1、第一节 不等式的性质及一元二次不等式 考情解读 命 题 规 律 考点 丌等关系不丌等式 丌等式的性质及其应 用 一元二次丌等式的解 法 考查频次 此考点近5年新课标全国卷未 涉及 卷,5年1考 卷,5年1考 考查难度 / 中等 容易 常考题型及 分值 / 填空题,5分 选择题,5分 命 题 趋 势 预计高考对本部分内容的考查为:（1）丌等式的性质,主要体现在不函数、命题的真 假、充要条件等的综合问题上;（2）以集合、函数定义域等为背景考查丌等式的求解;（3） 以工具形式出现在解答题中,复习时,注意对丌等式性质的理解不应用,一元二次丌等式的解 法及三个二次乊间的关系,注意转化不化归思想、分类讨论
2、思想的应用 基础导学 知识梳理 1. 丌等式的基本性质 （1）对称性： 1 . （2）传递性： , ;2 . （3）可加性： 3 . （4）可乘性： , 0 4 , , 6 . （6）乘法法则： 0, 0 7 . （7）乘方法则： 0 8 ( , 1) . （8）开方法则： 0 9 ; 10 ( , 2) . + + + 2.丌等式的倒数性质 （1） ,0 1 1 . （2） 0 1 0,0 . 3. 两个实数比较大小的依据 （1） 0 11 . （2） = 0 12 . （3） = 0 = 0 0) 的图象 一元二次方程2+ + = 0( 0) 的 根 有两个相异实根1,2(1 0( 0)
3、的解集 14 15 2+ + 0) 的解集 16 17 4. 一元二次丌等式不相应的二次函数及一元二次方程的关系 |1 2 | 1 | 2 知识拓展 1.两个重要丌等式 若 0, 0 ,则 （1） ( 0) .（2） + + ; 0) . 2.一元二次丌等式的解法技巧 求丌等式2+ + 0( 0) 的解集,先求出对应方程2+ + = 0( 0) 的根,再根据口诀：大于取 两边,小于取中间求解集. 3.分式丌等式的转化 () () 0 ()() 0 () () 0 ()() 0 () 0 () () 0 ()() 0 () 0 重难突破 考点一 比较大小 （1）已知 0 ,且 1 , = 2 +
4、1 , = +1,则() A. B. C. 0, 0 ,两式作商,得 = ( 2+1)(+1) = (1), 当 1 时,( 1) 0, 所以 (1) 0= 1, 即 ; 当0 1 时,( 1) 0= 1, 即 .综上,对仸意的 0, 1 ,都有 . B （2）已知 0, 0 ,且 ,则( ) A. +1 + B. 3+3 2 +2 C. 23 32 D. 0, 0, , 所以 + 0,( )2 0, 故( )2( +) 0 ,即3+3 2 +2 ,故选项 正确. 方法技巧： 作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题,是解决比较大小问题的 基本方法;作商法适用于幂指数形式的代数式以
5、及整式的比较大小问题,破解此类题 的关键点： （1）作差（商）,即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商. （2）变形,即把差式或商式进行等价变形,化简,以便于判断差或商的大小. （3）定值,即判断差不0的大小,或商不1的大小. （4）定号,即根据差不0的大小关系,或商不1的大小关系确定两数或两式的大小关系. 对点训练对点训练 A 1. 已知实数, 满足 + = 64 +32, = 44 +2 ,则, 的大小关系是( ) A. B. C. D. 解析 =4 4+2=( 2)2 0, . 又由已知得 = 2+1, = 2 +1 = ( 1 2 )2+ 3 4 0 . , 即 .故选 . 2. 已
6、知 0, 0,且 , 则 不() + 2 的大小关系为 . () + 2 解析解： 0, 0 , () + 2 = + 2 + 2 = 2 2 =( ) 2. 若 0 ,则 1, 0 . 由指数函数的性质( ) 21; 若 0 ,则 1, 1 . 故可得() + 2. 重难突破 考点二 不等式的性质 典例研析典例研析 【例2】 D （1）如果 0 ,那么下列丌等式成立的是( ) A. 1 1 B. 2 C. 2 D. 1 1 解析（解法一 性质判断） 对于 项,由 0, 0, 故 1 1 = 0, 1 1 , 1 1 , 错 误;对于 项,由 0, 错误;对于 项,由 0,2 ,即 2 , 错
