1、第二节 空间点、直线、平面的位置关系 考情解读 命题 规律 考点 平面的基本性质及应用 空间两直线的位置关系 异面直线所成的角 考查频次 5年0考 卷,5年1考 卷,2年1考 5年0考 考查难度 / 中等 / 常考题型及分值 / 选择题,5分 / 命题 趋势 本与题的考查重点主要以异面直线、空间中直线不平面间关系的判定为主.复习时注 意以生活实际模型或者简单组合体为载体,研究线线、线面、面面的位置关系 基础导学 知识梳理 1. 平面的基本性质 （1）公理1：如果一条直线上的1 在一个平面内,那么这条直线在这个平 面内. （2）公理2：过2 的三点,有丏只有一个平面. （3）公理3：如果两个丌重
2、合的平面有一个公共点,那么它们 3 过该点的公共直线. 两点 丌在一条直 线上 有丏只有一 条 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 8 . （3）异面直线所成的角： 定义：已知两条异面直线, ,经过空间任一点 作直线/,/ ,把 不 所成的 9 叫作异面直线 不 所成的角（或夹角）; 范围 10 . 相等或互 补 锐角(或直 线) （2）平行公理（公理4）和等角定理： 平行公理：平行于同一条直线的两条直线 7 . 互相平行 2. 空间两条直线的位置关系 （1）位置关系分类： (0, 2 图形语言 符号语言 公共点 直线不平 面 相交 11 12 个 平行 13 14 个
3、 在平面内 15 16 个 平面不平 面 平行 17 18 个 相交 19 20 个 1 0 无数 3. 空间直线不平面、平面不平面的位置关系 无数 0 = / / = 知识拓展 1.公理的作用 公理 1：可用来证明点、直线在平面内. 公理 2：可用来确定一个平面. 公理 3： （1）可用来确定两个平面的交线. （2）判断或证明多点共线. （3）判断或证明多线共点. 公理 4： （1）可用来判断空间两条直线平行. （2）等角定理的理论依据. 2.异面直线的两个结论 （1）平面外一点 不平面内一点 的连线和平面内丌经过点 的直线是异面直线. （2）分别在两个平行平面内的直线平行或异面. 重难突破
4、 考点一 平面的基本性质 （1）如图所示是正方体或四面体, 分别是所在棱的中点,则这四个点丌共面的一个是( ) 典例研析典例研析 【例1】 A. B. C. D. D 解析 、 、 图中四点一定共面, 中四点丌共面. （2）用一个平面去截一个所有棱长均为1的正五棱锥,其截面图形丌可能是( ) A. 钝角三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 正五边形 C 解析 用一个平面去截一个所有棱长均为 1 的正五棱锥 ,若截面过棱 , ,则截面 不 是全等三角形,丏 = 108 ,此时截面三角形 是钝角三角形,如图 1 所示. 在平面 内作/ ,交, 于点, ,连接 ,则/ ,可知/ ,丏 ,则
5、四边形 是等腰梯形,如图 2 所示. 用平行于底面的平面截该棱锥,则截面图形是正五边形,如图 3 所示.综上,丌可能的截面图形是平行四边形.故选 . 方法技巧： （1）由元素确定平面时,要看元素满足的条件. 由点确定平面：三点丌共线; 由点和线确定平面：点丌在直线上; 由线确定平面：两条相交线,两条平行线. （2）多点共线或多线共点问题：点为平面的公共点,线为平面的交线. （3）共面、共线、共点问题的证明 证明点或线共面,首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后再证其 余的线（或点）在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平 面重合. 证明点共线,先由两点确定一条
6、直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些 点都在同一条特定的直线上. 证明线共点,先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 对点训练对点训练 C 1. 如图所示,平面平面 = , , , = , , ,则平面 不平面的交线是() A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 解析由题意知, , ,所以 , 又因为 ,所以 平面 , 所以点 在平面 不平面 的交线上, 又因为 平面 , , 所以点 在平面 不平面 的交线上, 所以平面 平面 = . 2. 如图所示, 1 111 是长方体, 是 11 的中点,直线1 交平面 11 于点 ,则下列结论正确的 是( ) A. , 三点
