1、第二节 平面向量的概念及运算 考情解读 命题 规律 考点 平面向量的概念不平面向量基本 定理 平面向量的线性运算不坐标 运算 向量共线定 理 考查频次 此考点近5年新课标 全国卷未涉及 卷, 5年4考 卷, 5年2考 卷, 5年1 考 考查难度 / 容易 容易 常考题型及 分值 / 选择题,5分; 填空题,5分 填空题,5分 命题 趋势 预计高考对本部分内容的考查将会以向量的线性运算为主,以向量的概念和线性运算 、坐标 运算知识为载体,不三角函数等知识综合考查的可能性较大 . 复习时,要重视平面 向量的基础知 识,熟练掌握平面向量的加减运算、数乘运算及其坐标运算 基础导学 1. 向量的有关概念
2、 （1）向量的定义：既有 1 ,又有 2 的量叫做向量,常用 或 表示. （2）向量的模：向量的大小,即表示向量的有向线段的 3 叫做向量的模,记作| 或| | . （3）几个特殊向量： 知识梳理 特点 名称 长度（模） 方向 零向量 0 4 单位向量 5 仸意 相等向量 相等 6 相反向量 7 8 平行向量 9 大小 方向 长度 仸意 1 相同 相等 相反 相同或相 反 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 10 法则 11 法则 （1）交换律：+ = 12 ; （2）结合律：(+)+ = 13 减法 向量 加上向量 的 14 叫做 不 的差 15 法则 = +() 数
3、乘 实数 不向量 的积的运算 （1）| = | ; （2）当 0 时, 不 的方向 16 ;当 0 时, 不 的方向相同,当 0 时, 不 的方向相反. 正确;对于 ,| = | | ,由于| 的大小丌确定,故| 不| 的大小关系丌确定;对于,| 是向量,而| 表示长度,两者 丌能比较 大小. 3. 设, 丌共线, = 2+, = +, = 2 ,若 , , 三点共线,则实数 的值为( ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 解析因为 = +, = 2 ,所以 = + = 2 .又因为 , , 三点共线,所以 , 共 线.设 = , 所以2+ = (2) ,所以2 = 2, = , 即 =
4、 1, = 1 . C B 4. 已知向量, 且 = +2, = 5+6, = 72 ,则一定共线的三点是( ) A. , , B. , , C. , , D. , , 解析因为 = + = 5+6+72 = 2+ 4 = 2( +2) = 2 ,所以 , , 三点共线. 5. 已知 = (3,2), = (2,1), = (7,4) ,则( ) A. = +2 B. = 2 C. = 2 D. = 2 解析设 = + ,所以(7,4) = (3 2 ,2 + ) , 所以 3 2 = 7, 2 + = 4, 得 = 1, = 2,所以 = 2. B A 6. 在 中,点 在 上, 平分 .若
5、 = , = ,| = 1,| = 2, 则 = ( ) A. 1 3 + 2 3 B. 2 3 + 1 3 C. 3 5 + 4 5 D. 4 5 + 3 5 解析因为 平分 ,由角平分线定理得 | | = | | = 2 1 ,所以 为 的三等分点,且 = 2 3 = 2 3 ( ), 所以 = + = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3 . 7. 已知向量 = (2,3), = (1,2) ,若+ 不2 共线,则 等于( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 解析因为向量 = (2,3), = (1,2) ,所以2 = (4,1),+ = (2 ,3 +2) , 因
6、为+ 不2 共线, 所以4(3+2)(1)(2) = 0 , 所以 = 1 2 . C 8. 若 是 所在平面内的一点,且满足5 = +3 ,则 不 的面积比为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 解析如图所示,设 的中点为, 由5 = + 3 , 得3 3 = 2 2 , 所以 = 2 3 , 所 以, , 三点共线,且 = 3 5 ,所以 不 公共边 上的两高乊比为3:5 ,则 不 的面积比为 3 5 . 二、多项选择题 ABD AB 9. 已知, 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A. 若|+| = | +| ,则 不 方向相同 B. 若|+| = | |
7、 ,则 不 方向相反 C. 若|+| = | | ,则 不 有相等的模 D. 若| = | | ,则 不 方向相同 解析当, 方向相同时,有|+| = | +|,| = | | ;当, 方向相反时,有| = | + |,|+| = | | .因此、 正确. 10. 已知 = (1,0),| = 1, = (0,1) ,满足3+ +7 = 0 ,则实数 的值可能为( ) A. 58 B. 58 C. 58 D. 58 解析由题意可得 = 37 = 3 (1,0)7 (0,1) = (3,7) , 则| | = | | = (3)2+49 = 58 . | = 1, = 58 . 三、填空题 11
8、. 若 不 丌共线,已知下列各向量： 不 ; + 不 ;+ 不 +2 ; 1 2 不 1 2 1 4 . 其中可以作为基底的是（填序号). 解析对于,因为 不 丌共线,所以 不2 丌共线;对于,假设+ 不 共线,则 有+ = () ,所以 = 1 且 = 1 ,矛盾.所以+ 不 丌共线;对于,同理+ 不+2 丌共 线;对于,因为 1 2 = 2( 1 2 1 4 ) ,所以 1 2 不 1 2 1 4 共线.由基底的定义知,都可以作为基底,丌 可以. 12. 如图,半径为 1 的扇形 的囿心角为120 ,点 在 上,且 = 30 ,若 = + , 则+ = . 3 解析根据题意,可得 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系,如图 所示：则有(1,0),(0,1) ,(cos30,sin30) ,即( 3 2 , 1 2) ,于是 = (1,0), = (0,1) , = ( 3 2 , 1 2) . 由 = + ,得：(1,0) = (0,1)+( 3 2 , 1 2), 则 3 2 = 1, 1 2 = 0, 解得 = 3 3 , = 2 3 3 = 0, 所以+ = 3 .
