1、北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 1 页(共 17 页) 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2021.1 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上 作答无效。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项。 (1)已知集合 | 13Axx , |04Bxx,则AB (A)(0,3) (B)( 1,4) (C)(0,4 (D)( 1,4 (2)在复平面内,复数z所对应的点的坐标为(
2、1, 1),则z z (A)2 (B)2i (C)2 (D)2i (3)已知( )f x为奇函数,其局部图象如图所示,那么 (A)(2)2f (B)(2)2f (C)(2)2f (D)(2)2f (4)已知(4,8)A,(2,4)B,(3, )Cy三点共线,则y的值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (5)已知双曲线 22 22 1 xy ab 的焦距等于实轴长的2倍,则其渐近线的方程为 (A)3yx (B)2yx (C) 3 3 yx (D) 1 2 yx (6)已知半径为 2 的圆经过点(1,0),其圆心到直线34120 xy的距离的最小值为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3、 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 2 页(共 17 页) (7)已知函数( )sin2 , , f xx xa b,则“ 2 ba ”是“( )f x的值域为 1,1”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式: 2 log (1) S CW N ,其中C为最大数据传 输速率,单位为bit / s;W为信道带宽,单位为 Hz; S N 为信噪比. 香农公式在 5G 技术中 发挥着举足轻重的作用. 当99 S N ,2000HzW 时,最大数据传输速率记
4、为 1 C;当9999 S N ,3000HzW 时,最 大数据传输速率记为 2 C,则 2 1 C C 为 (A)1 (B) 5 2 (C)15 4 (D)3 (9)设函数( )f x和( )g x的定义域为D,若存在非零实数cD,使得( )( )0f cg c,则称函数 ( )f x和( )g x在 D 上具有性质 P. 现有三组函数: ( )f xx, 2 ( )g xx ( )2 x f x ,( )exg x 2 ( )f xx ,( )2xg x 其中具有性质 P 的是 (A) (B) (C) (D) (10)在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中,,M N分别为
5、111 ,BD BC的中点,点P在正方体的 表面上运动,且满足MPCN,则下列说法正确的是 (A)点P可以是棱 1 BB的中点 (B)线段MP的最大值为 3 2 (C)点P的轨迹是正方形 (D)点P轨迹的长度为2+ 5 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 3 页(共 17 页) 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11) 5 (2)x 的展开式中x的系数是_. (12)数列 n a是公差为2的等差数列,记 n a的前n项 和为 n S,且 134 ,a a a成等比数列,则 1 a _; n S _.
6、 (13)一个三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥中最长棱的 长度为_. (14)已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F,过点( 1,4)M 作y轴的垂线交抛物线C于点 A, 且满足|AFAM,则抛物线C的方程为_;设直线AF交抛物线C于另一点B, 则点B的纵坐标为_. (15)炎炎夏日,冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份前 6 天每天的供应量和销售量,结果如下表: 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记( )V t为6月t日冰激凌的供
7、应量,( )W t为6月t日冰激凌的销售量,其中1,2,30t . 用销售指数 ( )(1)(1) ( , )100% ( )(1)(1) W tW tW tn P t n V tV tV tn ,(1,)nnN来评价从6月t 日开始连续n天的冰激凌的销售情况. 当1n 时,( ,1)P t表示6月t日的日销售指数. 给出下列四个结论: 在6月1日至6日这6天中,(4,1)P最小,(5,1)P最大; 在6月1日至6日这6天中,日销售指数越大,说明该天冰激凌的销售量越大; (1,3)(4,3)PP; 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和 销售量对应相等,则
