2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知全集 1U ，0，1，2，3，4，集合0A，1，2，则( UA ) A3，4 B 1，3，4 C0，1，2 D 1，4 2 （4 分）已知向量( 1,2)a ，( ,4)bx，且ab，则| (b ) A2 5 B4 3 C4 5 D8 3 （4 分）某三棱锥的三

2、视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的体积为( ) A 4 3 B 8 3 C3 D4 4 （ 4分）已知等比数列 n a的各项均为正数，且 3 9a ，则 3132333435 l o gl o gl o gl o gl o g(aaaaa ) A 5 2 B 5 3 C10 D15 5 （4 分）设抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点若 | 4PF ，则| (PM ) A21 B5 C2 7 D4 2 6 （4 分）已知函数( )cos(2) 6 f xx ，给出下列四个结论：函数( )f x是周

3、期为的偶函数；函数( )f x在区间 7 , 12 12 上单调递减；第 2 页（共 21 页）函数( )f x在区间0, 2 上的最小值为1；将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度后，所得图象与( )sin2g xx的图象重合其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 7 （4 分）已知定义在R上的奇函数( )f x满足(2)( )f xf x，且f（1）0，当(0,1)x 时，( )2xf xx设af（5）， 1 ( ) 3 bf， 5 () 2 cf，则a，b，c的大小关系为( ) Abac Bacb Ccab Dbca 8 （4 分）已知圆 22 :4C x

4、y，直线:0l xyt ，则“l与C相交”是“| | 2t ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足若| |DFDA，则C的离心率为( ) A2 2 B2 C3 D2 10 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线(0)ymx m与曲线 3 yx从左至右依次交于A，B，C三点若直线:30()lxyRkk上存在点P满足| 2PAPC，则实数 k的取值范围是( ) A( 2,2) B 2 2,2 2

5、C(，2)(2，) D(, 2 22 2,) 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）设aR若复数(1)ziai为纯虚数，则a ， 2 z 12 （5 分）在 26 1 ()x x 的展开式中，常数项是（用数字作答） 13 （5 分）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据周髀算经记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，第 3 页（共 21 页）股为四，则弦为五一般地，像(3，4，5)这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组若从(3，4，

6、5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15， 17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取 1 组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为 14 （5 分）若函数( )sin()cosf xxx为偶函数，则常数的一个取值为 15（5 分）设函数( )yf x的定义域为D，若对任意 1 xD，存在 2 xD，使得 12 ( )()1f xf x，则称函数( )f x具有性质M，给出下列四个结论：函数 3 yxx不具有性质M；函数 2 xx ee

7、 y 具有性质M；若函数 8 log (2)yx，0 x， t具有性质M，则510t ；若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，则5a 其中，正确结论的序号是三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）在ABC中， 7 cos 8 A ，3c ，且bc，再从条件、条件中选择一个作为已知，求：（）b的值；（）ABC的面积条件：sin2sinBA；条件：sinsin2sinABC 17 （13 分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了 400

8、名用户，从 B地区随机抽取了 100 名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分该公司将收集到的数据按照20，40)，40，60)，60，80)，80，100分组，绘制成评分频率分布直方图如图：第 4 页（共 21 页）（）从A地区抽取的 400 名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于 60 分的概率；（）从B地区抽取的 100 名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于 80 分的个数为X，求X的分布列和数学期望；（）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的 400 名用户对该公司产品的评分的平均值为 1 ，B地

9、区抽取的 100 名用户对该公司产品的评分的平均值为 2 ，以及A，B两个地区抽取的 500 名用户对该公司产品的评分的平均值为 0 ，试比较 0 和 12 2 的大小（结论不要求证明） 18 （14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD 平面ABCD， PAPD，PAPD， 3 BAD ，E是线段AD的中点，连结BE （）求证：BEPA；（）求二面角APDC的余弦值；（）在线段PB上是否存在点F，使得/ /EF平面PCD？若存在，求出 PF PB 的值；若不存在，说明理由 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3

10、(1,) 2 ，且C的离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程；（）过点(1,0)P的直线l交椭圆C于A，B两点，求| |PAPB的取值范围第 5 页（共 21 页） 20 （15 分）已知函数 2 ( )(2)()f xlnxaxax aR （）当0a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程；（）求( )f x的单调区间；（）若( )f x恰有两个零点，求实数a的取值范围 21（15 分）已知无穷数列 n a满足：10a ， 2* 1 ( nn aac nN ，)cR 对任意正整数2n，记 | n Mc对任意1i，2，3，n，|2 i a ， |Mc对任意 * iN

