1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（文科）学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设命题 p：n0N，0220，则p 为（ ） AnN，n22n B0 ，02 20 CnN，n22n D0 ，02 20 2 （5 分）若双曲线 2 5 2 2 = 1(0)的渐近线方程为 = 5 3 ，则 m（ ） A2 B3 C4 D5 3 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列命题中错误的 是（ ） A若 m，m，则 B若 ，则 C若
2、m，n，mn，则 D若 m，n 是异面直线，m，n，m，n，则 4 （5 分）若直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点，则实数 a 取值范围是（ ） A3，1 B1，3 C3，1 D （，31，+） 5 （5 分）已知函数() = ，0 ， 0，f（x）为函数 f（x）的导数，若 f（x 0）+f（0） 1，则 x0（ ） Ae Be2 Cln2 De 1 6 （5 分） 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形 的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长 方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角
3、形的四面 体） 在如图所示的堑堵 ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，则阳马 C1 ABB1A1的外接球的表面积是（ ） 第 2 页（共 17 页） A25 B50 C100 D200 7（5分） 过抛物线y22x的焦点F的直线交抛物线于A， B两点， 且A， B在直线 = 1 2上的射 影分别为 M，N，则MFN（ ） A30 B45 C60 D90 8 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则“”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）在正四棱锥
4、 VABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 2，侧棱长为 2，则异面 直线 VA 与 BD 所成角的大小为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 10 （5 分）已知函数 yxf（x）的图象如图所示（其中 f（x）是函数 f（x）的导函数） ， 下面四个图象中，yf（x）的图象大致是（ ） A B C D 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）1，且 f（x）的导函数 f（x）在上 R 恒有() 1 2，则不等式() 2 + 1 2的解集为（ ） 第 3 页（共 17 页） A （1，+） B （，1） C （1，1） D （，1）（1，+） 12 （5 分）已
5、知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点为 F，上顶点为 B，直线 l：xy 0 与椭圆 C 交于不同的两点 M， N， 满足|MF|+|NF|4， 且点 B 到直线 l 的距离不小于 2 2 ， 则 离心率 e 的取值范围是（ ） A(0， 3 2 B 3 2 ，1) C(0， 2 2 D 3 3 ，1) 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）. 13 （5 分）抛物线 yx2的焦点坐标是 14 （5 分）若函数 f（x）ax312x+a 的单调递减区间为（2，2） ，则 a 15 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2
6、= 1(0，0)的左焦点为 F，右顶点为 A，P 为 E 的左 支上一点，且PAF60，|PA|AF|，则 E 的离心率是 16（5分） 已知不等式aexlnx10对x （0， +） 恒成立， 则实数a的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17（10 分） 已知命题 p： 方程 2 +2 + 2 6 = 1表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆， 命题 q： 方程 x2+y2+2x+4y+m0 表示的曲线是圆，命题 pq 为真，pq 为假，求实数 m 的取值 范围 18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO
7、平面 BB1C1C （1）求证：B1CAB； （2）若 ACAB1，CB1B60，BC2，求三棱柱 ABCA1B1C1的高 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的短轴长为23，右焦点为 F，点 P 为 C 上 的动点，|PF|的最大值为 3 （1）求椭圆 C 的方程； 第 4 页（共 17 页） （2）设 O 为坐标原点，直线 l：ykx+1 与 C 交于 A，B 两点，若= 62 7 ，求直线 l 的方程 20 （12 分） 如图， 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， = = 2， AD2， = = 5，E、F 分别是棱 AD、PC 的中点： （1
8、）证明：EF平面 PAB； （2）若二面角 PADB 的平面角大小为 60，求直线 EP 与平面 PBC 所成角的正弦 值 21 （12 分）设函数 f（x）ax2（4a+1）x+4a+3ex （）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a； （）若 f（x）在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围 22 （12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x+20 相切 （1）若 A 在直线 x+y0 上，求M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由 第 5 页（共 17 页