8、对任意1,2,3,4,5,6,7t,都有( ,6)(1,12)P tP. 其中所有正确结论的序号是_. 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 4 页(共 17 页) 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (16) (本小题 13 分) 如图,在直三棱柱 111 ABCABC中,2ABAC, 1 4AA , ABAC, 1 BEAB交 1 AA于点E,D为 1 CC的中点. ()求证:BE 平面 1 ABC; ()求二面角 1 CABD的余弦值. (17) (本小题 13 分) 已知ABC的面积为4 2,再从条件、条件这两
9、个条件中选择一个作为已知,求: ()b和c的值; ()sin( )AB 的值 条件:6a , 1 cos 3 C ;条件:AC, 7 cos 9 B . 注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分 (18) (本小题 14 分) 防洪工程对防洪减灾起着重要作用,水库是我国广泛采用的防洪工程之一,既有滞洪作用又 有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末(10 月 1 日)水库的蓄水量数据如下: 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量(亿立方米) 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4
10、 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 ()从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据,求这两年蓄水量数据之差的 绝对值小于 1 亿立方米的概率; ()从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据,设X为蓄水量超过 33 亿立方米 的年份个数,求随机变量X的分布列和数学期望; ()由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大?(结论不要求证明) 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 5 页(共 17 页) (19) (本小题 15 分) 已知函数 3 ( )f xxx. ()求曲线( )yf x在点(
11、1,(1)f处的切线方程; ()求函数( )f x的单调区间和极值; ()设函数 ( ) ( )2 sin f x t x xx ,(0, )x,试判断( )t x的零点个数,并证明你的结论. (20) (本小题 15 分) 已知椭圆 22 :1 42 xy C. ()求椭圆C的离心率和长轴长; ()已知直线2ykx与椭圆C有两个不同的交点,A B,P为x轴上一点. 是否存在实数k, 使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出k的值及点P的坐标; 若不存在,说明理由. (21) (本小题 15 分) 对于数列 n a,定义 1* 1 1, 1,. nn n nn aa a aa
12、 设 * n a的前n项和为 * n S. ()设 2 n n n a ,写出 * 1 a, * 2 a, * 3 a, * 4 a; ()证明: “对任意 * nN,有 * 11nn Saa ”的充要条件是“对任意 * nN,有 1 | 1 nn aa ” ; ()已知首项为 0,项数为1(2)mm的数列 n a满足: 对任意1nm且 * nN,有 1 1,0,1 nn aa ; * mm Sa. 求所有满足条件的数列 n a的个数. 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 6 页(共 17 页) 北京市西城区 2020 2021 学年度第一学期期末试卷 高三数
13、学参考答案 2021.1 一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) ( 1 )D ( 2 )A ( 3 )C ( 4 )C ( 5 )A ( 6 )B ( 7 )B ( 8 )D ( 9 )B (10)D 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) (11)80 (12)8, 2 9nn (13)2 3 (14) 2 4yx,1 (15) 注:第(12)和(14)题第一空 3 分,第二空 2 分.第(15)题全部选对得 5 分,不选或有错选得 0 分,其他得 3 分. 三、解答题(共 6 小题,共 85 分) (16) (共 13 分) 解: ()因为三棱柱 1
