1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置） 1 （5 分）已知全集1U ，2，3，4，5，3A，4，5，1B ，2，5，则1，2( ) AAB B() UA B C() U AB D()() UU AB痧 2 （5 分）已知
2、复数z满足(1)2zii，则z的共轭复数z等于( ) A1i B1i C1i D1i 3 （5 分）已知 0.2 a，log 2b ，cos2c ，则( ) Acba Bbca Ccab Dacb 4 （5 分）在边长为 4 的正方形ABCD内部任取一点P，则满足APB为钝角的概率为( ) A 4 B1 4 C 8 D1 8 5 （5 分）函数 2 ( )(1)sin 1 x f xx e 的图象大致是( ) A B C D 6 （5 分）一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危 险现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例
3、衰减，为 了保持疗效， 那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为( )（附:20.3010lg ， 30.4771lg ，精确到0.1 )h A4.2 B2.3 C8.8 D7.2 7（5 分） 已知数列 n a中，12a ，( ,*) n mnm aaan mN ， 若 1234 480aaaa kkkk ， 第 2 页（共 21 页） 则(k ) A3 B4 C5 D6 8 （5 分）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积 222 22 1 ()() 22 abc Sab 根 据此公式，若cos(2
4、 )cos0aBbcA，且 222 4bca，则ABC的面积为( ) A6 B2 3 C3 D3 2 9 （5 分）函数( )2cos|cos2f xxx在x ，上的单调增区间为( ) A, 3 和0, 3 B,0 3 和, 3 C,0 6 和, 6 D, 6 和0, 6 10 （5 分）意大利数学家列昂纳多斐波那契提出的“兔子数列” ：1，1，2，3，5，8，13， 21，34，55，89，144，233，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述 为数列 n a满足 12 1aa， 21 (*) nnn aaa nN 若此数列各项被 3 除后的余数构成一 个新数列 n b，则 n b
5、的前 2021 项和为( ) A2014 B2022 C2265 D2274 11 （5 分）如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是( ) A该四面体外接球的体积为48 B该四面体内切球的体积为 2 3 C该四面体外接球的表面积为32 3 D该四面体内切球的表面积为2 12 （5 分）已知 1 x， 2 x， 3 x， 4 x是关于x的方程 22 |66| 1xxt 四个不同实数根，且 第 3 页（共 21 页） 1234 xxxx，则 4132 3()()xxxx的取值范围是( ) A(6 2,4 6 B2 24 3,4 6 C(6 2,2 24 3 D(6 2,22 15 二、填空题
6、（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 5 (1 2 ) x的展开式中， 3 x的系数为 14 （5 分）设实数x，y满足约束条件 0 2 36 0 xy xy xy ，则2zxy的最大值为 15 （5 分）已知ABC的重心为G，过G点的直线与边AB和AC的交点分别为M和N， 若AMMB，且AMN与ABC的面积之比为 25 54 ，则实数 16 （5 分） 已知函数 | ( ) x a f xxelnx 在1，)上的最小值为 1， 若对于任意 2x ，1， 不等式 2 1 cos0 2 xaxm恒成立，则实数m的最小值为
7、 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （一）必考题：） （一）必考题： 共共 60 分分. 17（12 分） 已知数列 n a的前n项和 2( *) n Sn nN， n b是递增等比数列， 且 11 ba，3 5 ba （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若(*) nnn cab nN，求数列 n c的前n项和 n T 18 （12 分）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 222 0abcab， sin()sin2coscosABCAB （1）求A，B，C； （
