1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知P是椭圆 22 1 164 xy 上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为( ) A2 3 B4 C4 3 D8 2 （5 分）已知x，yR，则“lnxlny”是“xy”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
2、即不充分也不必要条件 3 （5 分）在区间 3，4上任取一个实数，则| 1x 的概率为( ) A 1 7 B 6 7 C 2 7 D 5 7 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x为4，则输出y的值为( ) A0.5 B1 C2 D4 5 （5 分）我市创建省级文明城市，需要每一位市民的支持和参与为让全年级 1000 名同 学更好的了解创建文明城市的重大意义，学校用系统抽样法（按等距的原则）从高二年级抽 取 40 名同学对全年级各班进行宣讲，将学生从11000进行编号，现已知第 1 组抽取的号码 为 13，则第 5 组抽取的号码为( ) A88 B113 C138 D173 6 （5
3、 分）某商铺统计了今年 5 个月的用电量y（单位：10/ )w hk与月份x的对应数据，列 表如表： 第 2 页（共 18 页） x 2 4 5 6 8 y 30 40 57 a 69 根据表中数据求出y关于x的线性回归方程为6.517.5yx，则表中a的值为( ) A50 B54 C56.5 D64 7（5 分） 若圆 22 (1)(3)4xy与圆 22 (2)(1)5xya有且仅有三条公切线， 则(a ) A4 B1 C4 D11 8（5 分） 如图，M，N是分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点， 设OAa，OBb， OCc，若MNxaybzc，则x，y，z的值分别是( ) A 1 2
4、 ， 1 2 ， 1 2 B 1 2 ， 1 2 ， 1 2 C 1 2 ， 1 2 ， 1 2 D 1 2 ， 1 2 ， 1 2 9 （5 分）过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点A作圆 222(2 xycc是椭圆的焦距）两条 切线，切点分别为M，N，若60MAN，则该椭圆的离心率为( ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 10 （5 分） 已知m，n为两条不同的直线，是两个不同的平面， 给出下列 4 个命题： mn，/ /mn； / /n，n； / /mn，mn； / /m，nmn 其中所有真命题的序号是( ) A B C D 第 3 页（共 18 页）
5、 11 （5 分）已知点(0,0)A，(0,3)B，若点P满足 |1 |2 PA PB ，则PAB面积的最大值是( ) A2 B3 C4 D6 12 （5 分）如图，棱长为 3 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为正方体表面 11 BCC B上的一 个动点，E，F分别为 1 BD的三等分点，则|PEPF的最小值为( ) A3 3 B 5 2 2 C16 D11 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）向量(1m ，2，1)，(2n ，1，) a，若mn，则a 14 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几
6、何体的体积为 15 （5 分）把一枚质地均匀的骰子投掷两次，第一次出现的点数为m，第二次出现的点数 为n，设事件A为方程组 22 5 1 mxny xy 有唯一解，则事件A发生的概率为 16 （5 分） 若M，P是椭圆 2 2 1 4 x y两动点， 点M关于x轴的对称点为N， 若直线PM， PN分别与x轴相交于不同的两点( ,0)A m，( ,0)B n，则mn 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）命题p：曲线 22 2280 xymxmy表示一个圆；命题q：指数函数 ( )(21)
7、x f xm在定义域内为单调递增函数 第 4 页（共 18 页） （1）若p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若pq为真，pq为假，求实数m的取值范围 18 （12 分）已知曲线 22 :1(0,0) xy Cab ab ，集合1A，2，3，4，1B ，2，3 （1）若a，bB，求曲线C为半径2r的圆的概率； （2）若aA，bB，求曲线C为焦点在x轴上的椭圆的概率 19 （12 分）已知点( 1,4)P ，(3,2)Q （1）求以PQ为直径的圆N的标准方程； （2）过点(0,2)M作直线l与（1）中的圆N相交于A，B两点，若| 4AB ，求直线l的方 程 20 （12 分）某次数学测试后，
