2020-2021学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 24 页） 2020-2021 学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、单项选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）设集合 2 |6 0Ax xx ， |10Bx x ，则(AB ) A |3x x B | 31xx C | 21xx D | 21xx 2 （3 分）已知复数 1 i z i ，则(z ) A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 3 （3 分）已知直线l过点(2,2)，则“直线l的方程为

2、2y ”是“直线l与圆 22 4xy相切”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （3 分）十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和免、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对每对生肖相辅相成，构成一种完美人格现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，如果甲、乙、丙三位同字选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有 ( ) A12 种 B16 种 C20 种 D24 种 5 （3

3、分）已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BEEC，2CDCF，则| (AEAF ) A3 B3 C2 3 D4 6 （3 分）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 1C ，空气的温度是 0C ，那么 tmin后物体的温度（单位：C) 满足公式 010 () t e k （其中k为常数）现有52 C 的物体放在12 C 的空气中冷却，2min后物体的温度是32 C 则再经过4min该物体的温度可冷却到( ) A12 C B14.5 C C17 C D22 C 7 （3 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右

4、顶点分别为A，B，其中一条渐第 2 页（共 24 页）近线与以线段AB为直径的圆在第一象限内的交点为P，另一条渐近线与直线PA垂直，则C 的离心率为( ) A3 B2 C3 D2 8 （3 分）已知函数( )(1) x f xa xex，若存在唯一的正整数 0 x，使得 0 ()0f x，则实数 a的取值范围是( ) A 1 2e ， 3 3 ) 4e B 3 3 4e， 2 2 ) 3e C 2 2 3e， 1 ) 2e D 1 2e， 1) 2 二、多项选择题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求二、多项选择题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 9 （3 分）为落

5、实山东省学生体质健康促进条例的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研根据统计数据制成折线图如图：下列说法正确的是( ) A班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 30 B班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 72 C班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小 D班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 10 （3 分）已知函数 12 ( )sin(2)cos(2)( ( )f xaxbxf x不恒为0)，若( )0 6 f ，则下列说法一定正确的是(

6、) A() 12 f x 为奇函数 B( )f x的最小正周期为 C( )f x在区间 5 , 12 12 上单调递增 D( )f x在区间0，2021 上有 4042 个零点 11 （3 分）如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 22AAAB，点P为线段 1 AD上一动第 3 页（共 24 页）点，则下列说法正确的是( ) A直线 1/ / PB平面 1 BC D B三棱锥 1 PBC D的体积为 1 3 C三棱锥 11 DBC D外接球的表面积为 3 2 D直线 1 PB与平面 11 BCC B所成角的正弦值的最大值为 5 3 12 （3 分）已知红箱内有 5 个红球

7、、3 个球，白箱内有 3 个红球、 5 个白球，所有小球大小、形状完全相同第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第1k次从与第k次取出的球颜色相同的箱箱子内取出一球，然后再放回去记第n次取出的球是红球的概率为 n P，则下列说法正确的是( ) A 2 17 32 P B 1 17 232 nn PP C 2 1122 1 () 2 nnnnnn PPP PPP D对任意的i，jN，且1 ij n剟， 1 1 111 ()()(14 )(14) 22180 nn ij ij n PP 剟三、填空题三、填空题

8、13 （3 分）已知 1 sin() 63 ，则 5 sin() 6 的值为 14 （3 分）若实数x，y满足()lgxlgylg xy，则xy的最小值为 15 （3 分）已知奇函数( )f x在(0,)上单调递减，且f（4）0，则不等式(1)0 xf x的解集为 16 （3 分）已知直线l与抛物线 2 :8C yx相切于点P，且与C的准线相交于点T，F为C 第 4 页（共 24 页）的焦点，连接PF交C于另一点Q，则PTQ面积的最小值为；若| 5TF ，则|PQ的值为四、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 在平面四边形