9、） 2020-2021 学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（文科）学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设命题 p：n0N，0220，则p 为（ ） AnN，n22n B0 ，02 20 CnN，n22n D0 ，02 20 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p：n0N，0220，则 p 为：nN，n22n 故选：C 2 （5 分）若双曲线 2 5 2 2 = 1(0)的渐近线方程为 = 5 3 ，则 m（ ） A2 B3 C4 D5 【
10、解答】解：令 2 5 2 2 =0，则 y 5 x， 因为双曲线的渐近线方程为 = 5 3 ， 所以 5 = 5 3 ，所以 m3 故选：B 3 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列命题中错误的 是（ ） A若 m，m，则 B若 ，则 C若 m，n，mn，则 D若 m，n 是异面直线，m，n，m，n，则 【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，知： 在 A 中，若 m，m，则由面面平行的判定定理得 ，故 A 正确； 在 B 中，若 ，则由面面平行的判定定理得 ，故 B 正确； 在 C 中，若 m，n，mn，则 与 相交或平行，故 C 错误；
11、在 D 中，若 m，n 是异面直线，m，n，m，n，则由面面平行的判定定理得 ，故 D 正确 故选：C 第 6 页（共 17 页） 4 （5 分）若直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点，则实数 a 取值范围是（ ） A3，1 B1，3 C3，1 D （，31，+） 【解答】解：直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点 圆心到直线 xy+10 的距离为|+1| 2 2 |a+1|2 3a1 故选：C 5 （5 分）已知函数() = ，0 ， 0，f（x）为函数 f（x）的导数，若 f（x 0）+f（0） 1，则 x0（ ） Ae Be2 Cln2 De 1 【解答】解：根
12、据题意，函数() = ，0 ， 0，则 f（x）= + 1，0 ， 0 ， f（0）e01， 若 f（x0）+f（0）1，则 f（x0）0， 若 x00，则 f（x0）lnx0+10，则 x0e 1， 若 x00，则 f（x0）= 0=0，无解， 则有 x0e 1， 故选：D 6 （5 分） 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形 的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长 方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面 体） 在如图所示的堑堵 ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，则阳马
13、C1 ABB1A1的外接球的表面积是（ ） 第 7 页（共 17 页） A25 B50 C100 D200 【解答】解：由题意知，直三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1AC5，AB3，BC4， 四棱锥 C1ABB1A1的外接球即为直三棱柱的外接球， 以 AB、BC、BB1为共顶点，画出长方体，如图所示， 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球； 所求的外接球的直径为体对角线 2RAC1= 32+42+52= 50， 外接球的表面积是 S4R2 （2R）250 故选：B 7（5分） 过抛物线y22x的焦点F的直线交抛物线于A， B两点， 且A， B在直线 = 1 2上的射 影分别为 M，N，则MF
14、N（ ） A30 B45 C60 D90 【解答】解：由已知可得抛物线的准线方程为：x= 1 2， 由抛物线的性质可得|FA|MA|，所以AMFAFM， 同理BFNBNF， 因为 AMx 轴BN，所以MFOAMF， 所以AFOMFO，同理可知BFNNFO， 所以MFNMFO+NFO90， 故选：D 8 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则“”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：bm，当 ，则由面面垂直的性质可得 ab 成立， 若 ab，则 不一定成立， 第 8
15、 页（共 17 页） 故“”是“ab”的充分不必要条件， 故选：A 9 （5 分）在正四棱锥 VABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 2，侧棱长为 2，则异面 直线 VA 与 BD 所成角的大小为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：连接 AC，BD 交于点 O，取 VC 的中点 E，连接 DE，BE，OE， 如图所示： ， 底面为正方形 ABCD，O 为 AC 的中点，OEVA， 异面直线 VA 与 BD 所成角为EOB 或EOD， VDVB，VCVC，CDBC， VCDVBC，DEBE， 又点 O 为 BD 的中点， EOBD，即异面直线 VA 与 BD 所成角为 2
