2021届高三高考数学适应性测试八省联考考后仿真系列卷九（原卷+解析）.zip

2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷九九 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知全集为 R，集合，则（ ） 01Axx2Bx x AB ABBA CD ABRABCA R )( 2.设向量，若，则直线与直线的位置关系是 ,1aa ()1,0bbab ab 2 0b xy 2 0 xa y （ ） A平行B相交且垂直 C相交但不垂直D重合 3.已知平面，直线 l，m，且有，给出下列命题：若，则；若 l m/ lm ，则；若，则；若，则.其中正确命题的个数是（ ） /l m /l mlm / A. 1B. 2C. 3D. 4 4.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中 选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法 有（ ） A48 种B36 种 C24 种D12 种 5.德国心理学家艾宾浩斯（HEbbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不 是均匀的最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节（由若 干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作为记忆材料用节省法计算保持和遗忘的 数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线（如图所示） 若 一名学生背了 100 个英语单词，一天后，该学生在这 100 个英语单词中随机听写 2 个英语单词，以频率代 替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有 1 个单词不会的概率大约为（ ） A0.43B0.38 C0.26D0.15 6.已知函数和直线，那么“”是“直线 与曲线 相切”的（ ） ( )sinf xx: l yxa 0a l ( )yf x A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 7.中，面积，若，则实 ABCA1AB 2AC 1 ABC S mABCA nABCA mn 数（ ） A0B3 CD2 3 8.已知函数，若有四个不同的解，且， 2 4 (1) ,(0) ( ) log,0 xx f x xx f xa 1 x 2 x 3 x 4 x 1234 xxxx 则的取值范围为（ ） 312 2 34 1 xxx x x AB 1, 7 1, 2 CD 7 , 2 1,3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） i A若复数，则 3iz 13 1010 i z B复数满足，在复平面内对应的点为，则 z 21zi z , x y 2 2 21xy C若复数，满足，则 1 z 2 z2 1 zz 12 0z z D复数的虚部是 3 13zi 10.已知函数 xx f xee ，给出以下四个结论正确的是（ ） A f x 是偶函数 B f x 的最小值为 2 C当 f x 取到最小值时对应的 0 x D f x 在 ,0 单调递增，在 0, 单调递减 11.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为， 2sin 2 3 f xx 4 yg x 则下列结论正确的是（ ） A函数的图象关于直线对称 g x 3 x B函数的图象关于点对称 g x ,0 3 C函数在上单调递减 g x 5 , 24 24 D函数在上恰有 4 个极值点 g x0,2 12.已知抛物线的焦点为 F，过 F 与 y 轴垂直的直线交抛物线于点 M，N，则下列说法正确的 2 :4xy 有（ ） A点 F 坐标为B抛物线的准线方程为 (1,0) 1y C线段 MN 长为 4D直线与抛物线相切 2yx 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知，则___________ 656 0156 3111xaaxaxax 5 a 14. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎 丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“在某种玩法中，用表示解 n a 下个圆环所需的移动最少次数，若且，则解下 6 个环 * 9,n nnN 1 1a 1 1 21, 22, n n n an a an 为偶数 为奇数 所需的最少移动次数为_____________ 15.如图所示，已知椭圆 E 经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在 x 轴上，离心率 e直 2,3A 1 F 2 F 1 2 线 l 是的平分线，则椭圆 E 的方程是__________，l 所在的直线方程是__________ 12 F AF 16.我国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称 之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵” ，底面是以为斜边的直角三角形， 111 ABCABCABCAB 且，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥5AB 3AC P 1 BB 1 PCPC 1 APC 的外接球的表面积为 . PABC 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在中，角的对边分别为，且， ， .