9、ABCD中，2AB ，5BC ，120ABC，13AD ，2ADCACD ，求ACD的面积 18已知数列 n a的前n项和 2 n Sn （1）求数列 n a的通项公式；（2）在 2 1 8 () n nn n b aa ，2n nn ba，( 1)n nn bS 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题若_，求数列 n b的前n项和 n T 19如图，在三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC，D为BC的中点，平面 11 BBC C 平面 ABC，设直线l为平面 1 AC D与平面 111 ABC的交线（1）证明：l 平面 11 BBC C；（2）已知四边形 11

10、 BBC C为边长为 2 的菱形，且 1 60B BC，求二面角 1 DACC的余弦值 20 （12 分）习近平可志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战，确保到 2020 年在我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困是全部摘帽某县在实施脱贫工作中因地制宣，着力发展枣树种核项目该县种植的枣树在 2020 年获得大丰收，依据扶贫攻策，所有红枣由经销商统一收购为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取 100 千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图如表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品等级四级品三级品二级品一级品红枣

11、纵径/mm 30，35) 35，40) 40，45) 45，50 经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取 4 个进行检测，若 4 第 5 页（共 24 页）个均为优质品，则该箱红枣定为A类；若 4 个中仅有 3 个优质品，则再从该箱中任意取出 1 个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A类；若 4 个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C类；其它情况均定为B类已知每箱红枣重量为 10 千克，A类、B类、C类的红枣价格分别为每千克 20 元、16 元、12 元现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别袭箱，每箱的分

12、拣成本为 1 元以频率代替概率解决下面的问题（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，过椭圆焦点的最短弦长为 2 3 3 （1）求椭圆C的标准方程；（2）若折线|2 |(0)yxkk与C相交于A，B两点（点A在直线2x 的右侧），设直线OA，OB的斜率分别为 1 k， 2 k，且 21 2kk，求k的值 22已知函数( )(1)f xaxln x （1）讨论( )f x的单调性；（2）若 1 ( ) 1 x f xe

14、1 i z i ，则(z ) A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 【解答】解： (1)11 1(1)(1)22 iii zi iii ， 11 22 zi，故选：B 3 （3 分）已知直线l过点(2,2)，则“直线l的方程为2y ”是“直线l与圆 22 4xy相切”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：圆 22 4xy的圆心为(0,0)，半径为 2，所以过点(2,2)的圆的切线有两条为2x 和2y ，所以“直线l的方程为2y ”是“直线l与圆 22 4xy相切”的充分不必要条件故选：A

15、 4 （3 分）十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和免、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对每对生肖相辅相成，构成一种完美人格现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，如果甲、乙、丙三位同字选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有第 7 页（共 24 页） ( ) A12 种 B16 种 C20 种 D24 种【解答】解：由题意可得：甲选鼠和牛，乙同学有 2 中选法，丙同学有 4 种选法，共有248，

16、甲选马和羊，乙同学有 2 中选法，丙同学有 4 种选法，共有248，综上共有8816种，故选：B 5 （3 分）已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BEEC，2CDCF，则| (AEAF ) A3 B3 C2 3 D4 【解答】解：根据题意，菱形ABCD的边长为 2，120BAD，则60BAC，必有2AC ，又由BEEC，2CDCF，则E是BC的中点，F是CD的中点，则AEABBE，AFADDF，则 33 () 22 AEAFABBEADDFABADAC，而2AC ，则| 3AEAF，故选：B 6 （3 分）把物体放在空气中冷却，

17、如果物体原来的温度是 1C ，空气的温度是 0C ，那么 tmin后物体的温度（单位：C) 满足公式 010 () t e k （其中k为常数）现有52 C 的物体放在12 C 的空气中冷却，2min后物体的温度是32 C 则再经过4min该物体的温度可冷却到( ) A12 C B14.5 C C17 C D22 C 【解答】解：由题意知， 2 3212(5212)e k ，第 8 页（共 24 页） 2 1 2 e k ，再经过4min该物体的温度可冷却到 422 1 12(3212)1220 ()122017 C 4 ee kk ，故选：C 7 （3 分）已知双曲线 22 22

