2021届高三高考数学适应性测试八省联考考后仿真系列卷四（原卷+解析）.zip

2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷四四 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.设集合，集合，则等于（ ） |1Ax yx 2 |20Bxxx R C AB ABCD 0,21,20,12, 2.2020 年的高中学业水平测试结束后，某校统计了该校学业水平测试中的数学成绩，绘制成如图所示的频 率分布直方图，则该校学业水平测试中的数学成绩的中位数估计为（ ） A. 70B. 71C. 72D. 73 3.已知是一元二次方程的两个不同的实根，则“且”是“且 12 ,x x 2 0axbxc 12 ,x x 1 1x 2 1x 12 +2xx ”的（ ） 12 1xx A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没 “三药”分别为金花清 感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医 生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的方法种数为（ ） A15B30C6D9 5.已知向量与的夹角为，且，则等于（ ） a b 3 1a 27ab b A. B. C. 1D. 32 3 2 6.函数在的图象大致为( ) 2 ( ) ln(1) xx ee f x x 3,3 A. B. C. D. 7.已知数列的前项和为，若，且，则（ ） n a nn S nn Sna 24660 1860SSSS 1 a A. 8B. 6C. 4D. 2 8.在平面直角坐标系中，已知为圆上两个动点，且，若 xOy,A B 22 :()(2)4Cxmy| 2 3AB 直线上存在唯一的一个点，使得，则实数的值为（ ） :2l yx P OCPAPBm A. 或B. 或 511515 15 C. 或D. 或 51155115 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知复数满足为虚数单位 ，复数的共轭复数为，则（ ） z (2i)iz( i ) zz A. B. 3 | 5 z 12i 5 z C. 复数的实部为D. 复数对应复平面上的点在第二象限 z1z 10.已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻 (0,0,0)f xAcosxA ,3 12 的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） ,0 6 f x 6 g x A. 为偶函数B. 的一个单调递增区间为 g x g x 5 , 12 12 C. 为奇函数D. 在上只有一个零点 g x g x 0, 2 11.已知点是双曲线方程：的右支上的一点，分别是双曲线的左右焦点，且 MC 2 2 1 9 y x 1 F 2 F C ，双曲线的右顶点为，则下列说法正确的是（ ）. 12 3 FMF CA A. B. 双曲线的渐近线方程为 21 9 3 F MF S A3yx C. 的内切圆与轴相切于点D. 12 FMF xA10e 12.设是函数的导函数，若对任意，都有，则下列说法一 fx f xxR xR 20f xxfx 定正确的是（ ） A. B. 为增函数 421ff f x C. 没有零点D. 没有极值点 f x f x 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁 4 名医生中选择 2 人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医 生被选择的机会均等，则甲、乙 2 人中至少有 1 人被选择的概率为__________. 14.某圆锥母线长为 4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥高为________. 15.已知二次函数(，均为正数)过点，值域为，则的最大值为 2 yaxbxc abc 1,10, ac ______；实数满足，则取值范围为_______. 1 ba 16.已知函数有且仅有 3 个不同的零点，且，则 4cos2f xaxxa aR 1 x 2 x 3 x 123 xxx ______. 132 sin 4 xxx 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列的前项和为，且. n a nn S2347 nn San （1）证明：数列为等比数列； 2 n a （2）若，求数列的前项和. 1 2 11 n n nn a b aa n b n n T 18.在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知，成等差数列. ABCAcosaCcosbBcoscA （1）求角 B 的大小； （2）若，求的值. 4 cos 5 A sinC 19.如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ABOCOABDCO ，. /DC EB1DCEB4AB （1）证明：平面平面； ADE ACD （2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值. CDAEB 20.