2021届高三高考数学适应性测试八省联考考后仿真系列卷十（原卷+解析）.zip

2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷十十 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，则（ ） 1 ,ln1Ax xBxNx BACR)( A B 2 1,2 C D 2,31,2,3 2.在中，角，所对的边分别为，则“”是“为锐角三角形” ABCAABCabccos0bAcABCA 的（ ）条件 A充分必要B充分不必要 C必要不充分D既不充分也不必要 3.自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北重庆第一批共派出甲、乙、丙、 丁 4 支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则 甲、乙都在武汉的概率为（ ） AB 1 3 1 6 CD 2 9 1 18 4.函数 的图象大致为（ ） 2 1 sin 1 x f xx e A. B. C. D. 5.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间 的传统节日，某校在重阳节当日安排 6 位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排 2 人，则不同的分配方案数是（ ） A35B40 C50D70 6.设函数是定义在 R 上的奇函数，且，若，则（ 2 g xf xx 3xF xf x 11f 1F ） A. B. C. D. 4 3 7 3 8 3 1 3 7.已知数列的前项和为，满足， （均为常数） ，且设函数 n a nn S 2 n Sanbn, a b 7 2 a ，记，则数列的前项和为（ ） 2 ( )sin22cos 2 x f xx () nn yf a n y 13 AB 13 2 7 CD 713 8.已知实数，满足，则的大小关系为（ ） , ,a b cR ln 1 abc abc b eee ， , ,a b c A. B. C. D. abcacbbcabac 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.若复数，则（ ） 35 1 i z i A 17z Bz 的实部与虚部之差为 3 C 4zi Dz 在复平面内对应的点位于第四象限 10.如图，中，E 为 CD 的中点，AE 与 DB 交于 F，则下列叙述中， ABCDA 1, 2, 3 ABADBAD 一定正确的是（ ） A在方向上的投影为 0 BF AB B 12 33 AFABAD uuu ruu u ruuu r C 1AF AB uuu r uu u r D若，则 1 2 FAB 3 tan 3 11.已知函数（，） ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且 sinf xx 0 2 4 直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） 12 x A函数的最小正周期为 f x 2 B函数在区间上单调递增 f x , 6 12 C点是函数图象的一个对称中心 5 ,0 24 f x D将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个 f x 6 单位长度，可得到的图象 sin2g xx 12.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长 xOy 4,4M 2 20ypx p F 与抛物线相交于点，则下列结论正确的是 MFN A抛物线的准线方程为B 1x 17 4 MN C的面积为D OMNA 7 2 MFNFMF NF 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.在的二项展开式中的系数为_____________ 5 2 1 2x x 2 x 14.已知角满足，则____________ 1 sin 63 sin 2 6 15.设椭圆与双曲线的公共焦点为， 22 1 22 :10 xy Cab ab 22 2 22 :10,0 xy Cmn mn 12 ,F F 将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对 12 CC， 12 ,e eA 12 ,C CA 2 C 称点为，则 . 1 F 22 12 22 ee 16.已知函数 ln ( ) x f x x ，函数 ( )f x 的图象在点(1,0)处的切线方程为_________；若关于x的不等式 11 27 k x x 有正整数解，则实数k的取值范围是_________ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为， n a nn S 15 81a a 2 S 3 a 成等差数列 43 aS （1）求数列的通项公式； n a （2）若______，求的前项和，并求的最小值 nn ab nn P n P 从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题 数列满足：，（） ； n b 1 1 2 b 1 3 2 nn n bb nn N 数列的前项和（） ； n b n 2 n Tn n N 数列的前项和满足：（） n b n n T 65 nn Tb n N 注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分 18.请你在，外接圆半径为，这三个条件中任选一个，补 21AC AB 15 2 sin cos 2sin aC A bB 充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由. a 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且， ABCA , ,A B C, ,a b c sin2sin2sin0ABC ，________？ 