2020-2021学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）设集合 |02Axx ， |13Bxx，则(AB ) A |01xx B |12xx剟 C |23xx D |03xx 2 （4 分）已知A是ABC的内角，则“ 3 A ”是“ 3 sin 2 A”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （4 分）设实数x，y满足约束条件 21 22 xy xy ，则xy的最小值是( ) A2 B2 C1 D1

3、 7 （4 分）已知函数 2 ( )sin(2) 62 x f xxmx 在0, 6 上单调递减，则实数m的最小值是( ) A3 B 3 2 C 3 2 D3 8 （4 分）在正三棱锥ABCD中，点P，Q，R分别在棱BC，BD，AB上， 1 2 CPCB， 1 4 BQBD， 1 2 ARAB，则( ) A平面/ /RPQ平面ACD B平面RPQ 平面BCD C/ /ACRQ DPQAD 9 （4 分）已知点P在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上，点(2 ,0)Aa，当|PA最小时，点P 不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A( 2,) B 2,) C(

4、1, 2) D(1, 2 10 （4 分）已知数列 n a中， 1 1 2 a ， 2 1 1 nnn aaa ，记 12nn Saaa， 222 12nn Taaa， * nN，给出下列结论： 1 15 16 n a ； 1 21 0 nn aa ； 5 6 n Sn； 2 nn STn，则( ) A正确 B正确 C正确 D正确二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11（6 分）已知复数(2)(21)zaai是纯虚数，其中a是实数，i为虚数单位，则a ， |1|z 12 （6 分）已知函数 2 1,0 ( ) 2,0 xx f x

5、 lnx x ，则( (0)f f ；若 0 ()2f x，则 0 x 13 （6 分）已知 52345 012345 (2 )mxaa xa xa xa xa x，若 0 32a ，则实数m ， 3 a 14 （4 分）已知函数 22 ( )(23)()f xxxxaxb是偶函数，则( )f x的值域是 15 （6 分）盒中有 4 个球，其中 2 个白球，2 个黑球，从中随机取球，若每次取一个，不放第 3 页（共 19 页）回，取到黑球停止，则第二次取到黑球的概率P ；若每次取一个，放回，取到黑球停止，且取球次数不超过 3 次，设此过程取到白球的个数为X，则()E X 16 （4

6、分）已知长方体 1111 ABCDABC D，底面是边长为 4 的正方形，高为 2，点O是底面 ABCD的中心，点P在以O为球心，半径为 1 的球面上，设二面角 111 PABC的平面角为，则tan的取值范围是 17 （4 分）已知平面向量a，b满足| 1a ，2ab与2ba的夹角为120，则 2 |b的最大值是三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 222 bcabc （1）求角A的大小；（2）若2a ，求2bc的取值范围 19 （15 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧

7、面 11 AAB B， 11 AAC C均为菱形， 1 2AA ， 11 60ABBACC ，D为AB的中点（1）求证： 1/ / AC平面 1 CDB；（2）若60BAC，求直线 1 AC与平面 11 BBC C所成角的正弦值 20 （15 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 2 23 2 41 nn n aa n ， * nN （1）设 1 21 nn ba n ，求证：数列 n b是等比数列；（2）设数列 1 n a 的前n项和为 n S，求证：3 n S ， * nN 21 （15 分）如图， 1 F， 2 F分别为椭圆 2 2 :1 2 x Cy的左、右焦点，椭圆

8、C上有两个不同的点A，B，且A，B均在x轴上方，点P满足 2 APPF， 1 PFBP （1）求椭圆两个焦点的坐标；（2）判断 12 |PFPF是否为常数？说明理由第 4 页（共 19 页） 22 （15 分）已知a，bR，函数( ) x f xaxeb，曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为1yx （1）求a，b的值及( )f x的最小值；（2）设函数( )g xxlnx，若对于任意的(0,)x，(2 )1()fxg mx 恒成立，求实数m的取值范围第 5 页（共 19 页） 2020-2021 学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省台州市高三（上）期末数

