2020-2021年高三理科数学最新模拟试卷（1月份）.rar

高三数学 第 1 页 共 16 页 青浦区青浦区 20202020 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试 数数 学学 试试 卷卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） Q2020.12 学生注意： 1 1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分本试卷包括试题纸和答题纸两部分 2 2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 3 3 可使用符合规定的计算器答题可使用符合规定的计算器答题 一一. . 填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，题，1-61-6 每题每题 4 4 分，分，7-127-12 每题每题 5 5 分考生应在答分考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. . 1已知集合，则 1,2,3,4A 0,2,4,6,8B AB 2函数的反函数是 2xy 3行列式中，元素的代数余子式的值为 123 456 789 3 4已知复数满足，则 . z 4 0z z |z 5圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角 cm1cm2 6已知等差数列的首项，公差，其前项和为，则 n a 1 1a 2d nn S 2 () lim n n n a S 高三数学 第 2 页 共 16 页 7我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理 论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是 x b a d c , , ,a b c d * N bd ac 的更为精确的近似值己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值 x 15722 507 157 50 为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为____________ 22 7 8在二项式的展开式中的系数与常数项相等，则的值是__ 5 2 1 ()0 xa ax 5 xa __ 9点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两 A 22 1: 1 2516 xy C 22 2: 1 45 xy C 12 ,F F 1 C 个焦点，则的值为 12 | |AFAF 10盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个大小、形状、材质均相同的小球， 从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数 表示） 11记 为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和 m a 3n * 0,mnN m a 100 100 S _________ 1212已知向量的模长为 1，平面向量满足：，则的取值范围 e ,m n |2 | 2,| 1mene m n 是_________ 高三数学 第 3 页 共 16 页 二二. . 选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13已知，则“”是“”的（ ） , a bRab 2 ab ab （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 14类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论： 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 其中正确的是（ ） （A）（B）（C）（D） 15已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的 6 1 (, ) 3 Py sin 值为（ ） （A）（B）（C）（D） 2 23 6 2 23 6 2 61 6 2 61 6 高三数学 第 4 页 共 16 页 16设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定 , ( ) 1 , xxP f x xM x ,P M R ，则下列说法： ,A Py yf xxP ,A My yf xxM （1）一定有；（2）若，则； A PA M PM R A PA M R （3）一定有；（4）若，则 PM PM R A PA M R 其中正确的个数是（ ） （A） 1（B） 2（C） 3（D） 4 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7676 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤. . 17.(17.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 如图，长方体中，点 P 为的中点 1111 ABCDABC D 1ABAD 1 2AA 1 DD （1）求证：直线平面； 1/ BD PAC （2）求异面直线与所成角的大小 1 BD AP 1818 （本题满分（本题满分 1414 分）第（分）第（1 1）小题满分）小题满分 6 6 分，第（分，第（2 2）小题满分）小题满分 8 8 分分. . 设函数，为常数 2 ( )|f xxxaa 高三数学 第 5 页 共 16 页 （1）若为偶函数，求的值；)(xfa （2）设，为减函数，求实数的取值范围0a x xf xg )( )(, 0(axa 19.