8、2）若2a ，求ABC的面积 19 （12 分）2020 年 1 月，我国各地出现了以武汉为中心的新冠肺炎疫情，在全国人民的共 同努力下，3 月疫情得到初步控制下表是某地疫情监控机构从 3 月 1 日到 3 月 5 日每天新 增病例的统计数据 日期x 1 2 3 4 5 新增病例人数 y 32 25 27 20 16 （1）若 3 月 4 日新增病例中有 12 名男性，现要从这天新增病例中按性别分层抽取 5 人，再 第 4 页（共 21 页） 从所抽取的 5 人中随机抽取 2 人作流行病学分析，求这 2 人中至少有 1 名女性的概率； （2）该疫情监控机构对 3 月 1 日和 5 日这五天的
9、120 位新增病例的洽疗过程，进行了跟踪 监测， 其中病症轻微的只经过一个疗程治愈出院， 病症严重的最多经过三个疗程的治疗痊愈 出院，统计整理出他们被洽愈的疗程数及相应的人数如表： 疗程数 1 2 3 相应的人数 60 40 20 已知该地疫情未出现死亡病例， 现用上述疗程数的频率作为相应事件的概率， 该机构要从被 治疔痊愈的病例中随机抽取 2 位进行病毒学分析， 记表示所抽取的 2 位病例被治愈的疗程 数之和，求的分布列及期望 20 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，2PAPB，5ACBCPC，2AB ， 点D，E分别为AB，PC的中点 （1）证明：平面PAB 平面ABC； （2）设点F
10、在线段BC上，且BFFC，若二面角CAEF的大小为45，求实数的 值 21 （12 分）已知函数 2 ( )4(1)(0) x f xxxae xa，( )1()g xlnxmxmmR （1）讨论( )f x的单调性； （2）若对于任意(0 x，1，存在( 1,1)m 使得不等式( )( )g xf m成立，求实数a的取值 范围 选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计如果多做，则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4坐标系与参数方程（坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐
11、标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 1 2, ( 1, xt t t yt t 为参数） ，以 坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 第 5 页（共 21 页） cos()2 4 （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点P是曲线 1 C与 2 C的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的极坐标 方程 选修选修 4-5不等式选讲（不等式选讲（10 分）分） 23已知a，b，c是三个不全相等的实数 （1）证明： 222 abcabbcca； （2）若 222 1abc，证明：3abc 第 6 页（共 21 页） 2
12、020-2021 学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置） 1 （5 分）已知全集1U ，2，3，4，5，3A，4，5，1B ，2，5，则1，2( ) AAB B() UA B C() U AB D()() UU AB痧 【解答】解
13、：全集1U ，2，3，4，5，3A，4，5，1B ，2，5， 所以1，2B，且1，2A， 所以1，2() UA B 故选：B 2 （5 分）已知复数z满足(1)2zii，则z的共轭复数z等于( ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：由(1)2zii， 得 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii ， 则z的共轭复数1zi 故选：B 3 （5 分）已知 0.2 a，log 2b ，cos2c ，则( ) Acba Bbca Ccab Dacb 【解答】解： 0.20 1，0log 1log 2log1 ，cos20， cba 故选：A 4 （5 分）在边长为 4 的正方形
14、ABCD内部任取一点P，则满足APB为钝角的概率为( ) A 4 B1 4 C 8 D1 8 【解答】解：以AB为直径圆内的区域为满足APB为钝角的区域， 第 7 页（共 21 页） 半圆的面积为 2 1 22 2 ，正方形ABCD的面积为4416 满足APB为钝角的概率为： 2 168 故选：C 5 （5 分）函数 2 ( )(1)sin 1 x f xx e 的图象大致是( ) A B C D 【解答】解： 2 11 ( )sinsin 11 xx xx ee f xxx ee ， 则 111 ()sin()( sin )sin( ) 111 xxx xxx eee fxxxxf x ee
