，2AB ，4BC ，3CD ，5BD ， 点E在棱AD上，且2AEED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( ) A 6 4 B 3 5 C 3 17 17 D 3 26 26 8 （5 分） 在三棱锥PABC中，4ABAC，120BAC，4 3PBPC， 平面PBC 平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为( ) A40 B80 C 80 3 D80 2 二选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得二选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分，部 第 2 页（共 17 页） 分选对的得分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错
4、的得 0 分分 9 （5 分）已知直线l的方程为20axby，下列判断正确的是( ) A若0ab ，则l的斜率小于 0 B若0b ，0a ，则l的倾斜角为90 Cl可能经过坐标原点 D若0a ，0b ，则l的倾斜角为0 10 （5 分） 6 n C的值可能为( ) A6 B12 C15 D20 11 （5 分）已知空间向量( 2, 1,1)a ，(3,4,5)b ，则下列结论正确的是( ) A(2) / /aba B5|3 |ab C(56 )aab Da与b夹角的余弦值为 3 6 12 （5 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆
5、上，且 112 PFFF， 1 4 | 3 PF ， 2 14 | 3 PF 过点( 2,1)M 的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B 关于点M对称，则下列结论正确的有( ) A椭圆的方程为 22 1 94 xy B椭圆的焦距为5 C椭圆上存在 4 个点Q，使得 12 0QF QF D直线l的方程为89250 xy 三填空题：把答案填在答题卡中的横线上三填空题：把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）经过点(2, 1)A且和圆 22 :6610C xyxy 相切的直线l的方程为 14 （5 分）若五位游客与两位导游站成一排拍照，则两位导游相邻的不同排法数为 15 （5 分）设O为坐标原点，
6、直线xa与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分 别交于D，E两点若C的焦距为 4，则ODE面积的最大值为 16 （5 分）已知P是圆 22 :2410C xyxy 外一点，过P作圆C的两条切线，切点分 别为A，B，则PA PB的最小值为 ；此时 2 |PC 第 3 页（共 17 页） 四解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在椭圆C的长轴长为 8； 椭圆C与双曲线 2 2 1 3 x y有相同的焦点； 1 F， 2 F与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个
7、，补充在下 面的问题中，并作答 问题：已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 F垂直于x轴的 弦长为 6，且_ （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点( 2, 2)A ，点M是椭圆C上的任意一点，求 2 |MAMF的最大值 18（12 分） 已知双曲线 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点(2 2,1)A， 且实轴长是半焦距的 4 5 5 倍 （1）求双曲线C的标准方程 （2）若直线:20l xy与双曲线C交于P，Q两点，求|PQ 19 （12 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，M为线段 1 AC的中
8、点，N为棱 11 AD的中 点，且 111 AAAB （1）证明： 1 MNAC （2）若 11 2 2BC ， 1 2AA ，求 1 B M与平面 11 AC D所成角的正弦值 20（12 分） 在如图所示的四棱锥PABCD中，/ /BCAD，ABAD，4AB ， 1 3 2 BCAD， PAPB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB 平面ABCD （1）证明：/ /EF平面PCD （2）若2 2PA，求二面角ECFA的余弦值 第 4 页（共 17 页） 21 （12 分）设A，B是平面上两点，则满足 | | PA PB k（其中k为常数，0k且1)k的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先
9、由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆，已知( 6,0)A， 6 (,0) 2 B，且2k （1）求点P所在圆M的方程 （2）已知圆 22 :(2)(2)5xy与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边） ，斜率不 为 0 的直线l过点D且与圆M交于E，F两点，证明：ECDFCD 22 （12 分）已知 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y是抛物线 2 :4C yx上两个不同的点，C的焦点为 F （1）若直线AB过焦点F，且 22 12 32yy，求|AB的值； （2）已知点( 2,2)P ，记直线PA，PB的斜率分别为 PA k， PB k，且1 PAPB
