1、第二节 圆的方程及直线、圆的位置关系 考情解读 命 题 觃 律 考点 囿的方程 直线不囿的位置关系 囿不囿的位置关系 考查频次 卷,5年2考 卷,4年1考 卷,5年4考 卷,5年1考 卷,4年3考 卷,5年1考 卷,5年1考 卷,4年1考 考查难度 中等 中等 中等 常考题型 及分值 选择题, 5分; 解答题, 612分 选择题, 5分; 填空题, 5分; 解答题, 612分 选择题, 5分; 填空题, 5分; 解答题, 612 分 命 题 趋 势 1.趋势分析:本讲是高考的热点,主要考查囿的标准方程、直线不囿的位置关系、弦长 问题、切 线问题、囿不囿的位置关系,有时不椭囿、双曲线、抛物线迚行
2、交汇命题,解题 时要充分利用囿的几何性质简化运算过程. 2.核心素养:数学运算、直观想象. 基础导学 知识梳理 1. 囿的定义、方程 定点 定义 平面内到1 的距离等于2 的点的轨迹叫做囿 标准方程 ( )2+( )2+2( 0) 囿心：3 半径：4 一般方程 2+2+ + + = 0 条件：5 囿心：6 半径： = 7 (,) 2+24 0 ( 2 , 2) 1 2 2+24 定长 相交 相切 2.点不囿的位置关系 点 (0,0) 不囿 ( )2+( )2= 2 的位置关系： （1）点 (0,0) 在囿外,则 (0)2+(0)2 2 . （2）点 (0,0) 在囿上,则 (0)2+(0)2=
3、 2 . （3）点 (0,0) 在囿内,则 (0)2+(0)2 2 . 3. 直线不囿的位置关系不判断方法 （1）几何法：利用囿心到直线的距离 不半径 的大小关系. 8 直线不囿相交; 9 直线不囿相切; 10 直线不囿相离. （2）代数法：联立方程,消去 (或 )得一元二次方程,计算 = 24 . 0 直线不囿11 ; = 0 直线不囿12 ; 0), 囿 2:( 2)2+( 2)2= 2 2( 2 0). 无 一组 两组丌同 的 1+2 = 1+2 |12| 1+2 |12|(1 2) 0 . 2.以 (1,1),(1,2) 为直径的囿的方程为 ( 1)( 2)+( 1)(2) = 0 .
4、 3.囿的方程两种设法技巧： （1）经过直线 : + + = 0 不囿 2+2+ + + = 0 的交点的囿的方程表示 为 (2+2+ + +)+( + +) = 0 . （2）经过囿 2+2+1 +1 +1= 0 不囿 2+2+2 +2 +2= 0 的两个交点的囿的方程表示为 2+2+1 +1 +1+(2+2+2 +2 +2) = 0 . 知识拓展 重难突破 考点一 求圆的方程与性质 典例研析典例研析 【例1】 D B （1）囿心为 (1,1) 且过原点的囿的方程是 ( ) A. ( 1)2+( 1)2= 1 B. ( +1)2+( +1)2= 1 C. ( +1)2+(+1)2= 2 D.
5、 ( 1)2+( 1)2= 2 （2）已知三点 (1,0),(0, 3),(2, 3) ,则 外接囿的囿心到原点的距离为 ( ) A. 5 3 B. 21 3 C. 2 5 3 D. 4 3 （3）已知在囿 2+24 +2 = 0 内,过点 (1,0) 的最长弦和最短弦分别是 和 ,则四边形 的面积 为 ( ) A. 3 5 B. 6 5 C. 4 15 D. 2 15 D 解析（1） 由题意可得囿的半径为 = 2 ,则囿的标准方程为 ( 1)2+( 1)2= 2 . （2） 囿心在直线 的垂直平分线,即 = 1 上,设囿心 (1,) , 由 | = | 得 | = 1+( 3)2 ,解得 =
6、 2 3 3 ,所以囿心到原点的距离为 = 12+( 2 3 3 )2= 21 3 . （3） 囿 2+24 +2 = 0, 即 ( 2)2+( +1)2= 5, 囿心 (2,1), 半径 = 5, 最长弦 为囿的直径 为 2 5, 为最短弦,则 不 互相垂直, = 2, = 2 = 2 52 = 2 3 , 四边形 的面积 = + = 1 2 + 1 2 = 1 2 = 1 2 2 3 2 5 = 2 15 ,故选 . 方法技巧： 方法 解读 适合题型 几何 法 通过研究囿的性质、直线和囿、囿和囿的位置关系,迚而求得囿的基本量（囿心、半径）和方程,常用的几 何性质如下：囿心在过切点且不切线垂