(19.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域ABCDEABDEBC 内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在区域内参观在上点处安装一可DEADEAEP 旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点MPNMNDEM 的右下方经测量得知：米，米，米，记N6AD 6AE 2AP 4 MPN （弧度） ，监控摄像头的可视区域的面积为平方米EPMPMNS （1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；PMPN （2）求的最小值S 高三数学 第 6 页 共 16 页 20.(20.(本题满分本题满分 1616 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分分. . 已知动点到直线的距离比到点的距离大 M20 x(1,0)F1 （1）求动点所在的曲线的方程；MC （2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率(1,2)PAB、CPAPB 互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；AB （3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率(1,2)PAB、CPAPB 之和为，证明：直线过定点2AB 21.(21.(本题满分本题满分 1818 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分分. . 若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数 A，使得对任意的，均有 n a n b n * * NN ，则称数列与具有关系 nn abA n a n b P A （1）设无穷数列和均是等差数列，且，问：数列 n a n b2 n an 2 n bnn * * NN 与是否具有关系？说明理由； n a n b 1P （2）设无穷数列是首项为 1，公比为的等比数列，证明：数列 n a 1 31 1 nn ba n * * NN 与具有关系，并求 A 的最小值； n a n b P A 高三数学 第 7 页 共 16 页 （3）设无穷数列是首项为 1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为 2， n aRd d n b 公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件 q q * * NN n a n b P A 青浦区 2020 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试 数学参考答案参考答案 2020.12 高三数学 第 8 页 共 16 页 一一. .填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，题，1-61-6 每题每题 4 4 分，分，7-127-12 每题每题 5 5 分考生应在答题分考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果纸相应编号的空格内直接填写结果. . 1；2；2,4 2 logyx 3；4； 3 2 5；6； 4 7；8； 201 64 2 9. ；10. ；21 13 18 11；12. .2841,8 二二. .选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13. ；14. ； 15 ；16. .BCDB 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7474 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤. . 17.(17.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . （1）证明：设和交于点 O，则 O 为的中点， ACBDBD 连结，又因为 P 是的中点，故 PO1 DD 1 /PO BD 又因为平面，平面 PO PAC1 BD PAC 高三数学 第 9 页 共 16 页 所以直线平面 1/ BD PAC （2）由（1）知，所以异面直线与所成的角就等于与所成的角， 1 /PO BD 1 BD APPOAP 故即为所求； APO 因为，且 2PAPC 21 22 AOAC POAO 所以. 2 1 2 sin 22 AO APO AP 30APO 即异面直线与所成角的大小为（） 1 BD AP 630 1818 （本题满分（本题满分 14 分）第（分）第（1）小题满分）小题满分 6 分，第（分，第（2）小题满分）小题满分 8 分分. . 解：（1）因为为偶函数，且，所以)(xfxR()( )fxf x 即 2 2 |xxaxxa 即 22 | |xaxaxaxa 所以对一切成立，所以40ax xR0a （2）因为，且0a, 0(ax 所以， 2 2 ( ) ( )1 xxaf xxaxa g xx xxxx 任取， 12 0 xxa 1212 12 ()() aa g xg xxx xx 高三数学 第 10 页 共 16 页 2112 1212 1212 ()() ()() a xxx xa xxxx x xx x 因为，所以且 12 0 xxa 12 0 xx 2 12 0 x xa 又在区间上为减函数，所以( )g x(0, a 12 0 x xa 即，所以又，所以 12 ax x 2 aa0a10 a 19.(19.