在； ABCA , ,A B C, ,a b c 2BA 9 4 ca 2a ；的面积为.这三个条件中任选一个，补在上面条件中，若问题中三角形存在， 13b ABCA 9 39 16 求的周长；若问题中三角形不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计 ABCA 分. 18.已知等差数列的前 n 项和为，p，且.数列满足 n a 2 n Spnnq qR n N3 6a n b . 2 2log nn ab （1）求 pq 的值； （2）设数列的前 2n 项和为，证明：. ( 1)n nn ab 2n T 2 3 n T 19.“硬科技”是以人工智能航空航天生物技术光电芯片信息技术新材料新能源智能制造等为代表的 高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入持续积累才能形成的原创技术，具 有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造 自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 x(单位：千 万元)对年销售量 y(单位：千万件)的影响，统计了近 10 年投入的年研发费用 x，与年销售量( i y )的数据，得到如图所示的散点图. i1,2,3,10 （1）利用散点图判断，和(其中 a，b，c，d 为大于 0 的常数)哪一个更适合作为年 yabxlnycdx 研发费用 x 和年销售量 y 的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由) （2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表： xyw 10 2 i i 1 ()xx 10 2 i i 1 ()ww 10 ii i 1 ()()xxyy 10 ii i 1 ()()wwyy 9.429.723665.5439.255 其中令，. 1i lnwx 10 i i 1 1 10 ww 根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测投入的年研发费用 28 千万元时的年销 售量； （3）从这 10 年的数据中随机抽取 3 个，记年销售量超过 30(千万件)的个数为 X，求 X 的分布列和数学期 望. 参考数据和公式：，.对于一组数据，其回归直线 ln20.69ln71.9511 ( ,)u v 22 (,)u v(,) nn u v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. AA vu A11 2 22 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii uvnuvuu vv unuuu AA vu 20.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且满足， SABCD/ /ABCD ，平面平面.为线段的中点，为 ,9,6,12BCAB ABBCCDSDSB SCD SBCMSCN 线段上的动点. （1）求证：平面平面； SCD ABCD （2）设，当二面角的大小为 60时，求的值. (0)ANNB CDMN 21. 在圆上任取一点 P，过点 P 作轴的垂线段 PD，D 为垂足，.当点 P 在圆 22 4xy x 3 2 DMDP 上运动时，点 M 的轨迹为曲线 E. （1）求曲线 E 的方程； （2）过点的两条相互垂直的直线分别交曲线 E 于 A，B 和 CD，求四边形 ABCD 面积的取值范 1,0Q 围. 22.已知函数. 2 ln2,f xxaxa x aR （1）求时函数的单调区间； 2a f x （2）当时，若对于任意，都存在，使得 1 2 a 1212 ,(1,)()x xxx 012 ( ,)xx x ，证明：. 21 0 21 ()() () f xf x fx xx 12 0 2 xx x2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷九九 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知全集为 R，集合，则（ ） 01Axx2Bx x AB ABBA CD ABRABCA R )( 【答案】D 【解析】对于选项 A，显然集合 A 并不是集合 B 的子集，错误 对于选项 B，同样集合 B 并不是集合 A 的子集，错误 对于选项 C，错误 (0,1)(2,)AB 对于选项 D，由，则，正确 2Bx x2xxBCR ABCA R )( 故选:D 【点睛】本题考查了子集、集合的运算，属于基础题. 2.设向量，若，则直线与直线的位置关系是 ,1aa ()1,0bbab ab 2 0b xy 2 0 xa y （ ） A平行B相交且垂直 C相交但不垂直D重合 【答案】B 【解析】因为向量，若，则，即， ,1aa ()1,0bbab ab 0ab ba 所以直线可化为，直线可化为， 2 0b xy 2 ya x 2 0 xa y 2 1 yx a 两直线斜率之积为，所以两直线相交且垂直故选:B 2 2 1 1a a 【点睛】本题考查了向量的垂直以及直线之间的位置关系,属于基础题. 3.已知平面，直线 l，m，且有，给出下列命题：若，则；若 l m/ lm ，则；若，则；若，则.其中正确命题的个数是（ ） /l m /l mlm / A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】对于：因为，所以，又，所以，故正确； / l lm lm 对于：因为，所以，又，所以，故正确； /l mlm m 对于：因为，所以 与可能平行或异面，故错误； llm 对于：因为，所以或，所以不一定成立，故错误； lml/ /mm / 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中线面位置关系,属于基础题. 