江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文 312 3 理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣， “ ”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“” 122 指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的； 42 3 4 并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为 2 3 4 5 （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量 X 求随机变量的概率； 2X 求的概率分布列以及数学期望 X 21.如图，已知椭圆，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，C，D 在椭圆上，点 D 在第一 22 :1 42 xy 象限.CB 的延长线交椭圆于点 E，直线 AE 与椭圆y 轴分别交于点 FG，直线 CG 交椭圆于点 H，DA 的延长线交 FH 于点 M. （1）设直线 AECG 的斜率分别为，求证：为定值； 1 k 2 k 1 2 k k （2）求直线 FH 的斜率 k 的最小值； 22.已知函数. 12 sinf xxxx （1）当时，求零点的个数； , 2 x yf x （2）当时，求极值点的个数. 0,2x yf x2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷四四 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.设集合，集合，则等于（ ） |1Ax yx 2 |20Bxxx R C AB ABCD 0,21,20,12, 【答案】C 【解析】集合， |1 |10 |1Ax yxx xx x 集合，则， 2 0 |2002|2|Bxx x xxxxx |1 R C Ax x ，故选 C |010,1 R C ABxx 【点睛】本题考查了函数的定义域、一元二次不等式的解法以及集合运算，属于基础题. 2.2020 年的高中学业水平测试结束后，某校统计了该校学业水平测试中的数学成绩，绘制成如图所示的频 率分布直方图，则该校学业水平测试中的数学成绩的中位数估计为（ ） A. 70B. 71C. 72D. 73 【答案】D 【解析】由频率分布直方图知， 0.050.150.200.400.50.050.150.200.300.5 所以数学成绩的中位数在，内， 7080) 设中位数为，则， x 0.40(70)0.0300.50 x 解得故选：D 73.373x 【点睛】本题考查了频率分布直方图找中位数的方法：先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边 面积为 0.5 的点 P，点 P 对应的数就是中位数，属于基础题. 3.已知是一元二次方程的两个不同的实根，则“且”是“且 12 ,x x 2 0axbxc 12 ,x x 1 1x 2 1x 12 +2xx ”的（ ） 12 1xx A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若且，则； 1 1x 2 1x 12 12 2 1 xx x x 但是时，满足，但不满足 12 1 4, 2 xx 12 12 2 1 xx x x 12 1,1xx 所以“且”是“且”的充分不必要条件故选:A. 1 1x 2 1x 12 +2xx 12 1xx 【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判别以及一元二次方程韦达定理,属于基础题. 4.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没 “三药”分别为金花清 感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医 生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的方法种数为（ ） A15B30C6D9 【答案】D 【解析】根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，恰好选出 1 药 1 方， 则 1 药的取法有 3 种，1 方的取法也有 3 种，则恰好选出 1 药 1 方的方法种数为；故选：D 3 39 【点睛】本题考查了排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 5.已知向量与的夹角为，且，则等于（ ） a b 3 1a 27ab b A. B. C. 1D. 32 3 2 【答案】C 【解析】向量与的夹角为，且， a b 3 1a 27ab ，即， 1 cos 32 a babb 2 27ab 22 447aa bb ，.故选：C. 2 427bb 2 230bb 1b 【点睛】本题考查了数量积定义的综合应用，属于基础题. 6.函数在的图象大致为( ) 2 ( ) ln(1) xx ee f x x 3,3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数， 2 ( ) ln(1) xx ee f x x 则，所以为奇函数，排除 B 选项； 2 ()( ) ln(1) xx ee fxf x x ( )f x 当时，所以排除 A 选项； x 2 ( ) ln x e f x x 当时，排除 D 选项； 1x 11 2.720.37 (1)3.4 ln(1 1)ln20.69 eeee f 综上可知，C 为正确选项，故选：C. 