(本题满分本题满分 1414 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 解：（1）在PME 中，PE=AE-AP=4 米，EPM 4 PEM 3 4 PME 由正弦定理得， sinsin PMPE PEMPME 所以， sin2 24 3 sinsincos sin() 4 PEPEM PM PME 同理在PNE 中，由正弦定理得， sinsin PNPE PENPNE 所以， sin2 22 2 sincos sin() 2 PEPEN PN PNE 当 M 与 E 重合时，；当 N 与 D 重合时，,即，0tan3APDarctan3APD ，所以； 3 tan3tan3 44 arcarc 3 0tan3 4 arc （2）PMN 的面积 S 1 sin 2 PMPNMPN 2 4 cossincos 高三数学 第 11 页 共 16 页 ， 4 1 cos21 sin2 22 88 sin2cos2 2sin(2) 4 因为，所以当即时， 3 0tan3 4 arc2 42 3 0,tan3 84 atc 取得最小值为S 8 8( 21) 2 所以可视区域PMN 面积的最小值为平方米8( 21) 20.(20.(本题满分本题满分 1616 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分分. . 解：（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大 ，等价于动点到直线M20 x(1,0)F1M 的距离和到点的距离相等，1x (1,0)F 由抛物线的定义可得曲线的方程为C 2 4yx （2）设直线的斜率为，因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以直线PAkPAPB 的斜率为，PBk 则，2(1) PA lyk x：2(1) PB lyk x ： 或或 2 2 2(1) 4480 4 yk x kyyk yx 2 222 24420k xkkxk 即，所以可得 2420kyky 2 2 242 , kk A kk 同理得 高三数学 第 12 页 共 16 页 或或 2 2 2(1) 4480 4 yk x kyyk yx 2 222 24420k xkkxk 即，所以可得 2420kyk+y 2 2 242 , kk B kk 22 22 4242 1 22 AB kk kk k kk kk 即直线的斜率为定值；AB1 （3）设直线的斜率为，所以直线的斜率为，PAkPB2k 则，2(1) PA lyk x：2(1) PB lyk x ： 2 2 2(1) 4480 4 yk x kyyk yx 即，所以可得同理得 2420kyky 2 2 242 , kk A kk 2 2 22(1) 2440 4 ykx k yyk yx 即，所以可得2220k yky 2 2 2 , 2 2 kk B k k 22 2 22 242 (2) 2 22 2 2 AB kk k k kk k kk kk k k 高三数学 第 13 页 共 16 页 ， 2 22 2(2) 222 2 AB kk kk lyx kkk k ： 2 (2) 1 22 k k yx kk 所以直线恒过AB1,0 21.(21.(本题满分本题满分 1818 分）本题共分）本题共 3 3 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分分. . 解：（1）因为， 2 n an * 2N n bnn 若数列与具有关系，则对任意的，均有，即 n a n b 1P * Nn 1 nn ab ，亦即，但时， 221nn21n 4n 221n 所以数列与不具有关系 n a n b 1P （2）证明：因为无穷数列是首项为 1，公比为的等比数列，所以， n a 1 3 1 1 3 n n a 因为，所以， 1 21 nn b 1 1 3 n n b 所以，所以数列与具有关系 1 112 111 333 nn nn n ab n a n b P A 设 A 的最小值为，因为，所以 0 A 0nn abA1 nn ab 0 1A 若，则当时， 0 01A 3 0 2 log 1 n A 0 2 3 1 n A 则，这与“对任意的，均有”矛盾， 0 2 1 3n A * Nn 0nn abA 高三数学 第 14 页 共 16 页 所有，即 A 的最小值为 1 0 1A （3）因为数列是首项为 1，公差为为等差数列， n aRd d 无穷数列是首项为 2，公比为的等比数列， n b * Nq q 所以， 1 11 n aanddnd 1 1 2 nn n bbqq q 设，则， 1 da 2 0b q n adna n n bbq * Nn 数列与具有关系，即存在正常数 A， n a n b P A 使得对任意的，均有 * Nn nn abA （）当，时，取， 0d 1q 1 21 1 nn ab 1A 则，数列与具有关系； nn abA n a n b P A （）当，时，假设数列与具有关系， 0d 2q n a n b P A 则存在正常数 A，使得对任意的，均有 * Nn nn abA 因为，所以，对任意的， nnnn baab * Nn nn baA 即，所以， 1 n bqA 1 n A q b 1 logq A n b 高三数学 第 15 页 共 16 页 这与“对任意的，均有”矛盾，不合； * Nn nn baA （）当，时，假设数列与具有性质， 0d 1q n a n b P A 则存在正常数 A，使得对任意的，均有 * Nn nn abA 因为，所以，对任意的， nnnn abab * Nn nn abA 即，所以， 2 n aA2dnaA2dnaA 2aA n d 这与“对任意的，均有”矛盾，不合； * Nn nn abA （）当，时，假设数列与具有性质， 0d 2q n a n b P A 则存在正常数 A，使得对任意的，均有 * Nn nn abA 因为，所以，对任意的， nnnn baab * Nn nn baA 所以，所以， n bqdnaAd naA n daA qn bb 设，则对任意的， 0 d b 0 aA b * Nn n qn 因为，所以，对任意的， 2 nn q * Nn 2nn 可以证明：存在，当时， （利用单调性） 1N nN 2 2nn 2 2nf nn 高三数学 第 16 页 共 16 页 又，所以，即，解得， 2nn 2 nn 2 0nn 2 4 0 2 n 这与对任意的，矛盾，不合 * Nn 2nn 综上所述，数列与具有关系的充要条件为， n a n b P A 0d 1q本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 东城区东城区 2020-2021 学难度第一学期期末统一检测学难度第一学期期末统一检测 高三数学高三数学 2021.1 本试卷共 4 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合，则10Ax x 0,1,2B AB A.B.C.D. 01 2 1,2 2.