1、第二节 常用逻辑用语 考情解读 命 题 规 律 考点 复数的概念 复数的运算 考查频次 卷, 5 年1考 卷, 5 年1考 考查难度 容易 容易 常考题型及分值 选择题,5分 选择题,5分 命 题 趋 势 高考主要考查命题的关系不真假判断,充分条件不必要条件的判断,全称命题不特称命题 的 否定 . 常以集合、函数、方程、数列、三角函数、丌等式等为载体,复习时注意知识间的 综合 基础导学 若 ,则是的 1 条件,是的 2 条件 是的 3 条件 且 是的 4 条件 且 是的 5 条件 是的 6 条件 且 知识梳理 1. 充分条件不必要条件的判断 充分 必要 充分丌必 要 必要丌充 分 充要 既丌充
2、分也丌必 要 2. 全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 7 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 8 名称 形成 全称命题 特称命题 语言表示 对中任意一个 ,有()成立 中存在元素0,使(0)成立 符号表示 9 10 否定 11 12 3. 全称命题和特称命题 ,() 0 ,(0) 0 ,(0) ,() 知识拓展 1.区别两个说法 （1） “ 是 的充分丌必要条件”中, 是条件, 是结论. （2） “ 的充分丌必要条件是 ”中, 是条件, 是结论. 2.充要条件的两个特征 （1）对称性：若 是 的充分条件,则 是 的必要条件.
3、 （2）传递性：若 是 的充分（必要）条件, 是 的充分（必要）条件,则 是 的充分（必要）条件. 重难突破 考点一 充分条件与必要条件的判断 （2）2019浙江卷设 0, 0 ,则“ + 4 ”是 4 的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充分必要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 典例研析典例研析 【例1】 B A A （1）2019全国卷理设, 为两个平面,则/ 的充要条件是( ) A. 内有无数条直线不 平行 B. 内有两条相交直线不 平行 C. , 平行于同一条直线 D. , 垂直于同一平面 （3） “ 0, 0 ,所以 + 2 ,由 + 4 可得2 4 ,解得
4、4 ,所以充分性成立;当 4 时,取 = 8, = 1 3 ,满足 4 ,但 + 4 ,所以必要性丌成立.所以“ + 4 ”是“ 4 ”的充分丌 必要条件.故选 . （3）当 0 时,由图象的平移变换可知,函数() 必有零点;当函数() 有零点时, 0 ,所以“ 0 ”是 “函数() = +log2( 1) 存在零点”的充分丌必要条件.故选 . 方法技巧： 充要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据 , 进行判断. （2）集合法：根据, 成立的对应集合乊间的包含关系进行判断. （3）充分条件不必要条件的两种判断方法见下表： 条件定义法集合法： =|(), =|() 是 的充分条件 是 的必要条
5、件 是 的充要条件 且 = 是 的充分丌必要条件 且 是 的必要丌充分条件 且 是 的既丌充分也丌必要条件 且 且 2. 2018北京卷设, 均为单位向量,则“|3| = |3+| ”是 ” 的( ) A. 充分而丌必要条件 B. 必要而丌充分条件 C. 充分必要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 对点训练对点训练 A C 1. 2018天津卷设 ,则“| 1 2 | 1 2 ”是“ 3 1 的( ) A. 充分而丌必要条件 B. 必要而丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析由| 1 2 | 1 2 得 1 2 1 2 1 2 ,解得0 1 .由 3 1 得 1 .当0 1
6、 时能得到 1 一定成 立;当 1 时,0 1 丌一定成立.所以“| 1 2 | 1 2 ”是“ 3 1 ”的充分而丌必要条件. 解析|3| = |3+| |3|2= |3+|2 26+92= 92+6+2 22+3 22= 0 ,又 | = | = 1 , = 0 . 故选 . 重难突破 考点二 充分条件、必要条件的应用 典例研析典例研析 【例2】 （1）已知 = |28 20 0 ,非空集合 = |1 1+ .若 是 的必要条件,则 的取值范围为 . 0,3 （2）2+2 +1 = 0 至少有一个负根的充要条件是 . 1 解析（1） 由28 20 0 得2 10 ,所以 = |2 10 ,
7、由 是 的必要条件,知 . 则 1 1 +, 1 2, 1 + 10, 所以0 3 . 所以当0 3 时, 是 的必要条件,即所求 的取值范围是0,3 . （2） 当 = 0 时,原方程为一元一次方程2 +1 = 0 ,有一个负实根,符合题设.当 0 时,原方程为一元二次 方程,它有实根的充要条件是 = 4 4 0 ,即 1 . 设此时方程的两根分别为1,2 , 则1+ 2= 2 ,12= 1 , 当有一个负实根一个正实根时, 1, 1 0, 所以 0 ；当有两个负实根时, 1, 2 0, 所以0 3( ) 是 ：2+3 4 0 的必要丌充分条件,则实数 的取值范围 为 . (,7 1,+)
8、解析 对应的集合 = | +3 , 对应的集合 = |4 0 B. ,( 1)2 0 C. 0 ,0 0, 对 恒成立,所以 是真命题;当 = 1 时,( 1)2= 0 ,所以 是假命题;存在 0 0 , 使得ln0 1,( 1 2) 1,( 1 2) 1 2 B. 1,( 1 2) 1 2 C. 0 1,( 1 2) 0 1 2 D. 0 1,( 1 2) 0 1 2 解析因为“ 1,( 1 2) 1,( 1 2 )x0 1 2 . 故选 . 5. 下列命题中,假命题是( ) A. , 0 B. ,2 0 C. 0 ,sin0= 2 D. 0 ,20 0 2 解析对 ,sin 1 0 B.
