1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年江苏省扬州市高三（上）适应性数学试卷（学年江苏省扬州市高三（上）适应性数学试卷（1 月月 份）份） 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）已知集合 |(2)(1) 0Axxx ， | 20Bxx ，则(AB ) A 1，0) B( 2，1 C(0，2 D 1，2 2
2、（5 分）在复平面内，复数(1)2 (i zi i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） 5 (2)(12 )xx展开式中，含 2 x项的系数为( ) A30 B70 C90 D150 4 （5 分）如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段AB为分界线，截去一部分图形 而成，已知该分界线是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为 2 3 R ，则A，B两点间的距 离为( ) AR B2R C3R D2R 5（5 分） 已知正ABC的边长为 2，P是边AB边上一点， 且2BPPA， 则() (C P C A C B ) A1 B2 C
3、4 D6 6 （5 分）过抛物线 2 4yx焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限） ，若 直线l的倾斜角为60，则 | | AF BF 的值为( ) A2 B3 C 3 2 D 5 2 7 （5 分）已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，若 32 5aa，则 42 8aa的最小值为 ( ) A40 B20 C10 D5 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）已知函数 ,0 ( ) 24 ,0 xlnx x f x xe x ，若 12 xx且 12 ()()f xf x，则 12 |xx的最大值为 ( ) A 1 2e e B21e C5e D 5 2 e 二、 多项选择
4、题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）下列说法中正确的是( ) A “ab”是“ 22 ab”的既不充分又不必要条件 B “2x ”是“1，x，4 成等比数列”的充分不必要条件 C “0m ，0n ”是“方程 22 1 xy mn 表示双曲线”的必要不充分条件 D对于函数( )f x， “( 0 ) 0f”是“函数( )f x为
5、奇函数”的充要条件 10 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图所示，则下列说法 中正确的是( ) A( )()f xfx B( )()f xfx C 2 ( )() 3 f xfx D 2 ( )() 3 f xfx 11 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点E，F，且 1EF ，则下列说法中正确的是( ) A存在点E，F使得/ /AEBF B异面直线EF与 1 C D所成的角为60 第 3 页（共 20 页） C三棱锥BAEF的体积为定值 2 12 D 1 A到平面AEF的距离为 3 3 12
6、（5 分）16 世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题： 45 次方程 45434153 4594595346379545xxxxxxC的根如何求？法国数学家伟 大 利用 三角知 识成 功解 决了 该问题 ，并 指出2sinC时 ， 此方程 的全 部根为 2 2sin() 45 x k ，(0k， 1 ， 2 ，44)， 根 据 以 上 信 息 可 得 方 程 45434153 45945953463795450 xxxxxx的根可以为( ) A3 B1 C3 D2 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分
7、请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）已知长方体的长、宽、高分别为 10，8，6()cm，则该长方体的外接球的半径R ()cm 14 （5 分）某种型号的机器使用总时间x（年)（其中4x， *) xN与所需支出的维修总 费用y（万元）的统计数据如表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据表中数据可得y与x之间的线性回归方程为0.7yxa，若该设备维修总费用超过 12 万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 年（填整数） 15 （5 分）几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中项角为36的等 腰三角形被称为“黄金三角形