已知是公差为 d 的等差数列，为其前 n 项和.若，则 n a n S 31 33Sad A.B.C.1D.221 3.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是0,1 A.B.C.D.2 x y lnyx 1 y x sinyx 4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为 A.B. C.D. 5.与圆相切于点的直线的斜率为 2 2 15xy2,2 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） A.B.C.D.22 1 2 1 2 6.函数（，）的部分图象如图所示，则 2sinf xx0 2 f A.B.C.D.3 3 2 3 2 3 7.设，是两个不同线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的a b a b aab A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 8.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥 物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选 法有 A.242 种B.220 种C.200 种D.110 种 9.已知抛物线（）的焦点 F 到准线的距离为 2，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点， 2 2ypx0p 且，则点 A 到 y 轴的距离为（ ）3AFFB A.5B.4C.3D.2 10.某公园门票单价 30 元，相关优惠政策如下： 10 人（含）以上团体购票 9 折优惠； 50 人（含）以上团体购票 8 折优惠； 100 人（含）以上团体购票 7 折优惠； 购票总额每满 500 元减 100 元（单张票价不优惠）. 现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为 A.1090 元B.1171 元C.1200 元D.1210 元 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11.复数________. 34i i 12.函数的定义域是________. 1lnf xxx 13.已知，则________，________. 1 sin 3 3 , 2 coscos2 14.已知双曲线 M：（，） ，为等边三角形.若点 A 在 y 轴上，点 B，C 在双 22 22 1 xy ab 0a 0b ABC 曲线 M 上，且双曲线 M 的实轴为的中位线，则双曲线 M 的离心率为________.ABC 15.已知函数，其中表示不超过 x 的最大整数. sincos 23 xx f x 0,2x x 例如：，.110.500.51 ________； 2 3 f 若对任意都成立，则实数 a 的取值范围是________. f xxa0,2x 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.（本小题 13 分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为 2 的正方形，E，FPABCDPD ABCD4PD ABCD 分别为，的中点.PBPC （）求证：平面平面；ADE PCD （）求直线与平面所成角的正弦值.BFADE 17.（本小题 13 分） 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 已知函数，在从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： sin 6 g xx cosh xx （）的最小正周期； f x （）在区间上的最大值. f x0, 2 条件：； f xg xh x 条件：. f xg xh x 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题 14 分） 为了解果园某种水果产量情况，随机抽取 100 个水果测量质量，样本数据分组为，100,150 ，（单位：克） ，其频率分布直方图如图所150,200200,250250,300300,350350,400 示： （）用分层抽样的方法从样本里质量在，的水果中抽取 6 个，求质量在250,300300,350 的水果数量；250,300 （）从（）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，记 X 为质量在的水果数量，求 X 的分布列300,350 和数学期望； （）果园现有该种水果越 20000 个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量 m（单位：克）200m 200300m300m 等级规格二等一等特等 价格（元/个）4710 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 试估计果园该种水果的销售收入. 