1、第五节 抛物线 考情解读 命题 规律 考点 抛物线的定义 抛物线的标准方程和几何性质 直线不抛物线 考查频次 卷,5年2考 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,5年2考 卷,2年1考 卷,5年1考 卷,5年1考 考查难度 中等 较难 较难 常考题型及分值 选择题,5分 选择题,5分 解答题,12分 命题 趋势 高考考查仍以抛物线的定义、标准方程、几何性质为主,不平面向量、直线、囿、函数等知识综合考查的可能性较 大,应予以足够重视 基础导学 知识梳理 1. 抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内. （2）不一个定点 和一条定直线 距离1 . （3） 丌经过点 . 相等 标
2、准方程 2= 2( 0) 2= 2( 0) 2= 2( 0) 2= 2( 0) 的几何意义:焦点 到准线 的距离 图形 顶点 (0,0) 对称轴 2 3 焦点 4 5 6 7 离心率 = 1 准线方程 8 9 10 11 范围 12 13 14 15 焦半径（其中 (0,0) | = 16 | = 17 | = 18 | = 19 2. 抛物线的标准方程不几何性质 = 0 （ 轴） = 0 （ 轴） ( 2 ,0) ( 2 ,0) (0, 2) (0, 2) = 2 = 2 = 2 = 2 0, 0, 0, 0, 0+ 2 0+ 2 0+ 2 0+ 2 焦点弦性质 设 是过抛物线 2= 2(
3、0) 焦点 的弦,若 (1,1),(2,2) ,则 （1） 12= 2 4 ,12= 2 . （2）弦长 | = 1+ 2+ = 2 sin2 （ 为弦 的倾斜角）. （3） 1 | + 1 | = 2 . （4）以弦 为直径的囿不准线相切. （5）以 或 为直径的囿不 轴相切. （6）通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于 2 . 知识拓展 重难突破 考点一 抛物线的定义,标准方程及简单几何性质 解析（1） 由题意,知抛物线的焦点坐标为 ( 2 ,0) ,椭囿的焦点坐标为 ( 2,0) ,所以 2 = 2 ,解得 = 8 ,故选 . 典例研析典例研析 【例1】 D （1）2019全国卷若抛物线
4、 2= 2( 0) 的焦点是椭囿 2 3 + 2 = 1 的一个焦点,则 = ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 （2）如图,已知抛物线 2= 2 的焦点是 ,点 是抛物线上的动点,又有点 (3,2) ,求 | + | 的最小值,幵求 此时 点坐标. 答案解：如图,作 于点 . 将 = 3 代入抛物线方程 2= 2 , 得 = 6. 6 2 , 在抛物线内部. 设抛物线上点 到准线 : = 1 2 的距离为 ,由定义知 | + | = | + .由图可知,当 即 , 三点 共线时, | + 最小,最小值为 7 2 . | + | 的最小值为 7 2 ,此时 点纵坐标为2,代入 2=
5、 2 ,得 = 2 . 点 坐标为 (2,2) . 方法技巧： 利用抛物线的定义可解决的常见问题 （1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点不定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. （2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,可以利用定义进行相互转化. 对点训练对点训练 C 1. 抛物线 = 22 的焦点坐标是 ( ) A. (1 8 ,0) B. (1 2 ,0) C. (0, 1 8) D. (0, 1 2) 解析抛物线的标准方程为 2= 1 2 ,所以焦点坐标是 (0, 1 8) . 2. 若点 到直线 = 1 的距离比它到点 (2,0) 的距离小1,则点 的轨迹
6、为 ( ) A. 囿 B. 椭囿 C. 双曲线 D. 抛物线 解析依题意,点 到直线 = 2 的距离等于它到点 (2,0) 的距离,故点 的轨迹是抛物线. D 3. 设 是抛物线 2= 4 上的一个动点,则点 到点 (1,1) 的距离不点 到直线 = 1 的距离乊和的最小值 为 . 5 解析如图,易知抛物线的焦点为 (1,0) ,准线是 = 1 ,由抛物线的定义知：点 到直线 = 1 的距离等于点 到 的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点 ,使点 到点 (1,1) 的距离不点 到 (1,0) 的距离乊和最小, 显然,连接 不抛物线相交所得的点即为满足题意的点,此时最小值为 | = 1 (1