4.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中 选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法 有（ ） A48 种B36 种 C24 种D12 种 【答案】B 【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法； 第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法， 根据分步计数原理，共有不同的选取方法，故选:B 2 3 636 【点睛】本题考查了分步计数原理,属于基础题. 5.德国心理学家艾宾浩斯（HEbbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不 是均匀的最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节（由若 干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作为记忆材料用节省法计算保持和遗忘的 数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线（如图所示） 若 一名学生背了 100 个英语单词，一天后，该学生在这 100 个英语单词中随机听写 2 个英语单词，以频率代 替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有 1 个单词不会的概率大约为（ ） A0.43B0.38 C0.26D0.15 【答案】B 【解析】根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得 100 个英语单词，一天后，忘记了 74 个，还记得 26 个，则该学生 恰有 1 个单词不会的概率故选:B 11 7426 2 100 0.38 CC P C 【点睛】本题考查了古典概型的求解，考查阅读和理解能力，属于基础题 6.已知函数和直线，那么“”是“直线 与曲线 相切”的（ ） ( )sinf xx: l yxa 0a l ( )yf x A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设函数和直线的切点坐标为， ( )sinf xx: l yxa() 00 ,xy 则，可得，所以时，直线 与曲线相切； 00 00 cos1 sin fxx xxa 2,akkZ 0a l ( )yf x 直线 与曲线相切不能推出 l ( )yf x 0a 因此“”是“直线 与曲线相切”的充分不必要条件,故选: 0a l ( )yf x A 【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断,需注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接 pq 依据定义、定理、性质尝试对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思 ,pq qp 想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题； 对于范围问题也可以转化为包含关系来处理,属于基础题. 7.中，面积，若，则实 ABCA1AB 2AC 1 ABC S mABCA nABCA mn 数（ ） A0B3 CD2 3 【答案】B 【解析】因为， 1AB 5AC 1 ABC S 所以，所以，所以， 1 15sin1 2 A 2 sin 5 A 1 cos 5 A 所以 cos 1AB CAABCAA 因为，所以，即 mn 0m n 22 10ABAB CACA 若，则，所以； 1AB CA 1 50 3 若，则，无解综上，故选 B 1AB CA 1 50 3 【点睛】本题考查了三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的数量积，属于中档题. 8.已知函数，若有四个不同的解，且， 2 4 (1) ,(0) ( ) log,0 xx f x xx f xa 1 x 2 x 3 x 4 x 1234 xxxx 则的取值范围为（ ） 312 2 34 1 xxx x x AB 1, 7 1, 2 CD 7 , 2 1,3 【答案】B 【解析】由题意，当时，；当时，；当时， 0 x 2 ( )(1)f xx 01x4 ( )logf xx 1x 作出函数的图象，如下图所示， 4 ( )logf xx f x 易知与直线有四个交点，分别为， f x 1y 2,10,1 1 ,1 4 4,1 因为有四个不同的解，且， f xa 1 x 2 x 3 x 4 x 1234 xxxx 所以，且， 12 210 xx 12 2xx 34 1 14 4 xx 又， 343 ()logf xxa 444 ()logf xxa 所以，即，则 4344 loglogxx 4344434 logloglog0 xxxx 34 1xx 所以，且， 3123 2 343 11 2xxxx x xx 3 1 1 4 x 构造函数，且， 1 2g xx x 1 1 4 x 可知在上单调递减，且， g x 1 ,1 4 117 24 442 g 1211g 所以，即 g x 7 1, 2 3 3 1 2x x 7 1, 2 所以的取值范围为故选:B 312 2 34 1 xxx x x 7 1, 2 【点睛】本题考查了函数与方程,考查了通过画出分段函数的图像研究方程根的情况,进而求取值范围,属于 中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） i A若复数，则 3iz 13 1010 i z B复数满足，在复平面内对应的点为，则 z 21zi z , x y 2 2 21xy C若复数，满足，则 1 z 2 z2 1 zz 12 0z z D复数的虚部是 3 13zi 【答案】ABC 【解析】对于选项 A,由，故 A 正确； 1133 3i3i3i1010 ii z 对于选项 B,由在复平面内对应的点为，则，即， z , x y 221zixyi 2 2 21xy 则，故 B 正确； 2 2 21xy 对于选项 C,设复数，则，所以，故 C 正确； 1 zabi 2 zabi 2 1 2 2 0abiabzbiza 对于选项 D,复数的虚部是-3，故 D 错误故选：ABC 13zi 【点睛】本题考查了通过直接运算可判断 A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断 B；由共轭复数的 概念，运算后可判断 C；由复数虚部的概念可判断 D；即可得解,属于基础题. 