18、:1(0,0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A，B，其中一条渐近线与以线段AB为直径的圆在第一象限内的交点为P，另一条渐近线与直线PA垂直，则C 的离心率为( ) A3 B2 C3 D2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为 b yx a ，由 222 b yx a xya 可得 2 (aP c ，) ab c ，则 2 () 1 0 ab a b c aa c ，化为 22 baca，即为 222 caaca，即()()()ca caa ac，可得caa，即2ca，所以2 c e a ，故选：B 8 （3 分）已知函

19、数( )(1) x f xa xex，若存在唯一的正整数 0 x，使得 0 ()0f x，则实数 a的取值范围是( ) A 1 2e ， 3 3 ) 4e B 3 3 4e， 2 2 ) 3e C 2 2 3e， 1 ) 2e D 1 2e， 1) 2 【解答】解：函数( )(1) x f xa xex，因为存在唯一的正整数 0 x，使得 0 ()0f x，即存在唯一的正整数x，使得(1) x x a x e ，令( )(1)h xa x，( ) x x g x e ，第 9 页（共 24 页）问题即转化为存在唯一的正整数x，使得( )( )h xg x， 1 ( ) x x g x

20、 e ，令( )0g x，解得1x ，所以( )g x在(,1)上为单调递增函数，在区间(1,)上为单调递减函数，所以 1 ( )(1) max g xg e ， ( )(1)h xa x过定点( 1,0)C ，当0a时，有无穷多个x的值使得( )( )h xg x，当0a 时，函数( )h x单调递增，由图象可以分析得到只有正整数1x 使得( )( )h xg x，令 2 12 (1, ), (2,)AB ee ，则 1 1 1( 1)2 AC e e k， 2 2 2 2 2( 1)3 AB e e k，由图可知，实数a的取值范围为 2 21 32 a ee 故选：C 二、

21、多项选择题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求二、多项选择题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 9 （3 分）为落实山东省学生体质健康促进条例的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研根据统计数据制成折线图如图：下列说法正确的是( ) A班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 30 第 10 页（共 24 页） B班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 72 C班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小 D班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班

22、级乙的大【解答】解：对于A，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间分别为 30，65，30，83，35， 90，88；所以众数是 30，选项A正确；对于B，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间从小到大排列为 30，35，55，65，70，70， 72；所以中位数是 65，选项B错误；对于C，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差为723042，班级乙的极差为 903060；所以班级甲的极差小于班级乙的极差，选项C正确；对于D，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间平均值为 1397 (30355565707072) 77 ，班级乙该周每天的人均体育锻炼

23、时间平均值为 1421 (30653083359088) 77 ；所以甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，选项D错误故选：AC 10 （3 分）已知函数 12 ( )sin(2)cos(2)( ( )f xaxbxf x不恒为0)，若( )0 6 f ，则下列说法一定正确的是( ) A() 12 f x 为奇函数 B( )f x的最小正周期为 C( )f x在区间 5 , 12 12 上单调递增 D( )f x在区间0，2021 上有 4042 个零点【解答】解：函数 12 ( )sin(2)cos(2)( ( )f xaxbxf x不恒为0)，若()0 6 f ，可将

24、( )f x的图象向右平移 12 得到() 12 f x ，其零点移动不到原点，故A错误；由 11221212 ( )(sin2 coscos2 sin)(cos2 cossin2 sin)( cossin)sin2( sincos)cos2f xaxxbxxabxabx 第 11 页（共 24 页），由辅助角公式可将( )f x化为sin(2)Ax的形式，则 2 2 T ，故B正确；由T，()0 6 f ，离 6 x 最近的对称轴 1 6412 x ， 2 5 6412 x ，所以在区间 5 , 12 12 上不能判断单调性，故C错误；由()0 6 f ，且T，可得()()()0

