1、第二节 三角恒等变换 考情解读 命 题 规 律 考点 三角恒等变换 考查频次 卷，5年1考 卷，5年3考 卷，2年3考 考查难度 中等 常考题型及分值 选择题，5分； 填空题，5分 命 题 趋 势 预计新课标高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，与三角函数式的求值、 化简交汇命题.复习时，要注意公式的灵活应用及转化与化归等数学思想 基础导学 2. 倍角公式 （1）2:sin2 = 7 . （2）2：2 = 8 = 9 = 10 （3）2：tan2 = 11 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）(+):sin( +) = 1 . （2）():sin( ) = 2 . （3）(+)
2、:cos( +) = 3 . （4）()：cos( ) = 4 . （5）(+):tan( +) = 5 . （6）():tan( ) = 6 . 知识梳理 sincos+cossin sincoscossin cossinsincos cossin+sincos tan+tan 1tantan tantan 1+tantan 2sincos cos2()sin2() 2cos2()1 12sin2() 2tan 1tan2 知识拓展 2.公式的重要变形 （1）降幂公式：cos2 = 1+cos2 2 ,sin2 = 1cos2 2 . （2）升幂公式：1+cos2 = 2cos2,1 cos
3、2 = 2sin2. （3）公式变形：tan tan = tan( +)(1tantan) （4）辅助角公式：sin +cos = 2+2sin( +) （其中sin = 2+2 ,cos = 2+2 ）. 重难突破 考点一 两角和、差及倍角公式的直接应 用 解析 由2sin2 = cos2 +1 ，得4sincos = 12sin2 +1 ，即2sincos = 1sin2 .因为 (0, 2) ，所以cos = 1sin2 ， 所以2sin 1sin2 = 1sin2 ，解得sin = 5 5 .故选 . 典例研析典例研析 【例1】 B （1）2019 全国卷已知 (0, 2),2sin2
4、 = cos2 +1 ，则sin = ( ) A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 （2）2018全国卷已知tan( 5 4 ) = 1 5 ，则tan = . 3 2 解析 tan( 5 4 ) = tan( 4) = tan1 1+tan = 1 5 ，解得tan = 3 2 . 答案 因为 = 4 3 ,tan = sin cos ， 所以sin = 4 3 cos . 因为sin2 +cos2 = 1 ， 所以cos2 = 9 25 ， 因此，cos2 = 2cos2 1 = 7 25 . （3）2018江苏卷已知, 为锐角， = 4 3 ,cos( +) = 5
5、 5 . . 求cos2 的值； 方法技巧： 应用三角公式化简求值的策略 （1）使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律. 例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”. （2）使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. （3）使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. . 求tan( ) 的值. 对点训练对点训练 1. 已知sin( 4 +) = 2 5 ，则sin2 = 17 25 解析sin2 = cos( 2 +2) = 2sin2( 4 +)1 = 2 ( 2 5) 2 1 = 15 17 . 2. 已知函数(
6、) = 2cos( + 6) （其中 0 ）的最小正周期为10 . （1）求 的值; 答案由于函数() 的最小正周期为10 ，所以10 = 2 ，所以 = 1 5 . 答案由（1）知() = 2cos( 1 5 + 6) . 又因为(5 + 5 3 ) = 6 5 ， 所以2cos 1 5 (5 + 5 3 )+ 6 = 2cos( + 2) = 6 5 ， 所以sin = 3 5 . 又因为(5 5 6 ) = 16 17 ， 所以2cos 1 5 (5 5 6 )+ 6 = 2cos = 16 17 ， 所以cos = 8 17 . 又因为, 0, 2 ，所以cos = 4 5 ,sin
7、= 15 17 ， 所以cos( +) = coscos sinsin = 4 5 8 17 3 5 15 17 = 13 85 . （2）设, 0, 2,(5 + 5 3 ) = 6 5 ,(5 5 6 ) = 16 17 ，求( +) 的值. 重难突破 考点二 两角和、差及倍角公式的逆用及 变形应用 典例研析典例研析 【例2】 B 0 （1）计算 sin110sin20 cos2155sin2155 的值为( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 （2）cos11323+11367= ； 解析 原式= sin70sin20 cos225sin225 = cos20si
8、n20 cos50 = 1 2 sin40 sin40 = 1 2 . 解析 原式= cos113cos23+sin113sin23= cos(11323) = cos90= 0 . 解析 所求的式子中含有tantan ，由此联想到取( +) 的正切. tan( +) = 1 ，即 tan+tan 1tantan = 1 ， tan +tan = 1tantan . 1+tan 1+tan = 1+ tan +tan +tantan = 1+(1tantan)+tantan = 2 . （4） 已知 + = 4 ，则(1+tan)(1+tan) = . （3） 1tan15 1+tan15 =