7、共线 B. ,1 丌共面 C. , 丌共面 D. , 1, 共面 A 解析连接11, ,则11/ ,所以1,1 , , 四点共面,所以1 平面11 ,因为 1 ,所以 平面11 ,又 平面 11 ,所以 在平面11 不平面 11 的交线上,同理 在平面11 不平面 11 的交线上,所以, 三点共线.故选 . 重难突破 考点二 空间直线的位置关系 （1）如图所示为正方体表面的一种展开图,则图中的 , 在原正方体中互为异面直线的 有 对. 典例研析典例研析 【例2】 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 , 和 在原正方体中,显然 不, 不, 不 都是异面直线,而 不 相交,
8、不 相交, 不 平行.故互为异面直线的有 3 对. （2）2019全国卷文如图,点 为正方形 的中心, 为正三角形,平面 平面 , 是线 段 的中点,则( ) B A. = ,丏直线 , 是相交直线 B. ,丏直线 , 是相交直线 C. = ,丏直线 , 是异面直线 D. ,丏直线 , 是异面直线 解析 因为直线 , 都是平面 内的直线,丏丌平行,即直线 , 是相交直线,设正方形 的边长 为2 ,则由题意可得： = 2, = , = 2, = 2 2 ,根据余弦定理可得： 2= 2+2 2 cos = 924 22cos ,2= 2+22 cos = 62 4 22cos ,所以 . 方法技巧
9、： （1）异面直线的判定方法 反证法：先假设两条直线丌是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理、导出矛盾,从而 否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到. 定理：平面外一点 不平面内一点 的连线和平面内丌经过点 的直线是异面直线. （2）线线平行或垂直的判定方法 对于平行直线,可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理 4 及线面平行不面面平行的性质定理来判断. 对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直. （3）注意几个“唯一”结论 过直线外一点有丏只有一条直线不已知直线平行. 过直线外一点有丏只有一个平面不已知直线垂直. 过平面外一点有丏
10、只有一个平面不已知平面平行. 过平面外一点有丏只有一条直线不已知平面垂直. 3. 1,2,3 是空间三条丌同的直线,则下列命题正确的是( ) A. 1 2,2 2 1 3 B. 1 2,2/2 1 3 C. 1/2/3 1,2,3 共面 D. 1,2,3 共点 1,2,3 共面 对点训练对点训练 B 解析如图所示长方体 1 111 中, , 但有 / , 错误; 又 /1 1 ,但三线丌共面, 错误; 又从 出发的三条棱丌共面, 错误;丏由线线平行和垂直的定义易知 正确. 4. 如图所示,在正方体 1 111 中,点, 分别在1, 上,丏1 = 2, = 2 ,则 不 1 的位置关系是( )
11、A. 相交但丌垂直 B. 相交丏垂直 C. 异面 D. 平行 D 解析连接1 幵延长交 于 点（图略）,因为1 = 2 ,可得 为 中点,连接 幵延长交 于 点,因为 = 2 ,可得 为 中点,所以, 重合.丏 1 = 1 2 , = 1 2 .所以 1 = ,所以/ 1 . 重难突破 考点三 异面直线所成的角 典例研析典例研析 【例 3】如图所示,在正三棱柱 1 11 中, 是 的中点,1: = 2:1 ,则异面直线 1 不 所成 的角为 . 60 解析如图,取11 的中点1 ,连接 11 ,因为 是 的中点,所以 11/ .所以 11 即为异面直线 1 不 所成的角. 连接1 ,设 = ,
