1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（文科）学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）抛物线 2 :16C yx 的焦点坐标为( ) A(4,0) B(8,0) C( 4,0) D( 8,0) 2 （5 分）曲线 2 ( )sinf xxx在点(0，(0)f处的切线方程为( ) Ayx B2yx C 1 2 yx D 1
2、3 yx 3 （5 分）下列命题为假命题的是( ) A命题“若3a，则3 |a”的逆命题 B命题“若xy，则coscosxy”的逆否命题 C空间中垂直于同一直线的两直线平行 D命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题 4 （5 分）过点(2, 1)P且在两坐标轴上的截距和为 0 的直线方程为( ) A 1 2 yx B30 xy C20 xy或10 xy D30 xy或20 xy 5 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 3 2 4 ，则其渐近线方程为( ) A 2 2 yx B 2 4 yx C 1 4 yx D 1 2 yx 6
3、（5 分）若函数( )yf x的导函数图象如图所示，则( )yf x的图象可能为( ) A B 第 2 页（共 15 页） C D 7 （5 分）下列说法： 若线性回归方程为35yx，则当变量x增加一个单位时，y一定增加 3 个单位； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变； 线性回归直线方程 ybxa必过点( , )x y； 抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样， 其中错误的说法是( ) A B C D 8 （5 分）两圆 22 (1)2xy与 22 (2)4xy的公共弦所在直线的方程是( ) A2410 xy B2410 xy C4210 xy D4210 xy
4、 9 （5 分）如图所示是计算 111 1(2)(3)(2018) 232018 的值的程序框图，则图中 空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是( ) A2018i ， 1 Si i B2018i， 1 SSi i C2019i ， 1 Si i D2019i， 1 SSi i 10 （5 分） 已知定义在R上的函数( )yf x的导数为 2 ( )(21)2fxxaxa， 则 “0a ” 第 3 页（共 15 页） 是“函数( )yf x在(1,)单调递增”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 （5 分）设 1 F， 2 F是椭圆 22 2
5、2 22 :1(0,) xy Eabcab ab 的左、右焦点，过点 2 F且 斜率为3的直线l与直线 2 a x c 相交于点P， 若 12 PFF为等腰三角形， 则椭圆E的离心率 e的值是( ) A 3 2 B 1 3 C 3 3 D 2 2 12 （5 分）若函数 32 ( ) xxx f xeeea存在零点，则实数a的取值范围为( ) A 2，) B e，) C 2 e，) D 1，) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数( )f xlnx在区间1， e上的平均变化率为 14 （5 分）直线22yx被
6、抛物线 2 :4C yx截得的弦长为 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直 线与双曲线C和双曲线C的一条渐近线分别相交于P，Q两点(P，Q在同一象限内） ， 若P 为线段QF的中点，且 3 | 3 PF ，则双曲线C的标准方程为 16 （5 分）空气质量指数(AirQualityIndex，简称)AQI是定量描述空气质量状况的指数， 空气质量按照AQI大小分为六级，0 50为优；51 100为良；101 150为轻度污染； 151 200为中度污染；201 300为重度污染；大于 300 为严重污染某环保人士从当地某
7、年的AQI记录数据中，随机抽取了 15 天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录根据该统 计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为 （该年为 366 天） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤骤 第 4 页（共 15 页） 17 （10 分）已知命题p： “曲线 22 1 2 :1 23 xy C mm 表示焦点在y轴上的椭圆” ，命题q： “曲 线 22 2: 1 21 xy C mm 表示双曲线” （1）请判断p是否是q的必要不充分条件，并说明理由； （2）若命
8、题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围 18 （12 分）已知曲线 32 11 ( ) 33 f xxaxbx在点(1，f（1）)处的切线斜率为 3， 且3x 时( )yf x有极值 （1）求函数( )f x的解析式； （2）求函数( )f x在0，3上的极值和最小值 19 （12 分）一个袋中装有 6 个大小形状完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4，5，6 （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为 6 的概率； （2） 先后有放回地随机抽取两个球， 两次取的球的编号分别记为a和b， 求5ab的概率 20 （12 分）已知动点P到点(F t，0)(t为常数且0)t 的距离与
