1、 1 第第 15 讲讲 椭圆中的两个最大张角结论椭圆中的两个最大张角结论 知识与方法知识与方法 1.如图 1 所示，设 A、B 是椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右顶点，P 是椭圆 C 上不与 A、B 重合的一个动点，则APB始终为钝角，且当 P 为短轴端点时，APB最大.2 如图 2 所示，设1F、2F是椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右焦点，P 是椭圆 C 上的一个动点，则当 P 为短轴端点时，12FPF最大.典型例题典型例题【例 1】已知椭圆22:13xCy+=的左、右顶点分别为 A、B，P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的动点，则APB的最大值为_.【
2、解析】解法 1：如图，不妨设 P 在 x 轴上方，作PQx轴于点 Q，设PAB=，PBA=，则APB=，设()(),01P x yy，则()tan33PQyyAQxx=+，tan3PQyBQx=，而()()22tantan2 333tantantan1tantan3133yyyxxAPByyxyxx+=+=+，因为点 P 在椭圆 C 上，所以2213xy+=，从而2233xy=，代入得：()222 33tan333yAPByyy=，显然当1y=时，tanAPB取得最大值3，此时APB也取得最大值23.解法 2：如图，不妨设 P 在 x 轴上方，设PAB=，PBA=，则APB=2 由椭圆第三定义
3、，()1tantantantan3PAPBkk=，所以1tantan3=，而()()()tantan3tantantantantan1tantan2APB+=+=+，显然、均为锐角，所以tan0，tan0 故()33tantantan2 tantan322APB=+=，当且仅当tantan=时取等号，此时=，P 为椭圆的上顶点，所以tan APB的最大值为3，故APB的最大值为23.【答案】23【反思】上面的求解过程给出了两种推导椭圆上的动点对左、右顶点最大张角结论的方法，事实上，这一结论对任意的椭圆都成立，若熟悉了这一结论，小题中就可以直接用了.变式 1 椭圆22:13xyCm+=()03m
4、的左、右顶点分别为 A 和 B，P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的动点，若tanAPB的最大值为3，则m=_.【解析】tanAPB的最大值为3APB 的最大值为23，如图，由最大张角结论，当 P 为短轴端点时，APB最大，所以图中的23APB=，从而3APO=，故3tan3OAAPOOPm=，解得：1m=.【答案】1 变式 2 椭圆22:13xyCm+=()03m的左、右顶点分别为 A 和 B，若 C 上存在点 P，使得23APB=，则 m 的取值范围是_.3 【解析】椭圆 C 上存在点 P，使得23APB=等价于最大张角大于等于23，如图，23tan333OAAPBAPOAPOOPm=，
5、解得：01m.【答案】(0,1【例 2】椭圆22:13xCy+=的左、右焦点分别为1F、2F，P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的动点，则12cosFPF的最小值为_.【解析】如图，由题意，122 2FF=，设1PFm=，2PFn=，由椭圆定义，2 3mn+=，在12PFF中，由余弦定理，22222121212128cos22PFPFFFmnFPFPFPFmn+=()2228222111232mnmnmnmnmnmnmn+=+，当且仅当mn=时取等号，此时 P 为椭圆的短轴端点，所以12cosFPF的最小值为13.【答案】13【反思】上面的求解过程给出了推导椭圆上的动点对左、右焦点最大张角结
6、论的方法，事实上，这一结论对任意的椭圆都成立，若熟悉了这一结论，小题中就可以直接用了.变式 椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，若椭圆 C 上存在点 P，使1260FPF=，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_.【解析】椭圆 C 上存在点 P，使1260FPF=等价于最大张角大于等于 60，4 如图，11211116030sin2OFcFPFFPOFPOPFa=，即12e，又01e，所以112e.【答案】1,12 强化训练强化训练 l.（）已知椭圆22:142xyC+=的左、右顶点分别为 A、B，P 为 C 上不与 A、B 重合的动点，则cosAPB的最小值为
7、_.【解析】由最大张角结论，当 P 为短轴端点时，APB最大，此时，cosAPB最小，如图，2332c4osOPAPOAP=+，所以()2min1cos2cos13APBAPO=.【答案】13 2.（）已知椭圆22:143xyC+=的左、右焦点分别为1F、2F，P 为 C 上的动点，则12FPF的最大值为_.【解析】由最大张角结论，当 P 为短轴端点时，12FPF大，如图，由题意，2a=，1c=，所以当 P 为短轴端点时，12PFF为正三角形，从而12FPF的最大值为 60.5 【答案】60 3.（）已知 P 为椭圆()2222:10 xyCabab+=上任意一点，1F、2F是椭圆 C 的两个
8、焦点，当12FPF最大时，121cos3FPF=，则椭圆 C 的离心率为_.【解析】由最大张角结论，当 P 为短轴端点时，12FPF最大，此时，如图，22222212121221241cos223PFPFFFaacFPFPFPFa+=所以椭圆 C 的离心率33cea=.【答案】4.（）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右顶点分别为 A、B，若椭圆 C 上存在点 P，使得3cos5APB=，则椭圆 C 的离心率的最小值_.【解析】椭圆 C 上存在点 P，使得3cos5APB=等价于当 P 为短轴端点时，3cos5APB,如图，22cosOPbAPOAPab=+，所以222222
9、22cos2cos121bbaAPBAPOabab=+，从而222235baab+，化简得：224ab 所以22244aac，从而2234ac，故32cea=，6 即椭圆 C 的离心率的最小值32【答案】32 5.（）椭圆()222:1 033xyCbb+=的左、右顶点分别为 A 和 B，P 为椭圆 C 上不与A、B 重合的动点，若cosAPB的最小值为13，则b=_.【解析】由最大张角定理，当 P 为短轴端点时，APB最大，此时，cosAPB最小，如图，22221cos22coscos1133bAPBAPOAPOb=+，解得：62b=.【答案】62 6.（2017新课标卷）设 A、B 是椭圆22:13xyCm+=长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足120AMB=，则 m 的取值范围是（）A.()0,19,+B.()0,39,+C.()0,14,+D.()0,34,+【解析】问题等价于当 M 为椭圆 C 的短轴端点时，120AMB，即60AMO，也即tan3AMO，当03m时，如图 1，3tan3OAAMOOMm=，解得：01m，当3m 时，如图，tan33OAmAMOOM=，解得：9m，综上所述，m 的取值范围是()0,19,+7