8、” 如图，已知五角星是由 5 个“黄金三角形”与 1 个正五边 形组成，且 51 2 BC AC 记阴影部分的面积为 1 S，正五边形的面积为 2 S，则 1 2 S S 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的 第 4 页（共 20 页） 圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若2OMON（其中O为坐标原点） ，则双曲 线的离心率为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明
9、、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， cossin 2 B abA （1）求B； （2）若5b ，_，求S 请在 5 3 3 a ，tan()23 4 A ， 222 bcabc这三个条件中任选一个，补充在 上面问题中，并加以解答 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 1 2 a ， 1 12 nn Sa ， * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 2 log nn ba，且 2 1 41 n n c b ，求数列 n c的前n项和 n T 19（12 分） 如图， 在四棱锥
10、PABCD中， 四边形ABCD是长方形， 平面PAB 平面ABCD， 平面PAD 平面ABCD （1）证明：PA平面ABCD； （2）若2PAAD，3AB ，E为PD中点，求二面角ABEC的余弦值 20 （12 分）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了 3000 名学生，统计了他们 的周末运动时间，制成如下的频率分布表： 周末运动时间t（分钟） 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 人数 300 600 900 450 450 300 （1）从周末运动时间在70，80)的学生中抽取 3 人，在80，90的学生中抽取 2 人，现 第 5 页（
11、共 20 页） 从这 5 人中随机推荐 2 人参加体能测试，记推荐的 2 人中来自70，80)的人数为X，求X 的分布列和数学期望； （2）由频率分布表可认为：周末运动时间t服从正态分布 2 ( ,)N ，其中为周末运动时 间的平均数t，近似为样本的标准差s，并已求得14.6s 可以用该样本的频率估计总 体的概率， 现从扬州市所有高中生中随机抽取 10 名学生， 记周末运动时间在(43.9，87.7之 外的人数为Y，求(2)P Y （精确到0.001)； 参考数据 1： 当 2 ( , )tN 时，()0.6826Pt ，(22 )0.9545Pt ， (33 )0.9973Pt 参考数据 8
12、 2:0.81860.202， 2 0.18140.033 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，左、右顶点分别为A，B， 上、下项点分别为C，D，四边形ACBD的面积为4 3 （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，直线PB、QB分别交直线4x 于 M，N两点，判断BM BN是否为定值，并说明理由 22 （12 分）已知函数( ) x f xealnx， （其中a为参数） （1）若1a ，且直线1yxk与( )yf x的图象相切，求实数k的值； （2）若对任意(0,)x，不等式( )f xalna成立，
13、求正实数a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年江苏省扬州市高三（上）适应性数学试卷（学年江苏省扬州市高三（上）适应性数学试卷（1 月月 份）份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）已知集合 |(2)(1) 0Axxx ， | 20Bxx ，则(AB
14、) A 1，0) B( 2，1 C(0，2 D 1，2 【解答】解： |1Ax x或2x， | 20Bxx ， ( 2AB ，1 故选：B 2 （5 分）在复平面内，复数(1)2 (i zi i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由(1)2i zi，得 22 (1) (1)1 1(1)(1) iii ziii iii ， 1zi ， 则z在复平面内对应点的坐标为(1, 1)，位于第四象限 故选：D 3 （5 分） 5 (2)(12 )xx展开式中，含 2 x项的系数为( ) A30 B70 C90 D150 【解答】解： 5 (
15、12 ) x展开式的通项公式为 15 (2 ) rr r TCx ， 5 (2)(12 )xx展开式中，含 2 x项的系数为 221 55 2(2)270CC， 故选：B 4 （5 分）如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段AB为分界线，截去一部分图形 而成，已知该分界线是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为 2 3 R ，则A，B两点间的距 离为( ) 第 7 页（共 20 页） AR B2R C3R D2R 【解答】解：因为半径为R的圆弧，圆弧的长度为 2 3 R ， 所以该弧所对圆心角为 2 2 3 3 R R ， 如图，可得 3 AOD ，在Rt AOD中，可得 33 sin 22