16、 故选：D 10 （5 分）已知函数 yxf（x）的图象如图所示（其中 f（x）是函数 f（x）的导函数） ， 下面四个图象中，yf（x）的图象大致是（ ） 第 9 页（共 17 页） A B C D 【解答】解：由图象看出，1x0，和 x1 时 xf（x）0；x1，和 0 x1 时 xf（x）0； 1x1 时，f（x）0；x1，或 x1 时，f（x）0； f（x）在（1，1上单调递减，在（，1， （1，+）上单调递增； f（x）的大致图象应是 B 故选：B 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）1，且 f（x）的导函数 f（x）在上 R 恒有() 1 2，则不等式(
17、) 2 + 1 2的解集为（ ） A （1，+） B （，1） C （1，1） D （，1）（1，+） 【解答】解：() 2 + 1 2可化为 f（x） 2 1 20， 令 g（x）f（x） 2 1 2，则 g（x）f（x） 1 2， 因为() 1 2，所以 g（x）0，所以 g（x）在 R 上单调递减， 当 x1 时，g（x）g（1）f（1） 1 2 1 2 =0，即 f（x） 2 + 1 2 所以不等式() 2 + 1 2的解集为（1，+） 故选：A 12 （5 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点为 F，上顶点为 B，直线 l：xy 0 与椭圆 C 交于不同的两点 M
18、， N， 满足|MF|+|NF|4， 且点 B 到直线 l 的距离不小于 2 2 ， 则 第 10 页（共 17 页） 离心率 e 的取值范围是（ ） A(0， 3 2 B 3 2 ，1) C(0， 2 2 D 3 3 ，1) 【解答】解：如图所示：设 E 为椭圆的左焦点，连接 ME，NE，则四边形 NFME 为平行 四边形， 所以|MF|+|NF|ME|+|MF|2a4，所以 a2， 因为 B（0，b） ，所以点 B 直线 l：xy0 的距离不小于 2 2 ， 即 | 1+1 2 2 ，解得 b1， 所以椭圆的离心率 e= =1 ( ) 2 =1 2 4 1 1 4 = 3 2 ， 所以椭圆
19、的离心率的取值范围为（0， 3 2 ， 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）. 13 （5 分）抛物线 yx2的焦点坐标是 (0， 1 4) 【解答】解：抛物线 yx2，即 x2y， p= 1 2， 2 = 1 4， 焦点坐标是 （0，1 4） ， 故答案为： （0，1 4） 14 （5 分）若函数 f（x）ax312x+a 的单调递减区间为（2，2） ，则 a 1 【解答】解：由 f（x）ax312x+a，得 f（x）3ax212， f（x）ax312x+a 的单调递减区间为（2，2） ， 2 和 2 为方程 f（x）
20、0 的两实根， 12a120，a1 第 11 页（共 17 页） 故答案为：1 15 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点为 F，右顶点为 A，P 为 E 的左 支上一点，且PAF60，|PA|AF|，则 E 的离心率是 4 【解答】解：由题意可得PAF60，|PA|AF|， PAF 为等边三角形， |PF|AF|a+c， 设双曲线的右焦点为 F1， |PF1|2a+|PF|3a+c， |F1F|2c， 由余弦定理可得|PF1|PF|2+|FF1|22|PF|FF1|cos60， 即（3a+c）2（a+c）2+4c22（a+c） 2c 1 2， c23ac4a20，
21、e23e40， e4， 故答案为：4 16（5 分） 已知不等式 aexlnx10 对 x （0， +） 恒成立， 则实数 a 的取值范围是 1 ， +） 【解答】解：问题转化为对任意 x（0，+） ，a +1 恒成立， 令 f（x）= +1 ， f（x）= 1 (+1) ()2 = 1 1 = 1 ， 令 g（x）1xlnxx， 第 12 页（共 17 页） g（x）lnxx1 1lnx2， 令 g（x）0，得 xe 2， 所以在（0，e 2）上，g（x）0，g（x）单调递增， 在（e 2，+）上，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）g（e 2）1e2lne2e21+e20， 当
22、x0 时，g（x）1； 又 g（1）0， 所以当 x（0，1）上，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（1，+）上，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减， 所以 f（x）maxf（1）= 1 ， 所以 a 1 ， 故答案为：1 ，+） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17（10 分） 已知命题 p： 方程 2 +2 + 2 6 = 1表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆， 命题 q： 方程 x2+y2+2x+4y+m0 表示的曲线是圆，命题 pq 为真，pq 为假，求实数 m 的取值 范围 【解答】解：若 p 真，则* + 20#/DEL/# 6 0#/DEL/#
23、 + 26 #/DEL/# ，得 2m6 若 q 真，则 5m0，得 m5， 因为 pq 为真，pq 为假，则 p、q 一真一假 当 p 真 q 假时，26 5 ，得 5m6 当 p 假 q 真时， 2 或 6 5 ，得 m2 综上，m 的取值范围是（，25，6） 18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO平面 BB1C1C （1）求证：B1CAB； 第 13 页（共 17 页） （2）若 ACAB1，CB1B60，BC2，求三棱柱 ABCA1B1C1的高 【解答】解： （1）证明：连结 BC1，则 O 为 BC1与 B1C
24、 的交点， 因为侧面 BB1C1C 为菱形， 所以 B1CBC1， 又 AO平面 BB1C1C，B1CAO， 又 BC1AOO，B1C平面 ABO，AO平面 ABO， B1C平面 ABO， 由于 AB平面 ABO， 故 B1CAB （2）作 ODBC，垂足为 D，连结 AD，作 OHAD，垂足为 H， 由于 BCAO，BCOD，AOODD， 故 BC平面 AOD，所以 OHBC 又 OHAD，BCADD，BC平面 ABC，AD平面 ABC， 所以 OH平面 ABC 因为CBB160，BB1BC， 所以CBB1为等边三角形， 又 BC2，可得 = 3 2 ， 由于 ACAB1，所以 = 1 2
