1、第三节 空间中的平行关系 考情解读 命 题 规 律 考点 直线不平面平行的判定不性质 平面不平面平行的判定不性质 考查频次 卷,5年3考 卷,1年1考 此考点近5年新课标全国卷未涉及 考查难度 中等 / 常考题型及分值 解答题,12分 / 命 题 趋 势 本部分内容是高考考查的重点和热点,在选择题中对平行不垂直进行综合考查,在解答 题中一般作为其中的一问,难度中等. 复习时,关于证明平行中的存在性不探索性问题需要加强训练 基础导学 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线不1 的一条直线平行,则该 直线不此平面平行（线线平行 线面平行） 因为2 ,所 以/ 性质定理 一条直线不一
2、个平面平行,则过这条直线的任一平面不此平面的3 不该直线平行（简记为“线面平行 线线平行” ） 因为4 ,5 ,所以/ 知识梳理 1. 直线不平面平行的判定定理和性质定理 此平面 内 交线 /, , /, = 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条 6 不另一 个平面平行,则这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行” ） 因为 7 , 8 所以/ 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面 9 ,那么它们的 10 平行 因为 11 , 12 所以/ 2. 平面不平面平行的判定定理和性质定理 相交直 线 相交 交线 /,/, = , /, = = 知识拓展 序号 文字语言
3、 图形语言 符号语言 判定定理 2 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行 / 判定定理 3 平行于同一个平面的两个平面平行 / / / 序号 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 2 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另 一个平面 / ,且 / 性质定理 3 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面 也垂直于这条直线 / 且 2.性质定理 化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序 正好相反.在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用. 3.线线平行、线面平行、面面平行的相互转化 利用线线平行、线面
4、平行、面面平行的相互转化,解决平行关系的判定时,一般遵循 从“低维”到“高维”的转 重难突破 考点一 直线与平面平行的判定与性质 典例研析典例研析 【例 1】2019全国卷文如图,直四棱柱 1111 的底面是菱形,1= 4, = 2, = 60 , , , 分别是 ,1,1 的中点. （1）证明：/ 平面1 ; 答案证明：连接1,1 . 因为, 分别为1, 的中点,所以/1 ,且 = 1 2 1 . 又因为 为1 的中点,所以 = 1 2 1 . 由题设知11= / ,可得1 = / 1 ,故 = / ,因此四边形 为平行四边形, = / .又 平面1 ,所以/ 平面1 . 答案解：过 作1
5、的垂线,垂足为 . 由已知可得 , 1 ,又 1 = , 所以 平面1 ,故 . 从而 平面1 ,故 的长即为点 到平面1 的距离, 由已知可得 = 1,1 = 4 , 所以1 = 17 ,故 = 4 17 17 . 所以点 到平面1 的距离为 4 17 17 . （2）求 到平面1 的距离. 方法技巧： 方法 关键 适用题型 利用线面平行的判定定理证线面 平行 在该平面内找或作一直线,证明其不已知直 线平行 平行线易作出 利用面面平行的性质证线面平行 过该线找或作一平面,证明其不已知平面平 行 面面平行较明 显 利用线面平行性质证线线平行 过线作平面,产生交线 已知线面平行 （1）若 为 的
6、中点,求证/ 平面 ; 对点训练对点训练 1. 如图所示,四棱锥 中,底面 是边长为 3 的菱形, = 60 . 平面 ,且 = 3 . 在棱 上, 答案证明：连接, = , 由 为菱形知 为 的中点, 为 的中点, / . 平面, 平面 . / 平面 . 答案解：过点 作/ 交 于点 ,连接, . /, 平面, 平面 , / 平面 , 又 = ,/ 平面, 平面 , 平面/ 平面 , 又 平面, / 平面 , 又平面 平面 = , 平面, / . 又 为 的中点, 为 中点, = = 1 , 为 的中点,: = 1:1 . （2）若 = 1, 在棱 上,且/ 平面 ,求: 的值. 重难突破
7、考点二 平面平行的判定与性质 典例研析典例研析 【例 2】如图所示,在多面体 中,底面 是菱形,四边形 是矩形,平面 平面, 和 分别是 和 的中点. 求证：平面/ 平面 . 答案证明：在 中,因为, 分别是, 的中点,所以/ , 又因为 平面, 平面 , 所以/ 平面 , 设 = ,连接 , 在 中,因为 = , = ,所以/ , 又因为 平面, 平面 ,所以/ 平面 . 又因为 = , 平面 ,所以平面/ 平面 . 方法技巧： 判定面面平行的4种方法 （1）面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点. （2）面面平行的判定定理. （3）垂直于同一条直线的两平面平行. （4）平面平行的传递性,
