1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年上海市静安区高三（上）期末数学试卷（一模）学年上海市静安区高三（上）期末数学试卷（一模） 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 8 题，每题题，每题 6 分，共分，共 48 分）分） 1 （6 分）命题“若0ab ，则0a 且0b ”的逆否命题为 2 （6 分） 21 6 (2)xx的二项展开式的常数项是 3 （6 分）如图所示，弧长为 2 ，半径为 1 的扇形（及其内部）绕OB所在的直线旋转一周， 所形成的几何体的表面积为 4 （6 分）设i是虚数单位，复数1 2 ai i 为纯虚数，则实数a 5 （6 分）在ABC中，2AB ，1AC
2、D是BC边上的中点，则AD BC的值为 6 （6 分）某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动他们第一天得到 15 元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多 10 元要募捐到不少于 1100 元，这次 募捐活动至少需要 天 （结果取整） 7 （6 分）某校开设 9 门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一 门，若规定每位学生选修 4 门，则一共有 种不同的选修方案 8 （6 分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒 2 的角速度从点A出发， 沿半径为 2 的上半圆逆时针移动到B，再以每秒 3 的角速度从点B沿半径为 1 的下半圆逆 时针移动到坐
3、标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 3 题，每题题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 9 （6 分）若ab，cd，则下列不等式中必然成立的一个是( ) 第 2 页（共 15 页） Aadbc Bacbd Cdacb D ab cd 10 （6 分）下列四个选项中正确的是( ) A关于x，y的方程 22 0(xyDxEyFD，E，)FR的曲线是圆 B 设复数 1 z，2z是两个不同的复数， 实数0a ， 则关于复数z的方程 12 | 2zzzza 的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆 C设A，B为两个不同的定点，k为
4、非零常数，若|PAPB k，则动点P的轨迹为 双曲线的一支 D双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点 11 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单 位圆（圆心在坐标原点)O于A、B两点若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且 cos() 0，则ab的最大值为( ) A1 B2 C2 D不存在 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，共题，共 84 分）分） 12（14 分） 如图所示， 等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt FCB和Rt EDA 组成，1AB ，2CF 现将Rt FCB沿BC
5、所在的直线折起，点F移至点G，使二面角 EBCG的大小为60 （1）求四棱锥GABCE的体积； （2）求异面直线AE与BG所成角的大小 13 （14 分）设 2 ( ) 12 x x a f x ，其中常数aR （1）设0a ，(1,)D ，求函数( )()yf x xD的反函数； （2）求证：当且仅当1a 时，函数( )yf x为奇函数 14 （16 分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF 张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达 第 3 页（共 15 页） 的两点之间的直线距离） 的条件下， 为了计算塔CD的高度， 他在点A测得点D的
6、仰角为30， 75CAB，又选择了相距 100 米的B点，测得60ABC （1）请你根据张明的测量数据求出塔CD高度； （2）在完成（1）的任务后，张明测得90BAE，并且又选择性地测量了两个角的大小 （设为、)据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF 请问：张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可） 他是如何用、表示出DF的？（写出过程和结论） 15 （19 分） 1112131 2122232 3132333 123 & & (&) & & n n n nnnnn aaaa aaaa aaaa aaaa ， 2( 5)n n个正数排成n行n列方阵，其中每一行从 左至右成等差数列，每一列从上
7、至下都是公比为同一个实数q的等比数列 已知 12 1a， 14 2a， 55 5 32 a （1）设 1nn ba，求数列 n b的通项公式； （2）设 1121311nn Saaaa，求证： * 1() n SnN； （3）设 112233nnn Taaaa，请用数学归纳法证明： * 2 2() 2 n n n TnN 16 （21 分）如图所示，定点F到定直线l的距离3MF 动点P到定点F的距离等于它 到定直线l距离的 2 倍设动点P的轨迹是曲线 （1）请以线段MF所在的直线为x轴，以线段MF上的某一点为坐标原点O，建立适当的 平面直角坐标系xOy，使得曲线经过坐标原点O，并求曲线的方程；