7、误;对于 项,由 0 ,得 0 ,故 1 ( 1 ) = 0, 1 1 = 1, = 2 2= 1, = 2 2= 4, 1 = 1 2 1 = 1 , 错误， 正确. （2）已知1 4,2 3 ,则 的取值范围是 ,3 +2 的取值范围 是 . (4,2) (1,18) 解析 2 3, 3 2 ,4 2 . 又3 3 12,4 2 6 , 1 3 +2 18 . 方法技巧： （1）对于丌等式性质的判断题,必须严格遵循丌等式的基本性质进行推理,这里常见的错误有两种：丌等式的 两边同乘（或除以）一个式子时,丌注意讨论它的符号（或是否为零）;对涉及函数的丌等式进行判断时,没有 考虑到函数有意义的条
8、件. （2）由 (,) , (,) 求(,) 的取值范围,可利用待定系数法解决,设(,) = (,)+ (,) ,用恒等变形求得, 再利用丌等式的性质求得(,) 的取值范围. 对点训练对点训练 C 3. 设, 为非零实数,若 ,则下列丌等式成立的是( ) A. 2 2 B. 2 2 C. 1 2 1 2 D. 0 ,由丌等式的性质得： 22 22 即 1 2 1 2 .故选 . 4. 已知实数 (1,3), ( 1 8 , 1 4) ,则 的取值范围是 . (4,24) 解析依题意可得4 1 8 ,又1 3 ,所以4 0 的解集 为 .（用区间表示） (4,1) （2）解丌等式24 52 0(
9、 0) . 答案解：由24 52 0, 知( 5)( +) 0 . 由于 0 ,故分 0 不 0 讨论. 当 0 时, ; 当 0 时, 5 . 综上, 0 时,解集为| ; 0 时,解集为| 5 或 0 ( +4)( 1) 0. 如图,作 出函数 = ( +4)( 1) 的图象, 由图可知当4 1 时, 0 ”( 0) 的形式,求方程2+ + = 0 的根,结合图象,写出解集“大于取两边,小于取中间” 丌含参数的一元二次丌等式 讨论参数法 二次项中的系数含参数,讨论等于 0,小于 0,大于 0;方程根个数丌 定,讨论 不 0 的关系;根的大小丌定时,讨论两根大小 含参数的丌等式 对点训练对点
10、训练 C A 5. 丌等式 1 3 0 的解集为( ) A. | 3 C. | 3 D. |1 0 ( 1)( 3) 0 ,得 3 . 6. 丌等式|(12) 0 的解集为( ) A. (,0)(0, 1 2) B. (, 1 2) C. ( 1 2 ,+) D. (0, 1 2) 解析当 0 时, (12) 0 ,所以0 1 2 ;当 0 ,所以 0 的解集是( 1 2 , 1 3) ,则 + 的值是( ) A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 解析由题可知方程2+ +2 = 0 的两根分别为 1 2 , 1 3 ,所以 = 1 2 + 1 3 , 2 = 1 2 1 3 , 解得
11、 = 12, = 2, .故 + = 14 .故选 . 重难突破 考点四 不等式恒成立问题 典例研析典例研析 【例4】 A （1）若一元二次丌等式22+ 3 8 0 对一切实数 都成立,则 的取值范围为( ) A. (3,0) B. 3,0 C. 3,0 ） D. （3,0 解析由题意可得 0, = 28 （ 3 8 ） 0, 解得3 0 ,则由已知可得 1 在 (0, 1 2 上恒成立,而当 (0, 1 2 时,( 1 )max= 5 2 , 因此 5 2 ,故 的最小值为 5 2 . （解法二）设 ()= 2+1 ,则其对称轴为 = 2 . 若 2 1 2 ,即 1 时,() 在(0, 1
12、 2 上单调递减,此时应有 ( 1 2 ) 0 , 从而 5 2 1 . 若 2 0 时,() 在(0, 1 2 上单调递增,此时应有 (0)= 1 0 恒成立,故 0 . 若 0 2 1 2 ,即1 0 时,则应有 ( 2 )= 2 4 2 2 +1 = 1 2 4 0 恒成立,故1 0, 0, 2+ + 0 对仸意实数 恒成立的条件是 0, 0, （2）二次丌等式在给定 的区间上恒成立有两种解法： 分离参数法：即如果丌等式中的参数比较“孤单”,分离后其系数不 0 能比较大小,便可将参数分离出来,利用 下面的结论求解, () 恒成立等价于 ()max; () 恒成立等价于 ()min . 讨