8、数学老师对该班n位同学的成绩进行分析，全班同学的成绩 都分布在区间95，145，制成的频率分布直方图如图所示已知成绩在区间125，135) 的有 12 人 （1）求n； （2）根据频率分布直方图，估计本次测试该班的数学平均分（同一组数据用该组数据区间 的中点值表示） （3）现从125，135)，135，145两个分数段的试卷中，按分层抽样的方法共抽取了 6 份试卷 若从这 6 份试卷中随机选出 2 份作为优秀试卷， 求选出 2 份优秀试卷中恰有 1 份分 数在135，145的概率 21（12 分） 如图， 四棱锥SABCD的底面是正方形，SD 平面ABCD，2SD ，2AD ， 点E是线段SD
9、上的点，且(02)DEaa （1）求证：对任意的02a ，都有ACBE； 第 5 页（共 18 页） （2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ACE所成角为，当1a 时，求 cos sin 的值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 右焦点(1,0)F，A，B是分别是椭圆C的左、 右顶点，P为椭圆的上顶点，三角形PAB的面积2S （1）求椭圆C的方程； （2） 直线: l yxmk与椭圆交于不同的两点M，N， 点( 2 ,0 )Q， 若(M Q ON Q OO是 坐标原点） ，判断直线l是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由 第 6 页（
10、共 18 页） 2020-2021 学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知P是椭圆 22 1 164 xy 上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为( ) A2 3 B4 C4 3 D8 【解答】解：由椭圆的方程可得4a ，所以P到该椭圆两焦点的距离之和28a ， 故选：D 2
11、 （5 分）已知x，yR，则“lnxlny”是“xy”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 【解答】解：ylnx在(0,)上单调递增， 所以lnxlny则xy， 而0 xy，lnx、lny没有意义，故lnxlny， 所以“lnxlny”是“xy”的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）在区间 3，4上任取一个实数，则| 1x 的概率为( ) A 1 7 B 6 7 C 2 7 D 5 7 【解答】解：由| 1x ，解得：11x 剟，区间长度是 2， 区间 3，4的长度是 7， 故| 1x 的概率为： 2 7 ， 故选：C 4 （5 分）执行如图所示
12、的程序框图，若输入的x为4，则输出y的值为( ) 第 7 页（共 18 页） A0.5 B1 C2 D4 【解答】解：如图所示的程序框图，若输入的x为4， 则第一次执行循环体后，7x ，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，4x ，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，1x ，满足退出循环的条件； 即 1 22y ， 故输出y值为 2， 故选：C 5 （5 分）我市创建省级文明城市，需要每一位市民的支持和参与为让全年级 1000 名同 学更好的了解创建文明城市的重大意义，学校用系统抽样法（按等距的原则）从高二年级抽 取 40 名同学对全年级各班进行宣讲，将学生从11000进行编号，
13、现已知第 1 组抽取的号码 为 13，则第 5 组抽取的号码为( ) A88 B113 C138 D173 【解答】解：由系统抽样原理知，抽样间隔为10004025， 且第 1 组抽取的号码为 13，则第 5 组抽取的号码为13425113 故选：B 6 （5 分）某商铺统计了今年 5 个月的用电量y（单位：10/ )w hk与月份x的对应数据，列 表如表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 57 a 69 根据表中数据求出y关于x的线性回归方程为6.517.5yx，则表中a的值为( ) 第 8 页（共 18 页） A50 B54 C56.5 D64 【解答】解：由表中数据，计算 1 (