8、 （2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：范围；对称性并选择其一给予证明 第 4 页（共 15 页） （3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点O，还与x轴交于另一点C，经过点F的直线m 交曲线于A，B两点，求证：CACB 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年上海市静安区高三（上）期末数学试卷（一模）学年上海市静安区高三（上）期末数学试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 8 题，每题题，每题 6 分，共分，共 48 分）分） 1（6 分） 命题 “若0ab ， 则0a 且0b ” 的逆否命题为 “若0a 或0b ， 则0ab
9、” 【解答】解：根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p” ， 可得命题“若0ab ，则0a 且0b ”的逆否命题为： “若0a 或0b ，则0ab ” 故答案为： “若0a 或0b ，则0ab ” 2 （6 分） 21 6 (2)xx的二项展开式的常数项是 60 【解答】解： 21 6 (2)xx的二项展开式的通项公式为 261612 3 166 (2)()( 1)2 rrrrrrr r TCxxCx 令1230r，求得4r ，故展开式的常数项为 424 6 ( 1)260C， 故答案为：60 3 （6 分）如图所示，弧长为 2 ，半径为 1 的扇形（及其内部）绕OB所在的直线旋转一周
10、， 所形成的几何体的表面积为 3 【解答】解：如图，弧长为 2 ，半径为 1 的扇形，则扇形OAB的圆心角为 2 ， 则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为 1 的半球体， 该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积： 22 1 1413 2 S 故答案为：3 第 6 页（共 15 页） 4 （6 分）设i是虚数单位，复数1 2 ai i 为纯虚数，则实数a 2 【解答】解：因为1 (1)(2)2(21) 2(2)(2)5 aiaiiaai iii ，是纯虚数，所以2a 故答案为：2 5 （6 分） 在ABC中，2AB ，1AC D是BC边上的中点， 则AD BC的值为 3
11、2 【解答】解： 22 143 () 2222 ABACACAB AD BCACAB ， 故答案为： 3 2 6 （6 分）某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动他们第一天得到 15 元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多 10 元要募捐到不少于 1100 元，这次 募捐活动至少需要 14 天 （结果取整） 【解答】解：由题意可知，捐款数构成一个以 15 为首项，以 10 为公差的等差数列， 设要募捐到不少于 1100 元，这次募捐活动至少需要n天， 则 (1) 1510 1100 2 n n n ， 整理得： 2 2220 0nn， 又n为正整数， 当13n 时， 2
12、132 13220250 ；当14n 时， 2 142 1422040， n的最小值为 14， 即这次募捐活动至少需要 14 天 故答案为：14 7 （6 分）某校开设 9 门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一 门，若规定每位学生选修 4 门，则一共有 75 种不同的选修方案 【解答】解：由题意知本题需要分类来解， 第一类，若从A、B、C三门选一门有 13 36 60CC， 第二类，若从其他六门中选 4 门有 4 6 15C ， 根据分类计数加法得到共有601575种不同的方法 故答案为：75 8 （6 分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒 2 的角速度
13、从点A出发， 第 7 页（共 15 页） 沿半径为 2 的上半圆逆时针移动到B，再以每秒 3 的角速度从点B沿半径为 1 的下半圆逆 时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为 2sin,02 2 sin(2),25 3 tt y tt 剟 【解答】解：当P在大圆上半圆上运动时， 2 POAt ，02t剟， 由任意角的三角函数的定义，可得P的纵坐标为2sin 2 yt ，02t剟； 当点P在小圆下半圆上运动时，(2) 3 POBt ，25t ， 可得P点纵坐标为sin(2)sin(2) 33 ytt ，25t 动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为 2sin,
14、02 2 sin(2),25 3 tt y tt 剟 故答案为： 2sin,02 2 sin(2),25 3 tt y tt 剟 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 3 题，每题题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 9 （6 分）若ab，cd，则下列不等式中必然成立的一个是( ) Aadbc Bacbd Cdacb D ab cd 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若4a ，2b ，2c ，1d ，满足ab，cd，但不满足adbc，A错 误， 对于B，若4a ，2b ，1c ，2d ，满足ab，cd，但不满足acbd，B错 误， 第 8 页（共 15 页） 对于C，若a