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基 础题. 7.已知数列的前项和为，若，且，则（ ） n a nn S nn Sna 24660 1860SSSS 1 a A. 8B. 6C. 4D. 2 【答案】D 【解析】， nn Sna 1 (),2 nnn Sn SSn ，变形得 1 1,2 nn nSnnS 1 ,2 1 nn SS n nn 所以数列是每项均为的常数列，即 n S n 1 S 1 n S S n 11n SnSna 又 24660 1860SSSS 111111 30 62 24660246601860 2 aaaaaa LL 解得： 故选：D 1 2a 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系求数列通项公式，及等差数列求和，题目涉及，利用 n S 将已知条件转化为，从而得到数列是每项均为的常数列 1 2 nnn aSSn 1 ,2 1 nn SS n nn n S n 1 S 是解题的关键，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于中档题. 8.在平面直角坐标系中，已知为圆上两个动点，且，若 xOy,A B 22 :()(2)4Cxmy| 2 3AB 直线上存在唯一的一个点，使得，则实数的值为（ ） :2l yx P OCPAPBm A. 或B. 或 511515 15 C. 或D. 或 51155115 【答案】B 【解析】取的中点，连接，有， AB QCQCQAB 22 |431CQACAQ 故点在圆上， Q 22 (x m)(y 2)1 由，设点的坐标为，点的坐标为， 2OCPAPBPQ P (t, 2t)Q( , )x y 有，可得， (m,2)2(x t,y 2 ) t 2 m xt 1 2yt 有，得， 22 (tm)(1 2t 2)1 2 m 22 (t)(2t 1)1 2 m 整理为， 2 2 5(4m)t0 4 m t 因为直线上存在唯一的一个点，则， :2l yx P 22 (4)50mm 得或，故选：B. 15m 15m 【点睛】本题考查了平面解析几何中直线与圆的位置关系以及向量的坐标运算，属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知复数满足为虚数单位 ，复数的共轭复数为，则（ ） z (2i)iz( i ) zz A. B. 3 | 5 z 12i 5 z C. 复数的实部为D. 复数对应复平面上的点在第二象限 z1z 【答案】BD 【解析】因为复数满足，所以 z (2i)iz (2)12 22(2)55 iii zi iii 所以，故 A 错误； ，故 B 正确； 22 125 555 z 12 55 zi 复数的实部为 ，故 C 错误； z 1 5 复数对应复平面上的点在第二象限，故 D 正确.故选：BD z 1 2 , 5 5 【点睛】本题考查了复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 10.已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻 (0,0,0)f xAcosxA ,3 12 的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） ,0 6 f x 6 g x A. 为偶函数B. 的一个单调递增区间为 g x g x 5 , 12 12 C. 为奇函数D. 在上只有一个零点 g x g x 0, 2 【答案】BD 【解析】由题意，可得，所以，可得， () 46124 T T 2 2w T 所以， 3cos(2)f xx 因为，所以， ()3cos2 ()3 1212 f 2, 6 kkZ 因为，所以，即， 0 6 3cos(2) 6 f xx 所以， 3cos2()3cos(2) 666 g xxx 可得函数为非奇非偶函数， g x 令，可得， 222, 6 kxkkZ 5 , 1212 kxkkZ 当时，函数的一个单调递增区间为； 0k g x 5 , 12 12 由，解得， 2, 62 xkkZ , 3 xkkZ 所以函数在上只有一个零点.故选：BD g x 0, 2 【点睛】本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质，其考查逻辑推理与运算能力,属于 基础题. 11.已知点是双曲线方程：的右支上的一点，分别是双曲线的左右焦点，且 MC 2 2 1 9 y x 1 F 2 F C ，双曲线的右顶点为，则下列说法正确的是（ ）. 12 3 FMF CA A. B. 双曲线的渐近线方程为 21 9 3 F MF S :3yx C. 的内切圆与轴相切于点D. 12 FMF xA10e 【答案】ABCD 【解析】对于选项 A，设，则， 12 ,MFm MFn 2mn 22 24mnmn 由余弦定理可得，则可得， 2 22 22cos40 3 cmnmn 36mn ，故 A 正确； 12 1 sin9 3 23 F MF Smn : 对于选项 B，故渐近线方程为，故 B 正确； 1,3ab 3 b yxx a 对于选项 C，设内切圆与，分别相切于， 1212 ,MF MF FF,P Q R 则， MPMQ 11 FPFR 22 F QF R ，即，即， 12 22MFMFa 12 2MPPFMQQF 12 2PFQF ，即点，故 C 正确； 12 2FRFR 12 10,0 ,10,0FF 1,0R A 对于选项 D，故 D 正确. 故选：ABCD. 1,3ab 22 10cab 10 c e a 【点睛】本题考查了双曲线焦点三角形的问题，需正确理解双曲线的定义，能够利用定义进行转化,属于 中档题. 12.