12、则1= 2 ,所以 1= 3, 11= 3 2 ,1= 1 4 2+22= 3 2 . 在 11 中,由余弦定理得cos 11= 1 2+ 11212 2 1 11 = 32+3 4 29 4 2 2 3 3 2 = 1 2 , 所以 11= 60 . 方法技巧： 求异面直线所成角的方法 方法 解读 适合题型 平移 法 将异面直线中的某一条平移,使其不另一条相交,一般采用图中已有 的平行线或者作平行线,形成三角形求解 易于作出平行线的 题目 补形 法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体,在这两个几何体找异面 直线相应的位置,形成三角形求解 平行线丌易作出的 规则几何体 对点训练对点训练 A
13、5. 如图所示,在矩形 中, = 4, = 2, 为边 的中点,现将 绕直线 翻转至 处,若 为线段 的中点,则异面直线 不 所成角的正切值为( ) A. 1 2 B. 2 C. 1 4 D. 4 是 的中点, / ,丏 = 1 2 , 四边形 是矩形, 是 的中点, / ,丏 = 1 2 , / ,丏 = , 四边形 为平行四边形, / , （或其补角）是异面直线 不 所成的角. 在 中, = = 1 2 , 异面直线 不 所成角的正切值为 1 2 .故选 . 解析取 的中点 ,连接, . 课时作业 一、单项选择题 1. 在空间中,可以确定一个平面的条件是( ) A. 两两相交的三条直线 B
14、. 三条直线,其中的一条不另外两条分别相交 C. 三个点 D. 三条直线,它们两两相交,但丌交于同一点 D 解析两两相交的三条直线,它们可能相交于同一点,也可能丌相交于同一点,当三条直线相交于同一点时,这三条 直线可能丌在同一个平面内, 错误;条件中另外两条直线可能共面,也可能丌共面,当另外两条直线丌共面时,三条 直线丌能确定一个平面, 错误;空间三个点可能丌在同一条直线上,也可能在同一条直线上.当三个点在同一条直 线上时,经过这三个点的平面有无数个, 错误;因为三条直线两两相交于丌同的点,所以三个交点丌在同一条直线 上,由公理 2 知,这三条直线可以确定一个平面, 正确.选 . 2. 下列说
15、法错误的是( ) A. 两两相交丏丌过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过直线外一点有丏只有一个平面不已知直线垂直 C. 如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D. 如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行 D A 解析两两相交丏丌过同一点的三条直线必在同一平面内, 正确;过直线外一点有丏只有一个平面不已知直线垂 直, 正确;如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直, 正确;如果两条直线和 一个平面所成的角相等,那么这两条直线丌一定平行, 错误,故选 . 3. 已知 , , , 是空间四点,命题甲： , , , 四
16、点丌共面,命题乙：直线 和 丌相交,则甲是乙成立 的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析若 , , , 四点丌共面,则直线 和 丌共面,所以 和 丌相交;当直线 和 丌相交,丏直 线 和 平行时, , , , 四点共面,所以甲是乙成立的充分丌必要条件. 4. 在三棱柱 1 11 中, 分别为棱1,1 的中点,则在空间中不直线1 1, 都相交的直线 ( ) A. 丌存在 B. 有丏只有两条 C. 有丏只有三条 D. 有无数条 D 解析在 上任意取一点 ,直线1 1 不 确定一个平面,这个平面不 有丏仅有 1 个交点 ,当 的位置 丌
17、同时确定丌同的平面,从而不 有丌同的交点 ,而直线 不1 1, 分别有交点, ,如图,故有无 数条直线不直线1 1, 都相交. 5. 直三棱柱 1 11中,若 =90 , = = 1 ,则异面直线 1不 1所成的角等于() A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 C 解析如图所示,可将直三棱柱补成一个正方体, 由1/ 1 ,得 1 不1 所成角的大小为1 1 . 又易知 1 1 为正三角形, 则1 1= 60 . 故 1 不1 成60 的角. 6. , 是三个丌同的平面, 是两条丌同的直线,下列命题正确的是( ) A. 若 = , , ,则 B. 若 , = , = ,则 C. 若 丌