10.已知函数 xx f xee ，给出以下四个结论正确的是（ ） A f x 是偶函数 B f x 的最小值为 2 C当 f x 取到最小值时对应的 0 x D f x 在 ,0 单调递增，在 0, 单调递减 【答案】ABC 【解析】对于选项 A，函数 xx f xee 的定义域为R， xx fxeef x ，函数 f x 为偶函数，A 选项正确； 对于选项 D，任取 1 x 、 2 0,x ，且 12 xx ，即 12 0 xx ，则 12 121212 121212 12 1111 xx xxxxxx xxxxxx ee f xf xeeeeee eeeee 1212 12 1212 1 1 1 xxxx xx xxxx eee ee ee ， 12 0 xx ，则 12 0 xx ， 12 xx ee ， 12 1 xx e ， 12 0f xf x ， 12 f xf x ，所以， 函数 f x 在区间 0, 上为增函数，由于该函数为偶函数，则函数 f x 在 ,0 上为减函数，D 选 项错误； 对于选项 B、C，函数 f x 在区间 0, 上为增函数，在 ,0 上为减函数， 当 0 x 时，函数 f x 取得最小值，即 min 02f xf ，B、C 选项均正确故选:ABC 【点睛】本题考查了函数的性质,属于基础题. 11.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为， 2sin 2 3 f xx 4 yg x 则下列结论正确的是（ ） A函数的图象关于直线对称 g x 3 x B函数的图象关于点对称 g x ,0 3 C函数在上单调递减 g x 5 , 24 24 D函数在上恰有 4 个极值点 g x0,2 【答案】AD 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得 2sin 2 3 f xx 4 2sin 2()cos(2) 433 g xxx 因为，所以函数的图象关于直线对称，即 A 正确； ()1 3 g g x 3 x 因为，所以函数的图象不关于点对称，即 B 错误； 1 () 32 g g x ,0 3 因为，所以函数单调递增，即 C 错误； 53 ,2, 24 24344 xx g x 因为，所以当时函数取得极值，即函数 0,2,2,4 333 xx 2,2 ,3 ,4 3 x g x 在上恰有 4 个极值点，D 正确；故选：AD g x0,2 【点睛】本题考查了平移变换以及三角函数图像与性质,属于基础题. 12.已知抛物线的焦点为 F，过 F 与 y 轴垂直的直线交抛物线于点 M，N，则下列说法正确的 2 :4xy 有（ ） A点 F 坐标为B抛物线的准线方程为 (1,0) 1y C线段 MN 长为 4D直线与抛物线相切 2yx 【试题来源】江苏省泰州市 2020-2021 学年高三上学期期未 【答案】BC 【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定 A 不正确，B 正确；令，可得求得， 1y 4MN 可判定 C 正确；联立方程组，根据，可判定 D 不正确 【解析】由抛物线，可得，即，且焦点在轴上，所以焦点为， 2 :4xy24p 2p y(0,1)F 准线方程为，所以 A 不正确，B 正确； 1y 令，可得，解得，所以，所以 C 正确； 1y 2 4x 2x 4MN 联立方程组，整理得，可得， 2 2 4 yx xy 2 480 xx 2 ( 4)4 80 所以直线与抛物线没有公共点，所以 D 不正确故选 BC 2yx 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,其中常见求解直线与抛物线的位置关系问题的方法类似于直 线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法 的思想来求，属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知，则___________ 656 0156 3111xaaxaxax 5 a 【答案】12 【解析】因为， 6 656 0156 321111xxaaxaxax 此二项式的展开式的通项为， 6 16 21 r rr r TCx 当时，所以,故选：C = 5r 5 5 66 21TCx 5 56 212aC 【点睛】本题考查了由二项式的展开式的通项求指定项系数,属于基础题. 6 16 21 r rr r TCx 14. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎 丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“在某种玩法中，用表示解 n a 下个圆环所需的移动最少次数，若且，则解下 6 个环 * 9,n nnN 1 1a 1 1 21, 22, n n n an a an 为偶数 为奇数 所需的最少移动次数为_____________ 【答案】31 【解析】， 1 1a 1 1 21, 22, n n n an a an 为偶数 为奇数 ， 21 211aa 32 224aa 43 217aa 54 2216aa ，所以解下 6 个环所需的最少移动次数为故答案为:31 65 2131aa 31 【点睛】本题考查了通过已知的递推关系求，属于基础题 6 a 15.