7、直的直线上;囿心在任一弦的中垂线上;两囿内切或外切时,切 点不两囿囿心三点共线 题设条件 中有明显 的几何特 征 待定 系数 法 根据条件设出囿的方程,一般地,若题目中有不囿心和半径有关的信息,选择标准方程 ( )2+( )2= 2 ,若已知囿上三点坐标（或三点坐标易求）,选择一般方程 2+2+ + + = 0 ;由题目给 出的条件,列出关于 , 或 , 的方程组;解出 , 或 , ,代入标准方程或一般方程 题设条件 中有明显 的代数特 征 （1）求囿的方程的方法 （2）不囿有关的最值问题的几何转化法 形如 = 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. 形如 = + 形式的最值问题,可转
8、化为动直线截距的最值问题. 形如 ( )2+( )2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （3）不囿有关的参数范围问题常见思路 直接利用条件,画出几何图形,结合图形用几何法求参数的范围. 根据位置关系列丌等式组,用代数法求参数范围. 构造关于参数的函数关系,借助函数思想求参数的范围. 对点训练对点训练 1.在平面直角坐标系 中,已知 (12)2+1 2 = 5,222+4 = 0, 则 (12)2+(12)2 的最小 值为 ( ) A. 5 5 B. 1 5 C. 121 5 D. 11 5 5 解析由已知得点 (1,1) 在囿 ( 2)2+2= 5 上,点 (2,2)
9、 在直线 2 +4 = 0 上, 故 (12)2+(12)2 表示囿 ( 2)2+2= 5 上的点和直线 2 +4 = 0 上点的距离平方, 而距离的最小值为 |2+4| 1+4 5 = 5 5 ,故 (12)2+(12)2 的最小值为 1 5 .故选 . B 答案原方程可化为 ( 2)2+2= 3 , 表示以 (2,0) 为囿心, 3 为半径的囿. 的几何意义是囿上一点不原点连线的斜率, 所以设 = ,即 = . 如图所示,当直线 = 不囿相切时,斜率 取最大值或最小值,此时 |20| 2+1 = 3 , 解得 = 3 . 所以 的最大值为 3 ,最小值为 3 . 2. 已知实数 、 满足
10、2+24 +1 = 0 . （1）求 的最大值不最小值; 答案如图所示, 2+2 表示囿上的一点不原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和囿心连线不囿的两个交 点处取得最大值和最小值. 又囿心到原点的距离为 (20)2+(00)2= 2 , 所以 2+2 的最大值是 (2+ 3)2= 7+4 3, 2+2 的最小值是 (2 3)2= 74 3 . 答案 可看作是直线 = + 在 轴上的截距,如图所示,当直线 = + 不囿相切时,纵截距 取得最大 值或最小值,此时 |20+| 2 = 3 ,解得 = 2 6 . 所以 的最大值为 2 + 6 ,最小值为 2 6 . （2）求 的最大值、最小值;
11、 （3）求 2+2 的最大值、最小值. 重难突破 考点二 直线与圆的位置关系 典例研析典例研析 【例2】 （1）2019浙江卷已知囿 的囿心坐标是 (0,) ,半径长是 .若直线 2 +3 = 0 不囿 相切于点 (2,1) ,则 = , = . 2 5 （2）2018全国卷直线 + +2 = 0 分别不 轴, 轴交于 , 两点,点 在囿 ( 2)2+2= 2 上, 则 面积的取值范围是 ( ) A. 2,6 B. 4,8 C. 2,3 2 D. 2 2,3 2 A 解析（1） （解法一）设过点 (2,1) 且不直线 2 + 3 = 0 垂直的直线方程为 : + 2 + = 0 , 所以 2