2 sin3 sincBaC 注：若选择多个条件分别解答，则只按第一个解答计分. 19.如图 1，在平面五边形中，为等腰直角三角形， PABCDPAD ，点 E，F 分别为，的中点，将 APPD/ /ADBCADDC224ADDCBCPDAB 沿折到如图 2 的位置. PADAD （1）证明：平面； / /EFPBC （2）若二面角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. PADC60PABPBC 20.中国制造 2025是经国务院总理李克强签批，由国务院于 2015 年 5 月印发的部署全面推进实施制造 强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领制造业是国民经济的主体，是立国之 本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命 线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布 N（，2），并把质量差在（，+）内的产品为优等品，质量差在（+，+2）内的产品为 一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随 机抽取 1000 件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数 （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数 作为 的近似值， 用样本标准差 s 作为 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点 值代表） 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2），则：P（+） 0.6827，P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 （3）假如企业包装时要求把 3 件优等品球和 5 件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三 件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为 X，求 X 的分布列以及期望值 中国制造 2025是经国务院总理李克强签批，由国务院于 2015 年 5 月印发的部署全面推进实施制造强 国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领制造业是国民经济的主体，是立国之本、 兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制 造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布 N（，2），并把 质量差在（，+）内的产品为优等品，质量差在（+，+2）内的产品为一等品，其余范围内 的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测 得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数 （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数 作为 的近似值， 用样本标准差 s 作为 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点 值代表） 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2），则：P（+） 0.6827，P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 （3）假如企业包装时要求把 3 件优等品球和 5 件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三 件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为 X，求 X 的分布列以及期望值 21. 已知椭圆的离心率为，且经过点 22 22 1 xy ab (0)ab 3 2 3 (1,) 2 （）求椭圆的标准方程； （）设椭圆的上、下顶点分别为， 点是椭圆上异于的任意一点， 轴， 为垂足， ,A B P ,A BPQ yQ 为线段中点，直线交直线于点， 为线段的中点，若四边形的面 M PQ AM :1l y CNBCMOBN 积为 2，求直线的方程 AM 22.已知函数，其中 12 11 2 22 x f xxexx 2 4 cosln1g xaxxaxx aR （1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集； f x 0f x （2）用表示 m，n 的最大值，记，讨论函数的零点个数 max,m n max,F xfxg x F x2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷十十 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，则（ ） 1 ,ln1Ax xBxNx BACR)( A B 2 1,2 C D 2,31,2,3 【答案】B 【解析】由得，又，所以或 2， ln1x 0 xexN1x 1,2B 又，所以故选：B ), 1 ACR2 , 1)(BACR 【点睛】本题考查了对数不等式的解法、补集以及交集运算，属于基础题. 2.