15、e ， 则( )f x是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D， 当01x时，10 x e，则( )0f x ，排除B， 故选：A 6 （5 分）一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危 险现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为 了保持疗效， 那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为( )（附:20.3010lg ， 30.4771lg ，精确到0.1 )h A4.2 B2.3 C8.8 D7.2 【解答】解：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药， 第 8 页（共 21 页） 由题意可得：50
16、0 2500 (1 20%)1500 x 剟， 整理可得：0.2 0.80.6 x 剟，所以 0.80.8 log0.6log0.2x剟， 因为 0.8 0.66123 1 log0.62.3 0.88 1321 lglglglg lglglg ， 0.8 0.221 log0.27.2 0.8321 lglg lglg ， 解得2.37.2x剟， 所以从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为 2.3 小时， 故选：B 7（5 分） 已知数列 n a中，12a ，( ,*) n mnm aaan mN ， 若 1234 480aaaa kkkk ， 则(k ) A3 B4 C5 D6 【解答
17、】解：数列 n a中， 1 2a ，( ,*) n mnm aaan mN 当1nm时， 2 211 2aa a， 当1m ，2n 时， 23 312 2 22aa a ， 根据递推关系：2n n a ， 所以 1 1 2a k k ， 2 2 2a k k ， 3 3 2a k k ， 4 4 2a k k ， 所以 1234 480aaaa kkkk ， 整理得 1234 2222480 kkkk ，故 1 215480 k ， 解得4k 故选：B 8 （5 分）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积 2
18、22 22 1 ()() 22 abc Sab 根 据此公式，若cos(2 )cos0aBbcA，且 222 4bca，则ABC的面积为( ) A6 B2 3 C3 D3 2 【解答】解：cos(2 )cos0aBbcA， 第 9 页（共 21 页） sincos(sin2sin)cos0ABBCA， sincossincos2sincos0ABBACA， sin()2sincos0ABCA， sin(12cos )0CA，sin0C ， 12cos0A ，解得： 222 1 cos 22 bca A bc ， 222 4bcabc， 222 2222 114 ()()4( )3 2222 b
19、ca Sbc ， 故选：C 9 （5 分）函数( )2cos|cos2f xxx在x ，上的单调增区间为( ) A, 3 和0, 3 B,0 3 和, 3 C,0 6 和, 6 D, 6 和0, 6 【解答】解：当0 x，时， 2 ( )2coscos22cos2cos1f xxxxx 2 2cos2cos1xx ，令cos 1tx ，1， 则 2 ( )221h ttt，对称轴为 1 2 t ， 则函数( )h t在区间 1， 1 2 上单调递增，在 1 2 ，1上单调递减， 由复合函数的单调性可得函数( )f x在, 3 上单调递减，在0， 3 上单调递增， 又因为函数()2|cos( 2
20、 )2cos|cos2( )fxocs xxxxf x， 而函数的定义域关于原点对称， 则函数( )f x为偶函数， 所以函数( )f x在, 3 和0， 3 上单调递增， 故选：A 10 （5 分）意大利数学家列昂纳多斐波那契提出的“兔子数列” ：1，1，2，3，5，8，13， 21，34，55，89，144，233，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述 为数列 n a满足 12 1aa， 21 (*) nnn aaa nN 若此数列各项被 3 除后的余数构成一 个新数列 n b，则 n b的前 2021 项和为( ) A2014 B2022 C2265 D2274 第 10 页
21、（共 21 页） 【解答】解：由题意，可知新数列 :1 n b，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1， 0， 故新数列 n b是以 8 为最小正周期的周期数列， 202182525，且1 12022109 ， n b的前 2021 项和为92521 12022274 故选：D 11 （5 分）如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是( ) A该四面体外接球的体积为48 B该四面体内切球的体积为 2 3 C该四面体外接球的表面积为32 3 D该四面体内切球的表面积为2 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为三棱锥，底面三角形BCD为等腰直角三角形，BDCD，