11、，|2 i a （）写出 2 M， 3 M；（）当 1 4 c 时，求证：数列 n a是递增数列，且存在正整数k，使得cM k；（）求集合M 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知全集 1U ，0，1，2，3，4，集合0A，1，2，则( UA ) A3，4

12、B 1，3，4 C0，1，2 D 1，4 【解答】解： 1U ，0，1，2，3，4，0A，1，2， 1 UA ，3，4 故选：B 2 （4 分）已知向量( 1,2)a ，( ,4)bx，且ab，则| (b ) A2 5 B4 3 C4 5 D8 【解答】解：根据题意，向量( 1,2)a ，( ,4)bx，若ab，则80a bx ，则8x ，故(8,4)b ，则|64164 5b ，故选：C 3 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的体积为( ) A 4 3 B 8 3 C3 D4 【解答】解：由三视图还原原几何体如图，第 7 页（共 21

13、页）该几何体为三棱锥PABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形， 2ABBC，ABBC，三棱锥的高为2PO 该三棱锥的体积为 114 222 323 V 故选：A 4 （ 4分）已知等比数列 n a的各项均为正数，且 3 9a ，则 3132333435 l o gl o gl o gl o gl o g(aaaaa ) A 5 2 B 5 3 C10 D15 【解答】解： 5 3132333435312345333 loglogloglogloglog ()loglog 9aaaaaa a a a aa 5 10，故选：C 5 （4 分）设抛物线 2 :

14、4C yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点若 | 4PF ，则| (PM ) A21 B5 C2 7 D4 2 【解答】解： P是C上一点且| 4PF ， 413 P PDxx 代入 2 4yx得 2 12 P y ， 22 12162 7PMPDDM，第 8 页（共 21 页）故选：C 6 （4 分）已知函数( )cos(2) 6 f xx ，给出下列四个结论：函数( )f x是周期为的偶函数；函数( )f x在区间 7 , 12 12 上单调递减；函数( )f x在区间0, 2 上的最小值为1；将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度后，所得图象与( )

15、sin2g xx的图象重合其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】解：由()cos( 2)cos(2)( ) 66 fxxxf x ，所以( )f x不是偶函数，故错误；因 7 , 12 12 x ，所以20 6 x ，而余弦函数在0，上单调递减，故正确；因0, 2 x ，所以2 66 x ， 5 6 ，所以( )f x的最小值为 3 2 ，故错误；将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度后，cos2()cos(2 )sin2 662 yxxx ，故正确；故选：D 7 （4 分）已知定义在R上的奇函数( )f x满足(2)( )f xf x，且f（1）0

16、，当(0,1)x 时，( )2xf xx设af（5）， 1 ( ) 3 bf， 5 () 2 cf，则a，b，c的大小关系为( ) Abac Bacb Ccab Dbca 【解答】解：因为当(0,1)x时，( )2xf xx，又(2)( )f xf x，且( )f x为奇函数，所以f（5）f（3）f（1）0，即0a ， 1 3 11 ( )20 33 bf，故0b ， 1 2 5511 ()( )( )20 2222 cfff ，故0c ，所以bac 故选：A 第 9 页（共 21 页） 8 （4 分）已知圆 22 :4C xy，直线:0l xyt ，则“l与C相交”是“| | 2t

19、( 2,2) B 2 2,2 2 C(，2)(2，) D(, 2 22 2,) 【解答】解： 3 ( )f xx和ymx都是奇函数， B为原点，且A，C两点关于原点对称故原点O为线段AC的中点 | |2| 2| 2PAPCPBPB， | 1PB 即P为单位圆 22 1xy上的点直线:3l yxk与单位圆有交点， 2 3 1 1 k ，解得2 2k?或2 2k? 故选：D 第 11 页（共 21 页）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）设aR若复数(1)ziai为纯虚数，则a 0 ， 2 z 【解答】解：因为复数(1)z

