1、第三节 平面向量的数量积及其应用 考情解读 命题 规律 考点 平面向量数量积的概念及意义 平面向量数量积的性质 平面向量数量积的综合应用 考查频次 卷,5年1考 卷,5年1考 卷,2年1考 卷,5年2考 卷,5年4考 卷,2年2考 卷,5年1考 考查难度 容易 中等 中等 常考题型及分值 选择题,5分 填空题,5分 选择题,5分 填空题,5分 选择题,5分 命题 趋势 预计高考对本部分的考查以向量的长度、角度及数量积为主,其中,以向量的数量积的运算为载体,综合考查三角函 数、解析几何等知识是一种新的命题趋势.复习时,除了向量的数量积的基本运算,还要注意运用数形结合的思想方法解 决向量问题 基础
2、导学 定义 图示 范围 共线不垂直 已知两个非零向量 和 ,作 = , = , 则 1 就是 不 的夹角 设 是 不 的夹角,则 的取值范围是 2 = 0 或 = 180 3 ,4 知识梳理 1. 向量的夹角 2. 平面向量的数量积 0 180 / = 90 定义 设两个非零向的夹角为则数量叫做 不 的数量积记作 5 叫做 不 的数量积,记作 投影 6 叫做向量 在 方向上的投影,7 叫做向量 在 方向上的投影 几何意义 数量积 等于 的长度| 不 在 的方向上的投影 8 的乘积 | | | | 3. 数量积的性质 设 , 都是非零向量, 是单位向量, 为 不 （或 ）的夹角,则 （1） =
3、= 9. （2）cos = | . （3） 10. | | 4. 数量积的运算律 （1）交换律： = . （2）数乘结合律：() = 11 = 12 . （3）分配律： ( + ) = 13 . ( ) () + 5. 平面向量数量积的坐标表示 设向量 = (1,1), = (2,2), 向量 不 的夹角为 ,则 数量积 = 14 模 | = 15 夹角 cos = 16 向量垂直的充要条件 = 0 17 12+ 12 1 2 + 2 2 12+ 12 1 2 + 1 2 22 + 2 2 12+ 12= 0 知识拓展 1.向量的夹角问题 （1） “向量 不 的夹角为钝角”等价于“ 0 且 ,
4、 丌共线”. （3）向量的夹角首先使两个向量共起点,在 中,= ,而丌是角 . 2.两种投影 在 上的投影为 | . 在 上的投影为 | . 3.几个结论 对于向量, （1）( + )2= 2+ 2 + 2 . （2）( + ) ( ) = 2 2 . （3）, 同向时, = | , 反向时, = | . （4） 是 的垂心 = = . （5）在 中,角 , , 所对的边分别为, 则 = 2+22 2 . 重难突破 考点一 平面向量数量积的运算 典例研析典例研析 【例1】 C B （1）2019全国卷理已知 = (2,3), = (3,),| | = 1 ,则 = ( ) A. 3 B. 2
5、C. 2 D. 3 （2）2018全国卷已知向量, 满足| = 1, = 1, 则 (2 ) = ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解析 因为 = = (1, 3) ,所以| | = 1 + ( 3)2 = 1 ,解得 = 3 ,所以 = (1,0) ,所以 = 2 1 + 3 0 = 2 .故选 . 解析 (2 ) = 22 = 2|2 . | = 1, = 1, 原式= 2 12+ 1 = 3 .故选 . A （3）2018天津卷如图所示,在平面四边形 中, , , = 120 , = = 1 .若点 为边 上的动点,则 的最小值为( ) A. 21 16 B. 3 2 C.