9、学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）设集合 |02Axx ， |13Bxx，则(AB ) A |01xx B |12xx剟 C |23xx D |03xx 【解答】解： |02Axx ， |13Bxx， |03ABxx 故选：D 2 （4 分）已知A是ABC的内角，则“ 3 A ”是“ 3 sin 2 A”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：因为 3 sin 2 A，A是ABC的内角，所以 3 A 或 2 3 ，则“ 3 A ”是“ 3 si

10、n 2 A”的充分不必要条件故选：A 3 （4 分）设实数x，y满足约束条件 21 22 xy xy ，则xy的最小值是( ) A2 B2 C1 D1 【解答】解：由约束条件 21 22 xy xy 作出可行域如图，令zxy，化为yxz ，由图可知，当直线yxz 过A时，第 6 页（共 19 页）直线在y轴上的截距最小，z有最小值为 1 故选：C 4 （4 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A24 B28 C32 D36 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为有四棱锥和四棱柱组成的组合体；如图所示：所以 1 23434 128 3 V

13、 A3 B 3 2 C 3 2 D3 【解答】解： 2 ( )sin(2) 62 x f xxmx ，则( )2cos(2) 6 fxxxm ，若( )f x在0， 6 单调递减，则(0fx 在0， 6 恒成立，故2cos(2) 6 max mxx ，0 x， 6 ，令( )2cos(2) 6 g xxx ，0 x， 6 ，则2 66 x ， 2 ，故( )g x在0， 6 单调递减，故( )(0)3 max g xg，故m的最小值是3，故选：D 8 （4 分）在正三棱锥ABCD中，点P，Q，R分别在棱BC，BD，AB上， 1 2 CPCB， 1 4 BQBD， 1 2 A

14、RAB，则( ) A平面/ /RPQ平面ACD B平面RPQ 平面BCD C/ /ACRQ DPQAD 【解答】解：取BD的中点E，连结RE，EP，由题意可知R，P为AB，BC的中点，Q为BE的中点，所以/ /READ，/ /PEDC，所以平面/ /RPE平面ACD，又平面RPQ与平面RPE有公共点，所以平面RPQ与平面ACD不平行，故选项A错误；连结AE，CE，因为ABCD为正三棱锥，所以BCD为正三角形且ABACAD，所以BDCE，BDAE，且CEAEE，CE，AE 平面ACE，第 9 页（共 19 页）故BD 平面ACE，又因为R，P，Q分别为AB，BC，BE的中点

15、，所以/ /PQAE，/ /PQCE，所以平面/ /RPQ平面AEC，所以BD 平面RPQ，又因为BD 平面BCD，所以平面RPQ 平面BCD，故选项B正确；因为/ /RQAE，且AEACA，故AC与RQ不平行，故选项C错误；假设PQAD，因为/ /PQCE，所以CEAD，又因为BDCE，则CE 平面BAD，所以CEAE，又AEBD，所以AE 平面BDC，所以AEEC，则 222 ACAEEC， 222 ABAEBE，又因为ACAB，所以ECBE，但BCD为正三角形，故ECBE，所以假设不成立，故RQ与AD不垂直，故选项D错误；故选：B 9 （4 分）已知点P在双曲线 22

16、 22 1(0,0) xy ab ab 上，点(2 ,0)Aa，当|PA最小时，点P 不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A( 2,) B 2,) C(1, 2) D(1, 2 【解答】解：设( , )P m n，由题意可知P在双曲线的右支上，可得ma，由点P在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上，可得 22 22 1 mn ab ，即有 2 222 2 b nmb a ，则 2 222222 2 |(2 )44 b PAmanmamamb a 第 10 页（共 19 页） 2 222 2 44 c mamab a ，当|PA取得最小值时， 3 22 2

17、 42 2 aa x cc a ，此时P不在顶点，可得 3 2 2a a c ，即为22 2ca，即2 c e a ，又1e ，可得12e，故选：C 10 （4 分）已知数列 n a中， 1 1 2 a ， 2 1 1 nnn aaa ，记 12nn Saaa， 222 12nn Taaa， * nN，给出下列结论： 1 15 16 n a ； 1 21 0 nn aa ； 5 6 n Sn； 2 nn STn，则( ) A正确 B正确 C正确 D正确【解答】解： 2 1 1 nnn aaa ， 22 1 21(1)0 nnnnn aaaaa ， 1 1 2 a ， 1 2 n a