10、kk，当直 线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足0PD AB，求点D的轨迹方 程 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年辽宁省抚顺市六校高二（上）期末数学试卷学年辽宁省抚顺市六校高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）直线320 xy的倾斜角为( ) A 3 B 4 C 3 4 D 2 3 【解答】解：直线320 xy的斜率为3，故倾斜角为 2 3 ， 故选：D 2 （5 分） 25 3 ()x x 的展开
11、式中 4 x的系数是( ) A90 B80 C70 D60 【解答】解： 25 3 ()x x 的展开式的通项公式为 2510 3 155 3 ()( )3 rrrrrr r TCxC x x ， 令1034r，得2r ，则 4 x的系数为 22 5 390C， 故选：A 3 （5 分）抛物线 2 20 xy的准线方程为( ) A5x B5y C5x D5y 【解答】解：因为 2 2(0)xpy p的准线方程为 2 p y ， 而220p ，所以10P ， 故所求准线方程为5y 故选：B 4 （5 分）设m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的 是( ) A若/ /，m，
12、n，则/ /mn B若，m，n，则mn C若/ /mn，m，则n D若m，/ /n，则/ /mn 【解答】解：对于A，若/ /，m，n，则/ /mn，或m，n异面，故A错误； 若，m，n，则m，n相交、平行或异面，故B错误； 若/ /mn，m，由线面垂直的性质定理可得n，故C正确； 第 6 页（共 17 页） 若m，/ /n，则/ /mn，或m，n相交、异面，故D错误 故选：C 5 （5 分）已知直线 1: 0laxbya， 2: 0lxayb，若 12 / /ll，且这两条直线间的距离 为 1，则点( , )P a b到坐标原点的距离为( ) A2 3 B3 3 C12 D27 【解答】解：
13、由题意可知，0a ， 因为 12 / /ll，所以 2 ab， 又直线 2 l的方程可化为 2 0axa yab， 则两条直线间的距离 22 | 1 aab d ab ，解得3a ，3b ， 所以点( , )P a b到坐标原点的距离为392 3 故选：A 6（5 分） 正三棱柱 111 ABCABC的底面边长和高均为 2， 点D为侧棱 1 CC的中点， 连接AD， BD，则点 1 C到平面ABD的距离为( ) A 7 2 B 5 2 C 3 2 D 2 2 【解答】解：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，O为 11 AB的中点， 由已知，得( 1A ，0，2)，(1B，0，2)，(0, 3,1
14、)D， 1(0, 3,0) C， (2,0,0)AB ，(1, 3, 1)AD ， 设平面ABD的法向量为( , , )nx y z， 由 20 30 n ABx n ADxyz ，取1y ，可得(0,1, 3)n ， 第 7 页（共 17 页） 又 1 (0,0,1)C D ， 点 1 C到平面ABD的距离为 1 |3 |2 C D n n 故选：C 7 （5 分）在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，2AB ，4BC ，3CD ，5BD ， 点E在棱AD上，且2AEED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( ) A 6 4 B 3 5 C 3 17 17 D 3 26 26 【解答】 解
15、： 在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，2AB ，4BC ，3CD ，5BD ， 以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，过B作BA为z轴， 建立空间直角坐标系， 则(0A，0，2)，(0B，0，0)，(0C，4，0)，( 3D ，4，0)， 点E在棱AD上，且2AEED， 2 ( 2 3 AEAD ， 8 3 ， 4) 3 ，( 2BEBAAE ， 8 3 ， 2) 3 ，( 3CD ，0，0)， 设异面直线BE与CD所成角为， 则 |63 26 cos 26| |104 3 9 BE CD BECD 异面直线BE与CD所成角的余弦值为 3 26 26 故选：D 8
16、（5 分） 在三棱锥PABC中，4ABAC，120BAC，4 3PBPC， 平面PBC 平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为( ) A40 B80 C 80 3 D80 2 【解答】 解： 如图， 设ABC外接圆的圆心为 1 O， 连接 1 OC， 1 O A， 1 BCO AH， 连接PH 第 8 页（共 17 页） 由题意可得，AHBC，且 1 1 2 2 AHO A， 1 2 3 2 BHBC 因为平面PBC 平面ABC，且PBPC， 所以PH 平面ABC，且 22 (4 3)(2 3)6PH 设O为三棱锥PABC外接球的球心， 连接 1 OO，OP，OC， 过O作ODPH， 垂