8、即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 答案连接11 （图略）. 在 111 中, 分别是11,11 的中点, /11 且 = 1 2 11 , 又知四边形11 为矩形, = / 11 , / 且 = 1 2 . 四边形 为梯形. 对点训练对点训练 2. 如图所示,正方体 1111 中, 分别是11,11 的中点, 分别是11,11 的中点. （1）求证：四边形 为梯形; 答案连接 （图略）,在 111 中, 分别为11,11 的中点, /11 . 由（1）知,/11 , / . 在正方形1111 中, 为11 的中点, 为11 的中点, = / 11 , 又 四边形11 为正方形
9、, = / 11 , = / , 四边形 为平行四边形. = / . 又 = , = , 平面/ 平面 . （2）求证：平面/ 平面 . 重难突破 考点三 平行关系的探索问题 （1）如图所示,在正方体 1111 中, 为底面 的中点, 是1 的中点,设 是1 上的点,当 点 时,平面1/ 平面 ( ) 典例研析典例研析 【例3】 D A. 不 重合 B. 不1 重合 C. 为1 的三等分点 D. 为1 的中点 解析 在正方体 1111 中, 为底面 的中心, 是1 的中点, /1 ,当点 为1 的中点时,连接 ,则 = / , 四边形 是平行四边形, / , = , 1= , 平面,1 平面1
10、 , 平面1/ 平面 .故选 . （2）如图所示,在斜三棱柱 111 中,1 分别是,11 上的点,当 , 11 11 分别为何值时,平面 1/ 平面11 . 答案解:如图所示,连接1 不1 交于点 ,连接1 .因为平面1/ 平面11 ,且平面11 平面 1= 1 ,平面11 平面11= 1 ,所以1/1 . 同理1/1 . 由1/1 ,得 11 11 = 1 = 1 ,即11= 11 . 由1/1,/11 , 得四边形11 是平行四边形, 所以 = 11 ,所以11= . 所以 = 11 11 = 1 , 即当 = 11 11 = 1 时,平面1/ 平面11 . 方法技巧： 对于此类问题往往
11、采取逆向思维 （1）对命题条件的探索常采用以下三种方法: 先猜后证,即先观察不尝试给出条件再证明; 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性; 把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件. （2）对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理 的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设. 对点训练对点训练 3. 在三棱柱 111 中,设, 分别是线段,1 的中点,在线段 上是否存在一点 ,使直线/ 平面1 ？请证明你的结论. 证明：存在一点 ,使/ 平面1 . 答案证明如下： 取 的中点 ,1 的中点
12、 ,连接 , （图略）. = /1 2 ,= /1 2 11, = / . 四边形 为平行四边形. / , 又 平面1, 平面1 , / 平面1 . 故存在点 为 的中点,使 / 平面1 . 课时作业 1. 如图所示,在正方体 1111 中, 分别是1,1 的中点,则下列说法错误的是( ) 一、单项选择题 D A. 不1 垂直 B. 不 垂直 C. 不 平行 D. 不11 平行 解析连接1, （图略）. 是1 的中点, 是1 的中点, / .又 1 , 1 ,、 正确. ,/, , 正确.故选 . 2. 如图所示,在下列四个正方体中, , 为正方体的两个顶点, 为所在棱的中点,则在这四个正方体
13、中,直 线 不平面 丌平行的是( ) A. B. C. D. A 解析对于选项 ,设正方体的底面对角线的交点为 （图略）,连接 ,则/ ,因为 不平面 有 交点,所以 不平面 有交点,即 不平面 丌平行,故选 . 3. 过三棱柱 111 的任意两条棱的中点作直线,其中不平面11 平行的直线共有( ) A. 4 条 B. 6 条 C. 8 条 D. 12 条 B 解析如图所示, 是相应线段的中点,故符合条件的直线只能出现在平面 中,有, 共 6 条直线,故选 . 4. 已知平面/ 平面, 是, 外一点,过点 的直线 不, 分别交于点 , ,过点 的直线 不, 分 别交于点 , 且 = 6, =
14、9, = 8 ,则 的长为( ) A. 16 B. 24 或 24 5 C. 14 D. 20 B 解析根据题意可出现如下两种情况： 由面面平行的性质得/ ,则 = 可求得 的长为 24 或 24 5 . 5. 设, 是两条丌同的直线, 是两个丌同的平面,则/ 的一个充分条件是( ) A. 存在一条直线,/,/ B. 存在一条直线, ,/ C. 存在两条平行直线, , ,/,/ D. 存在两条异面直线, , ,/,/ D 解析对于选项 ,若存在一条直线,/,/ ,则/ 或 不 相交,若/ ,则存在一条直线 ,使得 /,/ ,所以选项 的内容是/ 的一个必要条件;同理,选项 , 的内容也是/ 的
15、一个必要条件而丌 是充分条件;对于选项 ,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有/ ,所以选项 的内容是/ 的一个充分条件,故选 . 6. 如图所示,在三棱柱 中,点, 分别为, 的中点, 为 的重心.从 , , 中取一点作为 ,使得该棱柱恰有 2 条棱不平面 平行,则 为( ) C A. B. C. D. 解析取 的中点 ,连接, ,则 = / 1 2 = / ,得四边形 为平行四边形,若 = ,则 / ,故不平面 平行的棱超过 2 条;/ / ,若 = 或 = ,则平面 不平面 为同一平面,不平面 平行的棱只有 ,丌满足条件;连接 ,则/ ,若 = ,则, 不平面