16、ADAOAODAOR， 故23ABADR，即A，B两点间的距离为3R 故选：C 5（5 分） 已知正ABC的边长为 2，P是边AB边上一点， 且2BPPA， 则() (C P C A C B ) A1 B2 C4 D6 【解答】解：2BPPA，2()CPCBCACP， 21 33 CPCACB，且| | 2,60CACBCA CB， 22 22 2121211 ()() ()22226 3333332 CPCACBCACBCACBCACBCA CB 故选：D 6 （5 分）过抛物线 2 4yx焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限） ，若 直线l的倾斜角为60，则 | | AF B
17、F 的值为( ) A2 B3 C 3 2 D 5 2 【解答】解：设 | 1 | AF BF ，|BFm，则|AFm， 1 (1 2 Am， 3 ) 2 m ， 1 (1 2 Bm， 3 ) 2 m， 第 8 页（共 20 页） 2 2 3 ()4(1) 22 31 ()4(1) 22 mm mm ，解得3 故选：B 7 （5 分）已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，若 32 5aa，则 42 8aa的最小值为 ( ) A40 B20 C10 D5 【解答】解：根据题意，设等比数列 n a的公比为q， 若 32 5aa，则 22 5a qa，即 2( 1)5a q ，变形可得 2 5 1
18、 a q ， 222 422 5599 8(8)(8)(1)2(1)95 (1)2 5(2(1)2)5 840 1111 aaa qqqqqq qqqq ， 当且仅当13q 时等号成立，即 42 8aa的最小值为 40； 故选：A 8 （5 分）已知函数 ,0 ( ) 24 ,0 xlnx x f x xe x ，若 12 xx且 12 ()()f xf x，则 12 |xx的最大值为 ( ) A 1 2e e B21e C5e D 5 2 e 【解答】解：如图， 设yxlnx，则1ylnx，由12lnx ，得xe yxlnx斜率为 2 的切线:2l yxe， 第 9 页（共 20 页） 取x
19、e，得ye，由24xee，得 3 2 xe ， 此时： 2 1 3 2 xe xe ，当图中平行于x轴的直线向上或向下平移时， 直线被24 (0)yxe x与 1 ()yxlnx x e 所截线段变小，则对应的点的横坐标的差变小， 故 12 5 (|) 2 max xxe 故选：D 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5
20、 分）下列说法中正确的是( ) A “ab”是“ 22 ab”的既不充分又不必要条件 B “2x ”是“1，x，4 成等比数列”的充分不必要条件 C “0m ，0n ”是“方程 22 1 xy mn 表示双曲线”的必要不充分条件 D对于函数( )f x， “( 0 ) 0f”是“函数( )f x为奇函数”的充要条件 【解答】解：A当1a ，2b 时，ab，但是 22 ab， 又 22 ( 4)1，但是41 ， 故“ab”是“ 22 ab”的既不充分又不必要条件，故选项A正确； B当2x 时，1，x，4 成等比数列， 当 1，2，4 成等比数列时，但2x ， 故“2x ”是“1，x，4 成等比数
21、列”的充分不必要条件，故选项B正确； C当0m ，0n 时，方程 22 1 xy mn 表示双曲线， 当方程 22 1 xy mn 表示双曲线时，0mn ，不一定是0m ，0n ， 故“0m ，0n ”是“方程 22 1 xy mn 表示双曲线”的充分不必要条件，故选项C错； D当(0)0f，( )f x不一定是奇函数，比如 2 ( )f xx， 当函数( )f x为奇函数时，(0)f不一定等于 0，比如 1 ( )f x x ， 故对于函数( )f x， “( 0 ) 0f”是“函数( )f x为奇函数”的既不充分又不必要条件，故选项 D错 第 10 页（共 20 页） 故选：AB 10 （
22、5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图所示，则下列说法 中正确的是( ) A( )()f xfx B( )()f xfx C 2 ( )() 3 f xfx D 2 ( )() 3 f xfx 【解答】解：由图象知 3325 44612 T ，2， 由五点对应法得22 122 k，得2 3 k， | 2 ，0k时 3 ， 所以( )sin(2) 3 f xx ，周期T，A正确，B错误； 当 3 x 时，()sin(2)sin01 33 fx ，即 3 x 不是函数的对称轴，即C错误， 当 3 x 时，2 3 x ，故( 3 ，0)是函数的一个对称中心，D正确