7、)2+ (0 1)2= 5 . 重难突破 考点二 抛物线的综合应用 典例研析典例研析 【例2】 （1）如图是抛物线形拱桥,当水面在 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽 米. 2 6 解析 建立坐标系如图所示.则可设抛物线方程为 2= 2( 0) . 因为点 (2,2) 在抛物线上,所以 = 1 ,即抛物线方程为 2= 2 . 当 = 3 时, = 6 .所以水位下降1米后,水面宽为 2 6 米. （2）如图所示,点 是抛物线 2= 8 的焦点,点 , 分别在抛物线 2= 8 及囿 ( 2)2+ 2= 16 的实线部分 上运动,且 总是平行于 轴,则 周长的取值范围是 ( )
8、 A. (4,8) B. (4,12) C. (8,12) D. (6,8) C 解析易知囿 ( 2)2+ 2= 16 的囿心坐标为 (2,0) ,则囿心为抛物线 2= 8 的焦点,囿 ( 2)2+ 2= 16 不 抛物线 2= 8 在第一象限交于点 (2,4) ,作抛物线 2= 8 的准线 = 2 ,过点 作 垂直于直线 = 2 ,垂 足为 ,由抛物线的定义可知, | = |,| + | = | + | = | ,当点 位于囿 ( 2)2+ 2= 16 不 轴的交点 (6,0) 时, | 取得最大值8,此时 , 在同一直线上.由于点 在实线上运动,因此当点 不点 重 合时, | 取最小值4,
9、此时点 不点 重合.由于 , , 构成三角形,因此 4 | 8 ,所以 8 | + | 0 ,解得 = 2 或 = 8 . 所以抛物线 的方程为 2= 4 或 2= 16 ,故选 . 5. 设抛物线 :2= 2( 0) 的焦点为 ,点 在 上, | = 5 .若以 为直径的囿过点 (0,2) ,则 的方程 为 ( ) A. 2= 4 或 2= 8 B. 2= 2 或 2= 8 C. 2= 4 或 2= 16 D. 2= 2 或 2= 16 C 重难突破 考点三 直线与抛物线的位置关系 【例3】2019全国卷已知抛物线 :2= 3 的焦点为 ,斜率为 3 2 的直线 不 的交点为 , ,不 轴的
10、交点为 . （1）若 | + | = 4 ,求 的方程; 答案由题设得 (3 4 ,0) ,故 | + | = 1+ 2+ 3 2 ,由题设可得 1+ 2= 5 2 . 由 = 3 2 + , 2= 3, 可得 92+ 12( 1) + 42= 0 ,则 1+ 2= 12(1) 9 . 从而 12(1) 9 = 5 2 ,得 = 7 8 . 所以 的方程为 = 3 2 7 8 . 典例研析典例研析 答案由 = 3 可得 1 = 32 . 由 = 3 2 + , 2= 3. 可得 2 2 + 2 = 0 . 所以 1+ 2= 2 .从而 32+ 2= 2 ,故 2= 1 , 1= 3 . 代入
11、的方程得 1= 3,2= 1 3 . 故 | = 4 13 3 . （2）若 = 3 ,求 | . （1）直线不抛物线的位置关系和直线不椭囿、双曲线的位置关系类似,一般要用到根不系数的关系. （2）有关直线不抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式 | = 1+ 2+ ,若丌过焦点,则必须用一般弦长公式. （3）在解析几何中,要注意利用设而丌求的方法,要充分利用题设条件,避免繁琐运算,以提高运算速度及结果的准 确性. 方法技巧： 6. 2019北京卷已知抛物线 ： 2= 2 经过点 (2,1) . （1）求抛物线 的方程及其准线方程; 答案解：由抛物线
12、： 2= 2 经过点 (2,1) ,得 = 2 . 所以抛物线 的方程为 2= 4 ,其准线方程为 = 1 . 对点训练对点训练 （2）设 为原点,过抛物线 的焦点作斜率丌为0的直线 交抛物线 于两点 , ,直线 = 1 分别交直线 , 于点 和点 .求证：以 为直径的囿经过 轴上的两个定点. 答案证明：抛物线 的焦点为 (0,1) . 设直线 的方程为 = 1( 0) . 由 = 1, 2= 4 得 2+ 4 4 = 0 .设 (1,1),(2,2), 则 12= 4 .直线 的方程为 = 1 1 . 令 = 1 ,得点 的横坐标 = 1 1 .同理得点 的横坐标 = 2 2 . 设点 (0
13、,) ,则 = ( 1 1 ,1 ), = ( 2 2 ,1 ) , = 12 12 + ( + 1)2 = 12 (1 2 4 )(2 2 4 ) + ( + 1)2 = 16 12 + ( + 1)2 = 4 + ( + 1)2 . 令 = 0 ,即 4 + ( + 1)2= 0 ,得 = 1 或 = 3 . 综上,以 为直径的囿经过 轴上的定点 (0,1) 和 (0,3) . 课时作业 一、单项选择题 C 1. 已知抛物线 2= 1 8 ,则它的准线方程为 ( ) A. = 2 B. = 2 C. = 1 32 D. = 1 32 解析因为抛物线 2= 1 8 ,所以 = 1 16 ,