18、， 1 1(1) nnn aa a ， 1 111 11 nnn aaa ， 1 111 11 nnn aaa ， 1211 11111 11 nn aaaaa ， 1 1(1) nnn aa a ， 2 1 10 nnn aaa ， 1 1 n a ，1 n a 同号，1 n a， 1 1 2 n a ， 1121 11111 222 11 nn nn aaaaa 剟，即 1 11 1 222 n a nn 剟， 1 1 1 2 n a n ， 1 15 16 n a 不恒成立，故错误； 1 1 2 n a ， 2 1 21231(1)(21) 0 nnnnnn aaaaaa ，故正确；

19、 1 1 1 2 n a n ， 111 () 231 n Sn n ，若 5 6 n Sn，则 1111231 (1) 623112 n nlnlnlnln n nn ，第 11 页（共 19 页） 1 (1) 6 nln n不可能恒成立， 5 6 n Sn不能恒成立，故错误； 2 1 1 nnn aaa ， 2 1 1 nnn aaa ， 1 222 121111 211 22 nnn nnnnn TaaaaanaaanSaan kkk kkk ， 11 2 nnn STanan ，故正确故选：D 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分

20、分 11（6 分）已知复数(2)(21)zaai是纯虚数，其中a是实数，i为虚数单位，则a 2 ， |1|z 【解答】解：(2)(21)zaai是纯虚数， 20 210 a a ，解得：2a ， 113zi ， 22 |1|1310z ，故答案为：2；10 12 （6 分）已知函数 2 1,0 ( ) 2,0 xx f x lnx x ，则( (0)f f 2 ；若 0 ( )2f x，则 0 x 【解答】解：函数 2 1,0 ( ) 2,0 xx f x lnx x ， (0)01 1f ， ( (0)f ff（1）212ln；若 0 ()2f x，则当 0 0 x 时， 2 00

21、 ()12f xx ，解得 0 1x ，当 0 0 x 时， 00 ()22f xlnx，解得 0 1x ， 0 x的值为1或 1 故答案为：2，1或 1 13（6 分）已知 52345 012345 (2 )mxaa xa xa xa xa x，若 0 32a ，则实数m 2 ， 3 a 【解答】解： 52345 012345 (2 )mxaa xa xa xa xa x，若 05 05 32aCm，则实数2m 第 12 页（共 19 页） 323 35 ( 2)804320aCm ，故答案为：2，320 14 （4 分）已知函数 22 ( )(23)()f xxxxaxb是偶函

22、数，则( )f x的值域是 16， ) 【解答】解：根据题意，函数 22432 ()(23)()(2)(23)(23)3fxxxxaxbxaxbaxbaxb，若( )f x是偶函数，则有()( )fxf x，必有 20 230 a ba ，则 2 3 a b ，故 4222 ( )109(5)16f xxxx，必有( )16f x，即( )f x的值域是： 16，)，故答案为： 16，) 15 （6 分）盒中有 4 个球，其中 2 个白球，2 个黑球，从中随机取球，若每次取一个，不放回，取到黑球停止，则第二次取到黑球的概率P 1 3 ；若每次取一个，放回，取到黑球停止，且取球次数

23、不超过 3 次，设此过程取到白球的个数为X，则()E X 【解答】解：由题意可知，每次取一个且取到黑球为止，所以第一次取出的只能是白球，所以 221 (0) 433 P X ； X的取值为 0，1，2，3，所以 1 (0) 2 P X ， 111 (1) 224 P X ， 1111 (2) 2228 P X ， 1111 (3)1 2488 P X ， 11117 ()0123 24888 E X 故答案为： 1 3 ， 7 8 16 （4 分）已知长方体 1111 ABCDABC D，底面是边长为 4 的正方形，高为 2，点O是底面 ABCD的中心，点P在以O为球心，半径为 1 的球面