22、 2 2BDDC，侧棱AD 底面BCD，且4 2AD 第 11 页（共 21 页） 设三棱锥外接球的球心为O，BC的中点为E，连接OE，则 1 2 2 2 OEAD， 外接球的半径为 22 (2 2)22 3OD 外接球的体积 3 4 (2 3)32 3 3 V，表面积为 2 4(2 3)48； 设三棱锥内切球的半径为r，由等体积法可得： 111 111 424 2(4222 24 246) 323 222 r ， 解得： 2 2 r ， 则三棱锥内切球的体积为 3 422 () 323 ，表面积为 2 2 4()2 2 综上可知，A、B、C错误，D正确 故选：D 12 （5 分）已知 1 x
23、， 2 x， 3 x， 4 x是关于x的方程 22 |66| 1xxt 四个不同实数根，且 1234 xxxx，则 4132 3()()xxxx的取值范围是( ) A(6 2,4 6 B2 24 3,4 6 C(6 2,2 24 3 D(6 2,22 15 【解答】解：令 2 ( ) |66|f xxx，作出函数( )f x的图象如图所示， 故方程 22 |66| 1xxt 四个不同实数根，即函数( )yf x与 2 1yt 有四个交点， 由图象可知， 2 11t，3)，因此(2, 2)t ， 因为 22 |66| 1xxt ，所以 22 661xxt 或 22 661xxt ， 即 22 6
24、50 xxt或 22 670 xxt， 由图象可知， 1 x， 4 x是方程 22 650 xxt的两个根， 根据根与系数的关系可得 14 2 14 6 5 xx x xt ， 同理可得 23 2 23 6 7 xx x xt ， 所以 4132 3()()xxxx 22 411 42323 3 ()4()4xxx xxxx x 第 12 页（共 21 页） 22 2 342 2tt， 令 22 ( )2 342 2f ttt，(2, 2)t ， 则 22 2 ( )2 3 42 tt f t tt ， 令( )0f t，解得 2 2 t 或0t ， 所以当 22 (2,),(0,) 22 t
25、t 时，( )0f t，( )f t为单调递增函数， 当 22 (,0),(, 2) 22 tt 时，( )0f t，( )f t为单调递减函数， 又(2)( 2)6 2ff，(0)4 32 2f， 22 ()()4 6 22 ff， 所以( )(6 2,4 6f t 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 5 (1 2 ) x的展开式中， 3 x的系数为 80 【解答】 解： 5 (12 ) x的展开式的通项公式为 15 ( 2 ) rr r TCx ， 令3r ， 可得 33 5 ( 2)80C，
26、 故答案为：80 14 （5 分）设实数x，y满足约束条件 0 2 36 0 xy xy xy ，则2zxy的最大值为 9 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 13 页（共 21 页） 联立 0 360 xy xy ，解得(3,3)A， 化目标函数2zxy为2yxz ，由图可知，当直线2yxz 过A时， 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为 9 故答案为：9 15 （5 分）已知ABC的重心为G，过G点的直线与边AB和AC的交点分别为M和N， 若AMMB，且AMN与ABC的面积之比为 25 54 ，则实数 5 或 5 4 【解答】解：根据题意，如图：过G点的直线与边AB和AC的交点分别
27、为M和N， 若AMMB，则 1 AMAB ，即 1 ABAN ，点N在AC边上，设ACtAN， ABC的重心为G， 11 () 333 t AGABACAMAN ， 又由M、G、N三点共线，则有11 33 t ，则有 1 2t ，即 1 (2)ACAN ， AMN与ABC的面积之比为 25 54 ，则有 1251 |sin(|sin) 2542 AMANAABACA， 即有 1 154 (2)() 25 ， 变形可得： 2 425250， 解可得：5或 5 4 ， 故答案为：5 或 5 4 第 14 页（共 21 页） 16 （5 分） 已知函数 | ( ) x a f xxelnx 在1，)
28、上的最小值为 1， 若对于任意 2x ，1， 不等式 2 1 cos0 2 xaxm恒成立，则实数m的最小值为 2cos2 【解答】解：由1 x yex的导数为1 x ye， 当0 x 时，0y，1 x yex递增； 当0 x 时，0y，1 x yex递减， 则1 x yex在0 x 处取得极小值 0，且为最小值 0， 则1 x ex ， 所以 | | 1| 1 1 x alnxx a xelnxelnx lnxxalnxxa 厖， 当且仅当|0 xalnx且xa时取等号， 即0lna ，故1ax时取等号， 不等式 2 1 cos0 2 xaxm恒成立即为 2 1 cos 2 mxx， 令 2
