1、 1 第第 32 讲讲 圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质 知识与方法知识与方法 1 抛物线的光学性质：如图 1 所示，从抛物线的焦点 F 发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线；如图 2 所示，设抛物线在 P 处的切线 l 交对称轴于点 Q，PM 上切线 l 交对称轴于点 M，则焦点 F 是QM的中点.2椭圆的光学性质：如图 3 所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图 4 所示，椭圆在点 P 处的切线为 l，直线PQl交直线12FF于点 Q，则PQ平分12FPF，由角平分线性质定理，1122PFQFPFQF=.3.双
2、曲线的光学性质：如图 5 所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图 6 所示，双曲线在点 P 处的切线 l 与直线12FF相交于点 Q，则PQ平分12FPF，由角平分线性质定理，1122PFQFPFQF=典型例题典型例题【例 1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 C 的长轴为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点以垂直于长轴的方向发出，第一次回到左焦点所经过的路程为2 2c，则椭圆 C 的离心率为_.【解析】如图，根据题干信息，1112214FPPQQFFPPFQFQFa
3、+=+=，所以42 2ac=，故22e=.2 【答案】22【例 2】如右图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线22:44C xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，直线 l 与椭圆 C 相切于点 P，且11PF=，过点 P 且与直线 l 垂直的直线l与椭圆的长轴交于点 M，则12:FMF M=（）A.2:3 B.1:2 C.1:3 D.1:3【解析】如图，由椭圆的定义，124PFPF+=，又11PF=，所以23PF=，根据椭圆的光学性质，PM是12FPF的平分线，所以112213FMPFF MPF=.【答案】C【例 3】智
4、慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点2F发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点1F.已知双曲线的离心率为2，则当入射光线2F P和反射光线PE互相垂直时（其中 P 为入射点），12FF P的大小为（）3 A.12 B.6 C.3 D.512【解析】如图，因为双曲线的离心率为2，所以不妨设其方程为221xy=，则()22,0F，由题意，12PFPF，所以点 P 在圆222xy+=上，不妨设 P 在第一象限，联立222212xyxy=+=解
5、得：62x=，22y=，所以62,22P，设12FF P=，则直线2PF的斜率()212tantan3263222k=，所以tan32=+，故512=.【答案】D【例 4】双曲线有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线22:13yC x=的左、右焦点分别为1F、2F，从2F发出的光线2F P被双曲线反射后，反射光线为PE，若双曲线 C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 I，且152IF=，则12PFF的周长为_.【解析】如图，由双曲线的光学性质可得PI是12FPF的平分线，所以1122PFIFPFIF=，由题意，124FF=，152
6、IF=，4 所以232IF=，从而112253PFIFPFIF=，又由双曲线定义，122PFPF=，所以23PF=，15PF=，从而12PFF的周长为53412+=.【答案】12 变式 已知点 F 是双曲线()2222:10,0 xyCabab=的左焦点，过 F 且斜率为33的直线与双曲线的右支交于点 P，双曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴交于点 M，若FMPM=，则双曲线 C 的离心率为_.【解析】如图，设双曲线的右焦点为1F，根据双曲线的光学性质，PM应为12FPF的平分线，由题意，直线PF的斜率为33，所以30PFM=，又FMPM=，所以30FPM=，故130FPM=，从而160F
7、PF=，190PFF=，所以双曲线的离心率111sinsin603sinsinsin30sin90FPFePFFPFF=.【答案】3 5 【例 5】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点 F 发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线若一条平行于 x 轴的光线从()3,1M射出，经抛物线24yx=上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 反射出，则直线AB的斜率为_.【解析】如图，由题干信息，A、F、B 三点共线，2111,1444yxAyx=又()1,0F，所以直线AB的斜率1041314ABAFkk=.【答案】43 变式 抛物线有如下光学性质：从抛物线