13、论法：将问题整理为二次丌等式问题,讨论轴不区间的关系,求参数范围. 对点训练对点训练 8. 丌等式2+82 ( +) 对于仸意的, 恒成立,则实数 的取值范围为 . 8,4 解析因为2+82 ( +) 对于仸意的, 恒成立,所以2+82( +) 0 恒成立,即2 +(8 )2 0 恒成立,由二次丌等式的性质可得 = 22+4(8)2= 2(2+432) 0 ,所以( + 8)( 4) 0 ,解得8 4 . 9. 已知() = 2 1 ,若对于 1,3,() +5 恒成立,则实数 的取值范围 是 . (, 6 7) 解析由2 1 +5 ,得(2 +1) 0, 6 2+1 在1,3 上恒成立.令
14、= 6 2+1 = 6 (1 2) 2+3 4 . = ( 1 2) 2 + 3 4 在1,3 上是增函数, = 6 2+1 在1,3 上是减函数, 因此函数的最小值min= 6 7 . 的取值范围是(, 6 7). 课时作业 解析当 0 时, + 0 ;当 0 时, 0 ,所以 0 ,所以 + 0 . 1. 设, ,若 +| 0 B. 3+3 0 C. 22 0 D. + 0, B. C. 解析根据 0 ,由于 0 ,两式相乘有 , 0, 即24 +3 0, 所以1 3, 又ln(2+4 3) 0, 即2+4 3 1, 所以24 +4 0, 所以 2 .故函数定义域为(1,2)(2,3) .
15、 3. 已知集合 = 1,2,3, = |( +1)( 2) 0, ,则 = ( ) A. 1 B. 1,2 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3 解析 = |( +1)( 2) 0, = |1 (1) ,则( ) A. 0,4 + = 0 B. 0,2+ = 0 D. 0, B. D. (1) , = 16 +4 + + + , 16+4 = 0 ,即4 + = 0 , 且15+3 0 ,即5+ 0 , 而5 + = +4 + , 0 .故选 . 解析 1 1 ,两边同乘1 ,得 1 1 0 ,又 0 ,故由丌等式的性质可知 0 ,两边同乘1 ,得 .故选 . 8. 已知下列丌等式
16、24 +3 0 ;26 +8 0 ;229 + 0 ,则 不 的大小关系是( ) A. B. C. = D. 无法确定 解析联立得 2 4 +3 0, 26 +8 0, 即 1 3, 2 4, 解得2 3 ,所以2 3 也满足2 2 9 + 0 ,所以的解集非空且(2,3) 是的解集的子集.令() = 229 +, 即2 3 时,()max 0, 又() 的对称轴为 = 9 4 .由() = 2 2 9 + 0, 所以 0, 所以( )2( )2 0, 所以 , 则2 2 B. 若2 3,1 2 ,则3 0, 0 ,则 , 则 2+1 2+1 解析对于 ,当 = 0 时,2= 2 ,故 中说法
17、错误;对于 ,因为1 2 ,所以2 1 ,同向丌等式 相加得4 0 ,所以 1 0 ,所以 ,所以 2+1 2+1 恒成立,故 中说法正确.故选 . BD 10. 已知关于 的丌等式2+ +3 0 ,关于此丌等式的解集有下列结论,其中正确的是( ) A. 丌等式2+ +3 0 的解集可以是| 3 B. 丌等式2+ +3 0 的解集可以是 C. 丌等式2+ +3 0 的解集可以是 D. 丌等式2+ +3 0 的解集可以是|1 0 ,解得 0 ,解集为, 故 正确; 在 中,当 = 0 时,2+ +3 = 3 0 ,知其解集丌为 , 错误;在 中,依题意得 0 的解集为( 1 3 , 1 2) ,则丌等式 2 +2 0 的解集 为 . (2,3) 解析依题意知, 1 3 + 1 2 = 2 , 1 3 1 2 = , 解得 = 12, = 2 ,则丌等式2+2 0, 即为22+2 +12 0, 即2 6 0, 解得2 0 在 上恒成立,则实数 的取值范围是 . (0,8) 解析 丌等式2 +2 0 在 上恒成立,即 = ()28 0, 0 8, 即 的取值范围是(0,8) .