25、 6626 fff ，可得( )f x在0，内有两个零点 6 ， 2 3 ，在k，k内两个零点分别为 6 k， 2 3 k，Zk，故在区间0，2021 上有2021 24042个零点，故D正确故选：BD 11 （3 分）如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 22AAAB，点P为线段 1 AD上一动点，则下列说法正确的是( ) A直线 1/ / PB平面 1 BC D B三棱锥 1 PBC D的体积为 1 3 C三棱锥 11 DBC D外接球的表面积为 3 2 D直线 1 PB与平面 11 BCC B所成角的正弦值的最大值为 5 3 【解答】解：作辅助线如图对于A，

26、因为 11 / /ADBC， 11 / / / /ABDC，所以平面 11/ / AB D平面 1 BC D， 1 PB 平面 11 AC D 从而直线 1/ / PB平面 1 BC D，则A对；对于B，由A知，平面 11/ / AB D平面 1 B C D，P点在平面 11 AC D，所以 111 1 11 1 1 2 3 23 P BC DA BC DCABD VVV ；则B对；第 12 页（共 24 页）对于C，三棱锥 11 DBC D外接球的半径 222 1 111 1126 222 RAC，所以三棱锥 11 DBC D外接球的表面积为 22 1 44

27、(6)6 2 SR，则C错；对于D，因为当 11 B PAD时， 1 B P最短，此时直线 1 PB与平面 11 BCC B所成角的正弦值的最大，先用等面积法求 1 B P， 22222 11 211 1212()2 25 B PB P直线 1 PB与平面 11 BCC B所成角的正弦的最大值为 1 15 11PB ，则D错；故选：AB 12 （3 分）已知红箱内有 5 个红球、3 个球，白箱内有 3 个红球、 5 个白球，所有小球大小、形状完全相同第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第1k次从与第k次

28、取出的球颜色相同的箱箱子内取出一球，然后再放回去记第n次取出的球是红球的概率为 n P，则下列说法正确的是( ) A 2 17 32 P B 1 17 232 nn PP C 2 1122 1 () 2 nnnnnn PPP PPP D对任意的i，jN，且1 ij n剟， 1 1 111 ()()(14 )(14) 22180 nn ij ij n PP 剟【解答】解：第n此取出球是红球的概率为 n P，则白球概率为(1) n P，对于第1n 次，取出红球有两种情况从红箱取出 1 (1) 5 8 nn PP （条件概率），第 13 页（共 24 页）从白箱取出 2 (1) 3

29、(1) 8 nn PP ，对应 12 1(1)(1) 31 84 nnnn PPPP （转化为数列问题），所以 1 111 () 242 nn PP ，令 1 2 nn aP，则数列 n a为等比数列，公比为 1 4 ，因为 1 5 8 P ，所以 1 1 8 a ，故 2(21) 2 n n a 即对应 (21) 1 2 2 n n P ，所以 2 17 32 P ，故选项A正确； 2(1) 1(21)23 1 11111 222 22224 nnn nn PP ，故 1 17 232 nn PP 不成立，故选项B错误；经验证可得， 2 1122 1 () 2 nnnnnn

30、PPP PPP ，故选项C正确； 1 (21)(21) 111 11 ()()22 22 nn ij ij ij nij i PP 剟 1 (21)(23)(23) 1 4 222 3 n iin i 11 (44)(23)(21) 11 4 222 3 nn ini ii 844(23)321 4 164 (22)2(22) 3 153 nnn 424 1411 222 18045369 nnn 42 1 (14 25 2) 180 nn 22 1 (14 2)(12) 180 nn 1 1 (14)(14) 180 nn ，故D正确故选：ACD 三、填空题三、填空题 13 （3 分）已知