29、 1 ( )cos 2 g xxx， 2x ，1，( )sing xxx，( )1cos0gxx ， 故( )g x在 2，1递增，而(0)0g， 故( )g x在( 2,0)递减，在(0，1递增， 故( )g x的最大值是g（1） 1 1 cos 2 或g（2） 2 2cos， 而g（1）g（2） ，故 2 2cosm， 故答案为： 2 2cos 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （一）必考题：） （一）必考题： 共共 60 分分. 17（12 分） 已知数列 n a的前n项和 2( *)
30、 n Sn nN， n b是递增等比数列， 且 11 ba，3 5 ba 第 15 页（共 21 页） （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若(*) nnn cab nN，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）由题意，当1n 时， 11 1aS， 当2n时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， 当1n 时， 1 1a 也满足上式， 21 n an，*nN， 设等比数列 n b的公比为q，则 11 1ba， 35 9ba， 23 1 9 b q b ，解得3q ， 1 10b ，数列 n b为递增等比数列， 0q ，即3q ， 11 1 33 nn n
31、b ，*nN， （2）由（1） ，可得 1 (21) 3n nnn cabn ， 1221 1231 1 1 3 35 3(23) 3(21) 3 nn nnn Tcccccnn ， 121 31 33 3(23) 3(21) 3 nn n Tnn ， 两式相减，可得 121 21 2 32 32 3(21) 3 nn n Tn 33 12(21) 3 1 3 n n n 2(1) 32 n n， (1) 31 n n Tn 18 （12 分）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 222 0abcab， sin()sin2coscosABCAB （1）求A，B，C； 第 16 页
32、（共 21 页） （2）若2a ，求ABC的面积 【解答】解： （1） 222 0abcab， 222 abcab， 由余弦定理得 222 1 cos 222 abcab C abab ， 0180C ， 60C， sin()sinsincoscossinsin()sincoscossinsincoscossin2sincosABCABABABABABABABAB ， 2sincos2coscosABAB， (sincos )cos0AAB， 当cos0B 时，90B ，30A ； 当sincos0AA时，45A ，75B ； （2）由（1）得当90B ，30A 时， 2a ，可得2 3c ，
33、 1 sin2 3 2 ABC SacB ； 当45A ，75B 时，由正弦定理得 2 sin45sin75 b ， 2sin75 31 sin45 b ， 133 sin 22 ABC SabC 19 （12 分）2020 年 1 月，我国各地出现了以武汉为中心的新冠肺炎疫情，在全国人民的共 同努力下，3 月疫情得到初步控制下表是某地疫情监控机构从 3 月 1 日到 3 月 5 日每天新 增病例的统计数据 日期x 1 2 3 4 5 新增病例人数 y 32 25 27 20 16 （1）若 3 月 4 日新增病例中有 12 名男性，现要从这天新增病例中按性别分层抽取 5 人，再 从所抽取的
34、5 人中随机抽取 2 人作流行病学分析，求这 2 人中至少有 1 名女性的概率； （2）该疫情监控机构对 3 月 1 日和 5 日这五天的 120 位新增病例的洽疗过程，进行了跟踪 第 17 页（共 21 页） 监测， 其中病症轻微的只经过一个疗程治愈出院， 病症严重的最多经过三个疗程的治疗痊愈 出院，统计整理出他们被洽愈的疗程数及相应的人数如表： 疗程数 1 2 3 相应的人数 60 40 20 已知该地疫情未出现死亡病例， 现用上述疗程数的频率作为相应事件的概率， 该机构要从被 治疔痊愈的病例中随机抽取 2 位进行病毒学分析， 记表示所抽取的 2 位病例被治愈的疗程 数之和，求的分布列及期