14、24568)5 5 x ， 1196 (30405769) 55 a ya ， 回归直线方程6.517.5yx过样本中心， 196 6.5 517.5 5 a ， 解得：54m ， 故选：B 7（5 分） 若圆 22 (1)(3)4xy与圆 22 (2)(1)5xya有且仅有三条公切线， 则(a ) A4 B1 C4 D11 【解答】解：两圆有且仅有三条公切线， 两圆相外切， 圆心坐标(1,3)A，( 2, 1)B ，半径2r ，5Ra， 则 22 |( 21)( 13)916255AB ， 则525a ，即53a，平方得59a ， 得4a ， 故选：C 8（5 分） 如图，M，N是分别是四面
15、体OABC的棱OA，BC的中点， 设OAa，OBb， OCc，若MNxaybzc，则x，y，z的值分别是( ) A 1 2 ， 1 2 ， 1 2 B 1 2 ， 1 2 ， 1 2 C 1 2 ， 1 2 ， 1 2 D 1 2 ， 1 2 ， 1 2 【解答】解：M，N是分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点， 第 9 页（共 18 页） MNMAACCN 11 () 22 OAOCOACB 11 () 22 acaOBOC 11 () 22 acabc 111 222 abc ， 又MNxaybzc， 1 2 x ， 1 2 y ， 1 2 z ， 故选：D 9 （5 分）过椭圆 22
16、 22 1(0) xy ab ab 的左顶点A作圆 222(2 xycc是椭圆的焦距）两条 切线，切点分别为M，N，若60MAN，则该椭圆的离心率为( ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【解答】解：左顶点(,0)Aa，因为60MAN，由椭圆的对称性可得30MAO， 所以 1 2 OMOA，即 1 2 ca， 所以离心率 1 2 c e a ， 故选：A 10 （5 分） 已知m，n为两条不同的直线，是两个不同的平面， 给出下列 4 个命题： mn，/ /mn； / /n，n； 第 10 页（共 18 页） / /mn，mn； / /m，nmn 其中所有真命题的序号是( ) A
17、 B C D 【解答】解：对于，由mn，/ /m，可得/ /n或n，或n与相交，故错误； 对于，由/ /n，可得/ /n或n或n与相交，故错误； 对于，若/ /mn，m，由线面垂直的性质定理可得n，故正确； 对于， 若/ /m， 过m的平面与的交线l平行于m， 再由n， 可得nl， 则mn， 故正确 故选：D 11 （5 分）已知点(0,0)A，(0,3)B，若点P满足 |1 |2 PA PB ，则PAB面积的最大值是( ) A2 B3 C4 D6 【解答】解：设( , )P x y， |1 |2 PA PB ， 22 22 1 2 (3) xy xy ， 两边平方并整理得： 2222 230
18、(1)4xyyxy， 当点P到(AB y轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，此时面积为 1 3 23 2 故选：B 12 （5 分）如图，棱长为 3 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为正方体表面 11 BCC B上的一 个动点，E，F分别为 1 BD的三等分点，则|PEPF的最小值为( ) 第 11 页（共 18 页） A3 3 B 5 2 2 C16 D11 【解答】解：如图， 找F关于平面 11 BCC B的对称点F，连接EF交平面 11 BCC B于 0 P， 则 0 P即为满足|PEPF最小的点， 正方体的棱长为 3， 222 1 3333 3BD ， 1 1 3 3
19、 EFBD， 11 11 2232 33 FFC D ， 111 D FFBDC， 又 11 33 cos 33 3 BDC， 1 3 cos 3 D FF ， 在EFF中，由余弦定理可得： 22 3 ( 3)223 2 ()11 3 EF 即|PEPF的最小值为11 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）向量(1m ，2，1)，(2n ，1，) a，若mn，则a 4 【解答】解：向量(1m ，2，1)，(2n ，1，) a，mn， 220m na， 解得4a 故答案为：4 14 （5 分）某几何体的三视
20、图如图所示，则该几何体的体积为 1000 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为圆锥体； 如图所示： 所以 2 1 10301000 3 V 故答案为：1000 15 （5 分）把一枚质地均匀的骰子投掷两次，第一次出现的点数为m，第二次出现的点数 为n，设事件A为方程组 22 5 1 mxny xy 有唯一解，则事件A发生的概率为 1 18 【解答】解：把一枚质地均匀的骰子投掷两次，第一次出现的点数为m，第二次出现的点 数为n， 基本事件总数6636n ， 设事件A为方程组 22 5 1 mxny xy 有唯一解， 则直线5mxny与圆 22 1