15、b，则ab ，又由cd，则dacb，C正确， 对于D，若4a ，2b ，1c ，2d ，满足ab，cd，但不满足 ab cd ，D错 误， 故选：C 10 （6 分）下列四个选项中正确的是( ) A关于x，y的方程 22 0(xyDxEyFD，E，)FR的曲线是圆 B 设复数 1 z，2z是两个不同的复数， 实数0a ， 则关于复数z的方程 12 | 2zzzza 的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆 C设A，B为两个不同的定点，k为非零常数，若|PAPB k，则动点P的轨迹为 双曲线的一支 D双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点 【解答】解：关于x
16、，y的方程 22 0(xyDxEyFD，E，)FR的曲线是圆，不满 足二元二次方程表示圆的条件，所以A不正确； 设复数 1 z， 2 z是两个不同的复数，实数0a ，则关于复数z的方程 12 | 2zzzza的 所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆，也可能是线段，也可能没有轨迹，所以B不 正确； 设A，B为两个不同的定点，k为非零常数，若|PAPB k，则动点P的轨迹为双曲线 的一支，不满足双曲线的定义，也可能是一条射线，所以C不正确； 双曲线 22 1 259 xy 的焦点坐标(34，0)，椭圆 2 2 1 35 x y的焦点坐标(34，0)，所以 两条曲线有相同的焦点，所以D正确 故选：
17、D 11 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单 位圆（圆心在坐标原点)O于A、B两点若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且 cos() 0，则ab的最大值为( ) A1 B2 C2 D不存在 【解答】解：角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 第 9 页（共 15 页） 根据题意可得(cos , )Aa、(cos , )Bb，且sin0a，sin0b， 2 cos1a， 2 cos1b ， 22 cos()coscossinsin110abab ， 即 22 11abab， 平方可得， 22 1ab，当且仅当ab时
18、，取等号 22222 ()22()2ababababab 剟，当且仅当ab时，取等号， 故当ab时，ab取得最大值为2， 故选：B 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，共题，共 84 分）分） 12（14 分） 如图所示， 等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt FCB和Rt EDA 组成，1AB ，2CF 现将Rt FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角 EBCG的大小为60 （1）求四棱锥GABCE的体积； （2）求异面直线AE与BG所成角的大小 【解答】解： （1）由已知，有GCBC，ECBC，所以60ECG 连接DG，由1CDAB，2CGCF，
19、60ECG，有DGEF， 由BCEF，BCCG，有BC 平面DEG，所以，DGBC， 由知，DG 平面ABCE，所以DG就是四棱锥GABCE的高， 在Rt CDG中，2 sin603DG 故四棱锥GABCE的体积为： 2 112 3 (11 2)3 323 V （2）取DE的中点H，连接BH、GH， 则/ /BHAE，故GBH既是AE与BG所成角或其补角 第 10 页（共 15 页） 在BGH中，5BHBG， 22 2GHDGDH， 则 3 cos 5 GBH 故异面直线AE与BG所成角的大小为 3 arccos 5 13 （14 分）设 2 ( ) 12 x x a f x ，其中常数aR
20、（1）设0a ，(1,)D ，求函数( )()yf x xD的反函数； （2）求证：当且仅当1a 时，函数( )yf x为奇函数 【解答】解： （1）由已知，设 2 12 x x y ， 得 2 log 1 y x y 又 21 1 1212 x xx y ， 所以，函数( )()yf x xD单调递增 故， 1 2 ( )log 1 x fx x ，( 2,)x ； 证明： （2）( ) i函数 2 ( ) 12 x x a f x 的定义域为(，0)(0，) 若1a ， 12 ( ) 12 x x f x ，对于任意的(x ，0)(0，)， 有 1212 ()( ) 1212 xx xx
21、fxf x 所以，( )yf x是奇函数 ( )ii方法 1：由( )yf x是奇函数，有( 1)ff （1） ， 解得1a 方法 2：若1a ，则 1 1 2 ( 1)21 12 a fa ， 2 (1)2 12 a fa ，( 1)ff （1） （否则 1)a ， ( )f x不是奇函数 方法 3：若( )f x为奇函数，则，对于任意的(x ，0)(0，)，有()( )fxf x 第 11 页（共 15 页） 即， 22 1212 xx xx aa 即(1)(21)0 x a 1a 14 （16 分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF 张明在只有量角器（可以测量从测量人出发
22、的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达 的两点之间的直线距离） 的条件下， 为了计算塔CD的高度， 他在点A测得点D的仰角为30， 75CAB，又选择了相距 100 米的B点，测得60ABC （1）请你根据张明的测量数据求出塔CD高度； （2）在完成（1）的任务后，张明测得90BAE，并且又选择性地测量了两个角的大小 （设为、)据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF 请问：张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可） 他是如何用、表示出DF的？（写出过程和结论） 【解答】解： （1）在ABC中，18045ACBCABCBA， 由正弦定理，有 sinsin ACAB CBAACB ， 所以，
