1、第七节 导数的概念及运算 考情解读 命 题 规 律 考点 导数的概念和几何意义 导数的计算 考查频次 卷,5年4考 卷,5年4考 卷,2年1考 卷,5年1考 卷,5年1考 卷,2年1考 考查难度 中等 中等 常考题型及分 值 填空题,5分; 解答题,12分 填空题,5分 命 题 趋 势 高考命题的热点仍然是根据导数的几何意义求切线方程,但命题形式比较灵活,综合性 较强,导数的运算渗透到不导数相关的每一个考题之中,单独考查导数计算的问题仍然较 少 基础导学 1. 导数的概念 （1）函数 = () 在 = 0 处导数的定义称函数 = () 在 = 0 处的瞬时变化率 1 = lim 为函数 = (
2、) 在 = 0 处记作 (0) 或| = 0 ,即(0) = lim 0 = 2 （2）导数的几何意义 函数() 在点0 处的导数(0) 的几何意义是在曲线 = () 上点(0,0) 处的 3 （瞬时速度就是位秱函数() 对时间 的导数) . 相应地,切线方程为 4 （3）函数() 的导函数称函数() = 5 为() 的导 函数. 知识梳理 切线的斜 率 lim 0 (0+)(0) lim 0 (0+)(0) 0= (0)( 0) lim 0 (+)() 2. 基本初等函数的导数公式 0 原函数 导函数 () = ( 为常数） () = 6 () = ( ) () = 7 () = sin (
3、) = 8 () = cos () = 9 () = ( 0, 且 1 ) () = 10 () = () = 11 () = log ( 0, 且 1 ) () = 12 () = ln () = 13 1 cos sin ln 1 ln 1 3. 导数的运算法则 （1）() ()= 14 . （2）()()= 15 . （3） () () = 16 () 0) . () () ()()+()() ()()()() ()2 4.复合函数的导数 复合函数 = () 的导数和函数 = (), = () 的导数间的关系为 = . 知识拓展 1.求导其实质是一种数学运算即求导运算,有公式和法则,也有
4、相应的适用范围或成立条件,要注意这一点,如 ()= 1中, 0 且 . ( () () )= ()()()() 2() ,要满足“= ”前后各代数式有意义,且导数都存在. 2.（1）（0） 代表函数 () 在 = 0处的导数值;(0)是函数值 (0) 的导数,而函数值 (0) 是一个 常量,其导数一定为 0,即(0)=0. （2）() 是一个函数,不(0) 丌同. 3. （1） “过” 不 “在” ： 曲线 = ()“在点 (0,0) 处的切线” 不 “过点 (0,0) 的切线” 的区别： 前者 (0,0) 为切点,而后者 (0,0) 丌一定为切点. （2） “切点”不“公共点” ：曲线的切线
5、不曲线的公共点的个数丌一定只有一个,而直线不二次曲线相切只有一个 公共点. 4.复合函数的导数 复合函数 = () 的导数和函数 = (), = () 的导数间的关系为 ,即 对 的导数等于 对 的导数不 对 的导数的乘积. 重难突破 考点一 导数的计算 典例研析典例研析 【例1】 B 8 （1）已知函数() = (2 020+ln) 且 0) = 2 021 ,则0 = ( ) A. 2 B. 1 C. ln2 D. （2）若函数() = ln (1)2+3 4 ,则(1) = . （3）若() = sin(2 + 3) ,则 ( 3) = . 2 解析 () = sin(2 + 3), (
6、) = (2 + 3) cos(2+ 3) = 2cos(2 + 3), ( 3) = 2cos( 2 3 + 3) = 2. 解析 () = (2020+ln) = 2020 +ln , () = 2020+ln + 1 = 2021+ln , 又(0) = 2021, ln0= 0, 0= 1 . 解析 ()= 1 2 1)+3, 1) =1+2 1)+ 3,解得 1) =2, (1)= 1+4+3 = 8. 方法技巧： （1）求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度, 减少差错. 连乘积形式：先展开化为多项式的形式,再求导; 分式形
7、式：观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; 对数形式：先化为和、差的形式,再求导; 根式形式：先化为分数指数幂的形式,再求导; 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. （2）求导公式或求导法则中,要注意“+ ” “ ”的变化,如 (cos)= sin . 对点训练对点训练 B B C 1. 已知函数() 的导函数是() ,且满足() = 2(1)+ln 1 ,则(1) = ( ) A. B. 2 C. 2 D. 解析由已知得() = 2（1） = 1 ,令 = 1 得 (1) = 2(1)1 ,解得(1) = 1 ,则 = 2（1） = 2 . 2.
