1、数学数学(文科文科) 本试卷共 4 页，23 题(含选考题).全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意事项： 答题前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位 置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷稿和答题卡上的非答题区 域均无效. 4.选考题的作答： 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题 区域内，写在试卷草稿纸和答
2、题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一一 选择题选择题：本题共：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1.若集合 1 0 ,lg0, 2 Mx x xNxx 则MN（ ） A. 1 , 2 B. 1 ,1 2 C.(0，1) D. 1 0, 2 2.若复数z满足2 13 (z ii i 是虚数单位),则z （ ） A. 31 22 i B. 31 22 i C. 31 22 i D. 31 22 i 3.函数 ln, 1
3、0 e ,01 ax xx f x x 剟 (,aR e是自然对数的底数)且 12f，则 4 1 log 3ff e （ ） A. 13 B. 13 C.1 3 D.1 3 4.若直线 1ymx被圆 22 1 4 xy截得的弦长是 5 , 5 则实数m（ ） A. 19 B. 21 3 C. 11 3 D.2 5.在数列 n a中 * 11 211 ,2 nnn nNn aaa 且. 20202022 22 , 35 aa则 2023 a（ ） A. 7 2 B. 2 7 C. 1 3 C.3 6.执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ） A.-4 B.-8 C. 20 3 D. 112
4、15 7，某校对数学特长生进行了一次培训，培训结束后进行了一次考核，为了解本次培训活动的效果，从 AB 两个实验班随机各抽取 10 名学生的考核成绩， 如茎叶图所示.将学生的考核成绩分为两个等级， 如下表所示， 现从样本考核等级为优秀的学生中任取两人，则两人来自同一实验班的概率是（ ） 考核成绩 60,85 86,100 考核等级 合格 优秀 A. 3 5 B. 2 5 C. 3 10 D. 1 5 8.已知圆锥的顶点为,A过母线 ,AB AC的截面面积是2 3.若,AB AC的夹角是60 ,且AC与圆锥底面所 成的角是30，则该圆锥的表面积是（ ） A.2 2 B. 2 36 C. 4 26
5、 D. 4 36 9.设0，将函数 sin4 3 f xx 的图象向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度， 得到函数 yg x的图象.若 g x在区间, 12 3 上单调递增，在区间 5 , 3 12 上单调递减，则 （ ） A. 3 6, 2 kkN B. 3 6, 2 kkN C. 3 2 D.3 10.在ABC中，角 , ,A B C的对边分别是, , ,a b c向量2,sin,mbcC 向量sin ,2nBcb，且满足 2 sin ,m naA则角A （ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 11.设 ,aR e 为自然对数的底数，函数 sin x f x
6、eax在0,内有且仅有一个零点，则a（ ） A.e B.-1 C. 4 e D. 4 2e 12.斜率为k的直线l与抛物线 2 :3C yx交于 ,A B两点，若|4,AFBF 则k的取值范围是（ ） A. 1515 , 55 B. 1515 ,00, 55 C. 1515 , 33 D. 1515 ,00, 33 二二 填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若一组数据 123 , n x x xx的平均数是 30，另一组数据 112233 , nn xy xy xyxy的平均数是 70,则第三组数据 123 41,41,41,41
7、n yyyy的平均数是_. 14.若直线220 xy与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两交点在x轴上的射影落在该双曲线的两个 焦点上，则该双曲线的离心率是_. 15.设点O是ABC外接圆的圆心， 3,AB 且AO BC 4.则 sin sin B C 的值是_. 16.如图 1， 在一个正方形 1234 S S S S内， 有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来， 使 1234 ,S S S S重合于点,S且折叠后的四棱雉SABCD的外接球的表面积是16 (如图 2)，则四棱锥 SABCD的体积是_. 三三 解答题解答题：共：共 70 分分.解答应写