21、xy相切， 圆心(0,0)到直线5mxny的距离1d ， 22 | 5| 1 mn ， 22 25mn， 满足条件的( , )m n为(3,4)，(4,3)， 第 13 页（共 18 页） 则事件A发生的概率为 21 3618 P 故答案为： 1 18 16 （5 分） 若M，P是椭圆 2 2 1 4 x y两动点， 点M关于x轴的对称点为N， 若直线PM， PN分别与x轴相交于不同的两点( ,0)A m，( ,0)B n，则mn 4 【解答】解：设( , )M a b，( , )P c d，则( ,)N ab， 因为P，M在椭圆上，所以 2 2 1 4 a b， 2 2 1 4 c d， 直
22、线PM的斜率 bd ac k， 所以直线PM的方程为：() bd ybxa ac ， 整理可得： bdbcad yx acca ， 同理可得直线PN的方程： dbbcad yx caca ， 分别令0y ， 可得 adbc m db ， adbc n db ， 所以 22 22 222222 2222 22 (1)(1) 44 4 1 () (1)(1) 4 44 ca ac adbc adbca db cac mn cadbdbdb ac ， 故答案为：4 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （1
23、0 分）命题p：曲线 22 2280 xymxmy表示一个圆；命题q：指数函数 ( )(21) x f xm在定义域内为单调递增函数 第 14 页（共 18 页） （1）若p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若pq为真，pq为假，求实数m的取值范围 【解答】解：方程 22 2280 xymxmy，即为 222 ()()28xmymm， （1 分） （1）由p为假命题，知p为真命题，则 2 280m ， （2 分） 解得2m 或2m ， 则m的取值范围是(，2)(2，) （4 分） （2）由（1）可知，p为真命题是m范围为：2m 或2m ， 当q为真命题时，211m ，解得1m ， （6 分
24、） 由pq为真，pq为假，则p，q中有且仅有一个为真命题 （7 分） 当p为真，q为假时m的范围为：2m ， 当p为假，q为真时m的范围为：12m， 综上：m的取值范围是(，2)(1，2 （10 分） 18 （12 分）已知曲线 22 :1(0,0) xy Cab ab ，集合1A，2，3，4，1B ，2，3 （1）若a，bB，求曲线C为半径2r的圆的概率； （2）若aA，bB，求曲线C为焦点在x轴上的椭圆的概率 【解答】解： （1）由a，bB得，a，b所有的取值可能为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共 9 种 满
25、足曲线C轨迹为圆且半径2r有(2,2)，(3,3)两种 曲线C为半径2r的圆的概率为 2 9 P （2）由aA，bB，a，b所有取值可能有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共 12 种 满足曲线C为椭圆且焦点在x轴上的有： (2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共 6 种 曲线C为焦点在x轴上的椭圆的概率为 1 2 P 第 15 页（共 18 页） 19 （12 分）已知点( 1,4)P ，(3,2)Q （1）求以PQ为直径的圆N的标准方程； （2）过
26、点(0,2)M作直线l与（1）中的圆N相交于A，B两点，若| 4AB ，求直线l的方 程 【解答】解： （1）方法 1：以PQ为直径的圆方程为(3)(1)(2)(4)0 xxyy， （4 分） 化解得 22 2650 xxyy， 则圆N的标准方程为 22 (1)(3)5xy （5 分） 方法 2：圆心N的坐标(1,3)，直径 22 2|422 5rPQ， （4 分） 则圆N的标准方程为 22 (1)(3)5xy （5 分） （2）当直线斜率不存在时，方程为0 x ，解得 1 5y ， 2 1y ，| 4AB ，满足， （7 分） 当斜率存在时，设直线方程为：2yxk， 设圆心到直线距离为d，由