9、 ； 3 3 解析 原式= tan45tan15 1+tan45tan15 = tan(4515) = tan30= 3 3 . 2 方法技巧： （1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. （2）和差角公式变形： sinsin +cos( +) = coscos ， cossin +sin( ) = sincos ， tan tan = tan( +)(1tan tan) . （3）倍角公式变形：降幂公式. （4）注意“1”的各种等价代换，如1 = sin2 +cos2 = tan 4 等. 对点训练对点训练 A C 3. 1 2 cos15+ 3 2 sin15 的值是
10、( ) A. 2 2 B. 2 2 C. 6 2 D. 6 2 解析 1 2 cos15+ 3 2 sin15= cos60cos15+sin60sin15= cos(6015) = cos45= 2 2 . 4. 已知tan +tan = 2,tan( +) = 4 ，则tantan 等于( ) A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 4 解析tan( +) = tan+tan 1tantan = 2 1tantan = 4 ，解得tantan = 1 2. 5. 2018全国卷已知sin +cos = 1,cos +sin = 0 ，则sin( +) = . 1 2 解析 sin +cos
11、 = 1 ， cos +sin = 0 ， 2 + 2 得1+2(sincos +cossin)+1 = 1 . sincos +cossin = 1 2 ， sin( +) = 1 2 . 重难突破 考点三 简单的三角恒等变换 典例研析典例研析 【例3】 C （1）若0 2 , 2 0,cos( + 4) = 1 3 ，sin( 4 2) = 3 3 ，则cos( + 2) = ( ) A. 3 3 B. 3 3 C. 6 3 D. 6 9 解析 因为0 2 ，所以 4 + 4 3 4 ， 又cos( + 4) = 1 3 ，所以sin( + 4) = 1cos 2( + 4) = 1 1
12、9 = 2 2 3 . 因为 2 0 ，所以 4 4 2 2 ， 又sin( 4 2) = 3 3 ，所以cos( 4 2) = 1 sin 2( 4 2) = 1 1 3 = 6 3 ， 所以cos( + 2) = cos( + 4)( 4 2) = cos( + 4)cos( 4 2)+sin( + 4)sin( 4 2) = 1 3 6 3 + 2 2 3 3 3 = 6 3 .故选 . A 8 （2）若sin2 = 5 5 ,sin( ) = 10 10 ，且 4 , , 3 2 ，则 + 的值是( ) A. 7 4 B. 9 4 C. 5 4 戒 7 4 D. 5 4 戒 9 4 （
13、3）若() = 2tan 2sin2 21 sin 2cos 2 ，则( 12) 的值为 . 解析 因为 4 , ，所以2 2 ,2 ，又sin2 = 5 5 ，所以2 2 , 4 , 2 ，故cos2 = 2 5 5 . 又 , 3 2 ，所以 2 , 5 4 ，故cos( ) = 3 10 10 . 因此，cos( +) = cos( )+2 = cos( )cos2 sin( )sin2 = ( 3 10 10 ) ( 2 5 5 ) 10 10 5 5 = 2 2 ，又 + 5 4 ,2 ，所以 + = 7 4 .故选 . 解析 () = 2tan cos 1 2sin = 2sin
14、cos + 2cos sin = 4 sin2 , ( 12) = 4 sin 6 = 8 . 方法技巧： （1）从函数概念角度考虑：三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点.对于一个角，我们要分 析它的范围，对于不同的角，我们就要分析它们之间的关系.用已知角表示所求角.如2 = ( +)+( ), + 2 = ( + 4)( 4 2) ，同时注意角的范围. （2）三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问 题选择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直观能力，看到一个函数解析式就能够联想到函数的性质 （对称性、过定点，函数值正负区间
15、，单调性等）.这就是直观想象素养，根据结构和目标确定变换的方向和方 法，常用的变换有： 对于含有“sin 2 ”型，利用sin2 =1cos2 2 . 对于含有“cos2 ”型，利用cos2 = 1+cos2 2 . 对于含有“sincos ”型，利用sincos = 1 2 sin2 . 对于含有“tan ”型，利用tan = sin cos .逐步变为形如“ = sin +cos ” ，利用辅助角公式变为 = 2+2sin( +) 型. 对点训练对点训练 B D 6. 已知tan = 3 5 ，则sin2 = ( ) A. 15 17 B. 15 17 C. 8 17 D. 8 17 解析
16、sin2 = 2sincos sin2+cos2 = 2tan tan2+1 = 2(3 5) (3 5) 2+1 = 15 17 .故选 . 7. 已知 (0, 4),sin cos = 14 4 ，则 2cos21 cos( 4+) = ( ) A. 2 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 3 2 解析由sin cos = 14 4 得sin（ 4 ） = 7 4 ， (0， 4) ， 0 4 4 . cos( 4 ) = 3 4 . 故 2cos21 cos( 4+) = cos2 sin( 4) = sin( 22) sin( 4) = sin2( 4) sin( 4) = 2cos