17、足为D， 则外接球的半径R满足 22222 111 4(6)ROOOOO H， 所以 22 11 16(6)4OOOO，解得 1 2OO ， 从而 2 20R ， 故三棱锥PABC外接球的表面积为 2 480R 故选：B 二选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得二选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分，部 分选对的得分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知直线l的方程为20axby，下列判断正确的是( ) A若0ab ，则l的斜率小于 0 B若0b ，0a ，则l的倾斜角为90 Cl可能经过坐标
18、原点 D若0a ，0b ，则l的倾斜角为0 【解答】解：根据题意，依次判断选项： 对于A，直线l的方程为20axby，若0ab ，则 2b yx aa ，则其斜率为0 b a ， A正确； 对于B，若0b ，0a ，则直线l的方程为 2 x a ，其倾斜角为90，B正确， 对于C，直线l的方程为20axby，0 x 且0y 时，等式不成立，即直线l不经过原 点，C错误， 第 9 页（共 17 页） 对于D，若0a ，0b ，则直线l的方程为 2 y b ，其倾斜角为0，D正确， 故选：ABD 10 （5 分） 6 n C的值可能为( ) A6 B12 C15 D20 【解答】解： 06 66
19、1CC， 15 66 6CC， 3 6 20C ， 24 66 15CC 故选：ACD 11 （5 分）已知空间向量( 2, 1,1)a ，(3,4,5)b ，则下列结论正确的是( ) A(2) / /aba B5|3 |ab C(56 )aab Da与b夹角的余弦值为 3 6 【解答】解：因为2( 1,2,7)ab ，( 2, 1,1)a ，而 127 211 ，故A不正确； 因为|6a ，| 5 2b ，所以5|3 |ab，故B正确； 因为 2 (56 )560aabaa b，故C正确； 又 53 cos, 665 2 a b ，故D正确 故选：BCD 12 （5 分）设椭圆 22 22
20、1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆上，且 112 PFFF， 1 4 | 3 PF ， 2 14 | 3 PF 过点( 2,1)M 的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B 关于点M对称，则下列结论正确的有( ) A椭圆的方程为 22 1 94 xy B椭圆的焦距为5 C椭圆上存在 4 个点Q，使得 12 0QF QF D直线l的方程为89250 xy 【解答】解：由椭圆的定义知 12 2| 6aPFPF，故3a ， 因为 112 PFFF，所以 22 1221 |2 52FFPFPFc，所以5c ，2b ， 第 10 页（共 17 页） 所以椭圆的方程为
21、 22 1 94 xy ， 所以椭圆的焦距为22 5c ，则A正确，B错误， 由 12 0QF QF知 12 90FQF，故点Q在以 12 FF为直径的圆上， 由cb知圆与椭圆有 4 个交点，C正确， 依题意知点( 2,1)M 为弦AB的中点，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 22 11 22 22 1 94 1 94 xy xy ，两式作差可得 12121212 ()()()() 0 94 xxxxyyyy ， 因为 12 4xx ， 12 2yy，所以 12 12 8 9 AB yy xx k， 故直线l的方程为： 8 1(2) 9 yx ，即89250 xy
22、，D正确， 故选：ACD 三填空题：把答案填在答题卡中的横线上三填空题：把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）经过点(2, 1)A且和圆 22 :6610C xyxy 相切的直线l的方程为 420 xy 【解答】解：由题可知点A为圆C上一点，圆C的圆心坐标为(3,3)， 所以 31 4 32 AC k，则直线l的斜率为 1 4 ， 所以直线l的方程为 1 1(2) 4 yx ，即420 xy 故答案为：420 xy 14（5 分） 若五位游客与两位导游站成一排拍照， 则两位导游相邻的不同排法数为 1440 【解答】解：由捆绑法可得两位导游相邻的不同排法数为 62 62 1440A A 故
23、答案为：1440 15 （5 分）设O为坐标原点，直线xa与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分 别交于D，E两点若C的焦距为 4，则ODE面积的最大值为 2 【解答】解：不妨设D在第一象限，E在第四象限， 联立方程组 , , xa b yx a ，解得 , , xa yb ， 第 11 页（共 17 页） 故( , )D a b，同理可得( ,)E ab， 所以| 2EDb 1 2 2 ODE Sabab 因为C的焦距为 4，所以2c ， 222 2cabab， 解得2ab，当且仅当2ab时取等号， 所以 ODE S的最大值为 2 故答案为：2 16 （5
