1、二轮大题专练二轮大题专练 11数列（最值）数列（最值） 1已知等差数列已知等差数列 n a 中，公差中，公差0d ，其前，其前n项和为项和为 n S， ， 14 14aa ，且，且 1 a， ， 2 a， ， 7 a成等 成等 比数列比数列 （1）求数列）求数列 n a 的通项公式及前的通项公式及前n项和项和 n S； ； （2）令）令 2 21 n n S b n ， 1 ( )(*) (16) n n b f nnN nb ，求，求 ( )f n的最大值 的最大值 解：已知等差数列 n a 中，公差0d ，其前n项和为 n S， 14 14aa ， 则： 1 2314ad ， 由于： 1
2、a， 2 a， 7 a成等比数列 所以： 2 111 ()(6 )adaad， 由得： 1 1a ，4d 所以： 43 n an (143) (21) 2 n nn Snn （2）已知： 2 21 n n S b n ， 则： 2 n bn ， 1 ( ) (16)(16)(1) n n bn f n nbnn ， 2 1 17 1717 17 n nn n n ， 由于： 17 2 17n n ， 所以当4n 时， 17 n n 取最小值， 函数 ( )f n的最大值为： 1 (4) 25 f 2已知数列已知数列 n a 是公差为是公差为 2 的等差数列，且的等差数列，且 1 a， ， 5
3、1a ， ， 23 1a成等比数列数列 成等比数列数列 n b 满足：满足： 1 12 22 n n bbb （）求数列（）求数列 n a ， n b 的通项公式；的通项公式； （）令数列（）令数列 n c 的前的前n项和为项和为 n T，且 ，且 2 1 , 1 , nn n n n a a c n b 为奇数 为偶数 ，若对，若对 * nN，2 2nk TT 恒成立，恒成立， 求正整数求正整数k的值；的值； 解：（）数列 n a 是公差为 2 的等差数列，且 1 a， 5 1a ， 23 1a成等比数列， 可得 2 1235 (1)(1)a aa，即 2 111 (44 1)(9)a aa
4、， 解得 1 3a ，即 32(1)21 n ann； 数列 n b 满足： 1 12 22 n n bbb ， 可得 1 2b ， 1 22222 nnn n b ，( 2)n ，对1n 也成立， 则2n n b ，*nN； （）2 111111 () 3 77 11(41)(43)4164 n n T nn 11 (1) 1 111111 44 () 1 4 377114143 1 4 n nn 1 1113 () 412 443 n n ， 222 1 113131123 ()() 12 44744312 (43)(47)4 nn nnn TT nnnn 1 1(43)(47) (1)
5、(43)(47)4n nn nn ， 设 1 (43)(47) 4 n n nn d ， 1 21 (47)(411)(43)(47) 44 nn nn nnnn dd 2 (47)( 121) 0 4n nn ， 可得 n d为递减数列，且 1 d， 2 d， 3 1d ， 4 1d ， 可得 42 0TT ， 64 0TT ， 86 0TT ， 108 0TT ， 则 2 n T 中8T取得最小值， 22nk TT 恒成立，可得4k 3在数在数 1 和和 100 之间插入之间插入n个实数，使得这个实数，使得这 2n 个数构成递增的等个数构成递增的等比数列，将这比数列，将这2n 个数个数 的
6、乘积记作的乘积记作 n T，再令 ，再令 nn algT ，1n （1）求数列）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）设）设 12 2121 2 ( 1)n n n nn a b aa ，设数列，设数列 n b 的前的前n项和为项和为 n S， ， 1 nn n TS S ，求，求 n T的最大项和 的最大项和 最小项最小项 解： （1） 数 1 和 100 之间插入n个实数， 使得这2n 个数构成递增的等比数列， 将这2n 个数的乘积记作 n T， 由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知 2 2 100 n n T ， 又 nn algT ，( *)nN ， 2 2 2
7、 100102 n n nn algTlglgn （2） 11122121 212121212121 211 ( 1)( 1)( 1)() nnnnnn n nnnnnn aaa b aaaaaa ， 当2nk时， 1111111122 1()()()1 3355721232323 n n S nnnn ， 当21nk时， 21 124 1 2323 nKn n SSb nn ， 22 , 23 24 , 23 n n n n S n n n 为偶数 为奇数 ， 则当n为偶数时， 1222345 2322(23)(22) nn n nnn TS Snnnn 为减函数，最大值为 1 9 20 T
8、 ， 当n为奇数时， n T为增函数，最小值为 1 11 30 T 4已知数列已知数列 n a 的奇数项是首项为的奇数项是首项为 1，公差为，公差为d的等差数列，偶数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为 2，公比为，公比为q 的等比数列数列的等比数列数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，且 ，且满足满足 34 Sa ， 354 2aaa （1）求数列）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）设实数）设实数0M ，若对于任意，若对于任意*Nk，都有，都有 21 2 (0, S M a k k ，求，求M的最小值的最小值 解：（1）由题意得 1 1a ， 2 2a ， 又 34 S