在中，角，所对的边分别为，则“”是“为锐角三角形” ABCAABCabccos0bAcABCA 的（ ）条件 A充分必要B充分不必要 C必要不充分D既不充分也不必要 【答案】C 【解析】中， ABCAcoscbAsinsincosCBA 即， sin()sincossincossincosABABBABA sincos0AB 因为，所以为锐角 sin0A cos0BB 当为锐角时，不一定为锐角三角形；当为锐角三角形时，一定为锐角 BABCAABCAB 所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件故选：C cos0bAcABCA 【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断,需注意判断充分必要条件的常见三种方法：定义法； 集合法；转化法属于基础题 3.自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北重庆第一批共派出甲、乙、丙、 丁 4 支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则 甲、乙都在武汉的概率为（ ） AB 1 3 1 6 CD 2 9 1 18 【答案】D 【解析】4 支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，共有 种情况，甲、乙都在武汉共种情况，故选:D 23 43 36nC A 2m 1 18 m P n 【点睛】本题考查了古典概型，涉及排列组合知识，属于基础题 4.函数 的图象大致为（ ） 2 1 sin 1 x f xx e A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 2 1 sin 1 x f xx e ， 22 1 sin1 sin 11 x xx e fxxxx e f e 函数 为偶函数，其图像关于 轴对称，故排除 C、D；当时， 2 1 sin 1 x f xx e y 2x ，故排除 B， 故选：A. 2 2 21 sin20 1 f e 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了利用函数的性质以及特值法判别图像，属于基础题. 5.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间 的传统节日，某校在重阳节当日安排 6 位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排 2 人，则不同的分配方案数是（ ） A35B40 C50D70 【答案】C 【解析】6 名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组 2 人另一组 4 人，或每组 3 人， 所以不同的分配方案为，故选:C 223 626 50C AC 【点睛】本题考查了排列组合，属于基础题. 6.设函数是定义在 R 上的奇函数，且，若，则（ 2 g xf xx 3xF xf x 11f 1F ） A. B. C. D. 4 3 7 3 8 3 1 3 【答案】C 【解析】是奇函数，即， g x gxg x 22 fxxf xx 即， 2 2fxf xx 11f 13f . 故选：C. 11 8 11333 3 Ff 【点睛】本题考查了利用函数的性质求函数值,属于基础题. 7.已知数列的前项和为，满足， （均为常数） ，且设函数 n a nn S 2 n Sanbn, a b 7 2 a ，记，则数列的前项和为（ ） 2 ( )sin22cos 2 x f xx () nn yf a n y 13 AB 13 2 7 CD 713 【答案】D 【解析】因为， 2 ( )sin22cossin2cos1 2 x f xxxx 由，得， 2 n Sanbn 2 2 1 1122 nnn SSanbna nb nanab na 又也满足上式，所以， 11 aSab2 n aanab 则为常数，所以数列为等差数列；所以， 1 2 nn aaa n a 1137 2aaa 111131131313 sin2cos1 sin2cos1yf af aaaaya 1111 sin2cos1 sin 22cos12aaaa 则数列的前项和为， n y 13 1213 .f af af a 记，则， 1213 .Mf af af a 13121 .Mf af af a 所以，因此故选 D 113 21326Mf af a 13M 【点睛】本题考查了先由数列的前项和确定数列是等差数列，得出为定值，然后结合诱导公式， n113 aa 推出为定值，最后利用倒序相加法求解,属于中档题. 113 yy 8.已知实数，满足，则的大小关系为（ ） , ,a b cR ln 1 abc abc b eee ， , ,a b c A. B. C. D. abcacbbcabac 【答案】D 【解析】，1b 0 eb b 0 ec c 0c 而，最小0,1abc 令，( ) ex x f x 1 ( )0 ex x fx 1x 在，( )f x(,1)A(1,) A ，即 ln 0 ee ab ab ln0a1a ， ln eee aab aab bac 综上：.故选：D.bac 【点睛】本题考查了构造函数,利用导数研究函数的单调性,比较大小,属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.若复数，则（ ） 35 1 i z i A 17z Bz 的实部与虚部之差为 3 C 4zi Dz 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】， 3513582 4 1112 iiii zi iii ，z 的实部为 4，虚部为，则相差 5， 2 2 4117z 1 z 对应的坐标为，故 z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以 AD 正确，故选：AD 41, 【点睛】本题考查了复数的运算以及复数的定义、模、几何意义,属于基础题 10.