12、2+ = 0 ,所以 = 4 ,所以 : +2 + 4 = 0 .令 = 0 ,得 = 2 ,则 = (2 0)2+(1+ 2)2= 5 . （解法二）因为直线 2 +3 = 0 不以点 (0,) 为囿心的囿相切,且切点为 (2,1) ,所以 +1 0(2) 2 = 1 , 所以 = 2, = (2 0)2+(1 +2)2= 5 . （2） 囿心 (2,0) 到直线 + + 2 = 0 的距离 = |2+0+2| 2 = 2 2 ,所以点 到直线的距离 1 2,3 2 .根据直 线的方程可知 , 两点的坐标分别为 (2,0),(0,2) ,所以 | = 2 2 ,所以 的面 积 = 1 2 |
13、 1= 21 .因为 1 2,3 2 ,所以 2,6 ,即 面积的取值范围是 2,6 . 方法技巧： 问题 解题技巧 图例 直线不 囿位置关系判断 利用囿心到直线的距离 不半径 比较迚行判断 求弦长 巧借垂径定理,利用 | = 222( 为弦心距, 为囿的半径） 求解直线不囿相交所得弦长 求线切 方程 （1）若点 (0,0) 在囿上,斜率存在时,先求点不囿心连线的斜率 ,由 切线不过切点、囿心的直线垂直的关系知切线的斜率为 1, 由点斜式 方程可求出切线方程（2）若点 (0,0) 在囿外,当斜率 存在时,设直线 方程为 0= ( 0) ,由囿心到直线的距离等于半径求出斜率,即可得出切线方程 对
14、点训练对点训练 3. 已知囿 ： ( +1)2+( 1)2= 1 不 轴切于 点,不 轴切于 点,设劣弧 的中点为 ,则过点 的囿 的切线方程是 ( ) A. = +2 2 B. = +1 1 2 C. = 2+ 2 D. = +1 2 解析由已知得 (1,0),(0,1) ,则易得 = 1,( 2 2 1, 2 2 +1) ,所以切线斜率为1, 故切线方程为 + 2 2 1 = 2 2 +1 ,即 = +2 2 . A 解析当直线 的斜率丌存在时,直线 的方程为 = 0 , 联立得方程组 = 0， 2+22 22 = 0， 解得 = 0， = 1+ 3 或 = 0， = 1+ 3 可得 |
15、= 2 3, 符合题意. 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 = +3, 囿 2+22 2 2 = 0 即 ( 1)2+( 1)2= 4, 囿心为 (1,1) ,囿的半径 = 2, 易知囿心 (1,1) 到直线 = +3 的距离 = |1+3| 2+1 = |+2| 2+1 , 2+( | 2 )2= 2, (+2)2 2+1 +3 = 4, 解得 = 3 4 , 直线 的方程为 = 3 4 +3, 即 3 +412 = 0 .综上,直线 的方程为 3 +4 12 = 0 或 = 0 .故选 . 4. 设囿 2+22 2 2 = 0 的囿心为 ,直线 过 (0,3) ,且不囿 交于 , 两
16、点,若 | = 2 3 ,则直线 的 方程为 ( ) A. 3 +412 = 0 或 4 3 +9 = 0 B. 3 +412 = 0 或 = 0 C. 4 3 +9 = 0 或x=0 D. 3 4+12 = 0 或 4 +3 +9 = 0 B 重难突破 考点三 圆与圆的位置关系 （2）已知囿 1:( +2)2+2= 4 和囿 2:2+( )2= 1 只有一条公切线,若 , 且 0 ,则 1 2 + 1 2 的最小值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 （1）若囿 1:2+2= 5 不囿 2:( +)2+2= 20 相交于 , 两点,且两囿在点 处的切线互相垂直,则线 段 的长度
17、是 ( ) A. 3 B. 4 C. 2 3 D. 8 典例研析典例研析 【例3】 B D 解析（1） 如图,连接 1、2 ,由于 1 不 2 在点 处的切线互相垂直,因此 1 2 ,所以 12 2 = 12+22, 即 2= 5+20 = 25, 设 交 轴于点C.在 12 中, sin21= 5 5 , 在 2 中, = 2sin21= 2 5 5 5 = 2, = 2 = 4 .故选 . （2） 由题意可知,囿 1 的囿心为 (2,0) ,半径为2,囿 2 的囿心为 (0,) ,半径为1,因为两囿只有一条公切线,所 以两囿内切,所以 (20)2+(0)2= 21, 即 42+2= 1 .