14、11 ABCABC为直三棱柱,所以 1 AA 平面ABC, 所以 1 AAAC. 1 分 因为ACAB, 1 ABAAA,所以AC 平面 11 AAB B. 3 分 因为BE 平面 11 AAB B,所以ACBE.4 分 因为 1 BEAB, 1 ACABA, 所以BE 平面 1 ABC. 5 分 ()由()知 1 ,AB AC AA两两垂直, 如图建立空间直角坐标系A xyz 则 (0 0 0)A , ,, 1(2,0,4) B , (0,2,2)D , (2,0,0)B . 7 分 设(0,0, )Ea,所以 1 =(0 2, 2)=(2, 0, 4)=( 2 0, )ADABBEa,,,
15、, 因为 1 ABBE,所以440a ,即1a . 8 分 所以平面 1 ABC的一个法向量为=( 2 0,1)BE , 9 分 设平面 1 AB D的法向量为( , , )x y zn , 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 7 页(共 17 页) 所以 1 0, 0. AD AB n n 所以 220, 240. yz xz 即 , 2 . yz xz 10 分 令1z ,则2,1xy, 所以平面 1 AB D的一个法向量为(2,1, 1)n. 11 分 所以 530 cos,= 6|65 BE BE BE n n n . 12 分 由已知,二面角 1 C
16、ABD为锐角, 所以二面角 1 CABD的余弦值为 30 6 . 13 分 (17) (共 13 分) 若选择条件若选择条件: 解: ()在ABC中,因为 1 cos 3 C , 所以(, ) 2 C , 2 2 2 sin1cos 3 CC. 2 分 因为 1 sin4 2 2 SabC,6a ,所以2b . 4 分 由余弦定理, 222 2cos48cababC, 5 分 所以4 3c . 6 分 ()由正弦定理 sinsinsin abc ABC ,可得 624 3 sinsin2 2 3 AB . 7 分 所以 6 sin 3 A , 6 sin 9 B . 9 分 因为,(0,) 2
17、 A B ,所以 3 cos 3 A, 5 3 cos 9 B . 11 分 所以sin()sincoscossinABABAB 65 3364 2 39399 . 13 分 若选择条件若选择条件: 解: ()在ABC中,因为AC,所以ac. 因为 7 cos 9 B ,所以(, ) 2 B , 2 4 2 sin1cos 9 BB. 2 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 8 页(共 17 页) 因为 2 114 2 sin4 2 229 SacBc, 所以3 2ac. 4 分 由余弦定理, 222 2cos64bacacB,所以8b . 6 分 ()由
18、正弦定理得 sinsin ab AB , 所以 3 24 21 sinsin 893 a AB b . 8 分 因为(0,) 2 A ,所以 2 2 2 cos1sin 3 AA. 10 分 所以sin()sincoscossinABABAB 172 24 223 () 393927 . 13 分 (18) (共 14 分) 解: ()设事件 A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米” , 从 2010 年到 2019 年的样本数据中随机选取连续两年共有 9 种可能,2 分 由图表可知,事件 A 包含“2011 年和 2012 年” , “2014 年和 2015 年” , “2
19、018 年和 2019 年”. 3 分 所以 31 ( ) 93 P A . 4 分 ()由表可知,2014 到 2019 年的样本数据中,蓄水量超过 33 亿立方米有 2 年,蓄水量不 超过 33 亿立方米有 4 年. 随机变量X的所有可能取值为 0,1,2. 5 分 02 24 2 6 CC62 (0) C155 P X , 11 24 2 6 CC8 (1) C15 P X , 20 24 2 6 CC1 (2) C15 P X . 8 分 所以随机变量X的分布列为: X 0 1 2 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 9 页(共 17 页) 9 分 所
20、以 2812 ()012 515153 E X . 11 分 ()从 2016 年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. 14 分 (19) (共 15 分) 解: ()由 3 ( )f xxx,得 2 ( )31fxx 1 分 因为(1)0f,(1)2 f , 3 分 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为22yx. 4 分 ()令( )0fx,得 2 310 x ,解得 3 3 x 或 3 3 x 当x变化时,( )f x和( )fx变化情况如下表: x 3 (,) 3 3 3 33 (,) 33 3 3 3 (,) 3 ( )fx 0 0 ( )f x 2 3 9 2 3