设是函数的导函数，若对任意，都有，则下列说法一 fx f xxR xR 20f xxfx 定正确的是（ ） A. B. 为增函数 421ff f x C. 没有零点D. 没有极值点 f x f x 【答案】AC 【解析】令，则， 2 g xx f x 2gxxf xxfx 因为对任意，都有， xR 20f xxfx 所以时，；当时，； 0 x 20gxxf xxfx 0 x 20gxxf xxfx 因此在上单调递减，在上单调递增， g x()0， (0)， 所以，所以选项 A 正确； (2)(1)4 (2)(1)ggff 又，所以时，即；又由知，所以对， (0)0g 0 x ( )0g x( )0f x 2 ( )( )0f xxfx(0)0f xR 有，所以选项 C 正确； ( )0f x 取，则满足题设条件，但此时函数在上单调递减，在上单调递增， 2 ( )1f xx( )f x( )f x()0，(0)， 在处取得极小值；所以选项 BD 错误. 故选：AC. 0 x 【点睛】本题考查了利用构造法构造函数，结合题中条件判定其单调性，结合其单调性及题 2 g xx f x 中条件，即可求解,属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁 4 名医生中选择 2 人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医 生被选择的机会均等，则甲、乙 2 人中至少有 1 人被选择的概率为__________. 【答案】 5 6 【解析】由题得甲乙都不被选择的概率为, 2 2 2 4 1 6 C C 由对立事件的概率公式得甲、乙 2 人中至少有 1 人被选择的概率为. 故答案为： 15 1 66 5 6 【点睛】本题考查了利用古典概型的概率公式求解，其中排列组合问题常用的方法有：一般问题直接法、 相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题 分类法等，这里运用了至少问题间接法，属于基础题. 14.某圆锥母线长为 4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥高为________. 【答案】2 3 【解析】设圆锥底面半径为，则，所以， r24r2r = = 则圆锥高.故答案为： 22 422 3h 2 3 【点睛】本题考查了利用圆锥的底面周长等于半圆面的弧长求出圆锥底面半径，再由勾股定理即可求解, 属于基础题. 15.已知二次函数(，均为正数)过点，值域为，则的最大值为 2 yaxbxc abc 1,10, ac ______；实数满足，则取值范围为_______. 1 ba 【答案】 (1). (2). 1 16 2 2, 【解析】因为二次函数(，均为正数)过点， 2 yaxbxc abc 1,1 ， 1(0,0,0)bcaabc 开口向上且值域为， 0, ， 2 40bac 2 abc ， 21bcaacca ， 2 ()1ac1ac ，即，当且仅当时等号成立. 12acac 1 2 ac 1 4 ac 即，当且仅当 时等号成立， 1 , 4 ac 1 16 ac 1 4 ac 的最大值为 (当且仅当时最大)， ac 1 16 1 4 ac ， 2 1(1)221abacaaaa ， 11 2222aa aa ，即 ， 22111acaab 220aa ， 0aa ， 10,01aaaaa ， 01a ，当且仅当时，即时，等号成立. 1 2 222 22a a 1 2 a a 1 2 a 又时， 0a 1 a ， 2 2, 故答案为：； 1 16 2 2, 【点睛】本题考查了利用基本不等式求出最值，再由已知条件可得，利用基本不等式 1 22a a 结合，即可求取值范围,利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 01a “一正二定三相等” “一正”就是各项必须为正数；“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的 二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；“三相等”是利用基 本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，属于中档题. 16.已知函数有且仅有 3 个不同的零点，且，则 4cos2f xaxxa aR 1 x 2 x 3 x 123 xxx ______. 132 sin 4 xxx 【答案】2 【解析】因为函数有且仅有 3 个不同的零点， 4cos2f xaxxa aR 所以有且仅有 3 个不等的实数根，即有且仅有 3 个不等的实数根. 0f x cos24xaxa 令， cos2g xx 4h xaxa 则与的图象有且仅有 3 个不同的公共点， g x h x 因为且，所以为的一个零点， 0 4 h 0 4 g 4 f x 又因为 的图象关于 对称，直线恒过定点， g x ,0 4 yh x ,0 4 123 xxx 所以且，所以,故答案为：. 123 4 xxx 13 2 xx 132 sinsin 4222 xxx 2 【点睛】本题考查了余弦函数图象的对称性，考查了函数的零点，考查了函数与方程思想，考查了化归思 想，属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列的前项和为，且. n a nn S2347 nn San （1）证明：数列为等比数列； 2 n a （2）若，求数列的前项和. 