23、 100sin60 50 6 sin45 AC 米 可得tan50 6 tan3050 2CDACDAC 米 （2）由（1）有100 2AD 米 测得ABF，DAF， 由已知，有ABEF，ABAE， 所以，AB 平面AEF，得ABAF 第 12 页（共 15 页） 所以，tan100tanAFAB， 在ADF中，由余弦定理，有 222 2cos1002tan22tancosDFADAFADAF米 【另解 1】测得ABF，DBF解得100secBF，50( 31)BC ， 50 62 3BD 在BDF中，由余弦定理，有 2 50 62 34sec4 62 3 seccosDF米 【另解 2】测得
24、ABE，EAF， 由已知，有ABEF，ABAE， 所以，AB 平面AEF，得ABAF 所以，100tanAE， 在ACE中，由余弦定理，有 2 10000tan15000 10000 6tancos15EC米 可得100tantanEF米， 截取EGCD，则， 2222 50 (2tantan2)4tan6(62 3)tanDFFGEC米， 【另解 3】测得ABE，EBF， 由已知，有ABEF，ABAE， 所以，AB 平面AEF，得ABAF 解得，100secBE， 在ACE中，由余弦定理，有 2 10000tan15000 10000 6tancos15EC米， 100sectanEF米，
25、截取EGCD，则， 2222 50 (2sectan2)4tan6(62 3)tanDFFGEC米 15 （19 分） 1112131 2122232 3132333 123 & & (&) & & n n n nnnnn aaaa aaaa aaaa aaaa ， 2( 5)n n个正数排成n行n列方阵，其中每一行从 左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数q的等比数列 第 13 页（共 15 页） 已知 12 1a， 14 2a， 55 5 32 a （1）设 1nn ba，求数列 n b的通项公式； （2）设 1121311nn Saaaa，求证： * 1() n SnN；
26、（3）设 112233nnn Taaaa，请用数学归纳法证明： * 2 2() 2 n n n TnN 【解答】解： （1）由题意，数列 n b是等差数列，设首项为 1 a，公差为d， 由 12 1a， 14 2a得 1 1 1, 32. ad ad 解得 1 1 2 a ， 1 2 d ， 故数列 n b的通项公式为 11 (1) 222 n n bn； 证明： （2）由（1）可得 15 5 2 a，再由已知 55 5 32 a，得 4 55 322 q， 解得 1 2 q ，由题意舍去 1 2 q ， 1121311 11 1( ) 1 22 1( ) 1 2 1 2 n n nn Saa
27、aa ， 由指数函数的性质，有 * 1() n SnN 证明： （3）( ) i当1n 时， 1 1 2 T ，等式成立， ( )ii假设当n k时等式成立，即 * 2 2() 2 TN k k k k， 当1n k时， 1(1)(1)1(1) 1 1211(1)2 ( )2( )2 22222 TTaTa kk kkkkkk kk kkk ， 等式成立， 根据( ) i和( )ii可以断定， 2 2 2 n n n T 对任何的 * nN都成立 16 （21 分）如图所示，定点F到定直线l的距离3MF 动点P到定点F的距离等于它 到定直线l距离的 2 倍设动点P的轨迹是曲线 （1）请以线段M
28、F所在的直线为x轴，以线段MF上的某一点为坐标原点O，建立适当的 平面直角坐标系xOy，使得曲线经过坐标原点O，并求曲线的方程； （2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：范围；对称性并选择其一给予证明 （3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点O，还与x轴交于另一点C，经过点F的直线m 交曲线于A，B两点，求证：CACB 第 14 页（共 15 页） 【解答】解： （1）在线段MF上取点O，使得2OFMO， 以点O为原点，以线段MF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy 设动点P的坐标为( , )x y，则有( 1,0)M ，(2,0)F，由题意，有 22 (2)2|1|xyx， 整理得： 2
29、2 3120 xxy （2）范围：0 x或4x，曲线位于直线0 x 与4x 两侧 对称性： 曲线关于0y 成轴对称； 曲线关于2x 成轴对称； 曲线关于( 2,0)成中心对称； 范围证明： 22 3(2)12xy， 22 3(2)12 12xy， 对称性证明： 在方程中，把y换成y，方程不变， 所以，曲线关于0y 成轴对称； 在方程中，把x换成4x ，方程不变， 所以，曲线关于2x 成轴对称； 在方程中，把y换成y，或把x换成4x ，方程不变， 所以，曲线关于( 2,0)成中心对称； （3）将0y 代入 22 3120 xxy，解得4x ，0 x （舍)， 所以( 4,0)C ； ( ) i若
30、直线l垂直于x轴： 第 15 页（共 15 页） 将2x 代入 22 3120 xxy，解得6y ， 此时，(2,6)A、(2, 6)B所以，(6,6)CA ，(6, 6)CB 0CA CB，CACB ( )ii若直线m不垂直于x轴： 设 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y， 11 (4,)CAxy， 22 (4,)CBxy， 直 线m的 方 程 为(2)yxk， 将 其 代 入 22 3120 xxy， 整 理 得 ， 2222 (3)4(3)40 xxkkk， 所以， 2 12 2 4(3) 3 xx k k ， 2 12 2 4 3 x x k k ； 2 22 12121212 2 36 (2)(2)2()4 3 y yxxx xxx k kk k ， 222 1212121212 222 16(3)436 (4)(4)4()16160 333 CA CBxxy yx xxxy y kkk kkk ， 所以CACB