23、综上选AD 故选：AD 11 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点E，F，且 1EF ，则下列说法中正确的是( ) A存在点E，F使得/ /AEBF B异面直线EF与 1 C D所成的角为60 C三棱锥BAEF的体积为定值 2 12 第 11 页（共 20 页） D 1 A到平面AEF的距离为 3 3 【解答】解：如图所示： 对于:A EF与AB异面，故A错误； 对于 1 :BBDC是等边三角形，而/ /EFBD， 故 1 BDC就是异面直线EF与 1 C D所成的角，确实是60，故B正确； 对 于C： 可 以 根 据 等 积 法 求
24、 得B到 平 面 11 AB D的 距 离 为 3 3 ， 故 11632 1 32231 2 BAEF V ，故C正确； 对于D：可以利用等积法求得点 1 A到平面 11 AB D的距离为 3 3 ，即 1 A到平面AEF的距离为 3 3 ，故D正确 故选：BCD 12 （5 分）16 世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题： 45 次方程 45434153 4594595346379545xxxxxxC的根如何求？法国数学家伟 大 利用 三角知 识成 功解 决了 该问题 ，并 指出2sinC时 ， 此方程 的全 部根为 2 2sin() 45 x k ，(0k，
25、1 ， 2 ，44)， 根 据 以 上 信 息 可 得 方 程 45434153 45945953463795450 xxxxxx的根可以为( ) A3 B1 C3 D2 【解答】解：2sin02sin 15 Cx k k， 当5k、10、35、40，3x ； 当20k、25，3x 故选：AC 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 第 12 页（共 20 页） 上）上） 13 （5 分）已知长方体的长、宽、高分别为 10，8，6()cm，则该长方体的外接球的半径R 5 2
26、 ()cm 【解答】解：长方体的长、宽、高分别为 10，8，6()cm， 长方体的体对角线 222 108620010 2l ， 由210 2R ， 得5 2R 故答案为：5 2 14 （5 分）某种型号的机器使用总时间x（年)（其中4x， *) xN与所需支出的维修总 费用y（万元）的统计数据如表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据表中数据可得y与x之间的线性回归方程为0.7yxa，若该设备维修总费用超过 12 万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 20 年（填整数） 【解答】解： 1 (681012)9 4 x ， 1 (2356)4 4 y ， 样本中心为(9,4)，
27、代入回归方程求得2.3a ， 故回归方程为0.72.3yx， 当 143 0.72.3 12 7 yxx剟， 故整数x最大为 20 故答案为：20 15 （5 分）几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中项角为36的等 腰三角形被称为“黄金三角形” 如图，已知五角星是由 5 个“黄金三角形”与 1 个正五边 形组成， 且 51 2 BC AC 记阴影部分的面积为 1 S， 正五边形的面积为 2 S， 则 1 2 S S 5 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：如图，连接CD，CE， 设ABC的面积为x， 则BCD和CEF的面积均为 51 2 x ， CDE的面积为x， 故
28、 1 2 5 5 51 2 2 Sx S xx 故答案是：5 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的 圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若2OMON（其中O为坐标原点） ，则双曲 线的离心率为 2 3 3 【解答】解：取MN的中点B，则| 3|OBMB，且ABMN， 点( ,0)A a到渐近线 b yx a 的距离 2 | | ( )1 b a ab a AB cb a ， 222222 |9|9(| )OAABOBMBAMAB， 第 14 页（共 20 页） 2222 22 22 9() a ba b ab cc
29、， 222 bca， 4224 91880ca ca， 又1 c e a ， 42 91880ee，解得 2 3 3 e 故答案为： 2 3 3 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， cossin 2 B abA （1）求B； （2）若5b ，_，求S 请在 5 3 3 a ，tan()23 4 A ， 222 bcabc这三个条件中任
30、选一个，补充在 上面问题中，并加以解答 【解答】解： （1）在ABC中，因为cossin 2 B abA， 所以由正弦定理得sincossinsin 2 B ABA， 因为sin0A，可得cossin 2 B B， 所以cos2sincos 222 BBB ， 因为cos0 2 B ，可得 1 sin 22 B ， 因为(0, )B， 所以 3 B （2）选：由正弦定理得 5 3 5 3 sin sin 3 A ，即 1 sin 2 A ， 因为ba，所以 6 A ， 第 15 页（共 20 页） 所以 2 C ，所以ABC是直角三角形，所以 11 5 325 3 5 2236 Sab 选：由