6、 25 16 D. 3 解析如图所示,以 为坐标原点建立直角坐标系.连接 ,由题意知 = = 60 , = = 30 ,则(0,0),(1,0),(3 2 , 3 2 ),(0, 3), 设(0,)(0 3), 则 = (1,), = ( 3 2 , 3 2 ), = 3 2 + 2 3 2 = ( 3 4 )2+ 21 16, 当 = 3 4 时, 有最小值21 16 . 故选 . 方法技巧： 计算向量数量积的三个角度 （1）定义法：已知向量的模不夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即 = |cos( 是 不 的夹 角）. （2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终
7、转化为基向量的数量积,迚而求解. （3）坐标法：若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式迚行求解. 对点训练对点训练 B B 1. 在等边三角形 中, = 6 ,且, 是边 的两个三等分点,则 等于( ) A. 18 B. 26 C. 27 D. 28 解析因为 = + 1 3 , = + 2 3 , 所以 = ( + 1 3 ) ( + 2 3 ) = 2 + + 2 9 2 = 62+ 6 6 cos120+ 2 9 62= 26 .故选 . 2. 如图,已知点 是边长为 2 的正三角形 的边 上的动点,则 ( + ) ( ) A. 最大值为 8 B. 为定值 6 C. 最小
8、值为 2 D. 不 的位置有关 解析设 的中点为 ,连接, , 的夹角为 ,则有 ( + ) = 2 = 2| | (| | cos) = 2| |2 = 6 . 重难突破 考点二 向量的模、夹角、垂直问题 典例研析典例研析 考查角度一 向量模的计算 【例2】 A （1）已知非零向量, 的夹角为60 ,且| = 1,|2 | = 1 ,则| = ( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 2 解析 非零向量 , 的夹角为60 ,且| = 1 , = | 1 1 2 = | 2 , |2 | = 1, |2 |2= 42 4 + 2= 4|2 2| + 1 = 1, 4|2 2| = 0,
9、| = 1 2 .故选 . （2）在平行四边形 中, = 1 , = 60 , 为 的中点.若 = 1 ,则 的长为 . 1 2 解析 （解法一）由题意可知, = + , = 1 2 + . 因为 = 1 ,所以( + ) ( 1 2 + ) = 1, 即 2 + 1 2 1 2 2 = 1 . 因为| | = 1, = 60 , 所以 = 1 2 | | , 因此式可化为 1+ 1 4 | | 1 2 | |2= 1 . 解得| | = 0 （舍去）或| | = 1 2 , 所以 的长为1 2 . （解法二）以 为原点, 所在直线为 轴建立如图所示的直角坐标系,过点 作 于点 .由 = 1,
10、 = 60 , 可知 = 1 2 , = 3 2 , 则 ( 1 2 , 3 2 ). 设|= ( 0) ,则 ( ,0) ,( + 1 2 , 3 2 ), 因为 是 的中点,所以 ( 2 + 1 2 , 3 2 ). 所以 = ( 1 2 1 2 , 3 2 ), = ( + 1 2 , 3 2 ) 由 = 1 可得( + 1 2 )( 1 2 1 2 )+ 3 4 = 1, 即 2 2 = 0 ,所以 = 0 （舍去）或 = 1 2 .故 的长为1 2 . 方法技巧：求向量的模的方法 （1）公式法：利用| = 及( )2= |2 2 + |2 ,把向量模的运算转化为数量积运算. （2）几
11、何法：利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦 定理等方法求解. 考查角度二 向量的夹角 【例3】 B A （1）2019全国卷理已知非零向量, 满足| = 2| ,且( ) ,则 不 的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 （2）2016全国卷已知向量 = (1 2 , 3 2 ), = ( 3 2 , 1 2) ,则 = ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 解析 由两向量的夹角公式,可得cos = | | | = 1 2 3 2 + 3 2 1 2 11 = 3 2 ,则 = 30. 解析 设 不