如图所示，已知椭圆 E 经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在 x 轴上，离心率 e直 2,3A 1 F 2 F 1 2 线 l 是的平分线，则椭圆 E 的方程是__________，l 所在的直线方程是__________ 12 F AF 【答案】 22 1 1612 xy 210 xy 【解析】设椭圆方程为， （ab0） 22 22 1 xy ab 因为椭圆 E 经过点，离心率 e，所以e，1， 2,3A 1 2 22 ab a 1 2 22 49 ab 所以 a216，b212，所以椭圆方程 E 为； 22 1 1612 xy 由椭圆方程可得，因为， 1 2,0F 2 2,0F2,3A1 303 = 2+24 AF k 所以 AF1方程为，AF2方程为 x2， 34 +6=0 xy 设角平分线上任意一点为 P（x，y） ，则 346 5 xy 2x 得或，因为斜率为正，所以直线方程为； 210 xy 280 xy210 xy 故答案为:； 22 1 1612 xy 210 xy 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及角平分线的运用,属于中档题. 16.我国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称 之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵” ，底面是以为斜边的直角三角形， 111 ABCABCABCAB 且，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥5AB 3AC P 1 BB 1 PCPC 1 APC 的外接球的表面积为 . PABC 【答案】45 【解析】由“堑堵”的定义可知，为直角三角形，故，ABC4 22 ACABBC 易知，又，所以平面，于是得 1 PCAC 1 PCPC 1 PCAPC 1 PCAP 设，则，zBB 1 tBP tzPB 1 则， 222 25tBPABAP 2 2 1 2 111 16tzPBCBPC ， 22 1 2 1 9zCCACAC 由，得，整理得， 1 PCAP 2 22 16259tztz t tz 16 所以 2 2 2 2 1 16 1616 t tzPC 所以 2 22 2 2 1 400 41225 16 16 2 1 2 1 1 t tt t PCAPS APC ，当且仅当，即时的面积取得最小值，此18 400 2412 2 2 t t 2 2 400 t t 52t 1 APC18 时，535225 2 2 AP 设三棱锥的外接球半径为，由图可知，线段为外接球的直径ABCP RAP 故所求外接球的表面积.故答案为:45 4 45 4S45 【点睛】本题考查了空间线面位置关系、基本不等式求最值以及空间几何体外接球的表面积，属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在中，角的对边分别为，且， ， .在； ABCA , ,A B C, ,a b c 2BA 9 4 ca 2a ；的面积为.这三个条件中任选一个，补在上面条件中，若问题中三角形存在， 13b ABCA 9 39 16 求的周长；若问题中三角形不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计 ABCA 分. 【答案】答案见解析 【解析】 若选，由，知， 2a 9 2 c 由得，即，即， 2BAsinsin2BAsin2sincosBAA2 cos4cosbaAA 在中由余弦定理得：， ABCA 222 2cosabcbcA 即，所以， 2 819 4(4cos)2(4cos) cos 42 AAA 2 13 cos 16 A 由，故， 0, 2 A 13 cos 4 A 所以， 4cos13bA 所以三角形周长为 913 21313 22 l 若选，由得，即，即， 2BAsinsin2BAsin2sincosBAA2 cosbaA 而，所以，即， 13b 132 cosaA 13 cos 2 A a 在中由余弦定理得：， ABCA 222 2cosabcbcA 即， 2 22 9913 ( 13)213 442 aaa a 即，即，所以， 2 4a 2a 99 2 42 c 所以三角形周长为 913 21313 22 l 若选，由得， ，即， 2BAsinsin2BAsin2sincosBAA2 cosbaA 三角形面积 ABCA 2 11999 39 sin2 cossinsincos 224416 SbcAaAaAaAA 由，得，而， 9 4 ca 9 sinsin 4 CA sinsin(2 )sin3CAAA 即， 9 sinsincos2cossin2sin 4 CAAAAA 而，即， sin A0 2 9 cos22cos 4 AA 所以，所以， 2 9 4cos1 4 A 2 13 cos 16 A 由，所以， 0, 2 A 13 cos 4 A 3 sin 4 A 于是， 2 93139 39 44416 a 所以，即，所以， 2 4a 2a 99 2 42 c 所以三角形周长为. 913 21313 22 l 【点睛】本题考查了解三角形的问题，考查了余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换，属于基础题. 18.已知等差数列的前 n 项和为，p，且.数列满足 n a 2 n Spnnq qR n N3 6a n b . 2 2log nn ab （1）求 pq 的值； （2）设数列的前 2n 项和为，证明：. ( 1)n nn ab 2n T 2 3 n T 【答案】 （1），；（2）证明见解析. 