27、 222 () 2 AB dR， 即 22 25d ，得1d ， 由 2 |1| 1 1 d k k ，解得0k， （11 分） 所以直线方程为0 x 或2y ， （12 分） 20 （12 分）某次数学测试后，数学老师对该班n位同学的成绩进行分析，全班同学的成绩 都分布在区间95，145，制成的频率分布直方图如图所示已知成绩在区间125，135) 的有 12 人 （1）求n； （2）根据频率分布直方图，估计本次测试该班的数学平均分（同一组数据用该组数据区间 的中点值表示） （3）现从125，135)，135，145两个分数段的试卷中，按分层抽样的方法共抽取了 6 份试卷 若从这 6 份试卷中
28、随机选出 2 份作为优秀试卷， 求选出 2 份优秀试卷中恰有 1 份分 数在135，145的概率 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由题可知 12 60 0.02 10 n （人)， （2）1000.151100.251200.31300.21400.1118.5x ， （3）由直方图可知，成绩分布在125，135)有 12 人，在135，145)有 6 人， 抽取比例为 61 183 ，所以125，135)内抽取人数为 4 人，135，145)抽取人数为 2 人 记125，135)中 4 人为a，b，c，d，记135，145)的 2 人分别为e，f， 则所有的抽取结果为：(
29、, )a b，( , )a c，( , )a d，( , )a e， ( , )a f，( , )b c，( , )b d，( , )b e，( , )b f，( , )c d， ( , )c e，( , )c f，( , )d e，( , )d f，( , )e f共 15 种， （10 分） 恰有一份分数段在135，145)有( , )a e，( , )a f，( , )b e， ( , )b f，( , )c e，( , )c f，( , )d e，( , )d f共 8 种 所以概率 8 15 P 21（12 分） 如图， 四棱锥SABCD的底面是正方形，SD 平面ABCD，2SD ，
30、2AD ， 点E是线段SD上的点，且(02)DEaa （1）求证：对任意的02a ，都有ACBE； （2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ACE所成角为，当1a 时，求 cos sin 的值 第 17 页（共 18 页） 【解答】 （1）证明：连接BD，由ABCD是正方形，可得ACBD， 又SD 平面ABCD则ACSD，又SDBDD， 所以AC 面SBD，又BE 面SBD， 所以ACBE （4 分） （2）解：以D为原点，DA，DC，DS的方向为正方向建立空间直角坐标系Dxyz， 则(0D，0，0)，(0E，0，1)，( 2A，0，0)，(0C，2，0)，( 2,2, 0)B 则( 2
31、,2, 0)CA ，(0,2,1)CE ， 设面CAE的法向量为(mx，y，) z， 0 0 m CA m CE ， 则 220, 20, xy yz 设1,1,2xyz，取(1,1,2)m ， 又由CD 平面ADE， 所以(0,2, 0)DC 可作为面ADE的一个法向量， 所以， 21 cos 222 （7 分） 面CAE的法向量(1,1,2)m ，( 2,2,1)EB 210 sin 1025 ， （10 分） 第 18 页（共 18 页） 则 cos10 sin2 （12 分） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 右焦点(1,0)F，A，B是分别是椭圆
32、C的左、 右顶点，P为椭圆的上顶点，三角形PAB的面积2S （1）求椭圆C的方程； （2） 直线: l yxmk与椭圆交于不同的两点M，N， 点( 2 ,0 )Q， 若(M Q ON Q OO是 坐标原点） ，判断直线l是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由 【解答】解： （1）由题：1c ，(,0)Aa，( ,0)B a，设(0, )Pb， 则2ab ，又 222 abc， 代入可得 2 2a ， 2 1b ， 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）联立方程组 2 2 , 1, 2 yxm x y k 得 222 (21)4220 xmxmkk， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，可得 12 2 2 12 2 4 , 21 22 , 21 m xx m x x k k k ， 由MQONQO，可得0 MQNQ kk， 即 12121212 121212 2(2 )()4 0 2222(2)(2) yyxmxmx xmxxm xxxxxx kkkk ， 即 1 212 2(2 )()40 x xmxxmkk，解得mk， 所以直线方程为(1)yxk，直线恒过定点( 1,0)