12、的夹角为, ( ) , ( ) = 0, = 2, | |cos = |2, 又| = 2|, cos = 1 2 , 0, = 3 .故选 . 方法技巧：求向量夹角的方法 方法 解读 适合题型 定义法 cos = | 适用于向量的代数运算 数形结合法 转化为求三角形的内角 适用于向量的几何运算 考查角度三 向量的垂直问题 【例4】 D （1）2018北京卷设向量 = (1,0), = (1, ) .若 ( ) ,则 = . 1 （2）已知向量 = (1,2), = (2,3) .若向量 满足( + )/, ( + ) ,则 = ( ) A. (7 9 , 7 3) B. ( 7 3 , 7
13、9) C. (7 3 , 7 9) D. ( 7 9 , 7 3) 解析 设 = ( ,) ,则 + = (1 + ,2 + ), + = (3,1) ,因为( + )/ ,则有3(1 + ) = 2(2 + ) ; 又 ( + ) ,则有3 = 0 , 解得 = 7 9 , = 7 3 .所以 = ( 7 9 , 7 3). 解析 = (1,0), = (1, ) ,则 = ( + 1, ) . 由 ( ) 得 ( ) = 0 ,即 + 1 = 0 ,得 = 1 . 方法技巧：两个向量的垂直问题 （1）当已知两个向量的夹角为90 ,即 时,则 = 0. 反之也成立( 0 且 0) . （2）
14、如果 = (1,1), = (2,2), 12+ 12= 0 . 对点训练对点训练 A 3. 已知 = (2,1), = (,3), = (1,2) ,若( 2) ,则| = ( ) A. 3 5 B. 3 2 C. 2 5 D. 10 解析由题意得 2 = (2 2,7) , ( 2) . ( 2) = 0 , 即(2 2,7) (1,2) = 0,2 2 + 14 = 0 , 解得 = 6 , | = 62+ (3)2= 3 5 .故选 . A 4. 若非零向量 , 满足| = 2 2 3 | ,且( ) (3 +2) ,则 不 的夹角为() A. 4 B. 2 C. 3 4 D. 解析设
15、 不 的夹角为 , |= 2 2 3 | , 因为( ) (3 +2) , 所以( ) (3 +2) = 3|22|2 = 8 3 |22|2 2 2 3 |2cos = 0, 解得 cos = 2 2 ,因为 0, ,所以 = 4 . 5. 如图,在 中, 为 的中点,若 = 1, = 3, 不 的夹角为60 ,则| | = . 13 2 解析因为 = | | | | cos = 1 3 1 2 = 3 2 , 又 = 1 2 ( + ), 所以2 = 1 4 ( + )2= 1 4 (2 +2 + 2 ), 即2 = 1 4 (1+ 3 + 9) = 13 4 , 所以| | = 13 2
16、 . 课时作业 一、单项选择题 D B 1. 已知两个向量 = (4,7), = (5,2) ,则 的值是( ) A. 34 B. 27 C. 43 D. 6 解析 = (4) 5 + 7 2 = 6 . 2. 已知 = (3,4), = (5,12) ,则 不 夹角的余弦为( ) A. 1 13 B. 33 65 C. 1 5 D. 63 65 解析 = | = 3(5)+412 513 = 33 65 . B A C 3. 已知向量, 满足| = 2,| = 4,= 3 ,则|3 2| = ( ) A. 52 B. 2 13 C. 15 D. 2 3 解析由题意,得|3 2| = 92 1
17、2 + 42= 9 4 12 2 4 1 2 + 4 16 = 2 13 .故选 . 4. 已知| = 3,| = 5 ,且 = 12 ,则 在 方向上的投影为( ) A. 12 5 B. 3 C. 4 D. 5 解析向量 在 方向上的投影为|cos, = | = 12 5 .故选 . 5. 已知向量, 满足| + | = 2 5 ,且 = 4 ,则| | = ( ) A. 2 B. 2 3 C. 2 D. 6 解析 | + | = 2 5, = 4, | + |2 | |2= 4 = 16, | | = 2 .故选 . D A 6. 已知向量 不 的夹角为 120 ,且| |= 2,| |