24、分）已知P是圆 22 :2410C xyxy 外一点，过P作圆C的两条切线，切点分 别为A，B，则PA PB的最小值为 12 218 ；此时 2 |PC 【解答】解：圆C的标准方程为 22 (1)(2)6xy，则圆C的半径为6 设|PCd，则 2 | |6PAPBd， 因为 6 sinAPC d ，所以 2 2 612 cos12()1APB dd ， 所以 22 22 1272 (6)(1)18 2 721812 218PA PBdd dd ， 当且仅当 2 2 72 d d ，即 2 6 26d 时，等号成立，故PA PB的最小值为12 218 故答案为：12 218；6 2 四解答题：解
25、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在椭圆C的长轴长为 8； 椭圆C与双曲线 2 2 1 3 x y有相同的焦点； 1 F， 2 F与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下 面的问题中，并作答 问题：已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 F垂直于x轴的 弦长为 6，且_ （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点( 2, 2)A ，点M是椭圆C上的任意一点，求 2 |MAMF的最大值 【解答】解：选 （1）由题意知28a ，4a
26、因为过点 1 F垂直于x轴的弦长为 6， 第 12 页（共 17 页） 所以 2 2 6 b a ， 2 12b ， 则椭圆C的标准方程为 22 1 1612 xy 选 （1）设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，则 2 3 14c ，2c 因为过点 1 F垂直于x轴的弦长为 6，所以 2 2 6 b a ，即 2 3ba 由 22 23aa，解得 2 16a ， 2 12b 所以椭圆C的标准方程为 22 1 1612 xy 选 （1）设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，则2ac 因为过点 1 F垂直于x轴的弦长为 6所以 2 2 6 b a ，即 2 3ba 由 22 (2
27、 )3 2ccc ，得2c ，从而 2 16a ， 2 12b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 1612 xy （2）由题意知 1( 2,0) F ， 2(2,0) F 因为 12 | 28MFMFa， 所以 21 | 8 |MAMFMAMF 所以当M， 1 F，A三点共线时， 1 |MAMF取得最大值 又因为 11 (|)|2 max MAMFAF， 所以 21 (|)8 | 82 max MAMFAF ， 所以 2 |MAMF的最大值为82 18（12 分） 已知双曲线 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点(2 2,1)A， 且实轴长是半焦距的 4 5 5 倍 （1）求
28、双曲线C的标准方程 （2）若直线:20l xy与双曲线C交于P，Q两点，求|PQ 【解答】解： （1）实轴长是半焦距的 4 5 5 倍， 4 5 2 5 ac，即 2 5 5 ac 双曲线C经过点(2 2,1)A， 22 81 1 ab 第 13 页（共 17 页） 222 cab，2a，1b ，5c 故双曲线C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）设P，Q的坐标分别为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y 联立方程组 2 2 2, 1, 4 yx x y 得 2 316200 xx， 则 12 16 3 xx ， 12 20 3 x x 故 22 121212 4 2 |1|2
29、()4 3 PQxxxxx xk 19 （12 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，M为线段 1 AC的中点，N为棱 11 AD的中 点，且 111 AAAB （1）证明： 1 MNAC （2）若 11 2 2BC ， 1 2AA ，求 1 B M与平面 11 AC D所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：法一：如图，连接AN， 1 NC，设 111 2AAC Da， 11 2BCb 因为 1 AA 平面 1111 ABC D，所以 2222 11 4ANAAANab， 又 1111 C DAD，所以 22 1 4C Nab，即 1 ANC N， 因为M为线段 1 AC的中点，
30、所以 1 MNAC 法二：如图，以 1 A为坐标原点，分别以 11 AB， 11 AD， 1 A A的方向为x，y，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系 1 Axyz设 111 2AAC Da， 11 2BCb， 则(0A，0，2 )a， 1(2 Ca，2b，0)，(M a，b，)a，(0N，b，0)， 所以(,0,)MNaa ，1(2 ,2 , 2 )ACaba， 所以 1 0MN AC，从而 1 MNAC 第 14 页（共 17 页） （2）解：如同（1）建立空间直角坐标系 因为 11 2 2BC ， 1 2AA ，所以2b ，1a ， 所以 1(2,2 2,0) C， 1(0,2 2,0)