8、出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17.(12 分) 为响应习近平总书记在党的十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召， 某市旅游局筹划共投入 4 千万元，对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值作了初步的估计，根据 旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如图所示频率分布直方图，由于操 作失误，横轴的数据丢失，
9、但可以确定横轴是从 0 开始计数的. （1） 旅游局在投入 4 千万元的治理经费下， 估计全市旅游景区收益增加值的平均数为多少万元(以各组的区 间中点值代表该组的取值)； （2）若旅游局投入不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据： 投入的治理经费先(单位：千万元) 1 2 3 4 5 6 7 收益的增加值 y(单位：万元) 2 3 2 7 7 9 将第（1）问结果填入表格后，数据显示 x 与 y 之间存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅游局还谋划使 全市旅游景区收益的总额至少增加 10 万元，试估计在此目标下，旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少 千万元的治理经费？(答案精确到 0
10、.01). 参考公式：回归直线方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 11 222 11 ()()( ) , ( nn iiii ii nn ii ii xxyyxxnx y baybx xxxnx 18.(12 分) 已知数列 n a的前n项和为 * 11 ,1,1, nnn S aamSnNmR 且1m . （1）证明： n a是等比数列; （2）若 63 9,SS求m的值和数列 n a的通项公式. 19.(12 分) 在等腰梯形ABCD中，/ /,2,ABCD ABDC E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿EDCC、向上 折起，使AB、重合于点.P （1）在折后的三棱锥P
11、DCE中，证明:PECD； （2）若60DEC，且折后的三棱锥PDCE的表面积是3，求三棱锥PDCE的体积. 20.(12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率是 2 , 2 点F是椭圆E的左焦点， 点A为椭圆E的右顶点， 点 B为椭圆E的上顶点，且 21 2 ABF S . （1）求椭圆E的方程； （2）设点,0P m为椭圆E长轴上的一个动点，过点P作斜率为 b a 的直线l交椭圆,ES T于两点，证明 22 :|PSPT为定值. 21.(12 分) 已知函数 2 ln,f xxaxx其中0.a （1）讨论 f x的单调性； （2）若当2x时 3 1 ,1 2
12、 fxx恒成立，求a的取值范围. (二)选考题：共 10 分.请考生在第 2223 题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin k k xt yt (t为参数)以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极 轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.曲线 2 C的极坐标方程为2 cos8 sin50. （1）当1k 时， 1 C是什么曲线？ （2）当4k 时，求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标. 23.(10 分)选修 4-5：不等式选讲 设 ,3.aR f xxxa （1
13、）当2a 时，解不等式 1f x ； （2）若对于任意实数x，不等式 2f xa恒成立，求a的取值范围. 文科数学参考答案文科数学参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B A A D C C B D C C D A 1.因为 0Mx x或 1 , 01, 2 xNxx 所以 11 1,1 22 MNxx 2. 1 31 331 , 2222 iii zi i 故选. A 3.由 ln2 ln, 10, 12,ln2. ,01 x xx faf x ex 即 ln,10 2 ,01, x xx f x x 于是 4 log 3 4 11 log 3ln2