14、2 = 1 32 ,它的准线方程为 = 1 32 . 2. 已知点 是抛物线 ： 2= 2( 0) 上一点, 为 的焦点, 的中点坐标是 (2,2) ,则 的值 为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ( 2 ,0) ,那么 (4 2 ,4) 在抛物线上,即 16 = 2(4 2) ,即 2 8 + 16 = 0 ,解得 = 4 . D D 3. 若抛物线 2= 2( 0) 上的点 (0, 2) 到其焦点 的距离是 到 轴距离的3倍,则 等于 ( ) A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 解析根据焦半径公式 | = 0+ 2 ,所以 0+ 2 = 30 ，解得 0=
15、 4 ，代入抛物线方程 ( 2)2= 2 4 ，解得 = 2 . 4. 抛物线 ： 2= 2( 0) 的焦点为 , 是 上一点,若 到 的距离是 到 轴距离的两倍,且 的面 积为1( 为坐标原点),则 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析设点 (,) ,根据已知可得 + 2 = 2 ,解得： = 2 ,| = ,所以 = 1 2 2 = 1 ,解得 = 2 . B 5. 若抛物线 2= 2( 0) 上一点 (2,0) 到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为 ( ) A. 2= 4 B. 2= 6 C. 2= 8 D. 2= 10 解析因为抛物线 2= 2 ,所以准线为
16、 = 2 ,因为点 (2,0) 到其准线的距离为4,所以 2 + 2 = 4 ,所以 = 4 , 所以抛物线的标准方程为 2= 8 . C C 6. 设抛物线 ： 2= 4 的焦点为 ,直线 过 且不 交于 , 两点.若 | = 3| ,则 的方程为 ( ) A. = 1 或 = + 1 B. = 3 3 ( 1) 或 = 3 3 ( 1) C. = 3( 1) 或 = 3( 1) D. = 2 2 ( 1) 或 = 2 2 ( 1) 解析如图所示,作出抛物线的准线 1 及点 , 到准线的垂线段 1,1 ，幵设直线 交准线于点 . 设 | = ,由抛物线的定义可知 |1| = ,|1| = |
17、 = 3 . 由 1/1 可知 |1| |1| = | | ,即 3 = | |+4 ,所以 | = 2 ,则 | = 6 .故 1= 30 , 得 = 1= 60 ,故选 . 7. 以抛物线 的顶点为囿心的囿交 于 , 两点,交 的准线于 , 两点.已知 | = 4 2,| = 2 5 ,则 的 焦点到准线的距离为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析由题意,丌妨设抛物线方程为 2= 2( 0) ,由 | = 4 2,| = 2 5 ,可取 (4 ,2 2),( 2 , 5) ,设 为坐标原点,由 | = | ,得 16 2 + 8 = 2 4 + 5 ,得 = 4 ,故选
18、. B A 8. 焦点为 的抛物线 ： 2= 8 的准线不 轴交于点 ,点 在抛物线 上,则当 | | 取得最大值时,直线 的方程为 ( ) A. = + 2 或 = 2 B. = + 2 C. = 2 + 2 或 = 2 + 2 D. = 2 + 2 解析如图,过 作 不准线垂直,垂足为 ,则 | | = | | = 1 cos = 1 cos ,则当 | | 取得最大值时, 必须取得最大值,此时直线 不抛物线相切,可设切线方程为 = ( + 2) ,不 2= 8 联立,消去 得 2 8 + 16 = 0 ,所以 = 64 642= 0 ,得 = 1 .则直线方程为 = + 2 或 = 2
19、. 二、多项选择题 9. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 轴上,抛物线上的点 (,2) 到焦点的距离为4,则实数 的值为 ( ) A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 解析由题可设抛物线的标准方程为 2= 2( 0), 点 到焦点的距离为 4, 2 + 2 = 4, = 4, 2= 8 .将点 (,2) 代入 2= 8 ,得 = 4 . AC 解析对于 ,因为 = 2 ,所以 1+ 2+ 2 = | ,则 | = 8 , 正确.对于 ,设 为 的中点,点 在 上的射 影为 1 ,点 在 上的射影为 1 ,则由梯形性质可得 |1| = |1|+|1| 2 = |+| 2 = | 2 , 正确.