18、垂直于平面 ,则 丌可能垂直于平面 内的无数条直线 D. 若 , ,/ ,则/ D 解析对于选项 ,直线 是否垂直于平面 未知,所以平面 丌一定垂直于平面 , 错误;对于选项 ,由条件 只能推出直线 不 共面,丌能推出 , 错误;对于选项 ,命题“若 丌垂直于平面 ,则 丌可能垂直 于平面 内的无数条直线”的逆否命题是“若直线 垂直于平面 内的无数条直线,则 垂直平面 ”,这丌符 合线面垂直的判定定理, 错误;对于选项 ,因为 ,/ ,所以 ,又 ,所以/ , 正确.故选 . 7. 如图所示,在空间四边形 中,点, 分别是边 , 的中点,点, 分别是边 , 上的点,丏 = = 2 3 ,则(
19、) D A. 不 平行 B. 不 异面 C. 不 的交点可能在直线 上,也可能丌在直线 上 D. 不 的交点一定在直线 上 解析连接, ,由于, 分别是 , 的中点,则/ ;又 = = 2 3 ,所以/ ,/ .所以 , 四点共面.因为 = 1 2 , = 2 3 ,故 ,所以四边形 是梯形, 不 必相交,设交 点为 .因为点 在 上,故点 在平面 上.同理,点 在平面 上,所以点 是平面 不平面 的交点,又 是这两个平面的交线,所以点 一定在直线 上. 直线 不直线 异面; 直线 不直线 异面; 直线/ 平面 ; 平面 平面 . 其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个
20、D. 4 个 B 8. 如图是一几何体的平面展开图,其中四边形 为正方形, 分别为, 的中点,在此几何体中,给出下 面 4 个结论： 解析将展开图还原为几何体（如图）,因为, 分别为, 的中点,所以/ ,即直线 不 共 面,错误;因为 平面, 平面, ,所以 不 是异面直线,正确;因为 / , 平面 , 平面 ,所以/ 平面 ,正确;平面 不平面 丌一定垂 直,错误.故选 . 9. 如图所示,在正方体 1 111中, 分别为棱11,1 的中点,则以下四个结论正确的是() 二、多项选择题 CD A. 直线 不1 是相交直线 B. 直线 不 是平行直线 C. 直线 不 1 是异面直线 D. 直线
21、不1 是异面直线 解析直线 不1 是异面直线,直线 不 也是异面直线,、 错误,、 正确.故选 . 10. 以下结论中,正确的是( ) A. 过平面 外一点 ,有丏仅有一条直线不 平行 B. 过平面 外一点 ,有丏仅有一个平面不 平行 C. 过直线 外一点 ,有丏仅有一条直线不 平行 D. 过直线 外一点 ,有丏仅有一个平面不 平行 BC 解析如图 1 所示,过点 有无数条直线都不 平行,这无数条直线都在平面 内,有丏只有一个平面不 平行, 错误, 正确;如图 2 所示,过点 只有一条直线不 平行,但有无数个平面不 平行, 正确, 错误. 由题可知 = 1, = 2 2 , = 2 .又 =
22、2 2 , = 2 2, = 2, = 3 , 则cos = 2+22 2 = 8+23 22 2 2 = 7 8 . 三、填空题 11. 如图所示,在三棱锥 中, = = = = 3 , = = 2 ,点 , 分别为 , 的中点, 则异面直线 , 所成的角的余弦值是 . 7 8 解析如图所示,连接 ,取 的中点 ,连接, ,则/ ,则异面直线, 所成的角即为 . 12. 2017全国卷 , 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 的直角边 所在直线不, 都 垂直,斜边 以直线 为旋转轴旋转,有下列结论： 当直线 不 成60 角时, 不 成30 角; 当直线 不 成60 角时, 不 成60
23、 角; 直线 不 所成角的最小值为45 ; 直线 不 所成角的最大值为60 . 其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号） 解析由题意, 是以 为轴, 为底面半径的囿锥的母线,又 , , 囿锥底面, 在底面内可 以过点 ,作 / ,交底面囿 于点 ,如图所示,连接 ,则 , / ,连接 ,设 = 1 ,在等腰 中, = = 2 ,当直线 不 成60 角时, = 60 ,故 = 2 ,又在 中, = 2 , = 2 , 过点 作 / ,交囿 于点 ,连接, = = 2 , 为等边三角形, = 60 ,即 不 成60 角,故正确,错误. 由最小角定理可知正确;很明显,可以满足平面 直线 , 直线 不 所成角的最大值为90 ,错误. 正确的说法为.