9、到直线xt 的距离相等， 且点(1, 1)在动点P的轨迹上 （1）求动点P的轨迹C的方程，并求t的值； （2） 在 （1） 的条件下， 已知直线l与轨迹C交于A，B两点， 点(2,1)M是线段AB的中点， 求直线l的方程 21 （12 分）已知 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，短轴长为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点） ， 过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的 横坐标为定值 22 （12 分）已知函数( )(1)() a f xxa lnxaR x
10、 （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当0a 时，若( ) 2f x 恒成立，求实数a的取值范围 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（文科）学年陕西省宝鸡市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）抛物线 2 :16C yx 的焦点坐标为( ) A(4,0) B(8,0) C( 4,0) D
11、( 8,0) 【解答】解：由抛物线 2 :16C yx 的方程可得焦点坐标( 4,0)， 故选：C 2 （5 分）曲线 2 ( )sinf xxx在点(0，(0)f处的切线方程为( ) Ayx B2yx C 1 2 yx D 1 3 yx 【解答】解： 2 ( )sinf xxx的导数为( )2cosfxxx， 所以曲线 2 ( )sinf xxx在点(0，(0)f处的切线的斜率为20cos01 k， 且切点为(0,0)，则切线的方程为yx ， 故选：A 3 （5 分）下列命题为假命题的是( ) A命题“若3a，则3 |a”的逆命题 B命题“若xy，则coscosxy”的逆否命题 C空间中垂直
12、于同一直线的两直线平行 D命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题 【解答】解：命题“若3a，则3 |a”的逆命题：若3 |a，则3a，所以逆命题是真 命题，所以A正确； 命题“若xy，则coscosxy” ，原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题，所以B正 确； 空间中垂直于同一直线的两直线平行，也可能相交，也可能异面，所以C不正确； 命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题： 到线段两端点距离不相等的点不在线段的垂直平分线上，所以否命题是真命题，所以D是 正确 第 6 页（共 15 页） 故选：C 4 （5 分）过点(2, 1)P且在两坐标轴上的截距
13、和为 0 的直线方程为( ) A 1 2 yx B30 xy C20 xy或10 xy D30 xy或20 xy 【解答】解：当所求的直线经过原点时，斜率为 1 2 ，方程为 1 2 yx ，即20 xy 当所求的直线不经过原点时，设所求直线的方程为1 xy aa ， 把点(2, 1)代入可得 21 1 aa ， 求得3a ，故要求的直线方程为30 xy 综上可得：直线方程为30 xy或20 xy， 故选：D 5 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 3 2 4 ，则其渐近线方程为( ) A 2 2 yx B 2 4 yx C 1 4 yx D 1 2
14、yx 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 3 2 4 可得： 3 2 4 c a ，即 2 2 189 1 168 b a ， 可得 2 4 b a ， 则双曲线C的渐近线方程为： 2 4 yx 故选：B 6 （5 分）若函数( )yf x的导函数图象如图所示，则( )yf x的图象可能为( ) A B 第 7 页（共 15 页） C D 【解答】解：设( )0fx的两个根分别为a，b，0ab， 则当xa时，( )0fx，函数( )f x为减函数，排除选项A和D； 当axb时，( )0fx，函数( )f x为增函数， 当xb时，( )0fx，函数( )f
15、 x为减函数， 0ab，选项B不成立，选项C成立， 则对应的图象为C， 故选：C 7 （5 分）下列说法： 若线性回归方程为35yx，则当变量x增加一个单位时，y一定增加 3 个单位； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变； 线性回归直线方程 ybxa必过点( , )x y； 抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样， 其中错误的说法是( ) A B C D 【解答】解：若线性回归方程为35yx，则当变量x增加一个单位时，y平均增加 3 个单位，故错误； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的定义和性质，方差不会改变，故 正确； 线性回归直线方程 ybxa
16、必过点( , )x y，故正确； 抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法也属于简单随机抽样，故错误 故选：D 8 （5 分）两圆 22 (1)2xy与 22 (2)4xy的公共弦所在直线的方程是( ) A2410 xy B2410 xy C4210 xy D4210 xy 【解答】解：设经过 两圆 22 (1)2xy与 22 (2)4xy的交点的曲线方程为 2222 21(4 )0 xyxxyy 第 8 页（共 15 页） 又此方程表示直线，所以1 ，方程变为2410 xy 故选：A 9 （5 分）如图所示是计算 111 1(2)(3)(2018) 232018 的值的程序框图，则图中 空白的判