31、 1 sin() 63 ，则 5 sin() 6 的值为 1 3 【解答】解：因为 1 sin() 63 ，则 51 sin()sin()sin() 6663 第 14 页（共 24 页）故答案为： 1 3 14 （3 分）若实数x，y满足()lgxlgylg xy，则xy的最小值为 4 【解答】解：若实数x，y满足()lgxlgylg xy，由题意及对数可知0 x ，0y ，化解可得()lgxylg xy，即xyxy，因为0 x ，0y ，由基本不等式可得2xyxyxy ，当且仅当2xy时取等号，即 2 ()4() 0 xyxy，解得0 xy（舍去）或4xy，则xy的最小值为

32、 4 故答案为：4 15 （3 分）已知奇函数( )f x在(0,)上单调递减，且f（4）0，则不等式(1)0 xf x的解集为 ( 5，1)(0，3) 【解答】解：奇函数( )f x在(0,)上单调递减，且f（4）0， ( )f x 在(,0)上单调递减，且( 4)ff （4）0，当4x 或04x时，( )0f x ，当40 x 或4x 时，( )0f x ， (1)0 xf x 等价于 0 (1)0 x f x 或 0 (1)0 x f x ， 0 14014 x xx 或或 0 41 01 4 x xx 或，解得03x或51x 不等式(1)0 xf x的解集为( 5，1)(0，

33、3) 故答案为：( 5，1)(0，3) 16 （3 分）已知直线l与抛物线 2 :8C yx相切于点P，且与C的准线相交于点T，F为C 的焦点，连接PF交C于另一点Q，则PTQ面积的最小值为 16 ；若| 5TF ，则|PQ 的值为【解答】解：设直线PQ的方程为2xny（恒过定点(2,0)F与抛物线联立 2 2 8 xny yx ，可得 2 8160yny，所以 2 64640n恒成立，第 15 页（共 24 页）设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，则有 12 8yyn， 12 16y y ，设抛物线在点P处的切线为xmyt，与抛物线方程联立 2 8 xmyt

34、yx ，可得 2 880ymyt，切线与抛物线只有一个公共点，所以 2 64320mt，解得 2 2tm ，方程可变为 22 8160ymym，故4ym，所以 2 11 , 48 yy mt ，抛物线在点P处的切线为 2 11 48 yy xy，同理抛物线在点Q处的切线方程为 2 22 48 yy xy，将两条切线方程联立可得 2 11 2 22 48 48 yy xy yy xy ，解得 12 12 2 8 4 2 y y x yy yn ，所以两条切线的交点为( 2,4 )n，在准线2x 上，故该交点即为点T，设点T到直线PQ的距离为d，将直线PQ写成一般式即20

35、xny，故 2 2 2 | 44| 41 1 n dn n ，所以 3 222 2 11 8(1)4116(1) 22 TPQ SPQ dnnn ，所以当0n 时， TPQ S有最小值 16，点T的坐标为( 2,4 )n，(2,0)F，所以 2 16165TFn，所以 2 161625n ，即 2 9 8 2 n ，故 1212 (2)(2)(4)(4)PQPFQFxxnyny 第 16 页（共 24 页） 2 12 ()888n yyn，所以 2 25 88 2 PQn 故答案为：16； 25 2 四、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题解答应写出文字说明、

36、证明过程或演算步骤 17 在平面四边形ABCD中，2AB ，5BC ，120ABC，13AD ，2ADCACD ，求ACD的面积【解答】解：在ABC中，由余弦定理可得： 222 2cos42522 5 cos12039ACABBCAB BCABC ，所以39AC ；在ACD中，由正弦定理可得： sinsin ACAD ADCACD ，即 sin2sin ACAD ACDACD ，所以 3913 2sincossinACDACDACD ，所以 3 cos 2 ACD 因为(0, )ACD，所以 6 ACD ，所以 3 ADC ， 2 CAD 所以 113 3 22 ACD SAC