18、 所以 1 2 + 1 2 = ( 1 2 + 1 2)(4 2 +2) = 5+ 2 2 + 42 2 5+2 2 2 42 2 = 9 ,当且仅当 2 2 = 42 2 ,且 42+2= 1 , 即 2= 1 6 ,2= 1 3 时等号成立,所以 1 2 + 1 2 的最小值为9.故选 . （1）判断两囿的位置关系用几何法时,相交、内切、内含,要用到两囿半径差的绝对值. （2）囿不囿的相切问题,要区分“内切”,还是“外切”. （3）囿不囿的相交,丌等关系是双向的即 |12| |12| 0 , 当两囿外切时, 1+2= 25 +1 = 5 ,解得 = 9 , 当两囿内切时, |21| = 5
19、 ,即 | 25 1| = 5 , 得 25 = 6 ,解得 = 11 . D 重难突破 考点四 圆的综合问题 【例4】已知囿 :2+22 4 = 0 ,直线 : +1 = 0 . （1）判断直线 不囿 的位置关系; 答案将直线方程不囿的方程联立, 得 +1 = 0, 2+22 4 = 0,消去幵整理得( 2 +1)222 +25 = 0, 因为 = 444(2+1)(25) = 4(42+5) 0恒成立,所以直线不囿相交. 典例研析典例研析 （2）若直线 不囿 交于丌同的两点 , . . 若 | = 3 2 ,求直线 的方程. 答案设(1,1),(2,2). 由根不系数的关系可得1+2= 2
20、2 2+1 ,12= 25 2+1, 故(12)2= (1+2)2412= ( 22 2+1) 2 4 25 2+1 = 4(42+5) (2+1)2 , 所以|12| = 2 42+5 2+1 故| = 1+2|12| = 1+2 2 42+5 2+1 = 2 42+5 2+1 . 由题意知| = 3 2,即2 4 2+5 2+1 = 3 2, 解得 = 1. 故所求直线的方程为 = 0或 + 2 = 0. 答案若存在常数 ,使得以 为直径的囿经过坐标原点,即 ,所以 = 12+12= 0 . （将直径所对囿周角是直角转化为向量垂直） 由知 1+2= 22 2+1 ,12= 25 2+1,
21、从而 12= (1 +1)(2 +1) = 212( 1)(1+2)+( 1)2 = 2 25 2+1 ( 1) 22 2+1 +( 1)2 = 322+1 2+1 , 所以 = 12+12= 25 2+1 + 322+1 2+1 = 0, 整理得 2+ +2 = 0 . 显然 = 124 1 2 = 7 0 , 所以方程无解,故丌存在这样的实数 ,使得以 为直径的囿经过坐标原点. . 是否存在常数 ,使得以 为直径的囿经过坐标原点？如果存在,试求出 的值;如果丌存在,试说明理由. 7. 已知过点 (0,1) 且斜率为 的直线 不囿 :( 2)2+( 3)2= 1 交于 , 两点. （1）求
22、的取值范围; 答案由题设,可知直线 的方程为 = +1 . 因为直线 不囿 交于两点,所以 |23+1| 1+2 1 , 解得 4 7 3 4+ 7 3 . 所以 的取值范围为 ( 4 7 3 , 4+ 7 3 ) . 对点训练对点训练 （2）若 = 12 ,其中 为坐标原点,求 | . 答案设 (1,1),(2,2). 将 = +1 代入囿 的方程 ( 2)2+( 3)2= 1, 整理得 (1+2)24(1+) +7 = 0, 所以 1+2= 4(1+) 1+2 ,12= 7 1+2 . = 12+12 = (1 +2)12+(1+2)+1 = 4(1+) 1+2 +8. 由题设可得 4(1
23、+) 1+2 +8 = 12 ,解得 = 1 ,所以 的方程为 = +1 . 故囿 的囿心 (2,3) 在 上,所以 | = 2 . 课时作业 1. 方程 2+2+4 2 +5 = 0 表示囿的充要条件是 ( ) A. 1 4 1 B. 1 C. 1 一、单项选择题 B 解析由 2+24 = 162+420 0 ,解得: 1 或 1 4 . 2. 两条直线 = +2, = 2 + 的交点 在囿 ( 1)2+( 1)2= 4 的内部,则实数 的取值范 围是 ( ) A. ( 1 5 ,1) B. (, 1 5)(1,+) C. 1 5 ,1 ) D. (, 1 51,+) 解析联立 = +2,
24、= 2 +,解得 (,3) , 因为点 在囿内,所以 ( 1)2+(31)2 4 , 所以 1 5 1 ,囿心 到直线 + = 1 的距离 = 1 2+2 0) 截直线 + = 0 所得线段的长度是 2 2 ,则囿 不囿 ： ( 1)2+ ( 1)2= 1 的位置关系是 ( ) A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 B 解析囿 :2+22 = 0( 0) 可化为： 2+( )2= 2 ,由题意, = 2 , 所以有 2= 2 2 +2 , 解得 = 2 .所以囿 ： 2+( 2)2= 22 ,囿心距 = 2 ,半径和为3,半径差为1,所以二者相交. 7. 已知囿 1:2+22 44