31、 D， 1(2 B，0，0)，(1, 2,1)M， 则1(2,2 2, 2)AC ， 11 ( 2,0,0)C D ， 1 ( 1, 2,1)B M 设平面 11 AC D的法向量为( , , )nx y z， 则 1 11 0, 0, ACn C Dn 即 22 220, 20, xyz x 令1y ，得(0,1,2)n 设 1 B M与平面 11 AC D所成角为则 1 1 |2 26 sin 3|2 3 B M n B Mn ， 所以 1 B M与平面 11 AC D所成角的正弦值为 6 3 20（12 分） 在如图所示的四棱锥PABCD中，/ /BCAD，ABAD，4AB ， 1 3
32、2 BCAD， PAPB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB 平面ABCD （1）证明：/ /EF平面PCD （2）若2 2PA，求二面角ECFA的余弦值 【解答】 （1）证明：因为E，F分别为PA，AD的中点， 所以/ /EFPD， 因为PD 平面PCD，EF 平面PCD， 所以/ /EF平面PCD 第 15 页（共 17 页） （2）解：取AB的中点O，连接OP 因为PAPB， 所以OPAB， 因为平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB， 所以OP 平面ABCD 过点O在平面ABCD内作AB的垂线l， 则PO，AB，l两两垂直 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
33、系Oxyz， 因为 1 2 2,4,3 2 PAABBCAD， 所以(1E，0，1)，(2F，3，0)，( 2C ，3，0)，(3, 3,1),(4,0,0)CECF， 设平面CEF的法向量为( , , )mx y z， 所以 0 0 m CE m CF ，即 330 40 xyz x ， 可取(0,1,3)m ， 显然平面CAF的一个法向量为(0,0,1)n ， 因为 3 10 cos, |10 m n m n m n ，且二面角ECFA为锐二面角， 所以二面角ECFA余弦值为 3 10 10 21 （12 分）设A，B是平面上两点，则满足 | | PA PB k（其中k为常数，0k且1)k
34、的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆，已知( 6,0)A， 6 (,0) 2 B，且2k （1）求点P所在圆M的方程 第 16 页（共 17 页） （2）已知圆 22 :(2)(2)5xy与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边） ，斜率不 为 0 的直线l过点D且与圆M交于E，F两点，证明：ECDFCD 【解答】 （1）解：由题意可得， | 2 | PA PB ，即|2 |PAPB， 设( , )P x y，则 2222 6 (6)2() 2 xyxy， 整理得 22 3xy， 故圆M的方程为 22 3xy （2）证明：对于圆，令0y
35、 ，得1x 或3x ， 所以( 3,0)C ，( 1,0)D 设直线l的方程为1xty， 1 (E x， 1) y， 2 (F x， 2) y 由 22 1 3 xty xy ，得 22 (1)220tyty， 则 12 2 2 1 t yy t ， 12 2 2 1 y y t 所以 22 12122112211212 1212121212 22 (3)(3)(2)(2) 11 220 33(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3) CECF tt yyy xyxy y ty tyty yyy tt xxxxxxxxxx kk ， 则直线EC与FC关于x轴对称，即ECDFCD 22 （
36、12 分）已知 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y是抛物线 2 :4C yx上两个不同的点，C的焦点为 F （1）若直线AB过焦点F，且 22 12 32yy，求|AB的值； （2）已知点( 2,2)P ，记直线PA，PB的斜率分别为 PA k， PB k，且1 PAPB kk，当直 线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足0PD AB，求点D的轨迹方 程 【解答】解： （1）抛物线 2 :4C yx的焦点坐标为(1,0)F， 若直线AB过焦点F，设直线AB的方程为1xty， 与抛物线方程联立，消去x，可得 2 440yty， 第 17 页（共 17 页） 则
37、12 4yyt， 12 4y y ， 所以 2222 121212 ()216832yyyyy yt， 解得 6 2 t ， 所以 2 1212 | |2()44410ABAFBFxxt yyt； （2） 设 2 1 ( 4 y A， 1) y， 2 2 ( 4 y B， 2) y， 直线AB过定点( ,0)m， 直线AB的方程为()yxmk， 由 2 4 yxm yx kk 可得 2 440yymkk， 则 12 4 yy k ， 12 4y ym ， 2 16160mk， 又1 PAPB kk，即 12 22 12 22 1 22 44 yy yy ， 化为 2 12 121212 ()1 ()2()40 416 y y y yyyyy， 即为 2 48 40mm kk ， 上式对0k恒成立可得2m ， 由0PD AB，可得PDAB， 可得直线PD的方程为 1 2(2)yx k ，与方程2yxkk联立， 消去k，可得 22 240 xyy，2x ， 上式即为D的轨迹方程