24、上，设二面角 111 PABC的平面角为，则tan的取值范围是 47 3 ， 47 3 【解答】解：在长方体 1111 ABCDABC D中，不妨取长方体的中截面EFNM，第 13 页（共 19 页）中截面的平面图如图所示， ER和ES是圆O的两条切线，设REO，则SEO，因为4EFAD，2EM ，2MO ，所以45MEOOEF ，因为EFNM是长方体的中截面，故 11 EFAB，所以PEF即为二面角 111 PABC的平面角，在Rt EOR中，2 2EO ，1OR ，所以7ER ，所以 17 tan 77 OR ER ，当P在点R处时，45，此时tan最大，故 7 1

25、 tan147 7 tantan(45 ) 1tan37 1 7 ，当P在点S处时，45，此时tan最小， 7 1 1tan47 7 tantan(45) 1tan37 1 7 ，所以tan的取值范围是 47 3 ， 47 3 故答案为： 47 3 ， 47 3 第 14 页（共 19 页） 17 （4 分）已知平面向量a，b满足| 1a ，2ab与2ba的夹角为120，则 2 |b的最大值是 521 2 【解答】解：令2cab，2dba，由题意可得，|cos120c dc d， 22 (2) (2)522c dabbaa bab， 2222 |(2)44cabaa bb， 2222

26、|(2)44dbaba ba，因为| 1a ，联立可得， 22222 4|4 104|4|4|4|ba baa bbba ba ，令 2 |1,mbna b，则有41043443mnmnmn，化简整理可得， 22 42028330mmnnm，关于n的方程有解，则有 22 ( 20 )428 (433) 0mmm ，即 2 77 0mm ，解得 721721 22 m 剟，又因为 2 |1mb，所以 2 |b的最大值为 721521 1 22 故答案为： 521 2 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边

27、分别是a，b，c，已知 222 bcabc （1）求角A的大小；第 15 页（共 19 页）（2）若2a ，求2bc的取值范围【解答】解：（1）因为在ABC中， 222 bcabc，由余弦定理可知 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ，由于(0, )A，所以 3 A （2）因为 3 A ，2a ，由正弦定理 4 sinsinsin3 bca BCA ，可得 4 sin 3 bB， 4 sin 3 cC，可得 444 2(2sinsin)(2sin()sin)(2sincos2cossinsin)4cos 333 bcBCACCACACCC ，又 2 3

28、BC ，可得 2 0 3 C ，可得 1 cos1 2 C，所以2( 2,4)bc 19 （15 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B， 11 AAC C均为菱形， 1 2AA ， 11 60ABBACC ，D为AB的中点（1）求证： 1/ / AC平面 1 CDB；（2）若60BAC，求直线 1 AC与平面 11 BBC C所成角的正弦值【解答】（1）证明：连结 1 BC，与 1 BC交于点O，连结OD，四边形 11 BBC C是平行四边形，O为 1 BC中点，D为AB中点，可得 1/ / ACOD，又OD 平面 1 CDB， 1 AC 平面 1

29、 CDB，故 1/ / AC平面 1 CDB；（2）解：由 1 2ABAC， 1 2ACAB，且O为 1 BC， 1 BC的中点，第 16 页（共 19 页）可得 1 AOBC， 1 AOBC， 11 BCBC，又 1 BC， 1 BC为平面 11 BBC C内两条相交的直线，可得AO 平面 11 BBC C，故 1 AC B即为直线 1 AC与平面 11 BBC C所成的角，由60BAC，2ABAC，2BC ，可得四边形 11 BBC C为菱形，又 11 BCBC，故四边形 11 BBC C为正方形，且 1 2 2BC ，则 1 ABC为等腰直角三角形，且 1 90AA

30、C，故 1 45AC B，所以 1 2 sin 2 AC B，所以直线 1 AC与平面 11 BBC C所成角的正弦值为 2 2 20 （15 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 2 23 2 41 nn n aa n ， * nN （1）设 1 21 nn ba n ，求证：数列 n b是等比数列；（2）设数列 1 n a 的前n项和为 n S，求证：3 n S ， * nN 【解答】证明：（1）数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 2 23 2 41 nn n aa n ， * nN 当1n 时， 11 3 1 2 ba 所以 11 2 12312 222 21