8、 设() = ln ,若(0) = 2, 则0 等于( ) A. 2 B. C. ln2 2 D. 2 解析 () = ln, () = ln + 1 = ln +1, 由(0) = 2 得ln0+1 = 2, 0= .故选 . 3. 已知函数() = cos +ln ,则(1) 的值为( ) A. sin11 B. 1sin1 C. 1+sin1 D. 1 sin1 解析 () = cos+ln, () = 1 +sin ,可得(1) 的值为1 +sin1 .故选 . 重难突破 考点二 导数的几何意义及应用 典例研析 考查角度一考查角度一 利用导数几何意义求切点、斜率、切线方程利用导数几何意
9、义求切点、斜率、切线方程 【例1】 C （1）2019全国卷文曲线 = 2sin +cos 在点(,1) 处的切线方程为( ) A. 1 = 0 B. 2 21 = 0 C. 2 + 2+1 = 0 D. + +1 = 0 （2）2019全国卷理曲线 = 3(2+) 在点(0,0) 处的切线方程为 . 3 = 0 解析 因为= 3(2 +1)+3(2+)= 3(2+3 +1), 所以 = |=0= 3 .所以曲线 = 3(2+ ) 在点（0,0） 处的切线方程为 = 3, 即3 = 0 . 解析 当 = 时, = 2sin +cos = 1 ,即点(,1) 在曲线 = 2sin +cos 上.
10、 = 2cos sin, |= 2cos sin = 2 ,则 = 2sin +cos 在点(,1) 处的切线方程为 (1) = 2( ) ,即 2 + 2 +1 = 0 .故选 . 方法技巧： 求曲线的切线方程,注意已知点是否为切点,其关键点为： （1）当点(0,0) 是切点时,切线方程为 0= (0)( 0). （2）当点(0,0) 丌是切点时,可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标(1,(1); 第二步：写出过(1,(1) 的切线方程,为 (1) = (1)( 1); 第三步：将点(0,0) 代入切线方程求出1 ; 第四步：将1 的值代入方程 (1) = (1)( 1) 可得过点(0,
11、0) 的切线方程. 考查角度二 利用导数的几何意义求解析式中的参数 【例3】 D （1）2019全国卷理已知曲线 = +ln 在点(1,) 处的切线方程为 = 2 + ,则( ) A. = , = 1 B. = , = 1 C. = 1, = 1 D. = 1, = 1 （2）2018全国卷曲线 = ( +1) 在点(0,1) 处的切线的斜率为2 ,则 = . 3 解析 = +ln +1, = |=1= +1 = 2, = 1, 将(1,1) 代入 = 2 + ,得2 + = 1, = 1 .故选 . 解析 = ( + +1), 当 = 0 时, = +1 , +1 = 2 ,得 = 3 .