19.（本小题 15 分） 已知椭圆 C：（）过点，且离心率为. 22 22 1 xy ab 0ab2,0A 2,0B 1 2 （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点 E，且与 x 轴交于点 G（E，G 不重合） ，轴，垂足ETx 为 T，求证：. TAGA TBGB 20.（本小题 15 分） 已知函数，. 2 1 ex ax f x aR （）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程； yf x 1,1fyx （）若，求证：当时，；1a 0 x 0f x （）若恰有两个零点，求 a 的值. f x 21.（本小题 15 分） 给定正整数 m，t（） ，若数列 A：满足：，mt 12 , n a aa 0,1 i a ii t aa ，则称数列 A 具有性质. 12t aaam,E t m 对于两个数列 B：；C：， 12 , n b bb 12 , n c cc 定义数列；BC 1122 , nn bc bcbc （）设数列 A 具有性质，数列的通项公式为（） ，求数列的前四项和；4,2EB n bn * nNAB （）设数列（）具有性质，数列 B 满足，且 i A * iN4,Em 1 1b 2 2b 3 3b 4 4b （）.若存在一组数列，使得为常数列，求出 m 所有可 4jj bb * jN 12 , k A AA 12k AAAB 能的值； （）设数列（）具有性质（常数） ，数列 B 满足且 i A * iN,1E t t 2t 12 1,2, t bbbt （）.若存在一组数列，使得为常数列，求 k 的最小值. jj t bb * jN 12 , k A AA 12k AAAB 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） （只需写出结论） 东城区东城区 2020-2021 学年度第一学期期末统一检测学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 2021.1 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1.D 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.B 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11.12.43i1, 13. 14. 2 2 3 7 9 2 15. 4 3 3 ,2 2 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分）分） 16.（共 13 分） 解：（）因为平面，PD ABCD 所以.PDAD 因为底面是正方形，ABCD 所以.ADCD 因为，PDCDD 所以平面.AD PCD 又因为平面，AD ADE 所以平面平面.ADE PCD 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） （）因为底面，PD ABCD 所以，.PDADPDCD 因为底面是正方形，所以.ABCDADCD 如图建立空间直角坐标系.Dxyz 因为，底面为边长为 2 的正方形，4PD ABCD 所以，.0,0,4P2,0,0A2,2,0B0,2,0C0,0,0D1,1,2E0,1,2F 则，.2,0,0DA 1,1,2DE 2, 1,2BF 设平面的法向量，ADE, ,mx y z 由，可得. 0 0 m DA m DE 20 20 x xyz 令，则，.1z 0 x 2y 所以.0,2, 1m 设直线与平面所成角为，BFADE 则. , 44 5 sincos, 1595 BF m BF m BF m 所以直线与平面所成角的正弦值为.BFADE 4 5 15 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 18.（共 14 分） 解：（）质量在，的该水果的频率分别为，250,300300,3500.008 500.4 ，其比为，0.004 500.22:1 所以按分层抽样从质量在，的这种水果中随机抽取 6 个，250,300300,350 质量在的该种水果有 4 个.250,300 （）由（）可知，6 个水果中由 2 个质量在，300,350 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2. ，. 3 4 3 6 C1 0 C5 P X 21 42 3 6 C C3 1 C5 P X 12 42 3 6 C C1 2 C5 P X 所以 X 的分布列为 X012 P 1 5 3 5 1 5 故 X 的数学期望. 131 0121 555 E X （）由频率分布直方图可知，质量在，100,150 ，的该种水果的频率分别为150,200200,250250,300300,350350,400 0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05. 所以估计 20000 个水果中，二等品有个；200000.10.14000 一等品有个；200000.150.411000 特等品有个.200000.20.055000 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 果园该种水果的销售收入为（元）.4000 4 11000 75000 10143000 19.（共 15 分） 解：（）依题意，得 222 2 1 2 a c a abc 解得，. 2 4a 2 3b 所以椭圆 C 的方程为. 22 1 43 xy （）由题设知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：（）.ykxm0k 由消去 y，整理得. 22 1 43 ykxm xy 222 3484120kxkmxm 依题意，有，解得. 2222 6416 3430k mkm 22 34mk 设，则，. 