17、断框与执行框内应填入的内容分别是( ) A2018i ， 1 Si i B2018i， 1 SSi i C2019i ， 1 Si i D2019i， 1 SSi i 【解答】解：由题意得执行框内应填 1 2 SSi ，所以排除A，C； 若判断框内填2018i，则计算结果为 11 1(2)(2018) 22018 ，符合题意； 若判断框内填2019i，则计算结果为 111 1(2)(3)(2019) 232019 ，不符合题意， 故选：B 10 （5 分） 已知定义在R上的函数( )yf x的导数为 2 ( )(21)2fxxaxa， 则 “0a ” 是“函数( )yf x在(1,)单调递增”
18、的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为为 2 ( )(21)2(2 )(1)fxxaxaxa x， 若函数( )yf x在(1,)单调递增，则21a，解得 1 2 a， 第 9 页（共 15 页） 故“0a ”是“函数( )yf x在(1,)单调递增”的充分不必要条件 故选：A 11 （5 分）设 1 F， 2 F是椭圆 22 22 22 :1(0,) xy Eabcab ab 的左、右焦点，过点 2 F且 斜率为3的直线l与直线 2 a x c 相交于点P， 若 12 PFF为等腰三角形， 则椭圆E的离心率 e的值是( ) A 3
19、2 B 1 3 C 3 3 D 2 2 【解答】解：设准线 2 a x c 与x轴交于Q，由 2 F且斜率为3的直线l可得直线的倾斜角为 60， 所以 2 22 | | | cos60 2 PF F QF Pc ， 所以 2 a cc c ，所以 2 2 c e a ， 故选：D 12 （5 分）若函数 32 ( ) xxx f xeeea存在零点，则实数a的取值范围为( ) A 2，) B e，) C 2 e，) D 1，) 【解答】解：根据题意，函数 32 ( ) xxx f xeeea， 其导数 322 ( )32(321)(1)(31) xxxxxxxxx fxeeeeeee ee，
20、若( )0fx，即10 x e ，则有0 x ， 在区间(,0)上，( )0fx，( )f x为减函数， 在区间(0,)上，( )0fx，( )f x为增函数， 则( )(0)1 min f xfa ，x 时，( )f x ， 若函数 32 ( ) xxx f xeeea存在零点，必有1 0a ，则1a， 第 10 页（共 15 页） 即a的取值范围为 1，)， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数( )f xlnx在区间1， e上的平均变化率为 1 1e 【解答】解：函数( )f xlnx在区间1
21、， e上的平均变化率为 ( )(1)1 11 f ef ee 故答案为： 1 1e 14 （5 分）直线22yx被抛物线 2 :4C yx截得的弦长为 5 【解答】解：直线22yx代入 2 4yx，消去y，得 2 41240 xx即： 2 310 xx 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 则 12 3xx， 12 1x x 所以 2 12 |1|5945ABxxk， 故答案为：5 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直 线与双曲线C和双曲线C的一条渐近线分别相交于P，Q两点(P，Q在同一象限内） ，
22、 若P 为线段QF的中点，且 3 | 3 PF ，则双曲线C的标准方程为 2 2 1 3 x y 【解答】解：由双曲线方程可得( ,0)F c，渐近线的方程为 b yx a ， 由 3 | 3 PF ，可得 3 ( ,) 3 P c，由P为QF的中点可得 2 3 ( ,) 3 Q c， 将Q的坐标代入渐近线的方程，得 2 3 3 bc a ， 整理得 222 2 4() 3 cac a ，即 2422 433aca c， P在双曲线上，则 2 22 1 1 3 c ab ，所以 2222222 3()3()c caaa ca， 整理得 42224 3630ca caa， 由可得 4224 37
23、40ca ca， 因为ca，所以 22 4 3 ca， 由，解得 2 1b ， 2 4c ， 2 3a ， 第 11 页（共 15 页） 所以双曲线的方程为 2 2 1 3 x y， 故答案为： 2 2 1 3 x y 16 （5 分）空气质量指数(AirQualityIndex，简称)AQI是定量描述空气质量状况的指数， 空气质量按照AQI大小分为六级，0 50为优；51 100为良；101 150为轻度污染； 151 200为中度污染；201 300为重度污染；大于 300 为严重污染某环保人士从当地某 年的AQI记录数据中，随机抽取了 15 天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录根据该统
24、 计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为 244 （该年为 366 天） 【解答】解：设此地该年空气质量为优或良的天数为n， 由茎叶图可知AQI不超过 100 的天数为 10， 所以10 15366 n ，解得244n 故答案为：244 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤骤 17 （10 分）已知命题p： “曲线 22 1 2 :1 23 xy C mm 表示焦点在y轴上的椭圆” ，命题q： “曲 线 22 2: 1 21 xy C mm 表示双曲线” （1）
25、请判断p是否是q的必要不充分条件，并说明理由； 第 12 页（共 15 页） （2）若命题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围 【解答】解：由“曲线 22 1 2 :1 23 xy C mm 表示焦点在y轴上的椭圆” ， 所以 2 2 0 23 m mm ，解得13m 且0m ； 由“曲线 22 2: 1 21 xy C mm 表示双曲线” ， 所以(2)(1)0mm，解得21m （1）命题:( 1p m ，0)(0，3)，命题:( 2,1)q m ； 由p不能得出q，由q也不能得出p， 所以p不是q的必要不充分条件 （2）若命题“p且q”是真命题，则10m 或01m， 所以实数m的取值范围