20、iaiai 为纯虚数，所以0a，则zi，所以 2 1z 故答案为：0；1 12 （5 分）在 26 1 ()x x 的展开式中，常数项是 15 （用数字作答）【解答】解： 26 1 ()x x 展开式的通项为 12 212 3 166 1 ( ) rrrrr r TC xC x x 要求常数项，只要令1230r可得4r 4 56 15TC 故答案为：15 13 （5 分）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据周髀算经记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五一般地，像(3，4，5)这样能够成为一个直角

21、三角形三条边长的正整数组称为勾股数组若从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15， 17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取 1 组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为 2 5 第 12 页（共 21 页）【解答】解：从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9， 12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随

22、机抽取 1 组，基本事件总数10n ，被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有：(3，4，5)，(6，8，10)， (9，12，15)，(12，16，20)，共 4 个，被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率 42 105 P 故答案为： 2 5 14 （5 分）若函数( )sin()cosf xxx为偶函数，则常数的一个取值为 2 （答案不唯一）【解答】解：根据题意，函数( )sin()cosf xxx为偶函数，则()( )fxf x，即sin()cos()sin()cosxxxx ，变形可得：sin()sin()0 xx，则有2sin cos0 x，

23、必有cos0，则 2 k，故答案为： 2 （答案不唯一） 15（5 分）设函数( )yf x的定义域为D，若对任意 1 xD，存在 2 xD，使得 12 ( )()1f xf x，则称函数( )f x具有性质M，给出下列四个结论：函数 3 yxx不具有性质M；函数 2 xx ee y 具有性质M；若函数 8 log (2)yx，0 x， t具有性质M，则510t ；若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，则5a 其中，正确结论的序号是【解答】解：对于：函数 3 yxx的值域为R，则当 1 ()0f x时，不存在 2 xR，使得 12 ( )()1f xf x，即不具有

24、性质M，故正确；函数( ) 2 xx ee yf x ，满足()( )fxf x，故函数为偶函数，由于2 xx ee，即第 13 页（共 21 页） 11 1 ( )1 2 xx ee f x ，所以 11 2 1 12 ()(0,1) ( ) xx f x f xee ，则存在的 1 xD，且 2 xD，使得 12 ( )()1f xf x，即具有性质M，故错误；若函数 8 log (2)yx，当0 x， t时， 8 1 ,log (2) 3 yt，若满足 12 ( )()1f xf x，则 8 1 log (2)1 3 t，即 8 log (2)3t ，解得510t ，故正确；若

25、函数 3sin33 , 444 xaaa y ，值域满足对称性，且不包括 0，则 33 1 44 aa ，解得5a ，故不具有性质M，故错误；故答案为：三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）在ABC中， 7 cos 8 A ，3c ，且bc，再从条件、条件中选择一个作为已知，求：（）b的值；（）ABC的面积条件：sin2sinBA；条件：sinsin2sinABC 【解答】解：选条件：sin2sinBA （）在ABC中，因为 sinsin ba BA ，所

26、以 sin 2 sin aB ba A 因为 222 cos 2 bca A bc ，且3c ， 7 cos 8 A ，2ba，所以 22 497 128 aa a 化简得 2 2760aa，解得2a 或 3 2 a 当 3 2 a 时，23bac，与题意矛盾所以2a ，所以4b （）因为 7 cos 8 A ，(0, )A，所以 15 sin 8 A 所以 11153 15 sin4 3 2284 ABC SbcA 选条件：sinsin2sinABC 第 14 页（共 21 页）（）在ABC中，因为 sinsinsin abc ABC ，所以由sinsin2sinABC得26abc

27、因为 222 cos 2 bca A bc ，且3c ， 7 cos 8 A ，6ab，所以 22 9(6)7 68 bb b 解得4b （）由（）知4b ，所以62ab 因为 7 cos 8 A ，(0, )A，所以 15 sin 8 A 所以 11153 15 sin4 3 2284 ABC SbcA 17 （13 分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了 400 名用户，从 B地区随机抽取了 100 名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分该公司将收集到的数据按照20，40)，40，60)，60，80)，80，100分组，绘制成评分频率分布直方图如图：（）从

28、A地区抽取的 400 名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于 60 分的概率；（）从B地区抽取的 100 名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于 80 分的个数为X，求X的分布列和数学期望；（）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的 400 名用户对该公司产品的评分的平均值为 1 ，B地区抽取的 100 名用户对该公司产品的评分的平均值为 2 ，以及A，B两个地区抽取的 500 名用户对该公司产品的评分的平均值为 0 ，试比较 0 和 12 2 的大小（结论不要求证明）【解答】解：（）由题知A地区共抽取 4