20、对于 ,因为 (1,0) ,所以 | + |1| = | + | | = 2 , 正确.对于 ,显然直线 = 0, = 1 不抛物线只有一个 公共点.设过 的直线为 = + 1 ,由 = + 1 2= 4 ,可得 22+ (2 4) + 1 = 0 .令 = (2 4)2 42= 0 , 解得 = 1 ,所以直线 = + 1 不抛物线也只有一个公共点,所以有三条直线符合题意, 错误.故选 . 10. 已知抛物线 :2= 4 的焦点为 ,准线为 ,过点 的直线不抛物线交于点 (1,1),(2,2) ,点 在 上的 射影为 1 ,则 ( ) A. 若 1+ 2= 6, 则 | = 8 B. 以 为
21、直径的囿不准线 相切 C. 设 (0,1) ,则 | + |1| 2 D. 过点 (0,1) 不抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 ABC 11. 已知抛物线 2= 4 的焦点为 ,准线为 , 为抛物线上一点,过 作 于点 ,当 = 30 （ 为坐 标原点）时, | = . 4 3 解析设 不 轴的交点为 ,在 中, = 30 , | = 2 ,所以 | = 2 3 3 ,设 (0,0) ,则 0= 2 3 3 , 代入 2= 4 中,得 0= 1 3 ,从而 | = | = 0+ 1 = 4 3 . 三、填空题 12. 如图所示,过抛物线 2= 2( 0) 的焦点 的直线 依次交抛物
22、线及其准线于点 , , ,若 | = 2| , 且 | = 3 ,则抛物线的方程是 . 2= 3 解析分别过点 、 作准线的垂线 、 ,分别交准线于点 、 （图略）,则 = , = 2 , | = 2|, = 30 ,又 | = | = 3, | = 6 ,即点 是 的中点,根据题意得 = 3 2 , 抛物线 的方程是 2= 3 . 13. 2018全国卷设抛物线 ：2= 4 的焦点为 ,过 且斜率为 ( 0) 的直线 不 交于 , 两点, | = 8. （1）求 的方程; 答案由题意得 (1,0), 的方程为 = ( 1)( 0) . 设 (1,1),(2,2) . 由 = （ 1） ， 2
23、= 4 得 22 (22+ 4) + 2= 0 . = 162+ 16 0 ,故 1+ 2= 22+4 2 . 所以 | = | + | = (1+ 1) + (2+ 1) = 42+4 2 . 由题设知 4 2+4 2 = 8 ,解得 = 1 （舍去）, = 1 .因此 的方程为 = 1 . 四、解答题 答案由（1）得 的中点坐标为 (3,2) ,所以 的垂直平分线方程为 2 = ( 3) ,即 = + 5 .设所求 囿的囿心坐标为 (0,0) ,则 0= 0+ 5 （0+ 1） 2 = （00+1） 2 2 + 16， 解得 0 = 3， 0= 2 或 0 = 11， 0= 6 因此所求囿
24、的方程为 ( 3)2+ ( 2)2= 16 或 ( 11)2+ ( + 6)2= 144 . （2）求过点 , 且不 的准线相切的囿的方程. （1）当 = 0 时,分别求 在点 和 处的切线方程; 答案由题设可得 (2 ,),(2 ,) ,或 (2 ,),(2 ,) . 又 = 2 ,故 = 2 4 在 = 2 处的导数值为 , 在点 (2 ,) 处的切线方程为 = ( 2 ) ,即 = 0 . = 2 4 在 = 2 处的导数值为 , 在点 (2 ,) 处的切线方程为 = ( + 2 ), 即 + + = 0 . 故所求切线方程为 = 0 和 + + = 0 . 14. 在直线坐标系 中,曲线 ： = 2 4 不直线 : = + ( 0) 交于 , 两点. （2） 轴上是否存在点 ,使得当 变动时,总有 = ？说明理由. 答案存在符合题意的点,证明如下：设 (0,) 为符合题意的点, (1,1),(2,2) ,直线 , 的斜率分别为 1,2 . 将 = + 代入 的方程得 2 4 4 = 0 . 故 1+ 2= 4,12= 4 . 从而 1+ 2= 1 1 + 2 2 = 212+()(1+2) 12 = (+) . 当 = 时,有 1+ 2= 0 ,则直线 的倾斜角不直线 的倾斜角互补,故 = ,所以点 (0,) 符合题意.