如图，中，E 为 CD 的中点，AE 与 DB 交于 F，则下列叙述中， ABCDA 1, 2, 3 ABADBAD 一定正确的是（ ） A在方向上的投影为 0 BF AB B 12 33 AFABAD uuu ruu u ruuu r C 1AF AB uuu r uu u r D若，则 1 2 FAB 3 tan 3 【答案】ABC 【解析】因为在中，在中，由余弦定理得 ABCDA 1,2, 3 ABADBAD ABD ，所以满足， 22222 +cos1 +2os22 1 2 c603BDABADBDADAB A 222 ABBDAD 所以，又 E 为 CD 的中点，所以， 2 ABD 1 2 AFBFAB EFDFDE 所以， 22 3 33 BFBD 2 222 2 321 1 33 AFABBF 对于 A 选项：在方向上的投影为，故 A 正确； BF AB 2 3 cos00 3 BFABF 对于 B 选项：，故 B 正确； 2212 + 3333 AFABBFABBDABBA ADABAD uuu ruu u ruu u ruu u ruuu ruu u ruu r uuu ruu u ruuu r 对于 C 选项：，故 C 正确； 211 11 321 3 AF AB uuu r uu u r 对于 D 选项：，设，所以，解得 2 3 tan 3 FAB 1 2 FAB 2 2tan2 3 tan 1tan3 FAB （负值舍去） ，故 D 不正确，故选：ABC 3+ 7 tan 2 【点睛】本题考查了由余弦定理求得，根据勾股定理得，再由平面几何知识得出 2 3BD 2 ABD ，对于 A 选项由向量数量积的几何意义可判断；对于 B 选项：根据向量的线性表示 1 2 AFBFAB EFDFDE 可判断；对于 C 选项由向量的数量积的定义可判断；对于 D 选项根据正切的二倍角公式可判断，属于基础 题. 11.已知函数（，） ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且 sinf xx 0 2 4 直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） 12 x A函数的最小正周期为 f x 2 B函数在区间上单调递增 f x , 6 12 C点是函数图象的一个对称中心 5 ,0 24 f x D将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个 f x 6 单位长度，可得到的图象 sin2g xx 【答案】AC 【解析】相邻两对称轴间的距离为 4 即，A 正确 24 T 2 T ， 2 2 T 4( )sin(4)f xx 是一条对称轴， 12 x 32 k 5 , 6 kkZ ， 2 6 ( )sin 4 6 f xx 在，B 错( )f x, 612 A ，时，4 6 xk , 244 k xk Z1k 5 24 x 是一个对称中心，C 对 5 ,0 24 图象上所有点横坐标伸长为原来的 2 倍变为( )f xsin 2 6 x 再向左平移个单位变为，D 错 6 sin 2sin 2sin2 666 xxx 故选:AC. 【点睛】本题考查了三角函数图像与性质、平移变换以及伸缩变换,属于基础题. 12.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长 xOy 4,4M 2 20ypx p F 与抛物线相交于点，则下列结论正确的是 MFN A抛物线的准线方程为B 1x 17 4 MN C的面积为D OMNA 7 2 MFNFMF NF 【答案】AD 【分析】根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论 p N 【解析】点在抛物线上， (4,4)M 2 2(0)ypx p 2 4242pp ，焦点为，准线为，对， 2 4yx(1,0) 1x A 因为，故，故直线为， (4,4)M 404 4 13 MF k MF 4 (1) 3 yx 联立或， 2 4 4 (1) 3 yx yx 2 161 (1)4 94 xxx 4x 1 ( 4 N 1) ，错， 45 2 p MF 15 424 p NF 525 5 44 MN B ，对， 25 4 MFNFMNMF NF D 的面积为故错，故选 OMNA 115 ()1 5 222 MN OFyy CAD 【点睛】本题考查了抛物线的定义及其几何性质,考查了直线与抛物线的位置关系,属于基础题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.在的二项展开式中的系数为_____________ 5 2 1 2x x 2 x 【答案】 80 【解析】因为展开式的第项为 5 2 1 2x x 1r ，令，则， 55 25 3 155 2112 rrrr rrrr r TCxxCx 532r1r 所以的二项展开式中的系数为故答案为: 5 2 1 2x x 2 x 4 1 5 1280C 80 【点睛】本题考查了由二项式的展开式的通项求指定项 55 25 3 155 2112 rrrr rrrr r TCxxCx 系数,属于基础题. 14.已知角满足，则____________ 1 sin 63 sin 2 6 【答案】 7 9 【解析】因为， 1 sin 63 所以. 2 7 sin 2cos2cos 21 2s 3 in 62696 故答案为：. 7 9 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式以及二倍角余弦公式,属于基础题. 15.设椭圆与双曲线的公共焦点为 22 1 22 :10 xy Cab ab 22 2 22 :10,0 xy Cmn mn ，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐 12 ,F F 12 CC， 12 ,e eA 12 ,C CA 2 C 近线的对称点为，则 . 