29、00 名用户，其中有 240 名用户对该公司产品的评第 15 页（共 21 页）分不低于 60 分，所以从A地区抽取的 400 名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于 60 分的概率是 240 0.6 400 （）由题可知X的可能取值为 0，1， 2 90 2 100 89 2. (0) 110 C P X C ； 11 9010 2 100 2 (1) 11 C C P X C ； 2 10 2 100 1 (2) 110 C P X C 所以X的分布列如下表： X 0 1 2 P 89 110 2 11 1 110 所以X的数学期望 89211 012 110111

30、105 EX （） 12 0 2 18 （14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD 平面ABCD， PAPD，PAPD， 3 BAD ，E是线段AD的中点，连结BE （）求证：BEPA；（）求二面角APDC的余弦值；（）在线段PB上是否存在点F，使得/ /EF平面PCD？若存在，求出 PF PB 的值；若不存在，说明理由【解答】解：（）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ABAD，又因为 3 BAD ，E为AD的中点，所以BEAD，又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BE 平面PAD，第 16 页（共 21 页）因为P

31、A平面PAD，所以BEPA （）连结PE因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD 由（）可知BE 平面PAD，所以BEAD，PEBE 设2ADa，则PEa如图，以E为原点，EA、EB、EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Exyz 则( ,0,0), (0, 3 ,0),( 2 , 3 ,0),(,0,0), (0,0, )A aBaCaaDaPa 所以(, 3 ,0)DCaa ，( ,0, )DPaa 因为BE 平面PAD，所以(0, 3 ,0)EBa是平面PAD的一个法向量设平面PCD的法向量为(nx，y，) z，则 30 0 n DCaxay n DPaxaz ，所

32、以 3 ,xy xz 令3x ，则1y ，3z ，得(3 , 1 ,3 )n ，所以 37 cos, 7|73 n EBa n EB nEBa 由题知，二面角APDC为钝角，所以二面角APDC的余弦值为 7 7 （）当点F是线段PB的中点时，/ /EF平面PCD理由如下：因为点E平面PCD，所以在线段PB上存在点F，使得/ /EF平面PCD，等价于0EF n 假设线段PB上存在点F使得/ /EF平面PCD 设(0,1) PF PB ，则PFPB 所以(0,0, )(0, 3 ,)(0, 3,)EFEPPFEPPBaaaa aa 由33()0EF naaa，解得 1 2 所以当点F

33、是线段PB的中点时，/ /EF平面PCD，且 1 2 PF PB 第 17 页（共 21 页） 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 (1,) 2 ，且C的离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程；（）过点(1,0)P的直线l交椭圆C于A，B两点，求| |PAPB的取值范围【解答】解：（）由题意得 22 222 3 , 2 13 1, 4 . c a ab abc 解得 2, 1. a b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （5 分）（）当直线l的斜率不存在时，直线:1l x 与椭圆C交于 3 (1,) 2 A， 3 (1,) 2 B两

34、点，所以 3 | | 2 PAPB，所以 3 | | 4 PAPB 当直线l的斜率存在时，设其方程为(1)yxk，由 22 (1), 44 yx xy k 得 2222 (14)8440 xxkkk，且 4222 644(14)(44)16(31)0kkkk 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 12 2 8 14 xx k k ， 2 12 2 44 14 x x k k ，所以 2 222 121212 2 3(1) | | ( 1|1|)( 1|1|)(1)|()1| 14 PAPBxxx xxx k kkk k ，令 2 14t k，则1t，所以

35、 2 2 1 3(1) 3(1)39393 4 | |( ,3 144444 t t PAPB ttt k k ，当1t ，即0k时，| |PAPB取最大值 3 综上所述，| |PAPB的取值范围是 3 ,3 4 （15 分） 20 （15 分）已知函数 2 ( )(2)()f xlnxaxax aR 第 18 页（共 21 页）（）当0a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程；（）求( )f x的单调区间；（）若( )f x恰有两个零点，求实数a的取值范围【解答】解：（）当0a 时，( )2f xlnxx， 1 ( )2fx x ，所以f（1）2 ， f （