1 2 11 n n nn a b aa n b n n T 【答案】 （1）答案见解析（2） 11 42 32 n nn T 【解析】 （1）当时，则. 1n 11 233aa 1 3a 当时，因为，所以， 2n 2347 nn San 11 23411 nn San 则，即. 1 234 nnn aaa 1 34 nn aa 从而，即. 1 232 nn aa 1 2 3 2 n n a a 因为，所以. 1 3a 1 21a 所以数列是以 1 为首项，3 为公比的等比数列. 2 n a （2）由（1）可得，即. 1 23n n a 1 32 n n a 因为，所以. 1 2 11 n n nn a b aa 1 1 1 3111 2 313131 31 n n nn nn b 则， 0112211 111111111 23131313131313131 n nnnn T 故. 0 11111111 23131223142 32 n nnnn T 【点睛】本题考查了等比数列的证明以及裂项相消的方法求数列的前 n 项和，需注意第一问只需数列的第 n 项与第 n-1 项之比为非零常数即可;属于基础题. 18.在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知，成等差数列. ABC:cosaCcosbBcoscA （1）求角 B 的大小； （2）若，求的值. 4 cos 5 A sinC 【答案】 （1）；（2）. 3 34 3 10 【解析】 （1），成等差数列， cos,aC cosbBcoscA ， 2 coscoscosbBaCcA 由正弦定理， 2sincossincossincossin()BBACCAAC 中， ABC:ABC sin()sin()sinACBB ， 2sincossinBBB 又， (0, )B sin0B ，. 1 cos 2 B 3 B （2）， (0, )A sin0A ， 2 3 sin1 cos 5 AA sinsin()sincossincosCABABBA . 314334 3 525210 【点睛】本题考查了利用三个数成等差数列列出对应等式以及利用正弦定理进行边化角，然后再根据 结合两角和的正弦公式求解出的值,利用正、余弦定理解三角形需注意： sinsinCAB sinC 隐含条件“”的使用；利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函 ABC 数值时，注意说明其不为;属于基础题. 0 19.如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ABOCOABDCO ，. /DC EB1DCEB4AB （1）证明：平面平面； ADE ACD （2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值. CDAEB 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 2 6 【解析】 （1）证明：是圆的直径， ABOACBC 平面，平面，又，平面， DC ABCBC ABCDCBCDCACCBCACD ，四边形是平行四边形，平面， /DC EBDCEBDCBE/DE BC DE ACD 又平面，平面平面. DE ADEACD ADE （2）当点为半圆的中点时， C2 2ACBC 以为原点，以，为坐标轴建立空间坐标系如图所示： CCACBCD 则， 0 01D， 0 2 21E， 2 2 0 0A， 0 2 2 0B， ， 2 2,2 2,0AB 0,0,1BE （） 0,2 2,0DE (2 2,0, 1)DA 设平面的法向量为，平面的法向量为， DAE 111 ,mx y z （） , ABE 222 ,nxyz （） 则，即， 0 0 m DA m DE 0 0 AB BE n n 11 1 2 20 2 20 xz y 22 2 2 22 20 0 xy z 令得，令得. 1 1x 1,0,2 2m 2 1x 1,1,0n . 12 , 632 m n cos m n m n 二面角是钝二面角， DAEB 二面角的余弦值为. DAEB 2 6 【点睛】本题考查了空间立体几何中面面垂直的证明，利用建系法求解二面角的余弦值，属于中档题. 20.江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文 312 3 理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣， “ ”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“” 122 指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的； 42 3 4 并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为 2 3 4 5 （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量 X 求随机变量的概率； 2X 求的概率分布列以及数学期望 X 【答案】 （1）；（2）；分布列见解析，. 7 10 441 1000 21 10 E X 【解析】 （1）该校最终选地理的学生为事件，； A 32147 434510 P A 因此，该校最终选地理的学生为； 7 10 （2）由题意可知，所以，； 7 3,10XB : 2 2 3 73441 2 10101000 P XC 由于，则， 7 3,10XB : 3 327 0 101000 P X ， 12 1 3 73189 1 10101000 P XC 2 2 3 73441 2 10101000 P XC ， 3 3 3 7343 3 101000 P XC 所以，随机变量的分布列如下表所示： X X0123 P 27 1000 189 1000 441 1000 343 1000 721 3 1010 E X 【点睛】本题考查了利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，同时也考查了利用二项分布计算随机 变量的概率分布列以及数学期望，考查计算能力，属于中等题. 