12、解析 易知(1) = 0,() = 1 ,从而得到 (1) = 1 ,函数() 的图象在点(1,(1) 处的切线方程为 = 1 . 设直线 = 1 不() = 2+( ) 的图象相切于点(0,0) , 从而可得(0) = 1,(0) = 01 . 又() = 2 +, 因此有 （0） = 20+ = 1, 0 2 +0= 01, 得0 2 = 1 解得 0 = 1, = 1, 或 0= 1, = 3, （3）已知函数() = ln,() = 2+( ) ,若函数() 的图象在点(1,(1) 处的切线不函数() 的 图象相切,则 的值为 . 1 或 3 方法技巧： 对于此类问题,首先明确参数存在
13、何处.其关键点为： （1）利用切点,求(0) ,利用斜率建立关系 = (0) . （2）利用切点的双重性,既在切线上又在曲线上建立关系. （3）联立方程组求解. 对点训练对点训练 D 4. 2018全国卷设函数() = 3+( 1)2+ ,若() 为奇函数,则曲线 = () 在点(0,0) 处的切线 方程为( ) A. = 2 B. = C. = 2 D. = 解析（解法一） ()= 3+(1)2+ , ()= 32+2( 1)+ . 又 () 为奇函数, )= () 恒成立, 即3+( 1)2=3 1)2 恒成立, =1, ()= 32+1, （0） =1, 曲线 = () 在点（0,0）
14、处的切线方程为 = . 故选 . （解法二） ()= 3+(1)2+ 为奇函数, ()= 32+2(1)+ 为偶函数, =1 ,即()= 32+1, （0） =1, 曲线 = () 在点(0,0) 处的切线方程为 = .故选 . 5. 2018全国卷曲线 =2ln(+1) 在点(0,0) 处的切线方程为. 解析 = 2ln( +1), = 2 +1 .令 = 0 ,得 = 2 ,由切成的几何意义得切线斜率为 2,又切线过点(0,0) , 切线方程为 = 2 . 6. 设曲线 = 在点(0,1) 处的切线不曲线 = 1 ( 0) 上点 处的切线垂直,则 的坐标为 . (1,1) 解析= , 则曲
15、线 = 在点(0,1) 处的切线的斜率切= 1 ,又曲线 = 1 ( 0) 上点 处的切线不曲线 = 在点(0,1) 处的切线垂直,所以曲线 = 1 ( 0) 在点 处的切线的斜率为1 ,设(,) ,则曲线 = 1 ( 0) 上点 处的切线的斜率为|= 2= 1 ,可得 = 1 ,又(,) 在 = 1 上,所以 = 1 ,故 (1,1) . = 2 课时作业 一、单项选择题 C C 1. 曲线 = 1 在点(1,1) 处切线的斜率等于( ) A. 2 B. C. 2 D. 1 解析 = 1+ (1)= (1+)1, 曲线 = 1 在点(1,1) 处的切线斜率为 |=1= 2 .故选 . 2.
16、函数() = sin 的图象在点(0,(0) 处的切线的倾斜角为( ) A. 3 4 B. 3 C. 4 D. 6 解析因为() = sin +cos, 所以(0) = 1 ,即曲线 = () 在点(0,(0) 处的切线的斜率为 1.所以 在点(0,(0) 处的切线的倾斜角为 4 .故选 . B D 3. 已知函数() = 2( 1 )2ln ,则曲线 = () 在点(1,(1) 处的切线方程是( ) A. 2 + 2 = 0 B. 2 2 = 0 C. + 2 = 0 D. = 0 解析(1) = 0,() = 2(1+ 1 2) 2 .曲线 = () 在点(1,(1) 处的切线的斜率为 (
17、1) = 2 .从而曲线 = () 在点(1,(1) 处的切线方程为 0 = 2( 1) ,即2 2 = 0 .故选 . 4. 设曲线 = ln( +1) 在点(0,0) 处的切线方程为 = 2 ,则 = ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析= a 1 +1，由题意得 | =0 = 2，即a1 = 2，所以a = 3. B 5. 如图, = () 是可导函数,直线 ： = +2 是曲线 = () 在 = 3 处的切线,() = (),() 是 () 的导函数,则(3) = ( ) A. 1 B. 0 C. 2 D. 4 解析由题意知直线 ： = +2 是曲线 = () 在 =3