14、13ff ee 4.直线.方程为 10.mxy 圆心(0，0)到直线的距离是 2 1 . 1 d m 于是 22 2 151 ,2. 104 1 m m 5.由条件知，数列 1 n a 是等差数列，则其公差 20222020 1111 . 22 d aa 因此 2023 20232022 11511 3,. 223 da aa 6.0k 时， 4;1sk 时， 448;2sk 时， 420 8; 33 s 133k 时.此时退出循环，输出的 20 . 3 s 7.记事件 M 为“从样本考核等级为优秀的学生中任取两人，且两人来自同一实验班”.样本中，A 班考核等级 为优秀的学生共有 3 人，分别
15、记为, , ,a b cB 班考核等级为优秀的学生共有 3 人，分别记为, ,A B C，从这 6 人中任取2人， 所有的基本事件个数为,ab ac aA aB aC bc bA bB bC cA cB cC AB AC BC共15中， 而事件 M 包含的基本事件是 ,ab ac bc AB AC BC共 6 种，因此 62 . 155 P M 故选.B 8.设圆锥的母线长是l，则 2 1 sin602 3,2 2 2 ll.则高是 2，圆锥底面半径是 2 2cos306 .于是该圆锥的表面积是 2 1 26 2 2( 6)4 36. 2 9.由题意知 ,sin.g xx当 3 x 时，函数
16、g x取得最大值，所以2,. 32 kkZ 解得 3 6,. 2 kkN因为 g x在区间, 12 3 身上 递增，在 5 , 3 12 上递减，所以 512 ,0. 3121235 因此 3 2 解得 10.由已知 2 sin ,m naA得2 sin2sin2sin .aAbcBcbC再根据正弦定理 有， 2 222abc bcb c，即 222 abcbc .由余弦定理得， 222 2cosabcbcA， 1 cos, 2 A 因为0,A所以 2 . 3 A 11.由sin0 x eax得，sin. x axe因为 0,x所以sin0.x因此 sin x e a x 令 ,0, sin
17、x e g xx x 则 2 sincos . sin x exx gx x 由 0g x 得 4 x . 当0 4 x 时 0;g x当 4 x 时 0,g x所以 4 min ( )2 4 g xge . 因此 4 2ae . 12.联立 2 3 ykxb yx 消去化简整理得 222 230k xkbxb. 由 222 (23)40kbk b 得， 3 129,. 4 kbkb因为4,AFBF所以 12 3 4, 2 xx即 12 5 . 2 xx而 12 2 23 , kb xx k 即 2 235 , 2 kb k 解得 2 65 . 4 k b k 代入 3 4 kb 得到， 2
18、65315 , 445 k kk k 或 15 5 k . 13.161 数据 112233 , nn xy xy xyxy共有n个，其平均数为 111 111 ()3070. nnn iiii iii xyxyy nnn 因此40y 故数据 123 41,41,41,41 n yyyy的平均数是4 40 1 161 . 14. 2将x c 代入220 xy中， 2 . 2 yc所以 2 2 , 2 b c a 即 222 22 ,10,2 22 acca eee . 15. 1 3 设点D是边BC的中点，则 2211 22 AO BCADDOBCAD BCABACACABACAB 即 221
19、 94,1. 2 ACAC 故 sin1 . sin3 BAC CAB 16. 16 3 在图 4 中，连接,AC BD交于点,O则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其 为 , x 则外接球的半径是 2 , 2 OAx所以 2 2 416 ,2 2 2 xx 因此 2 2. 2 SOOAx故四棱 锥SABCD的体积 22 1116 (2 2)2 333 xSO （1）设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图中各小长方形面积总和为 1 可得， 0.08 0.100.140.120.040.021,m解得2.m 各小组依次是0，2)，2，4)，4，6)，6，8)，8，10)，10
20、，12，其中点分别是 1，3，5，7，9，11，对 应的频率分别为,0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故估计全市家庭年均用气量为 1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.045 (立方米). （2）空白栏中填 5. 由题意可知， 12345672325779 4,5 77 xy 7 1 1 22 33 24 55 76 77 9174, ii i x y 7 1 1 22 33 24 55 76 77 9174, ii i x y 根据公式可求得， 1 2 22 1 1747 4 5 1.214 1407 4 n ii i n i