16、平行.故选 . 7. 下列命题正确的是( ) A. 若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行 B. 若一条直线不两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 C. 若一条直线不两个相交平面都平行,则这条直线不这两个平面的交线平行 D. 若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行 C 解析 选项中两条直线可能平行也可能异面或相交, 错误;对于 选项,如图所示,在正方体 1111 中,平面11 和平面11 不11 所成的角相等,但这两个平面垂直, 错误; 选项中两平面也可能相 交, 错误.故选 . 8. 如图所示,在空间四边形 中,点, 分别为边, 上的点,且: = : = 1:4 ,又点, 分别
17、 为, 的中点,则( ) B A. / 平面 ,且四边形 是矩形 B. / 平面 ,且四边形 是梯形 C. / 平面 ,且四边形 是菱形 D. / 平面 ,且四边形 是平行四边形 解析由 : = : =1:4 知,/ ,且 = 1 5 . 平面 , 平面 , / 平面 . 又点 , 分别为 , 的中点, / 且 = 1 2 , / 且 ,故四边形 是梯形.故选 . 9. 已知, 表示两条丌重合的直线, 表示三个丌重合的平面,给出下列命题,其中正确的是( ) A. 若 = , = ,且/ ,则/ B. 若, 相交且都在, 外,/,/,/,/ ,则/ C. 若/,/ ,则/ D. 若 ,/, =
18、,则/ 二、多项选择题 BD 解析 不 也可能相交, 错误;设, 确定的平面为 ,依题意,得/,/ ,故/ , 正确; 不 也可能 相交, 错误;由线面平行的性质定理可知, 正确.故选 . 10. 如图所示, 为矩形 所在平面外一点,矩形对角线的交点为, 为 的中点,给出以下结论,其中正确 的是( ) ABC A. / B. / 平面 C. / 平面 D. / 平面 解析由题意知, 是 的中位线,则/ , 正确; 平面, 平面, / 平面 , 正确;同理,可得/ 平面 , 正确; 不平面 和平面 都相交, 错误.故选 . 三、填空题 11. 如图所示,在正方体 1111 中, = 2, 为 的
19、中点,点 在 上,若/ 平面1 ,则 = . 2 解析根据题意,因为/ 平面1 ,所以/ .又 是 的中点,所以 是 的中点.因为在 中, = = 1 ,故 = 2 . 12. 如图所示,在棱长均相等的四棱锥 中, 为底面正方形的中心, 分别为侧棱, 的中点,有 下列结论： / 平面 ; 平面/ 平面 ; ; 直线 不 所成角的大小为90 . 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号） 解析如图所示,连接 ,易得/ ,所以/ 平面 ,正确.同理/ ,所以平面/ 平面 ,正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以2+2= 2+2= 2 ,所以 ,又/ ,所以 ,正确.由于, 分别为侧棱, 的中点
20、,所以/ ,又四边形 为正方形,所以/ , 又三角形 为等边三角形,所以 = 60 ,所以直线 不 所成的角即 ,错误.故正确的结论为 . 四、解答题 13. 如图所示,四边形 为矩形, 平面, = = = 2, 为 上的点,且 平面 . （1）求三棱锥 的体积; 答案 平面,/ . 平面 .又 平面, . 平面, 平面 , . 平面 . 又 平面, .又 = = 2 , = 2 2 ,则点 到平面 的距离为 2 . = = 1 3 1 2 2 2 2 2 = 4 3 . 答案存在这样的点. 如图所示,在 中,过点 作/ 交 于点 ,在 中,过点 作/ 交 于点 ,连接 ,则由比例关系易得 =
21、 1 3 . /, 平面, 平面 , / 平面 . 同理,/ 平面 , 又 = , 平面/ 平面 . 平面, / 平面 . 点 为线段 上靠近点 的一个三等分点. （2）设 在线段 上,且满足 = 2 ,则线段 上是否存在一点 ,使得/ 平面 ? 14. 如图所示,四棱锥 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为2 17 .点, 分别是棱 , 上共面的四点,平面 平面,/ 平面 . （1）证明：/ ; 答案证明：因为/ 平面, 平面 ,且平面 平面 = ,所以/ . 同理可证/ ,因此/ . 答案解：如图所示,连接 , 交于点 , 交 于点 ,连接 , . 因为 = , 是 的中点,所以 ,同理可得 . 又 = ,且 , 都在底面内,所以 底面 . 又平面 平面 ,且 平面 ,所以 / 平面 . 因为平面 平面 = , 所以 / ,且 底面 ,从而 , 所以 是梯形 的高. 由 =8, =2 ,得 : = : =1:4 ,从而 = 1 4 = 1 2 ,即 为 的中点. 由 / 得 = 1 2 ,即 是 的中点,且 = 1 2 =4 . 由已知可得 =4 2 , =22= 6832 =6 ,所以 =3 . 故四边形 的面积 = + 2 = 4+8 2 3= 18 . （2）若 = 2 ,求四边形 的面积.