37、 AD 18已知数列 n a的前n项和 2 n Sn （1）求数列 n a的通项公式；（2）在 2 1 8 () n nn n b aa ，2n nn ba，( 1)n nn bS 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题第 17 页（共 24 页）若_，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解：（1）依题意，当1n 时， 11 1aS，当2n时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ，当1n 时， 1 1a 也满足上式， 21 n an，*nN，（2）方案一：选条件：由（1），可得： 22222 1 8811 ()(21) (21)(21)(21

38、) n nn nn b aannnn ， 12nn Tbbb 222222 111111 1335(21)(21)nn 2 1 1 (21)n 方案二：选条件：由（1），可得2(21) 2 nn nn ban，则 231 1 23 252(23) 2(21) 2 nn n Tnn ， 2341 21 23 252(23) 2(21) 2 nn n Tnn ，两式相减，可得： 231 222222 2(21) 2 nn n Tn 2 1 82 2(21) 2 12 n n n 1 6(23) 2nn ， 1 6(23) 2n n Tn 方案三：选条件：由（1），可得 2 ( 1)(

39、1) nn nn bSn ， ( ) i当n为偶数时，1n 为奇数 12nn Tbbb 222222 1234(1)nn 第 18 页（共 24 页） 222222 (21 )(43 )(1) nn 3721n (321) 2 2 n n (1) 2 n n ， ( )ii当n为奇数时，1n 为偶数 22 1 (1)(1) 22 nn n nn n TTnn ，综上所述，可得 (1) ( 1) 2 n n n n T 19如图，在三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC，D为BC的中点，平面 11 BBC C 平面 ABC，设直线l为平面 1 AC D与平面 111 ABC的交线（1）证

40、明：l 平面 11 BBC C；（2）已知四边形 11 BBC C为边长为 2 的菱形，且 1 60B BC，求二面角 1 DACC的余弦值【解答】（1）证明：因为2ABAC，D是BC的中点，所以ADBC，又因为平面 11 BBC C 平面ABC，且平面 11 BBCC平面ABCBC，AD 平面ABC，所以AD 平面 11 BBC C，而/ /AD平面 111 ABC，且AD 平面 1 ADC，平面 1 ADC平面 111 ABCl，所以/ /ADl，所以l 平面 11 BBC C；第 19 页（共 24 页）（2）【解法一】因为四边形 11 BBC C为菱形，

41、且 1 60B BC，连接 1 B D，则 1 B DBC，又因为平面 11 BBC C 平面ABC，平面 11 BBCC平面ABCBC，故 1 B D 平面ABC 以D为坐标原点，DC，DA， 1 DB分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则(0D，0，0)，(1C，0，0)，(0, 3,0)A， 1(2,0, 3) C 所以 1 (2,3, 3)AC ，(0, 3,0)DA ，(1,3,0)AC ，设平面 1 DAC的法向量 1111 (,)nx y z，则 11111 11 2330 30 nACxyz nDAy ，令 1 3x ，则 1 2z ，所以 1 ( 3,0, 2

42、)n ；设平面 1 CAC的法向量 2222 (,)nxyz，则 21222 222 2330 30 nACxyz nACxy ，令 2 3x ，则 2 1y ， 2 1z ，所以 2 ( 3,1, 1)n ；所以 12 12 12 35 cos, 7| nn n n nn ，由图可知，所求二面角为锐角，所以二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 【解法二】第 20 页（共 24 页）因为AD 平面 11 BBC C，AD 平面 1 ADC，所以平面 1 ADC 平面 11 BBC C，在平面 11 BBC C内，过C作 1 CHDC于点H，则CH 平面 1 ADC

43、过C作 1 GGAC于点G，则G为线段 1 AC的中点；连接HG，则CGH即为二面角 1 DACC的平面角在直角 11 DBC中， 11 2BC ， 1 3B D ， 1 7DC ；在 1 DCC中， 21 7 CH ，在 1 ACC中， 6 2 CG ；在直角CGH中， 210 14 GH ，所以 35 cos 7 GH CGH CG ，所以二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 20 （12 分）习近平可志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战，确保到 2020 年在我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困是全部摘帽某县在实施脱贫工作中因地制宣，着力发展枣树种核项目