21、 i x ynxy b xnx ，5 1.21 4 40.144aybx所以 回归直线方程为 1.2140.144.yx 10y 时，101.2140.144,8.12xx 即旅游局对全市旅游景区至少投入 8.12 千万元的治理经费. 18.（1）因为 * 1 1, nn amSnN 所以当 2n时， 1 1, nn amS 两式相减得， 1111 ,12 nnnnnnnnn aamSmSaama aman . 在 1 1 nn amS 中，令1n ，则 21 1,1ama n也适合上式， 所以数列 n a是首项为 1公 比为1m的等比数列. （2）由（1）知， 1* (1), n n amn
22、N . 令1,mq 显然1,q 由 36 9SS得， 3 6 9 1 1 , 11 q q qq 解得2.q 故 1, n ma的通项公式是 1* 2, n n anN . 19.（1）折后的三棱锥 P 一 DCE 如图所示.取线段CD的中点F， 连接,.PF EF在PDC中，,PDPC F是CD的中点， 所以.PFCD 在EDC中，,EDEC F是CD的中点， 所以.EFCD而EFPFF， 所以CD平面.PEF而PE 平面PEF，所以PECD. （2）当60DEC时，三棱锥PDCE是正四面体，设其棱长为a. 由 2 3 43 4 a解得1a . 则 2 2 31312 ,1 22224 PE
23、F PFEFS 故三棱锥PDCE的体积为 1212 22. 34212 D PEF V 21.（1）,0 ,0 , 0,FcA aBb则 211 22 ABF Sac b 21,ac b即 22 21acac 又 2 ,2 , 2 c eac a 代入上式中得到， 22 2221,1.ccccc于是2,1.ab 故椭圆E的方程为 2 2 1. 2 x y （2）设直线 1 : 2 l yxm 交椭圆于 1122 ,S x yT x y， 由 22 1 2 22 yxm xy 消去y得， 22 2220 xmxm . 因此 2 1212 2 , 2 m xxm x x . 于是 22 2222
24、1122 |PSPTxmyxmy 222 2 12121212 333 222 222 xmxmxxx xm xxm 2222 3 2223 2 mmmm 故 22 |PSPT为定值，且为 3. 21.（1） 2 121 21,0 axx fxaxx xx 若 11 0,21, x af xaxf x xx 在(0，1)内单增，在1,内单减. 若0,a 由 2 210axx 知， 1 8a . 当1 80,a 即 1 8 a 时， 2 210,axx 此时 f x在0,内单增. 当 1 1 80,0 8 aa 时， 11 8 4 a x a 此时 f x在 11 811 8 0, 44 aa
25、aa 内单增 在 11 811 8 , 44 aa aa 内单减. （2） 3 1 1 2 f xx就是 2323 11 ln1,?1 ln 22 xaxxxaxxxx 即 22 111ln 2 x ax xxx ，2x 令 22 111ln ,2, 2 x g xxx xxx 则 233 1121 2ln 2 x gx xxx 3 3 264ln ,2 2 xxx x x 令 32 4 264ln ,2,320h xxxx xh xx x 所以 h x在2x时单增， 24ln222 ln4 10.h xh因此 0g x ， g x在2x时单增， 7ln2 2. 4 g xg 于是 7ln2
26、. 4 a 故a的取值范围是 7ln2 0,. 4 22.（1）当1k 时， 2cos 3sin k k xt yt 就是 2cos 3sin xt yt 即 cos 2 sin 3 x t y t 因为 22 sincos1,tt所以 22 1 49 xy . 故曲线 1 C是以坐标原点为中心，焦点在y轴上，长轴长为 6，短轴长为 4 的椭圆. （2）当4k 时， 2cos 3sin k k xt yt 就是 4 4 2cos 3sin xt yt 即 2 2 cos 2 sin 3 x t y t 因为 22 sincos1,tt所以1, 23 xy 即为曲线 1 C的普通方程. 因为曲线
27、 2 C的极坐标方程为2 cos8 sin50， 所以其直角坐标方程是2850 xy. 联立 1 23 2850 xy xy 解得， 1 2 3 4 x y ，故 1 C与 2 C的公共点的直角坐标是 1 3 , 2 4 23.（1）2a 时，不等式 1f x 就是321.xx 因为 5,2 21,23, 5,3 x f xxx x 所以 1f x 等价于 2 51 x 或 23 0 x x 或 3 51 x 因此0.x 故不等式 1f x 的解集是,0 . （2）因为abab，所以 333f xxxaxxaa 因此 f x的最大值为3.a 则对于任意实数 ,2x f xa恒成立等价于32 .aa 当3a时，3 2 ,aa 得3a； 当3a时，3 2 ,1,aa a 剠不成立. 综上可知，a的取值范围是3,.