1p 0q 【解析】 （1）， 11 1aSpq 221 42(1)31aSSpqpqp ，解得. 332 51aSSp 3 651ap1p 由得，解得. 213 2aaa 2426q0q ，. 1p0q （2）等差数列的公差，. n a 21 422daa22(1)2 n ann ，解得. 2 2log nn ab 2 22log n nb2 n n b . ( 1)( 1)2( 2) nnn nn abn 数列的前项和 ( 1)n nn ab 2n 2 2( 12)( 34)( 212 ) n Tnn ， 2 21 22 2 1 ( 2) 22 2( 2)( 2)22 1 ( 2)3 n n n nn 又， 2 22 1 1 220 n nn TT 关于 n 递增，. 2n T 22 2243 n TT 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、并项求和以及利用数列单调性证明不等式，属于基础题. 19.“硬科技”是以人工智能航空航天生物技术光电芯片信息技术新材料新能源智能制造等为代表的 高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入持续积累才能形成的原创技术，具 有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造 自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 x(单位：千 万元)对年销售量 y(单位：千万件)的影响，统计了近 10 年投入的年研发费用 x，与年销售量( i y )的数据，得到如图所示的散点图. i1,2,3,10 （1）利用散点图判断，和(其中 a，b，c，d 为大于 0 的常数)哪一个更适合作为年 yabxlnycdx 研发费用 x 和年销售量 y 的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由) （2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表： xyw 10 2 i i 1 ()xx 10 2 i i 1 ()ww 10 ii i 1 ()()xxyy 10 ii i 1 ()()wwyy 9.429.723665.5439.255 其中令，. 1i lnwx 10 i i 1 1 10 ww 根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测投入的年研发费用 28 千万元时的年销 售量； （3）从这 10 年的数据中随机抽取 3 个，记年销售量超过 30(千万件)的个数为 X，求 X 的分布列和数学期 望. 参考数据和公式：，.对于一组数据，其回归直线 ln20.69ln71.9511 ( ,)u v 22 (,)u v(,) nn u v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. AA vu A11 2 22 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii uvnuvuu vv unuuu AA vu 【答案】 （1）更适合；（2）回归方程为，预报值(千万件)；（3）分布 lnycdx 9.710lnyx 43 列见解析，期望为. 6 5 【解析】 （1）由散点图知，结合对数函数的图象与性质，选择回归类型，更适合； lnycdx （2）令，先建立 y 关于 w 的线性回归方程， lnwx ycdw 由，则， 10 1 10 2 1 ()() 55 10 5.5 () ii i i i wwyy d ww 29.7 10 29.7cydw 所以 y 关于 w 的线性回归方程为， 9.710 y w 因此 y 关于 x 的回归方程为， 9.710lnyx 当年研发费用 28 千万元，即时， 28x 年销售量 y 的预报值(千万件). 9.710ln289.710(2ln2ln7)43y （3）由散点图可知这 10 年的数据中，年销售量超过 30(千万件)的个数有 4 个， 所以的取值为 0，1，2，3， X ； 30 64 3 10 C C1 (0) C6 P X 21 64 3 10 C C1 (1) C2 P X 12 64 3 10 C C3 (2) C10 P X ， 03 64 3 10 C C1 (3) C30 P X 则随机变量的分布列为 X X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 所以. 11316 ()0123 6210305 E X 【点睛】此题考查了离散型随机变量的分布列及期望的求法，线性回归方程的应用，属于中档题. 20.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且满足， SABCD/ /ABCD ，平面平面.为线段的中点，为 ,9,6,12BCAB ABBCCDSDSB SCD SBCMSCN 线段上的动点. （1）求证：平面平面； SCD ABCD （2）设，当二面角的大小为 60时，求的值. (0)ANNB CDMN 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 7 2 【解析】证明：（1）.为等腰三角形. SDCDSDCA 又为的中点，. MSCDMSC 又平面平面，平面平面且平面， SCD SBCSCDSBCSCDM SCD 由平面与平面垂直的性质定理可知，平面. DM SBC 又平面，由直线与平面垂直的性质可知 BC SBCDMBC 又平面，平面. ,BCCD DMDCD DM SCDCD SCD 平面 BC SCD 又平面， BC ABCD 平面平面 SCD ABCD （2）(方法一)由（1）可知，平面，. BCSDCBCSC 在中，. Rt SCB 22 SCSBBC 22 1261086 3 在中，由余弦定理可知， SDC 222222 66(