21、9 7 分 所以,( )f x的单调递减区间是 33 (,) 33 ,单调递增区间是 3 (,) 3 , 3 (,) 3 ; ( )f x在 3 3 x 处取得极大值 2 3 9 ,在 3 3 x 处取得极小值 2 3 9 . 9 分 ()(0, )x,( )0t x ,即 2 1 20 sin x x , 等价于 2 1 2sin0 xx . 10 分 设 2 ( )12sing xxx ,(0, )x,则( )22cosg xxx. 当, ) 2 x 时, P 2 5 8 15 1 15 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 10 页(共 17 页) ( )
22、0g x,( )g x在区间, ) 2 上单调递增. 又 2 ( )30 24 g , 2 ( )10g , 所以( )g x在区间, ) 2 上有一个零点. 11 分 当(0,) 2 x 时 , 设 ( )( )22cosh xg xxx. ( )22sin0h xx,所以( )g x在区间(0,) 2 上单调递增. 12 分 又(0)20 g ,( )0 2 g , 所以存在 0 (0,) 2 x ,使得 0 ()0g x. 所以,当 0 (0,)xx时,( )0g x,( )g x单调递减; 当 0 (,) 2 xx 时,( )0g x,( )g x单调递增. 13 分 又(0)10g
23、, 2 ( )30 24 g , 所以( )g x在区间(0,) 2 上无零点. 14 分 综上所述,函数( )t x在定义域内只有一个零点. 15 分 (20) (共 15 分) 解: ()由题意: 2 4a , 2 2b ,所以2a . 1 分 因为 222 abc,所以 2 2c ,2c . 2 分 所以 2 2 c e a . 3 分 所以椭圆C离心率为 2 2 ,长轴长为4. 4 分 ()联立 22 2, 1 42 ykx xy 消y整理得: 22 (21)840kxkx. 5 分 因为直线与椭圆交于,A B两点,故0,解得 2 1 2 k . 6 分 北京市西城区 20202021
24、 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 11 页(共 17 页) 设 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy,则 12 2 8 21 k xx k , 12 2 4 21 x x k .8 分 设AB中点 00 (,)G xy, 则 12 0 2 4 221 xxk x k , 00 2 2 2 21 ykx k , 故 22 42 (,) 21 21 k G kk . 9 分 假设存在k和点( ,0)P m,使得PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形, 则PGAB,故1 PGAB kk , 所以 2 2 2 21 1 4 21 k k k m k ,解得 2 2 21 k m k
25、,故 2 2 (0) 2+1 k P k ,.10 分 又因为 2 APB ,所以0PA PB. 所以 1122 (,) (,)0 xm yxm y,即 1112 ()()0 xm xmy y. 整理得 22 1212 (1)(2)()40kx xkm xxm. 所以 22 22 48 (1)(2)40 2121 k kkmm kk , 12 分 代入 2 2 21 k m k ,整理得 4 1k ,即 2 1k . 14 分 当1k 时,P点坐标为 2 ( ,0) 3 ;当1k 时,P点坐标为 2 (,0) 3 . 此时,PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形. 15 分 (21) (共 1
26、5 分) 解: ()因为 1 1 2 a , 2 1 2 a , 3 3 8 a , 4 1 4 a , 5 5 32 a , 根据题意可得 * 1 1a , * 2 1a , * 3 1a , * 4 1a . 4 分 ()必要性:对1n ,有 * 121 Saa,因此 * 2111 |1aaSa. 5 分 对任意 * nN且2n,有 * 11nn Saa , * 11nn Saa , 两式作差,得 * 11nnnn SSaa ,即 * 1nnn aaa , 因此 * 1 |1 nnn aaa . 7 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 12 页(共 1
27、7 页) 综上,对任意 * nN,有 1 | 1 nn aa . 充分性:若对任意 * nN,有 1 | 1 nn aa ,则 * 1nnn aaa , 所以 * 122132111 ()()() nnnnn Saaaaaaaaaaa . 综上, “对任意 * nN, * 11nn Saa ”的充要条件是“对任意 * nN, 1 | 1 nn aa ”. 10 分 ()构造数列 n b: 1 0b , 11 1 1 ,| 1, 1,0. nnnn nn nn aaaa bb aa 则对任意1nm且 * nN,有 * nn ba, 1 | 1 nn bb . 结合()可知, * 1212111m