1 F 22 12 22 ee 【答案】4 【解析】， 12 12 2 2 AFAFa AFAFm 1 2 AFam AFam 关于渐近线对称，设中点为 1 AFM 则是中位线，MO 12 AFF 2 OMAFA ， 1 OMAF 12 AFAF 222 12 4AFAFc ， 222 ()()4amamc 222 2amc .故答案为：4 222 222222 12 22 2222224 4 amc cceecc am 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质,属于中档题. 16.已知函数 ln ( ) x f x x ，函数 ( )f x 的图象在点(1,0)处的切线方程为_________；若关于x的不等式 11 27 k x x 有正整数解，则实数k的取值范围是_________ 【答案】 1yx 9k 【解析】因为 ln ( ) x f x x ， 0 x ，所以 2 1 ln ( ) x fx x ， 所以函数 ( )f x 的图象在点(1,0)处的切线斜率为 (1)1k f ， 所以函数 ( )f x 的图象在点(1,0)处的切线方程为 1yx ； 由 11 27 k x x 两边取以e为底的对数，则 11 lnln 27 k xx ，即 ln ln27 x k x ， 因为关于x的不等式 11 27 k x x 有正整数解，即 ln ln27 x k x 有正整数解，所以 0k ， 则 lnln27x xk ，又由 2 1 ln ( )0 x fx x 得0 xe ，由 2 1ln ( )0 x fx x 得x e ， 所以 ln ( ) x f x x 在 0,e 上单调递增，在 , e 上单调递减， 又 ln2ln8 (2) 26 f ， ln3ln9 (3) 36 f ，所以 (2)(3)ff ， 因此x为正整数时， (3)f 即是最大值；为使关于x的不等式 lnln27x xk 有正整数解， 只需 ln3ln27 (3) 3 f k ，解得 9k 故答案为: 1yx ； 9k 【点睛】本题考查了先对函数求导，然后根据导数的几何意义，得出函数图象在点(1,0)处切线斜率，进 而可得切线方程,最后根据关于x的不等式 11 27 k x x 有正整数解，得到 0k ， lnln27x xk 有正整数解， 由导数的方法求出x为正整数时， ( )f x 的最大值，得到 ln3ln27 (3) 3 f k ，即可求出结果,属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为， n a nn S 15 81a a 2 S 3 a 成等差数列 43 aS （1）求数列的通项公式； n a （2）若______，求的前项和，并求的最小值 nn ab nn P n P 从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题 数列满足：，（） ； n b 1 1 2 b 1 3 2 nn n bb nn N 数列的前项和（） ； n b n 2 n Tn n N 数列的前项和满足：（） n b n n T 65 nn Tb n N 注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分 【答案】 （1）；（2）答案见解析. 1 3 n n a 【解析】 （1）设数列的公比为，则由，所以， n a q0 n a 15 81a a 2 3 81a 因为，所以， 0 n a 3 9a 因为，成等差数列，所以， 2 S 3 a 43 aS 3243 2aSaS 即，所以，所以， 34 3aa 4 3 3 a q a 1 1a 所以 1 3 n n a （2）选择：因为，（） ，所以（） ， 1 1 2 b 1 3 2 nn n bb nn N 1 1 32 n n bn bn n N 所以； 2 1 11 33 b b ； 3 2 12 34 b b ； 4 3 13 35 b b ； 1 11 31 n n bn bn 32 1 121 12 31 n n n bbb bbbn n 所以，当时也成立 1 11 31 n n b n n 1n 所以， 111 11 nnn cab n nnn 所以， 111111 11 223111 n n P nnnn 因为是递增的， n P 所以的最小值为， n P 1 1 2 P 选择：由可知：当时， 2 n Tn 1n 11 1bT 当时，验证当时亦满足此关系， 2n 2 2 1 121 nnn bTTnnn 1n 所以 21 n bn 所以 1 21 3 nn n n nca b 所以 21 1 1 3 3 5 3213 n n Pn ， 23 31 3 3 35 3213 n n Pn 两式相减得： 231 21 12 33 32 32 3213 nn n Pn 62 3 1213 1 3 n n n 所以， 1 31 n n Pn 因为是递增的，所以的最小值， n P n P 1 1P 选择：因为（） ，所以（） ， 65 nn Tb n N11 65 nn Tb 2n 两式相减得，即（） ， 11 60 nnnn TTbb 1 50 nn bb 2n 所以（） 1 1 5 n n b b 2n 而，即 11 65Tb 1 1b 所以数列是以 1 为首项，为公比的等比数列， n b 1 5 所以， 1 1 5 n n b 所以， 1 3 5 n nnn ca b 所以， 3 1 535 1 3 85 1 5 n n n P 当为奇数时，由于，故； n 3 0 5 n 5 8 n P 当为偶数时，由于，故， n 3 0 5 n 5 8 n P 由在为偶数时单调递增， 53 1 85 n n P n 所以当时，的最小值为 2n n P 5162 8255 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式、数列递推关系、裂项相消法求和以及错位相减法求和， 考查分析问题求解能力，属于基础题. 18.