9、a ， 354 2aaa ， 1234 354 2 aaaa aaa ，即为 1212 11222 dq ddq ， 解得2d ， 3q ， 则2 2 , 2 3, n n n n a n 为奇数 为偶数 ； （2） 2 2113212422 ()()(1 3521)(2(1 33)Saaaaaa k kkk k 1 21 (121)1 3 231 21 3 k k kk k， 22 1 2 2 2 32 3a k k k ， 所以 212 21 11 2 3111 23232 S a k k kk k kk ， 设 2 1 11 ( ) 2 32 f k k k，则 222 1 (1)112
10、23 (1)( ) 2 32 32 3 ff kkk kkkk kk， 令 2 ( )223gkkk，对称轴为 1 2 k ， 所以 2 ( )223gkkk随着k的增大而减小， g（1） 30，g（2）10 ， 所以f（2） f （1），f（2） f （3） f （4）， 所以2k时 ( )f k的最大值为f（2） 2 211 1 2 32 ， 所以1M， 即M的最小值为 1 5设数列设数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，已知 ，已知 1 4a ， 1 24 nn San ， * nN （1）求数列）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）设）设 1 2 (21)(21)
11、n n nn a b ，数列，数列 n b 的前的前n项和为项和为 n T，求满足 ，求满足 13 40 n T 的正整数的正整数n的最小的最小 值值 解：（1）依题意，当2n时，由 1 24 nn San ，可得 1 2(1)4 nn San ， 两式相减，可得 11 2 nnnnn aSSaa ， 整理，得 1 22 nn aa ， 两边同时减 2，可得 1 22212(2) nnn aaa ， 1 22a ， 数列2 n a 是首项和公比都为 2 的等比数列， 1 22 22 nn n a ， 22 n n a ，*nN， （2）由题意及（1），可得 111 2211 (21)(21)(
12、21)(21)2121 n n n nnnnnn a b ， 则 12nn Tbbb 2231 111111 ()()() 212121212121 nn 1 11 321 n ， 13 40 n T ，即 1 1113 32140 n ， 即 1 11131 21340120 n ， 1 21 120 n ，即 1 2119 n ， 当5n 时， 5 16 2264119 ， 当6n 时， 6 17 22128119 ， 当6n时，不等式 13 40 n T 成立， 正整数n的最小值为 6 6.已知已知 n a ， n b ， n c 都是各项不为零的数列， 且满足都是各项不为零的数列， 且
13、满足 1 122nnnn a ba ba bc S ，*nN， 其中其中 n S是数列 是数列 n a 的前的前n项和，项和， n c 是公差为是公差为 (0)d d 的等差数列的等差数列 （1）若数列）若数列 n a ， n c 的通项公式分别为的通项公式分别为 1 n a ， ， 21 n cn，求数列 ，求数列 n b 的通项公式；的通项公式； （2）若）若 ( n an 是不为零的常数），求证：数列是不为零的常数），求证：数列 n b 是等差数列；是等差数列； （3）若）若 11 (acdk k 为常数，为常数， *)kN ， (2,*) nn bck nnN 对任意对任意2n，*nN
14、， 求出数列求出数列 n n b a 的最大项（用含的最大项（用含k式子表达）式子表达） 解：（1）因为 1 n a ，21 n cn， 所以 n Sn ， 由 1 122nnnn c Sa ba ba b ， 得 12 (21) n nnbbb ， 当2n时， 121 (1)(23) n nnbbb ， 两式做差，可得 43 n bn ， 当1n 时， 1 1b 满足上式，则43 n bn （2）证明：因为 1 122nnnn a ba ba bc S ， 当2n时， 1 1221111nnnn a ba babcS ， 两式相减得： 11nnnnnn S cSca b ， 即 111 ()
15、 nnnnnnn Sa cSca b ， 11 () nnnnnnn Scca ca b ， 即 1nnn Sdncnb ，又 1 (1) 2 n n n S ， 所以 (1) 2 nn n nd ncnb ， 又 1 2 nn n dcb ， 所以当3n时， 11 2 2 nn n dcb ， 两式相减得： 1 3 (3) 2 nn bbd n ， 所以数列 n b 是从第二项起公差为 3 2 d得等差数列 又当1n 时，由 1 11 1 S ca b ，得 11 cb 当2n 时，由 2211 2113 222 bdcdcdbd ，得 21 3 2 bbd ， 故数列 n b 是公差为 3
16、 2 d的等差数列 （3）解：由（2），当2n时， 11 () nnnnnnn Scca ca b ，即 1 () nnn Sda bc ， 因为 nn k bc ， 所以 nn bckd ， 即 nn bckd ， 所以 1nn Sda kd ，即 1nn Ska ，即 1 1 nn k aa k ， 故从第二项起数列 n a 是等比数列， 所以当2n时， 2 2 1 ()n n k aa k ， 22 1 (1)(1)() nn kn bcckdcnkkknkkk nk ， 另外，由已知条件可得 1221 122 ()aa ca ba b ， 又 2 2ck ， 1 bk ， 2 (2)bkk ， 所以 2 1a ， 因而 2 1 ()n n k a k ， 令 n n n b d a ， 则 11 1 (1) 1110 (1)(1)()(1) nnn nnn dbankkn dabnknk k ， 故对任意的2n时，*nN， 1 1 nn nn bb aa 恒成立， 所以2n时，*nN， n n b a 单调递减， n n b a 中最大项为 2 2 (2) (2) 1 bkk kk a