31、tan()23 4 A ，得 tantan tan1 4 23 1tan 1tantan 4 A A A A ，解得 3 tan 3 A ， 因为(0, )A，所以 6 A ， 所以 2 C ， 所以ABC是直角三角形，所以 11 5 325 3 5 2236 Sab 选：因为 222 bcabc，所以 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为(0, )A， 所以 3 A ， 又 3 B ， 所以ABC为正三角形，所以 25 3 4 S 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 1 2 a ， 1 12 nn Sa ， * nN （1）求数列 n a的通项
32、公式； （2）若 1 2 log nn ba，且 2 1 41 n n c b ，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）因为 1 12 nn Sa ，所以 1 12(2) nn Sa n ， 两式相减得 1 2(2) nn aa n ， 因为 1 1 2 a ， 1 12 nn Sa ， 所以令1n ，则可得 21 11 (1) 24 aa， 所以 2 1 1 2 a a ， 又 1 1 0 2 a ， 2 1 0 4 a ， 1 2 nn aa ， 所以 * 0() n anN 所以 1 1 2 n n a a ， * ()nN， 第 16 页（共 20 页） 所以数列 n
33、a是首项为 1 2 、公比为 1 2 的等比数列， 所以 1 ( ) 2 n n a ； （2）因为 1 ( ) 2 n n a ，所以 1 2 log nn ban， 所以 22 111111 () 4141(21)(21)2 2121 n n c bnnnnn ， 所以 123 111111111 ()()()(1) 21335212122121 nn n Tcccc nnnn 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是长方形， 平面PAB 平面ABCD， 平面PAD 平面ABCD （1）证明：PA平面ABCD； （2）若2PAAD，3AB ，E为PD中点，求二面角
34、ABEC的余弦值 【解答】 （1）证明：四边形ABCD为长方形，ABAD， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD AB平面PAD PA平面PAD，ABPA 同理ADPA， 又ABADA，AB平面ABCD，AD 平面ABCD PA平面ABCD （2）证明：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系 则(0A，0，0)，(3B，0，0)，(0D，2，0)，(3C，2，0)，(0E，1，1)，(0P，0，2)， 设(mx，y，) z， 为平面ABE的法向量， 第 17 页（共 20 页） 0 0 m AB m AE ，
35、0 0 yz x ，令1y ，则1z ， 平面ABE的一个法向量(0m，1，1) 同理可求得平面BCE的一个法向量(1n ，0，3)， 3 5 cos, |10 m n m n m n . 二面角ABEC的大小为钝角 二面角ABEC的余弦值为 3 5 10 20 （12 分）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了 3000 名学生，统计了他们 的周末运动时间，制成如下的频率分布表： 周末运动时间t（分钟） 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 人数 300 600 900 450 450 300 （1）从周末运动时间在70，80)的学生中抽取
36、 3 人，在80，90的学生中抽取 2 人，现 从这 5 人中随机推荐 2 人参加体能测试，记推荐的 2 人中来自70，80)的人数为X，求X 的分布列和数学期望； （2）由频率分布表可认为：周末运动时间t服从正态分布 2 ( ,)N ，其中为周末运动时 间的平均数t，近似为样本的标准差s，并已求得14.6s 可以用该样本的频率估计总 体的概率， 现从扬州市所有高中生中随机抽取 10 名学生， 记周末运动时间在(43.9，87.7之 外的人数为Y，求(2)P Y （精确到0.001)； 参考数据 1： 当 2 ( , )tN 时，()0.6826Pt ，(22 )0.9545Pt ， (33
37、)0.9973Pt 参考数据 8 2:0.81860.202， 2 0.18140.033 第 18 页（共 20 页） 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 随 机 变 量X的 可 能 取 值 为0 ， 1 ， 2 ， 021120 323232 222 555 133 (0), (1), (2) 10510 C CC CC C P XP XP X CCC ， X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X （2） 35 3004560055 900654507545085 300 58.5 3000 t ， 又43.958.5 14.6，87.