1,0 G x 00 ,E xy 1 m x k 0 2 44 34 kmk x km 因为轴，所以.ETx 4 ,0 k T m 所以. 4 2 422 2424 2 k TAkmmk m TBmkmkk m 又因为， 2 2 2 2 m GAmk k mGBmk k 所以. TAGA TBGB 20.（共 15 分） 解：（）因为，所以，故. 2 ex ax x fx 11 e a f ea 所以. 112 e a f 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 所求切线方程为，即.21yx1yx （）当时，.1a 2 1 ex x f x 2 ex x x fx 当时，；当时，.0,2x 0fx2,x 0fx 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. f x0,22, 所以的最小值为. f x 2 4 210 e f 故时，.0 x 0f x （）对于函数，. 2 1 ex ax f x aR （i）当时，没有零点；0a 0f x f x （ii）当时，.0a 2 ex ax x fx 当时，所以在区间上单调递增；,0 x 0fx f x,0 当时，所以在区间上单调递减；0,2x 0fx f x0,2 当时，所以在区间上单调递增.2,x 0fx f x2, 所以是的极大值，是的极小值. 01f f x 2 4 21 e a f f x 因为， 2 1 11 1 11 111 e0 ee aa a a a f a 所以在上有且只有一个零点. f x,0 由于， 2 4 21 e a f 若，即，在区间上没有零点； 20f 2 e 4 a f x0, 若，即，在区间上只有一个零点； 20f 2 e 4 a f x0, 若，即，由于，所以在区间上有一个零点. 20f 2 e 4 a 01f f x0,2 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 21.（共 13 分） 解：选条件：； f xg xh x （） sincos 6 fxxx 31 sincoscos 22 xxx 2 31 sin coscos 22 xxx 3111 cos2 sin2 2222 x x 311 sin2cos2 444 xx . 11 sin 2 264 x 所以的最小正周期是. f x （）因为，0, 2 x 所以. 5 2 666 x 所以. 1 sin 21 26 x 所以. 1111 sin 2 22644 x 当，即时，有最大值.2 62 x 3 x f x 1 4 选条件：. f xg xh x （） sincos 6 f xxx 31 sincoscos 22 xxx 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 31 sincos 22 xx .sin 6 x 所以的最小正周期是. f x2 （）因为，0, 2 x 所以. 2 663 x 所以， 1 sin1 26 x 当，即时，有最大值 1. 62 x 3 x f x 由（）知，当时，0 x 2 exx 所以. 333 244 2 1616161 411110 e 2 e a a aaa fa a a 故在区间上有一个零点. f x2,4a 因此时，在区间上有两个零点. 2 e 4 a f x0, 综上，当有两个零点时，. f x 2 e 4 a 22.（共 15 分） （）数列的前四项和为 A 的前四项和与 B 的前四项和之和，为.AB2 1012 （）由题知，数列（）满足：，（） ，所以只考虑数列和 B4m i A iN 4jj aa 4jj bb * jN i A 的前四项. 取为 1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，0；0，0，1，0，可使 126 ,A AA 的前四项为 4，4，4，4，所以成立； 126 AAAB1m 取，为 1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使的前四项为 1 A 2 A 3 A 123 AAAB 4，4，4，4， 所以成立；2m 本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 取为 1，1，1，0；1，1，1，0；1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使 126 ,A AA 的前四项为 7，7，7，7，所以成立； 126 AAAB3m 当时，前四项是 1，1，1，1，所以对任意的 k，不会是常数列；4m i A 12k AAAB 综上，2，3.1m （）. 1 1 2 t t本资料来源于公众号品数学 高中数学资料共享群（QQ 群号：734924357） 北京市朝阳区 20202021 学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学试卷 20211 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集，集合，则= 1,0,1,2,3,4U 0,1,2A UA （A）（B）（C）（D） 3,4 1,3,40,1,2 1,4 （2）已知向量，且，则 ( 1,2) a( ,4)xb ab |b （A）（B）（C）（D） 2 54 34 58 （3）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边 长为 1，则该三棱锥的体积为 （A） 4 3 （B） 8 3 （C）3 （D）4 （4）已知等比数列的各项均为正数，且，则 n a 3 9a 3132333435 logloglogloglogaaaaa （A）（B）（C）（D） 5 2 5 31015 （5）设抛物线的焦点为，准线 与轴的交点为，是上一点若，则 2 :4C yx FlxMPC |4PF |PM （A）（B）（C）（D） 2152 74 2 本资料来