36、1）1 所以曲线在点(1，f（1）)处的切线方程为2(1)yx ，即10 xy （）因为 2 ( )(2)f xlnxaxax，定义域为(0,)，所以 2 12(2)1(21)(1) ( )(2)2 axaxxax fxaax xxx 当0a时，( )f x与( )fx在(0,)上的变化情况如下： x 1 (0, ) 2 1 2 1 ( ,) 2 ( )fx 0 ( )f x 最大值 1 ( )21 24 a fln 所以( )f x在 1 (0, ) 2 内单调递增，在 1 ( ,) 2 内单调递减当02a时，( )f x与( )fx在(0,)上的变化情况如下： x 1 (0, ) 2

37、1 2 1 1 ( ,) 2 a 1 a 1 (,) a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 1 ( )21 24 a fln 极小值 11 ( )1flna aa 所以( )f x在 1 (0, ) 2 ， 1 (,) a 内单调递增，在 1 1 ( ,) 2 a 内单调递减当2a 时，( ) 0fx，所以( )f x在(0,)上单调递增当2a 时，( )f x与( )fx在(0,)上的变化情况如下： x 1 (0,) a 1 a 1 1 (, ) 2a 1 2 1 ( ,) 2 ( )fx 0 0 ( )f x 极大值极小值第 19 页（共 21 页） 11 ( )1flna

38、 aa 1 ( )21 24 a fln 所以( )f x在 1 (0,) a ， 1 ( ,) 2 内单调递增，在 1 1 (, ) 2a 内单调递减 ()III由()II可知：当0a时，( )f x在 1 (0, ) 2 内单调递增，在 1 ( ,) 2 内单调递减，当 1 2 x 时，( )f x取得最大值 1 ( )21 24 a fln ( ) i当4 240lna 剟时， 1 ( ) 0 2 f，所以( )f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意 ( )ii当424aln 时， 1 ( )0 2 f 因为 1 ( )0 2 f，f（1）20 ，( )f x在 1 ( ,)

39、 2 内单调递减，所以( )f x在 1 ( ,) 2 内有唯一零点因为424alne ，所以ae 且 111 0 4242aln 因为 13 ()()11()10flnalnalne aa ， 1 ( )0 2 f，且( )f x在 1 (0, ) 2 内单调递增，所以( )f x在 1 (0, ) 2 内有唯一零点所以当424aln 时，( )f x恰有两个零点当02a时，( )f x在 1 (0, ) 2 ， 1 (,) a 内单调递增，在 1 1 ( ,) 2 a 内单调递减，因为当 1 2 x 时，( )f x取得极大值 1 ( )210 24 a fln ，所以(

40、)f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意当2a 时，( )f x在(0,)上单调递增，所以( )f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意当2a 时，( )f x在 1 (0,) a ， 1 ( ,) 2 内单调递增，在 1 1 (, ) 2a 内单调递减因为当 1 x a 时，( )f x取得极大值 11 ( )10flna aa ，所以( )f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意综上所述，实数a的取值范围是(, 4 24)ln 第 20 页（共 21 页） 21（15 分）已知无穷数列 n a满足：10a ， 2* 1 ( nn aac nN ，)cR 对任意正

41、整数2n，记 | n Mc对任意1i，2，3，n，|2 i a ， |Mc对任意 * iN，|2 i a （）写出 2 M， 3 M；（）当 1 4 c 时，求证：数列 n a是递增数列，且存在正整数k，使得cM k；（）求集合M 【解答】（）解：根据题意可得， 2 2M ，2， 3 2M ，1；（）证明：当 1 4 c 时，对任意 * nN，都有 22 1 111 ()0 244 nnnnn aaacaacc ，所以 1nn aa ，所以数列 n a是递增数列，因为 111211 111 ()()()()()() 444 nnnnn aaaaaaaaccc ，所以

42、1 1 () 4 n an c ，令 0 8 | 41 nmin tN t c ，则 0 10 181 ()()2 4414 n an cc c ，所以 0 1n cM ，所以存在正整数 0 1nk，使得cM k； ()III解：由题意得，对任意 * nN，都有 1nn MM 且 n MM 由（）可得，当 1 4 c 时，存在正整数k，使得cM k，所以c M，所以若cM，则 1 4 c，又因为 3 2MM ，1，所以若cM，则2c，所以若cM，则 1 2 4 c 剟，即 1 2, 4 M 下面证明 1 2, 4 M 当 1 0 4 c剟时，对任意 * nN，都有0 n a 下

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