17、( 4 ) = 3 2 . 课时作业 一、单项选择题 D A 1. 计算：sin2010cos16010= ( ) A. 3 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 2 解析原式= sin2010+2010= sin(20+10) = sin30= 1 2 . 2. 已知sin( 4 +) = 1 3 ，则sin2 = ( ) A. 7 9 B. 1 9 C. 1 9 D. 7 9 解析因为sin( 4 +) = 1 3 ，所以 2 2 (sin +cos) = 1 3 ，两边平方得 1 2 (1+sin2) = 1 9 ， 解得sin2 = 7 9 . B C 3. 已知, 都是锐角，且s
18、incos = cos(1+sin) ，则( ) A. 3 = 2 B. 2 = 2 C. 3 + = 2 D. 2 + = 2 解析因为sincos = cos(1+sin) ，所以sin( ) = cos = sin( 2 ) ，所以 = 2 ，即 2 = 2 . 4. 已知sin = 5 5 ,sin( ) = 10 10 , 均为锐角，则cos2 = ( ) A. 3 2 B. 1 C. 0 D. 1 解析由题意知：cos = 1 1 5 = 2 5 5 ， cos( ) = 1 1 10 = 3 10 10 . 所以cos = cos ( ) = coscos( )+sinsin(
19、) = 2 2 . 所以cos2 = 2cos2 1 = 2 1 2 1 = 0 . D D 5. 若tan + 1 tan = 4 ，则sin2 = ( ) A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 解析 tan + 1 tan = 1+tan2 tan = 4, 4tan = 1+tan2,sin2 = 2sincos = 2sincos sin2+cos2 = 2tan 1+tan2 = 2tan 4tan = 1 2 . 6. 若 ( 2 ,) ，且3cos2 = sin( 4 ,) ，则sin2 的值为( ) A. 35 6 B. 1 6 C. 35 18 D. 17
20、18 解析 3cos2 = sin( 4 ), 3(cos2 sin2) = 2 2 (cos sin) ，易知sin cos ，故cos +sin = 2 6 ,1+sin2 = 1 18 ,sin2 = 17 18 .故选 . C A 7. 化简 cos40 cos25 1sin40 = ( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 解析原式= cos220sin220 cos25 (cos20sin20)2 = cos20+sin20 cos25 = 2cos(4520) cos25 = 2 . 8. 若tan = 3 ，则sin(2 + 4) 的值为( ) A. 2 10 B. 2
21、10 C. 5 2 10 D. 7 2 10 解析sin2 = 2sincos = 2sincos sin2+cos2 = 2tan tan2+1 = 3 5 ,cos2 = cos2 sin2 = cos2sin2 cos2+sin2 = 1tan2 1+tan2 = 4 5 ， sin(2 + 4) = 2 2 sin2 + 2 2 cos2 = 2 2 3 5 +( 4 5) = 2 10 . 二、多项选择题 BCD 9. 下列各式中，值为 3 2 的是( ) A. 2sin1515 B. cos215sin215 C. 12215 D. 3tan15 1tan215 解析 不符合，21
22、515= 30= 1 2 ； 符合，cos 215 sin215= cos30= 3 2 ； 符合，1 2sin215= cos30= 3 2 ； 符合， 3tan15 1tan215 = 3 2 2tan15 1tan215 = 3 2 tan30= 3 2 .故选 . CD 10. 下列各式与tan 相等的是( ) A. 1cos2 1+cos2 B. sin 1+cos C. 1+cos(+2) 2 1 cos ( (0,) D. 1cos2 sin2 解析 不符合， 1cos2 1+cos2 = 2sin2 2cos2 = tan2 = |tan| ； 不符合， sin 1+cos =
23、 2sin 2cos 2 2cos2 2 = tan 2 ； 符合， 因为 (0,) ，所以原式= 1cos2 2 1 cos = sin cos = tan ； 符合， 1cos2 sin2 = 2sin2 2sincos = tan . 三、填空题 3 11. 已知tan = 2,tan( +) = 1 7 ，则tan 的值为 . 解析tan = tan( +) = tan(+)tan 1+tan(+)tan = 1 7+2 12 7 = 3 . 12. 已知sin( 3 +)+sin = 4 3 5 ，则sin( + 7 6 ) 的值是 . 4 5 解析 sin( 3 +)+sin = 4 3 5 ， sin 3 cos +cos 3 sin +sin = 4 3 5 ， 3 2 sin + 3 2 cos = 4 3 5 ， 即 3 2 sin + 1 2 cos = 4 5 ， 故sin( + 7 6 ) = sincos 7 6 +cossin 7 6 = ( 3 2 sin + 1 2 cos) = 4 5 .