28、mmmm Saaabbbbbb . 又 * mm Sa,因此 1mm ba . 设 21321 , mm aa aaaa 中有k项为0, 则 1121321 ()()() mmm aaaaaaaa 121321 ()()() mm bbbbbbbk 1m bk m ak. 即 1mm aak . 因为 1 1,0,1 mm aa ,所以0k 或1. 13 分 若0k ,则 1 0 mm aa , 与 21321 , mm aa aaaa 中有0项为0,即0k 矛盾,不符题意. 若1k ,则 1 1 mm aa . 所以,当 1 1 mm aa , 21321 , mm aa aaaa 中有一项
29、为0,其余2m 项为1 时,数列 n a满足条件. 21321 , mm aa aaaa 中有一项为0,共1m 种取法;其余2m 项每项 有1或1两种取法, 所以,满足条件的数列 n a的个数为 2 (1) 2mm . 15 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 13 页(共 17 页) 评分细则 第(16)题 ()不写 1 ABAAA 1 ACABA 不扣分 不写 11 BEAAB B 平面 扣 1 分 ()不交代AB,AC, 1 AA两两垂直 扣 1 分 (0,0,0)A, 1(2,0,4) B,(0,2,2)D,(2,0,0)B,(0,2,0)C对 2
30、 个给 1 分 没有利用第(1)问结论求平面 1 ABC法向量相应给 2 分 第(17)题 选择条件: ()不写在ABC中,不写, 2 C 不扣分 其他类似的地方,同样处理 2 2 2 sin1 cos 3 CC 公式对答案不对给 1 分 答案正确没有公式不扣分. 其他类似的地方,同样处理 第(18)题 ()只写结论,没有文字说明,只给结论 1 分. () 2812 ( )012 515153 E x 过程 1 分,结论 1 分,不写过程扣 1 分,过程中不写 2 0 5 扣 1 分. 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 14 页(共 17 页) 第(19)题
31、 ()切线方程不化简不扣分. ()解方程两根正确给 1 分 列表正确给 2 分 单调区间出现错误扣结论 1 分,此处不重复扣分 极大值出现错误扣结论极大值 1 分,此处不重复扣分 极小值出现错误扣结论极小值 1 分,此处不重复扣分 不列表,通过解不等式得到正确结论,不扣分 ( )0fx正确 1 分 ( )0fx正确 1 分 ( )f x单调区间都正确 1 分 极大值正确 1 分 极小值正确 1 分 ()不讨论直接两次求导,按如下给分: ( )22cosg xxx正确给 1 分 (11 分) ( )22sin0h xx,所以( )g x在区间(0, )上单调递增 给 1 分(12 分) 以下按标
32、答给分,去掉 14 分得分点. 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 15 页(共 17 页) ()直接求导按如下给分 2 2 2sin(1)cos ( ) sin xxxx t x x 11 分 2 ( )2sin(1) cosm xxxxx 2 ( )(1) sin0m xxx,( )m x在(0, )上单增12 分 (0, )x时,( )(0)1 0m xm, 所以(0, )x时,( )0t x,( )t x在(0, )上单增.13 分 以下 2 分. 第(20)题 ()2a 给 1 分 2c 给 1 分 2 e 2 给 1 分 24a 给 1 分 ()消
33、y方程整理对 给 1 分 2 1 2 k 给 1 分 只写0不扣分 12 xx对 给 1 分 12 x x对给 1 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 16 页(共 17 页) 点G横、纵坐标都对 给 1 分 2 2 21 k m k 给 1 分 22 1 2121 212 ()2 ()40 x xm xxmk x xk xx 22 1 212 (1)(2)()40kx xkm xxm 22 22 48 (1)(2)40 2121 k kkmm kk 都可给 2 分 用 1 | 2 PGAB按如下给分: 22 1212 |1()4ABkxxx x 2 2 22 22 2 22 2 2 2 22 2 84 14 2121 6416(21) 1 (21) 3216 1 21 4121 . 21 k k kk kk k k k k k kk k 给 2 分 22 222 242 | 212121 kk PG kkk 22 222 4421 . (21)21 kk kk 给 1 分 2 1k ,1k 给 1 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 17 页(共 17 页) 第(21)题 () * 1 a, * 2 a, * 3 a, * 4 a 对 1 个给 1 分