21.如图，已知椭圆，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，C，D 在椭圆上，点 D 在第一 22 :1 42 xy 象限.CB 的延长线交椭圆于点 E，直线 AE 与椭圆y 轴分别交于点 FG，直线 CG 交椭圆于点 H，DA 的延长线交 FH 于点 M. （1）设直线 AECG 的斜率分别为，求证：为定值； 1 k 2 k 1 2 k k （2）求直线 FH 的斜率 k 的最小值； 【答案】 （1）证明见解析；（2）； 6 2 【解析】 （1）由对称性，设， 0 (,0)A x 0 (,0)Bx 00 ,Exy 00 ,Cxy 则，得， 0 0 :() 2 y AE yxx t 0 0, 2 y G 故，则， 0 1 0 2 y k x 0 2 0 3 2 y k x 1 2 1 3 k k （2）由， 0 2 : 2 y CG yk x 联立， 20 222 0 220 22 122402 2 240 y yk xy kxk y x xy 由根与系数的关系可得 ，所以， 2 0 0 2 2 4 2 12 H y x k x 2 0 2 02 4 2 12 H y x xk 所以，可得， 2 0 2 0 2 02 4 2 212 H y k y y xk 2 2 0 0 2 0 22 0202 4 4 2 2 , 21212 y y k y H xkxk 又，联立， 0 1 : 2 y AE yk x 20 221 0 110 22 122402 2 240 y yk xy kxk y x xy 由根与系数的关系可得 ，所以， 2 0 0 2 1 4 2 12 F y x k x 2 2 01 0 4 2 12 F y x xk 所以可得：， 2 0 0 2 1 10 4 2 212 F y k y y xk 2 2 0 0 1 0 22 0101 4 4 2 2 , 21212 y y k y F xkxk 所以 12 22 11 1212 1211 22 12 231121221 11 223 1212 HF FH HF kk kkyykkk k k xxkkkk kk ， 2 111 111 1 666116 2 444442 kkk kkk 由图知，所以即, 1 0k 11 11 66116 2 44442 kk kk 6 2 FH k 当且仅当即取等. 1 1 61 44 k k 1 6 6 k 所以直线 FH 的斜率 k 的最小值为. 6 2 【点睛】本题考查了通过对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证； , , ,A B E C AECG 由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦 CGHAE 达定理可求出点坐标，即可表示出直线 FH 的斜率,利用基本不等式即可求最值；属于中档题. F 22.已知函数. 12 sinf xxxx （1）当时，求零点的个数； , 2 x yf x （2）当时，求极值点的个数. 0,2x yf x 【答案】 （1） 个；（2）个. 12 【解析】 （1）由题意，则， 12 sinf xxxx , 2 x 1 sin2 cosfxxxx 由于，又，所以，在上单调递增， 2 x cos0 x sin1x 0fx f x , 2 因为，所以函数在上有唯一零点； 30 2 f 10f f x , 2 （2）由题意，则. 12 sinf xxxx0,2x 1 sin2 cosfxxxx 令，. 1 sin2 cosh xxxx 2 sin2cosh xxxx 当时，因为， 0 4 x 2 cos 2 x 2 12cos12120 2 x 所以， 1 sin2 cos1 2cossincos0fxxxxxxxx 所以，函数在区间上单调递减，无极值点； f x 0, 4 当时，当时，因为，所以 4 x 0 2 h 2 x cos0 x ， 2 sin2cos0h xxxx 所以从在上是增函数，即， h x , 2 0 2 h xh ( )0fx 当时， 42 x 0 44 x sincos2sin0 4 xxx 所以， 2 sin2cos2 sincossin0h xxxxxxxx 所以在是增函数，即，所以是在上的极小值 h x , 4 2 0 2 h xh 0fx 2 f x , 4 点； 当时，则，所以函数无极值点； 3 2 x sin0 x cos0 x 0fx f x 当时，所以， 3 2 2 x cos0 x sin0 x ( )2 sin2cos0h xxxx 所以从在上是减函数，且， h x 3 ,2 2 3 20 2 h 2210h 所以在上有唯一的零点. h x 3 ,2 2 2 x 当时；当时，所以是函数的一个极大值点. 2 3 2 xx 0fx 2 2xx 0fx 2 xx f x 综上所述，函数存在两个极值点. f x 【点睛】本题考查了利用导数分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可得出结 yf x , 2 论；利用导数分析函数在区间、的单调性以及符号变化， yfx 0, 4 , 4 3 , 2 3 ,2 2 结合零点存在定理可得出结论,属于稍难题.