请你在，外接圆半径为，这三个条件中任选一个，补 21AC AB 15 2 sin cos 2sin aC A bB 充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由. a 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且， ABCA , ,A B C, ,a b c sin2sin2sin0ABC ，________？ 2 sin3 sincBaC 注：若选择多个条件分别解答，则只按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】方案一：选条件：， 21AC AB 由正弦定理和，得：，则， 2 sin3 sincBaC23ba 3 2 a b 又由正弦定理和， sin2sin2sin0ABC 得：， 220abc2ca 由余弦定理得： 222 9 4 7 4 cos 3 8 22 2 aaa A aa 因为，则， 21AC AB 7 cos21 8 bcAbc 解得：，即， 24bc 3 224 2 a a ，又， 2 8a0a ， 2 2a 所以存在这样的三角形，且； 2 2a 方案一：选条件：外接圆半径为， 15 2 由正弦定理和，得：， 2 sin3 sincBaC23ba 又由正弦定理和，得：， sin2sin2sin0ABC220abc2ca 由余弦定理得：， 222 9 4 7 4 cos 3 8 22 2 aaa A aa 由，得：， 7 cos 8 A 15 sin 8 A 由正弦定理，得：， 2 sin a R A 151515 2sin2 288 aRA 所以存在这样的三角形，且； 15 8 a 方案三：选条件：， sin cos 2sin aC A bB 由正弦定理和，得：， 2 sin3 sincBaC23ba 又由正弦定理和，得：， sin2sin2sin0ABC220abc2ca 由余弦定理得：， 222 9 4 7 4 cos 3 8 22 2 aaa A aa 由和余弦定理，得：， 23 ,2ba ca 222 9 4 11 4 cos 2216 aaa B aa 又由正弦定理和，得：， sin cos 2sin aC A bB 2cossinsin2sinABAC 又，解得：， sinsin()CAB sin2sincosAAB 在中， ABCAsin0A 1 cos 2 B 则与矛盾，故不存在这样的三角形. 11 cos 16 B 【点睛】本题考查了解三角形的问题，考查了余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换，属于基础题. 19.如图 1，在平面五边形中，为等腰直角三角形， PABCDPAD ，点 E，F 分别为，的中点，将 APPD/ /ADBCADDC224ADDCBCPDAB 沿折到如图 2 的位置. PADAD （1）证明：平面； / /EFPBC （2）若二面角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. PADC60PABPBC 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 2 7 7 【解析】 （1）取的中点 G，连接， CDFGEG 因为 E 为中点， PD 所以为的中位线， GECPD 所以. / /GEPC 因为平面，平面， GE PBCPC PBC 所以平面， GE PBC 因为，平面，平面， / /FGBCFG PBCBC PBC 所以平面， / /FGPBC 又， 平面，平面， GEGFGGE EFGFG EFG 所以平面平面， / /EFGPBC 因为平面， EF EFG 所以平面 / /EFPBC （2）由题意知为等腰直角三角形，为直角梯形. PADABCD 取中点 O，连接， ADBOPO 因为， ADPOADOB 所以为二面角的平面角， POBPADC 所以， 60POB 因为， 2POOB 所以为等边三角形， PBOA 取的中点 H，则， BOPHBO 因为， ADPOADOB 所以平面 ， AD POB 所以. PHAD 又， ADBHO 所以 平面， PH ABCD 以 O 为原点，分别以，为 x 轴，y 轴，过点 O 平行于的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角 OBODHP 坐标系， 则， (1,0, 3)P(0, 2,0)A(2,0,0)B(2,2,0)C 所以， ( 1, 2,3)PA (1,0,3) PB(0,2,0)BC 设为平面的一个法向量， 111 (,)nx y z PAB 由，得， =0 =0 n PA n PB 111 11 230 30 xyz xz 令，得， 1 3z (3, 3, 3)n 设为平面的一个法向量， 222 (,)mxy z PBC 由，得， =0 =0 n PB n BC 22 2 30 20 xz y 令，得， 3z (3,0, 3)m 设平面与平面所成的锐二面角为 ， PABPBC 则. 122 cos7 72 321 m n m n 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属于基础题. 20.中国制造 2025是经国务院总理李克强签批，由国务院于 2015 年 5 月印发的部署全面推进实施制造 强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领制造业是国民经济的主体，是立国之 本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命 线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布 N（，2），并把质量差在（，+）内的产品为优等品，质量差在（+，+2）内的产品为 一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随 机抽取 1000 件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求