26、是( 1，0)(0，1) 18 （12 分）已知曲线 32 11 ( ) 33 f xxaxbx在点(1，f（1）)处的切线斜率为 3， 且3x 时( )yf x有极值 （1）求函数( )f x的解析式； （2）求函数( )f x在0，3上的极值和最小值 【解答】解： （1） 32 11 ( ) 33 f xxaxbx， 则 2 ( )2fxxaxb， 结合题意 (1)213 (3)690 fab fab ， 解得： 11 4 a ， 15 2 b ， 故 32 111151 ( ) 3423 f xxxx； （2）由（1）得： 32 111151 ( ) 3423 f xxxx； 则 2 1
27、115 ( ) 22 fxxx， 令( )0fx，解得：3x 或 5 2 x ， 令( )0fx，解得： 5 3 2 x， 第 13 页（共 15 页） 故( )f x在0， 5) 2 递增，在 5 ( 2 ，3递减， 故 5 ( ) 2 f xf 极大值 ，无极小值， 而 1 (0) 3 ff（3） 271 43 ，故( )f x的最小值是(0)f 19 （12 分）一个袋中装有 6 个大小形状完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4，5，6 （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为 6 的概率； （2） 先后有放回地随机抽取两个球， 两次取的球的编号分别记为a和b， 求5ab
28、的概率 【解答】解： （1）从袋中随机抽取两个球共有 15 种取法， 取出球的编号之和为 6 的有(1,5)，(2,4)，共 2 种取法， 故取出的球的编号之和为 6 的概率 2 15 m P n （2）先后有放回地随机抽取两个球共有 36 种取法， 两次取的球的编号之和大于 5 的有 26 种，分别为： (1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， (4,5)， (4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，
29、(6,5)， (6,6)， 故5ab的概率 2613 3618 P 20 （12 分）已知动点P到点(F t，0)(t为常数且0)t 的距离与到直线xt 的距离相等， 且点(1, 1)在动点P的轨迹上 （1）求动点P的轨迹C的方程，并求t的值； （2） 在 （1） 的条件下， 已知直线l与轨迹C交于A，B两点， 点(2,1)M是线段AB的中点， 求直线l的方程 【解答】解： （1）动点P到( ,0)F t的距离与到直线xt 的距离相等， 所以点P的轨迹是以( ,0)F t为焦点，xt 的为准线的抛物线， 故点P的轨迹方程为 2 4ytx， 又点(1, 1)在动点P的轨迹上， 所以 1 4 t
30、， 故动点P的轨迹C的方程 2 yx； 第 14 页（共 15 页） （2）设直线l的方程为xymk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 因为AB的中点为(2,1)，则有2mk， 联立方程组 2 xym yx k ，则有 2 0yymk， 所以 12 2yyk， 故0m ， 所以直线l的方程为 1 2 yx 21 （12 分）已知 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，短轴长为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点） ， 过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相
31、交于点M，证明：点M的 横坐标为定值 【解答】解： （1）根据题意可得24a ，22b ， 解得2a ，1b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）由已知可得( 2,0)A ，(2,0)B， 设 0 (P x， 0) y，则直线BP的斜率为 0 0 2 BP y x k， 直线OH的斜率为 0 0 21 OH BP x y k k ， 所以直线OH的方程为 0 0 2x yx y ， 由题意可得AP的直线方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 所以 0 0 00 00 2 2 22 x yx y yy yx xx ， 所以 000 000 22 () 22 xyy x yx
32、x ， 所以 22 000 000 42 (2)2 xyy x xyx ， 又因为点P在椭圆上， 第 15 页（共 15 页） 所以 22 00 44xy，即 22 00 44xy，代入式， 得 2 00 000 32 (2)2 yy x xyx ，解得 2 3 x ， 所以点M的横坐标为定值 2 3 22 （12 分）已知函数( )(1)() a f xxa lnxaR x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当0a 时，若( ) 2f x 恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 由题意，得 22 1(1)() ( )1 aaxxa fx x
33、xx ， 当0a时，在0 x 时，( )0fx恒成立，( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，( )0fx的解为xa，( )0fx的解为0 xa， ( )f x在( ,)a 上递增，在(0, )a上递减 综上，当0a时，( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，( )f x在( ,)a 上递增，在(0, )a上递减 （2）由（1）知0a 时，( )f x在( ,)a 上递增，在(0, )a上递减， ( )minf xf（a）(1)1aa lna，( ) 2f x恒成立， 则(1)1 2aa lna ，(1)(1) 0alna ， 由于01a 时，0lna，不等式(1)(1) 0alna 不成立， 1 1 a lna ，解得1 a e剟， a的取值范围为1， e