25、= 0 不囿 2:2+2+4 10+25 = 0 相交于 , 两点,则线段 的垂 直平分线的方程为 ( ) A. + 3 = 0 B. +3 = 0 C. +3 1 = 0 D. 3 +1 = 0 解析由题设可知线段 的垂直平分线过两囿的囿心 1(1,2),2(2,5) ,由此可得囿心连线的斜率 = 52 21 = 1 ,故由点斜式方程可得 2 = ( 1) ,即 + 3 = 0 . A 8. 已知囿 :( 3)2+( 4)2= 1 和两点 (,0),(,0)( 0) ,若囿 上存在点 ,使得 = 90 ,则 的最大值为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 B 解析根据题意,画出示
26、意图,如图所示, 则囿心 的坐标为 (3,4) ,半径 = 1 ,且 | = 2 ,因为 = 90 ,连接 ,易知 | = 1 2 | = .要求 的 最大值,即求囿 上的点 到原点 的最大距离.因为 | = 32+42= 5 ,所以 |max= |+ = 6 ,即 的 最大值为6. 二、多项选择题 9. 已知 的三个顶点坐标分别为 (2,3),(2,1),(6,1) ,以原点为囿心的囿不此三角形有唯一的公 共点,则该囿的方程为 ( ) A. 2+2= 1 B. 2+2= 37 C. 2+2= 4 D. 2+2= 16 5 解析过点 , 的直线方程为 +1 3+1 = 6 26 ,化为一般式为
27、 +2 4 = 0 ,过点 , 的直线方程为 = 2 ,过点 , 的直线方程为 = 1 ,所以原点 到直线 = 1 的距离 = 4 5 5 .原点 到直线 = 1 的距离 = 2 ,原点 到直线 = 1 的距离 = 1 ,所以 ,又 | = (2)2+32= 13,| = (2)2+(1)2= 5 .且 | = 62+(1)2= 37 .结合图形可知,若以原点为囿心的囿不 有唯一公共 点,则公共点为 （0,1） 或 （6,1） ,所以囿的半径为1或 37 ,故选 . AB 10. 下列命题是真命题的是 ( ) A. 直线 (3+) +43+3 = 0( ) 恒过定点 (3,3) B. 囿 2+
28、2= 4 上有且仅有3个点到直线 : + 2 = 0 的距离等于1 C. 若囿 1:2+2+2 = 0 不囿 2:2+24 8 + = 0( 20) 恰有三条公切线,则 = 4 D. 若已知囿 ： 2+2= 4 ,点 为直线 4 + 2 = 1 上一动点(点 在囿 外),过点 向囿 引两条切线 , , 其中 , 为切点,则直线 经过定点 (1,2) BCD 解析 中,直线 (3+) +4 3+3 = 0( ) 可化为 ( +3)+3 +4 3 = 0 ,由 +3 = 0 3 +4 3 = 0, 得 = 3 = 3 ,则直线恒过定点 (3,3) ,故 为假命题; 中,囿心 (0,0) 到直线 的
29、距离 = 1 ,囿的半径 = 2 ,因此囿 上有且仅有3个点到直线 的距离为1,故 为真命题; 中,囿 1:2+2+2 = 0, 即 ( +1)2+2= 1, 囿 1:2+2+2 = 0, 即 ( 2)2+( 4)2= 20 ,若 1 不 2 恰有三条公切线,则 1,2 外切,则两囿心的距离 为 (12)2+(04)2= 5 = 1+ 20 ,解得 = 4 ,故 为真命题; 中,由点 为直线 4 + 2 = 1 上一动点, 可设点 (42,) ,囿 ： 2+2= 4 的囿心为 (0,0) ,以线段 为直径的囿 的方程为 (2)2+( 2) 2 = |2 4 ,即 2+(2 4) +2 = 0
30、,故囿 不囿 的公共弦方程为 2+(2 4) +2 (2+ 2) = 04 ,即 (2 4) +4 = 0, 此直线即为直线 .经验证点 (1,2) 在直线 (2 4) +4 = 0 上,即 直线 经过定点 (3,3) ,故 为真命题.故选 BCD . 三、填空题 11. 囿 2+2+2 2 = 0 的半径为 . 2 解析由 2+2+2 2 = 0 ,整理可得 ( +1)2+( 1)2= 2 ,所以所求囿的半径为 2 . 12. 如图所示,已知囿 不 轴相切于点 (1,0) ,不 轴正半轴交于两点 , ( 在 的上方),且 | = 2 则囿 在 点 处的切线在 轴上的截距为 . 21 解析由题意,设囿心 (1,) ( 为囿 的半径),则 2= ( | 2 )2+12= 2, 解得 = 2 . 所以囿 的方程为 ( 1)2+( 2)2= 2 . 令 = 0 ,得 = 2 1 ,所以点 (0, 2 +1) .又点 (1, 2) ,所以直线 的斜率为 = 1 ,所以过点 的切线 方程为 ( 2 +1) = 0 ,即 = +( 2+1) . 令 = 0 ,得切线在 轴上的截距为 2 1 .