18、 处的切线,由图可得 (3)= 1 .又点(3,1) 在直线 上. 3 +2 = 1, = 1 3 , (3)= = 1 3 . ()= () , ()= ()+ () ,则(3)= (3)+ 3(3)= 1 +3 1 3 )= 0 .故选 . 6. 已知函数 ()= ln ,若直线 过点 0,1) ,幵且不曲线 = () 相切,则直线 的方程为( ) A. +1 = 0B. 1 = 0C. + +1 = 0D. +1 = 0 B 解析设直线的方程为 = +1，直线不()的图像切点为(0,y0)，则 01 = 0, 0ln0= 0, ln0+1=, 解得 0= 1, 0= 0, = 1. 故直
19、线的方程为 = 1，即 y1 = 0. 8. 设函数() = sin +cos 的图象在点(,() 处切线的斜率为() ,则函数 = () 的图象一部分可以 是( ) D A. B. C. D. A 7. 已知直线 = 2 不曲线 = ln 相切,则实数 的值为( ) A. ln2 B. 1 C. 1ln2 D. 1+ln2 解析由 = ln 得= ln +1 ,设切点为(0,0) ,则 = ln0+1, 切点(0,0) 既在曲线 = ln 上又在 直线 = 2 上, 0 = 02, 0= 00, 02 = 0ln0, = ln0+ 2 0 , ln0+ 2 0 = ln0+1, 0= 2,
20、= ln2+1 .故选 . 解析由() = sin +cos 可得() = sin +cos sin = cos . 即 = () = cos ,是奇函数,排除选项 , ; 当 (0, 2) 时, = () 0 ,排除选项 .故选 . 二、多项选择题 BC ABC 9. 已知曲线 = 2 1 在点(2,4) 处的切线不直线 平行且距离为2 5 ,则直线 的方程可以为( ) A. 2 + +2 = 0 B. 2 + +2 = 0 C. 2 18 = 0 D. 2 +2 = 0 解析= 2(1)2 (1)2 = 2 (1)2 ,|=2= 2 21)2 =2 ,因此1=2 ,设直线 方程为 =2+
21、,即 2+ =0 ,由题意得 |22+4| 5 =2 5 ,解得 =18 或 =2 ,所以直线 的方程为2+ 18 = 0 或2+2 = 0 . 故选 . 10. 已知()= (2) + 4 +1 ( 0) ,若曲线() 上存在丌同两点 , ,使得曲线() 在点 , 处的切线垂 直,则实数 的取值可以是() A. 1B. 0C. 1D. 2 解析由() = ( 2) + 4 +1 ,得 () = 2+ 4 (+1)2 . 0, 2 () +2 . 设(1,1),(2,2), 则曲线() 在点 , 处的切线的斜率分别为1= (1),2= (2), 则 2 1 +2, 2 2 +2 且12= 1
22、,可得 2 0 （ 2（ +2） 1 解得 3 3. 故实 数 的取值范围是( 3, 3) .故选 . 三、填空题 11. 函数() = ln 图象上一点 到直线 = 的最短距离为 . 2 2 解析设不直线 = 平行且不曲线() = ln 相切的直线的切点坐标为(0,ln0) ,因为 () = (ln)= 1 , 则1 = 1 0 , 0= 1, 则切点坐标为（1,0） , 最短距离为(1,0) 到直线 = 的距离,即为 |10| 1+1 = 2 2 ,故答案为 2 2 . 12. 已知函数 () 的导函数为() ,且满足 ()= (1)1(0)+ 1 3 3, 则 ()=. + 3 3 解析由() = (1)1(0) + 1 3 3, 得() = (1)1(0)+2 .令 = 1, 得(0) = 1. 在() = (1)1(0) + 1 3 3 中,取 = 0, 得(0) = (1)1= 1, 所以(1) = ,所以() = + 1 3 3 .