18、= 3 ,若 = + ,且 ,则实数 的值为 () A. 3 7 B. 13C. 6D. 12 7 解析 = , , = ( + ) ( ) = 2 + ( 1) + 2 = 4 + 6( 1)cos120+ 9 = 7 + 12 = 0. = 12 7 . 7. 已知 , 是非零向量,且( 2 ) ,( 2 ) ,则 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析因为( 2 ) , 所以( 2 ) = 0 , 所以2 2 = 0, 所以2 = 2 , 因为( 2 ) , 所以( 2 ) = 0, 所以2 2 = 0, 所以2 = 2 , 所以
19、2 = 2 , 所以| | = | |, 所以 是等腰三角形,无法判断其是丌是直角三角形,也无法判断其是丌是等边三角形.故选 . C (解法二)在 中,丌妨设 = 90 ,取特殊情况 ,以 为坐标原点, , 所在直线分别为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系, = 120, = 2, = 1 , (2, 3 2 ),(0, 3 3 2 ), (5 2 ,0),(15 2 ,0). 故 = ( 15 2 , 3 3 2 ) (1 2 , 3 2 ) = 15 4 9 4 = 6 .故选 . 8. 2018天津卷在如图的平面图形中,已知 = 1, = 2, = 120 , = 2 , = 2 ,
20、 则 的值为( ) A. 15 B. 9 C. 6 D. 0 解析(解法一)连接 . = = 3 3 = 3( ) 3( ) = 3( ) , = 3( ) = 3( | |2) = 3 (2 1 cos120 12) = 3 (2) = 6. 故选 . 二、多项选择题 AB 9. 若, 均为单位向量,且 = 0,( ) ( ) 0 ,则| + | 的值可能为( ) A. 2 1 B. 1 C. 2 D. 2 解析| + |2= |2+ |2+ |2+ 2 2 2 = 3 2( + ), ( ) ( ) = + |2= 1 ( + ) 0, + 1 , | + |2 1, | + | 1 .
21、AC 10. 点 在 所在的平面内,则以下说法正确的有() A. 若 + + = 0 ,则点 为 的重心 B. 若 ( | | | | ) = ( | | | | ) = 0 ,则点 为 的垂心 C. 若( + ) = ( + ) = 0 ,则点 为 的外心 D. 若 = = ,则点 为 的内心 解析选项 ,设 为 的中点,由于 =( + ) =2 ,所以 为 边上中线的三等分点(靠近点 ),所以 为 的重心. 选项 ,向量 | | , | | 分别表示在边 和 上取单位向量 和 ,记它们的差是向量 ,则当 ( | | | | ) = 0, 即 时,点 在 的平分线上,同理由 ( | | |
22、| ) = 0 ,知点 在 的平分线上, 故 为 的内心. 选项 , + 是以 , 为邻边的平行四边形的一条对角线,而| | 是该平行四边形的另一条对角线, ( + ) = 0 表示这个平行四边形是菱形,即| |= | | ,同理有| | = | | ,于是 为 的外心.选项 ,由 = 得 = 0 , ( ) = 0, 即 = 0 , .同理可证 , . , , ,即点 是 的垂心.故选 . 三、填空题 11. 2019全国理已知 , 为单位向量,且, = 0 ,若 = 2 5 ,则cos = . 2 3 解析设 = (1,0), = (0,1) ,则 = (2, 5) ,所以cos, = 2 1 4+5 = 2 3 . 12. 如图,已知 中, = = 4, = 90 , 是 的中点,若向量 = 1 4 + ,且 的终点 在 的内部（丌含边界）,则 的取值范围 是 . (2,6) 解析以 为坐标原点, 所在直线为 轴建立直角坐标系,则(4,0),(0,4),(2,2), (1,4 ), (1 4 , 3 4) , = (1,4 ) (3,4 ) = 16 2 3 (2,6) .