38、758.5 14.6 22， 所以 0.68270.9545 (43.987.7)(2 )0.8186 2 PtPt 剟， 所以(P t或2 )10.81860.1814t ， 所以(10,0.1814)YB， 所以 228 10 (2)0.18140.818645 0.033 0.2020.300P YC 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，左、右顶点分别为A，B， 上、下项点分别为C，D，四边形ACBD的面积为4 3 （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，直线PB、QB分别交直线4x 于 M，N两
39、点，判断BM BN是否为定值，并说明理由 【解答】解： （1）由题意得 222 1 2 24 3 c a abc ab ， 解得2,3ab，所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）方法 1：若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x ， 此时可得 33 (1, ) ,(1,) 22 PQ，(4, 3)M，(4,3)N，所以5BM BN 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)(0)yxkk，代入 22 1 43 xy ， 整理得 2222 (34)84120 xxkkk，易得0恒成立 第 19 页（共 20 页） 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 1 (x，
40、2 2)x ，则 22 1212 22 8412 , 3434 xxx x kk kk ， 由直线PB的方程 1 1 (2) 2 y yx x 可得点 1 1 2 (4,) 2 y M x ， 由直线QB的方程 2 2 (2) 2 y yx x 可得点 2 2 2 (4,) 2 y N x ， 所以 12 12 22 (2,),(2,) 22 yy BMBN xx 所以 222 222121212 2222 121212 22()14128439 44444445 222()4412284(43)4 yyxxxx BMBN xxxxxx kkk kkk kkkk 综上，BM BN为定值 方法
41、2：显然直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为1xmy，代入 22 1 43 xy ， 整理得 22 (34)690mymy，易得0恒成立 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 1 (x， 2 2)x ，则 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ， 由直线PB的方程 1 1 (2) 2 y yx x 可得点 1 1 2 (4,) 2 y M x ， 由直线QB的方程 2 2 (2) 2 y yx x 可得点 2 2 2 (4,) 2 y N x ， 所以 12 12 22 (2,),(2,) 22 yy BMBN xx 所以 1212 2 121212
42、 224 44 22()1 yyy y BM BN xxm y ym yy 222 36 4495 9634mmm BM BN为定值 22 （12 分）已知函数( ) x f xealnx， （其中a为参数） （1）若1a ，且直线1yxk与( )yf x的图象相切，求实数k的值； （2）若对任意(0,)x，不等式( )f xalna成立，求正实数a的取值范围 【解答】解： （1）若1a ，则( )(0) x f xelnx x，则 1 ( ) x fxe x ， 直线1yxk恒过定点(0,1)，则直线的斜率为 0 0 0 1 x elnx x ， 第 20 页（共 20 页） 设切点 0 0
43、0 (,) x P x elnx， 由导数几何意义可得 0 0 0 00 11 x x elnx e xx ， 即 0 00 (1)0 x xelnx， 令( )(1)(0) x xxelnx x，观察得（1）0， 又 1 ( )0 x xxe x ，所以( )x在(0,)上递增， 所以方程 0 00 (1)0 x xelnx的根仅有 0 1x ， 所以1ek； （2）令( )(0) x g xealnxalna x，则( ) x x axea g xe xx ， 令( )(0) x xxea x， 则( )x在0，)上递增， 且(0)0a ，（a）(1)0 a a e， 所以存在唯一 0 (
44、0, )xa，使得 0 00 ()0 x xx ea， 所以当 0 (0,)xx时，( )0g x，故函数( )g x单调递减， 当 0 (xx，)时，( )0g x，故函数( )g x单调递增， 所以 0 0000 0 1 ( )()(2) x min g xg xealnxalnaalnxx x 由( )0g x 对(0,)x恒成立，可得 00 0 1 (2)0alnxx x ，即 00 0 1 20lnxx x ， 令 1 ( )2,(0)h xlnxx x x ，则 2 12 ( )10h x xx ，所以( )h x在(0,)上递减， 由h（1）0，所以( )0h x 的解为01x，所以 0 01x， 令( ) x xxe，(0,1)x，则( ) x在(0,1)上递增， 所以 0 0 (0, ) x ax ee， 所以0ae