31、412121 nnnnn n baaab nnnn ，故数列 n b是等比数列（2）由（1）得： 12 3 23 2 2 nn n b ，所以 2 1 3 2 21 n n a n ，由于21 1n ，所以 2 3 210 n n a ，第 17 页（共 19 页）则 21 111 3 212 nn n a ，当2n时， 1 211 11 (1) 1111 22 2233 1 2222 1 2 n n nn S 故3 n S ， * nN 21 （15 分）如图， 1 F， 2 F分别为椭圆 2 2 :1 2 x Cy的左、右焦点，椭圆C上有两个不同的点A，B，且A，B均在x

32、轴上方，点P满足 2 APPF， 1 PFBP （1）求椭圆两个焦点的坐标；（2）判断 12 |PFPF是否为常数？说明理由【解答】解（1）由椭圆的方程： 2 2 1 2 x y可得 2 2a ， 2 1b ，所以 222 2 1 1cab ，所以左右焦点的坐标分别为：( 1,0)，(1,0)；（2）如图，连接 1 AF， 2 BF，易知 12 AFBF，所以 12 / /AFBF，设直线 1 AF交椭圆于另一个点C，设 1 (A x， 1) y， 2 (C x， 2) y，( , )P x y，则 2 (Bx， 2) y，设直线:1AC xty，代入椭圆的方程可得： 2

33、2 (2)210tyty ，则 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t ，直线 2 AF的方程为： 1 1 1 1 x xy y ，又 11 1xty，即 1 2 ()1xty y ，同理可得，直线 1 2 2 :()1BFxty y ，第 18 页（共 19 页）由可得 12 12 21 11 ()3xtyty yy y y y yy ，所以 2 212 22 1212 ()1 ()48(1) y y y yyy yt ， 222 9xt y，消t可得： 22 1(0) 91 88 xy y，可得轨迹为椭圆的方程，且仍以 1 F， 2 F为焦点，所以

34、 12 |PFPF是常数，且值为 3 2 2 22 （15 分）已知a，bR，函数( ) x f xaxeb，曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为1yx （1）求a，b的值及( )f x的最小值；（2）设函数( )g xxlnx，若对于任意的(0,)x，(2 )1()fxg mx 恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）( ) x f xaxeb， (0)fb，( )(1) x fxa xe，(0)fa，故切线方程为1yaxbx，得1a ，1b ，所以( )1 x f xxe，所以( )(1) x fxxe，当(, 1)x 时，( )0fx，( )f x单调

35、递减，当( 1,)x 时，( )0fx，( )f x单调递增，第 19 页（共 19 页）所以， 1 ( )( 1)1 min f xf e （2）(2 )1()fxg mx ，即 2 2() x xemxln mx，即 2 2 0 x e lnxlnm m 对于任意的(0,)x恒成立，设 2 2 ( ) x e h xlnxlnm m ，0 x ，0m ， 2 41 ( ) x h xe mx ，易知函数( )h x在(0,)上单调递增，当0 x 时，( )0h x，当x 时，( )0h x，则存在 0 (0,)x ，使得 0 2 0 0 41 ()0 x h xe mx ，

36、当 0 (0,)xx时，( )0h x，( )h x单调递减，当 0 (xx，)时，( )0h x，( )h x单调递增，所以 0 2 000 0 21 ( )()0 2 x min h xh xelnxlnmlnxlnm mx ，由 0 2 0 41 0 x e mx ，得 0 2 0 4 x mx e，所以 000 0 1 ()222 2 2 h xxlnxln x 在 0 (0,)x 上单调递减，且 1 ( )0 2 h，故 0 (0 x ， 1 2 ，又函数 0 2 0 4 x mx e在 0 (0 x ， 1 2 上单调递增，所以02me，所以，实数m的取值范围是(0，2 e

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