44、该县种植的枣树在 2020 年获得大丰收，依据扶贫攻策，所有红枣由经销商统一收购为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取 100 千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图如表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品等级四级品三级品二级品一级品红枣纵径/mm 30，35) 35，40) 40，45) 45，50 经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取 4 个进行检测，若 4 个均为优质品，则该箱红枣定为A类；若 4 个中仅有 3 个优质品，则再从该箱中任意取出 1 个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A类；若

45、 4 个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C类；其它情况均定为B类已知每箱红枣重量为 10 千克，A类、B类、C类的红第 21 页（共 24 页）枣价格分别为每千克 20 元、16 元、12 元现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别袭箱，每箱的分拣成本为 1 元以频率代替概率解决下面的问题（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由【解答】解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是 1 2 ，记“如果该农户采用方案一装箱，一

46、箱红枣被定为A类”为事件A，则 413 4 11113 ( )( )( ) (1) 222216 P AC；（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B类”为事件B， “如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C类”为事件C，则 433 4 1115 ( )(1)(1) 22216 P CC， 1 ( )1( )( ) 2 P BP AP C ，所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 315 200160120155 16216 （元)；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A类的概率为 1 2 ，被定为C类的概率也为 1 2 ，所以如果

47、该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 11 2001201159 22 （元)；所以该农户采用方案二装箱更合适 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，过椭圆焦点的最短弦长为 2 3 3 第 22 页（共 24 页）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若折线|2 |(0)yxkk与C相交于A，B两点（点A在直线2x 的右侧），设直线OA，OB的斜率分别为 1 k， 2 k，且 21 2kk，求k的值【解答】解：（1）由题可知 2 6 3 22 3 3 c a b a ，又因为 222 abc，所以3a ，1b ，所以椭圆C的标准

48、方程为 2 2 1 3 x y；（2）因为折线|2 |(0)yxkk与椭圆C相交于A，B两点，设点B关于x轴的对称点为 B 则直线(2)(0)yxkk与椭圆C相交于A， B 两点设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 (B x， 2) y，由 2 2 1 3 (2) x y yx k 得 2222 (13)6 2630 xxkkk，所以 2 12 2 6 2 13 xx k k ， 2 12 2 63 13 xx k k ，所以 3 122112 21 2 122112 (2)(2)12 ()2 ()222 63 yyxxxx xxxxx x kkk kk

49、kkk k ，整理得 2 210 kk，解得 1 2 k或1k 22已知函数( )(1)f xaxln x （1）讨论( )f x的单调性；（2）若 1 ( ) 1 x f xe x 对任意的(0,)x恒成立，求实数a的取位范围【解答】解：（1） 11 ( )(1) 11 axa fxax xx ，若0a，( ) 0fx，此时( )f x在( 1,) 上单调递减；若0a ，由( )0fx，得 1 1x a ，第 23 页（共 24 页）此时( )f x在 1 ( 1,1) a 上单调递减，在 1 (1,) a 上单调递增；综上所述，当0a时，( )f x在( 1,) 上单调递减；当0a 时，( )f x在 1 ( 1,1) a 上单调递减，在 1 (1,) a 上单调递增（2）由题意，可得 1 (1)0 1 x axeln x x 在(0,)x恒成立，记 1 ( )(1) 1 x g xaxeln x x ，(0,)x，其中(0)0g，则 2 11 ( ) 1(1) x g xae xx ，其中(0)1ga， 3 233 12(1)(1) ( ) (1)(1)(1) x x x xex gxe xxex ，记 3 ( )(1)(1) x h xxex， 2 ( )3(1)0 x h xxex，(0,)x， ( )h x在(0,)上单调递

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