25、1 = 1， 由 OHADODOA，且 = 2+ 2= 7 2 ，得 = 21 7 ， 又 O 为 B1C 的中点，所以点 B1到平面 ABC 的距离为221 7 ， 故三棱柱 ABCA1B1C1的高为221 7 第 14 页（共 17 页） 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的短轴长为23，右焦点为 F，点 P 为 C 上 的动点，|PF|的最大值为 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 O 为坐标原点，直线 l：ykx+1 与 C 交于 A，B 两点，若= 62 7 ，求直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题， 2 = 23 + = 3 2= 2+ 2
26、，解得 a2， = 3，c1， 椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 = + 1 2 4 + 2 3 = 1，得（3+4k 2）x2+8kx80， 1+ 2= 8 3+42，1 2= 8 3+42， = 1 2 1 |1 2| = 1 2 (1+ 2)2 412= 26(1+22) 3+42 = 62 7 ， 解得 k21 或2= 11 24（舍去） ， k1， 直线 l 的方程为 yx+1 或 yx+1 20 （12 分） 如图， 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， = = 2， AD2， = = 5，E、F
27、 分别是棱 AD、PC 的中点： （1）证明：EF平面 PAB； （2）若二面角 PADB 的平面角大小为 60，求直线 EP 与平面 PBC 所成角的正弦 值 第 15 页（共 17 页） 【解答】 （1）证明：如图所示，取 PB 中点 M，连接 MF，AM 因为 F 为 PC 中点，所以 MFBC，且 = 1 2 由已知有 BCAD，BCAD，又由于 E 为 AD 中点，因而 MFAE 且 MFAE，故四边 形 AMFE 为平行四边形，所以 EFAM 又 AM平面 PAB，而 EP平面 PAB，所以 EF平面 PAB （2）解：连接 PE，BE，BF， 因为 PAPD，BABD，而 E 为
28、 AD 中点， 所以 PEAD，BEAD，所以PEB 为二面角 PADB 的平面角PEB60 在PAD 中，由 = = 5，AD2，可解 PE2 在ABD 中，由 = = 2，AD2，可解得 BE1 在PEB 中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得 = 3， 从而PBE90，即 BEPB 又 BCAD，BEAD，从而 BEBC，又 BCPBB 因此 BE平面 PBC 所以EPB 为直线 EP 与平面 PBC 所成的角 在 RtPBE 中，PEB60， 所以EPB30 所以直线 EP 与平面 PBC 所成角的正弦值为1 2 第 16 页（共 17 页） 21 （12 分）设函数 f（
29、x）ax2（4a+1）x+4a+3ex （）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a； （）若 f（x）在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为 f（x）ax2（2a+1）x+2ex 由题意可得曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0， 可得（a2a1+2）e0，且 f（1）3e0， 解得 a1； （）f（x）的导数为 f（x）ax2（2a+1）x+2ex（x2） （ax1）ex， 若 a0 则 x2 时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减 x2 处
30、 f（x）取得极大值，不符题意； 若 a0，且 a= 1 2，则 f（x）= 1 2（x2） 2ex0，f（x）递增，无极值； 若 a 1 2，则 1 2，f（x）在（1 ，2）递减；在（2，+） ， （， 1 ）递增， 可得 f（x）在 x2 处取得极小值； 若 0a 1 2，则 1 2，f（x）在（2，1 ）递减；在（ 1 ，+） ， （，2）递增， 可得 f（x）在 x2 处取得极大值，不符题意； 若 a0，则1 2，f（x）在（1 ，2）递增；在（2，+） ， （， 1 ）递减， 可得 f（x）在 x2 处取得极大值，不符题意 综上可得，a 的范围是（1 2，+） 22 （12 分）已
31、知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x+20 相切 （1）若 A 在直线 x+y0 上，求M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由 【解答】解：M 过点 A，B 且 A 在直线 x+y0 上， 点 M 在线段 AB 的中垂线 xy0 上， 设M 的方程为： （xa）2+（ya）2R2（R0） ，则 圆心 M（a，a）到直线 x+y0 的距离 d= |2| 2 ， 又|AB|4，在 RtOMB 中， 第 17 页（共 17 页） d2+（1 2|AB|） 2R2， 即(|2| 2 )2+ 4 = 2 又M
32、 与 x2 相切，|a+2|R 由解得 = 0 = 2或 = 4 = 6， M 的半径为 2 或 6； （2）线段 AB 为M 的一条弦 O 是弦 AB 的中点，圆心 M 在线段 AB 的中垂线上， 设点 M 的坐标为（x，y） ，则|OM|2+|OA|2|MA|2， M 与直线 x+20 相切，|MA|x+2|， |x+2|2|OM|2+|OA|2x2+y2+4， y24x， M 的轨迹是以 F（1，0）为焦点 x1 为准线的抛物线， |MA|MP|x+2|MP| |x+1|MP|+1|MF|MP|+1， 当|MA|MP|为定值时，则点 P 与点 F 重合，即 P 的坐标为（1，0） ， 存在定点 P（1，0）使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值