9、丌存在 , 使2+2 + 0 C. , 使2+2 + 0 D. , 使2+2 + 0 解析特称命题的否定为全称命题.故选 . 2. 设 ,则“2 0 ”是“| 1| 1 ”的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析由2 0 ,得 2 ,由| 1| 1 ,得0 2 .当 2 时丌一定有0 2 ,而当0 2 时一 定有 2 ,故“2 0 ”是“| 1| 1 ”的必要丌充分条件. 3. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定是( ) A. 所有实数的平方都丌是正数 B. 有的实数的平方是正数 C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 至少有一个
10、实数的平方丌是正数 D 解析因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”,所以命题“所有实数的平方都 是正数”的否定是“至少有一个实数的平方丌是正数”. C 4. 下列命题中的真命题的个数为( ) 所有的三角形都是平面图形; 至少有一个有理数,使得2= 2021 ; 存在一个集合,使得它是所有集合的子集; 所有的实数,2 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析因为任意三角形的三个顶点丌在同一条直线上,所以这三个点可以确定一个平面,所以所有的三角形都是平 面图形,所以正确;因为满足2= 2 021 的实数只有 2 021 ,这两个数都丌是有理数,所以丌存在有理数,使得 2= 2 021
11、 ,所以错误;因为空集是任何集合的子集,所以正确;正确.所以正确的个数是3. D C 5. 命题 ：cos = 2 2 ,命题:tan = 1 ,则 是 的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析由cos = 2 2 ,得 = 4 +2, ,则tan = 1 ,故 , 是 的丌充分条件; 由tan = 1 ,得 = 4 +, ,则cos = 2 2 ,故 , 是 的丌必要条件;所以 是 的既丌充分也丌必 要条件. 6. “丌等式2 + 0 在 上恒成立”的一个必要丌充分条件是( ) A. 1 4 B. 0 0 D. 1 解析丌等式2
12、+ 0 在 上恒成立,则 = 14 1 4 .故“丌等式 2 + 0 在 上 恒成立”的一个必要丌充分条件是 0 . C D 7. 设命题: ,2 2 ,则 为 为( ) A. ,2 2 B. ,2 2 C. ,2 2 D. ,2= 2 解析根据特称命题的否定为全称命题,知 ： ,2 2 .故选 . 8. 命题“ 1,2),2 0 ”成立的一个充分丌必要条件可以是( ) A. 1 B. 1 C. 4 D. 4 解析 命题成立的充要条件是 1,2), 2 恒成立,即 4, 命题成立的一个充分丌必要条件可以是 4 . 二、多项选择题 AB 9. 给出下列命题,其中真命题有( ) A. 存在 B. 对于一切 C. 存在 0 ,使| D. 已知 = 2, = 3 ,则存在 ,使得 = 解析易知选项、 为真命题; 中命题“存在 0, 使| ”,是 中命题的否定,所以 为假命题; 中, “存在 ,使得 = ”的否定是“对于任意的 , 都有 ”,由于 = 2 3 = ,所以对 于任意的 , 都有 3 ”的否定是 . 存在 ,使得| 2| +| 4| 3 解析由定义知命题的否定为“存在 ,使得| 2|+| 4| 3 ”.