8、的焦点 F 发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线.现有抛物线()220ypx p=，如右图所示，一平行于 x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于 x 轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为 8，则p=_.【解析】如图，,02pF，设211,2yAyp，222,2yAyp，其中120y y，12yy，则入射光线和反射光线所在的直线分别为1yy=，2yy=，由抛物线的光学性质，A、F、B 三点共线，所以2212122222yyppppyy=，化简得：212y yp=，两平行光线之间的距离12121222dyyyyy yp=+=，6 当且仅当12yy
9、=时取等号，所以 d 的最小值为2p，由题意，28p=，故4p=.【答案】4 强化训练强化训练 1.（）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 C 的长轴为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点发出，第一次回到左焦点所经过的路程为5c，则椭圆 C 的离心率为_.【解析】如图 1，若光线从1F射向左顶点，则第一次回到1F所经过的路程为ac，所以5acc=，故16e=；如图 2，若光线从1F射向右顶点，则第一次回到1F所经过的路程为()2 ac+，所以()25acc+=，故23e=，如图 3，若光线从1F射向其它方向，则第一次回到
10、1F所经过的路程为4a，所以45ac=，故45e=.【答案】16或23或45 2.（）已知光线从椭圆的一个焦点发出，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过双曲线的另一个焦点.如下图所示，一个光学装置由有公共焦点1F和2F的椭圆 C 和双曲线 E 组成，现一光线从左焦点1F发出，依次经 E 和 C 反射，又回到了点1F，历时1t秒，若将装置中的 E 去掉，此光线从1F发出，经 C 两次反射后回到1F，历时2t秒，若214tt=，则椭圆 C 7 与双曲线 E 的离心率之比为（）A.1:2 B.1:2 C.2:3 D.3:
11、4 【解析】如图，由题意，214tt=，所以1FMN的周长2L是1FPQ的周长1L的 4 倍，即214LL=，设椭圆的长半轴长为 a，双曲线的实半轴长为 m，半焦距为 c，则24La=，所以1La=由 Q 在椭圆上，P 在双曲线上可得122122QFQFaPFPFm+=两式作差得：22111122QFPFQFPFPQQFPFam+=+=，即122Lam=，所以22ama=，从而2am=，故椭圆 C 与双曲线 E 的离心率之比为121:2ccmeea ma=.【答案】B 3.（）抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点 F 发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光
12、线已知抛物线24yx=的焦点为 F，一条平行于 x 轴的光线从点()2,1P射出，经抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 反射出，则ABP的周长为_.【解析】如图，由题意，直线PA的方程是1y=，代入24yx=解得：14x=，所以1,14A设200,4yBy，则由题意，A、F、B 三点共线，8 所以02001011144yy=，解得：04y=或 1(舍去)，所以()4,4B，从而1254244AB=+=，()()22424129PB=+=显然17244AP=，所以ABP的周长为2572982944+=+.【答案】829+4（）抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点 F 发出的光线，
13、经抛物线反射后，得到的是一系列与抛物线对称轴平行（或重合）的光线现有抛物线()220ypx p=，如右图所示，一平行于 x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于 x 轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为 4，则p=_.【解析】如图，,02pF，设211,2yAyp，222,2yByp，其中120y y，12yy，则入射光线和反射光线所在的直线分别为1yy=，2yy=，由抛物线的光学性质，A、F、B 三点共线，所以2212122222yyppppyy=，化简得：212y yp=，两平行光线之间的距离12121222dyyyyy yp=+=，当且仅当12yy=时取等号，所以 d 的最小值为
14、2p，由题意，24p=，故2p=.9 【答案】2 5.（）双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线22:1169xyC=的左、右焦点分别为1F、2F，从2F发出的光线射向 C 上的点()08,Py后被反射，则入射光线与反射光线的夹角余弦值是_.【解析】如图，()15,0F，()25,0F，将()08,Py代入221169xy=可得03 3y=，不妨设()8,3 3P，则()()2215803 314PF=+=，由双曲线定义，128PFPF=，所以2186PFPF=显然1210FF=，所以2221212121211cos214PFPFFFFPFPFPF+=，由题意，反射光线所在的直线即为直线1PF，所以入射光线与反射光线的夹角余弦值是1114.【答案】1114