35、望 【解答】解： （1）由题意得 3 月 4 日新增病例中有 12 名男性，8 名女性，按性别从中分层 抽取 5 人，其中有 3 名男性，2 名女性， 这 2 人至少有 1 名女性的概率 112 232 2 5 7 0.7 10 C CC P C ； （2）由题意得所有可能的取值分别为 2，3，4，5，6， 60601 (2) 1201204 P， 60401 (3)2 1201203 P， 602040405 (4)2 12012012012018 P， 40201 (5)2 1201209 P， 20201 (6) 12012036 P， 的分布列为 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3
36、 5 18 1 9 1 36 1151110 23456 43189363 E 20 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，2PAPB，5ACBCPC，2AB ， 点D，E分别为AB，PC的中点 （1）证明：平面PAB 平面ABC； （2）设点F在线段BC上，且BFFC，若二面角CAEF的大小为45，求实数的 值 第 18 页（共 21 页） 【解答】 （1）证明：连接CD， 2PAPB，2AB ，D为AB的中点， PDAB，1PD ， 同理可得CDAB，2CD ， 222 5PCPDCD， PDCD， ABCDD， PD平面ABC； PD平面PAB， 平面PAB 平面ABC； （2）以D为坐
37、标原点，向量DB，DC，DP的方向为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 由题意得(0D，0，0)，( 1A ，0，0)，(0C，2，0)，(0P，0，1)，(1B，0，0)， 1 (0,1, ) 2 E， BFFC， 22 (,0) 11 AFABBF ， 设 111 (,)mx y z是平面ACE的一个法向量， 则 0 0 m AE m AC ， 111 11 1 0 2 20 xyz xy ， 第 19 页（共 21 页） 令 1 1y ，则 1 1 2 2 x z ，(2, 1, 2)m ， 设 222 (,)nxyz是平面AEF的一个法向量， 则 0 0 n
38、 AE n AF ， 222 22 1 0 2 22 0 11 xyz xy ， 令 2 (2)y ，则 2 2 2 42 x z ，(2 ,2,42 )n ， 二面角ADFP的大小为45， 2 322 cos45cos, |2 91220 m n m n m n ， 2或 2 3 （舍去） 21 （12 分）已知函数 2 ( )4(1)(0) x f xxxae xa，( )1()g xlnxmxmmR （1）讨论( )f x的单调性； （2）若对于任意(0 x，1，存在( 1,1)m 使得不等式( )( )g xf m成立，求实数a的取值 范围 【解答】解： （1）由题意得( )(2)(2
39、) x fxxae，xR， 当0a 时，令( )0fx，则2x ，( )f x在(, 2) 上单调递减； 令( )0fx，则2x ，( )f x在( 2,)上单调递增； 当 2 02ae时，则 2 2ln a ， 令( )0fx，则2x 或 2 xln a ，( )f x在(, 2) 和 2 (,)ln a 上单调递减； 令( )0fx，则 2 2xln a ，( )f x在 2 ( 2,)ln a 上单调递增； 当 2 2ae时，则 2 ( )2(2)(1) 0 x fxxe ，( )f x在(,) 上单调递减； 当 2 2ae时，则 2 2ln a ， 令( )0fx，则 2 xln a
40、或2x ，( )f x在 2 (,)ln a 和( 2,)上单调递减； 令( )0fx，则 2 2lnx a ，( )f x在 2 (, 2)ln a 上单调递增； 第 20 页（共 21 页） （2）由题意得 1 ( )0g xm x 在(0，1恒成立， ( )g x在(0，1上递增，( )g xg（1）1， 存在( 1,1)m 使得 2 14(1) m mmaem成立， 即 2 41 (1) m mm a em 成立， 令 2 41 ( ) (1) m mm h m em ，( 1,1)m ，则 2 (3)(2)(1) ( )0 (1) m mmm h m em ， ( )h m在( 1,
41、1)上递增， 2 (1)ah e ， 实数a的取值范围为 2 (,0)(0, ) e 选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计如果多做，则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4坐标系与参数方程（坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 1 2, ( 1, xt t t yt t 为参数） ，以 坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 cos()2 4 （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直
42、角坐标方程； （2）设点P是曲线 1 C与 2 C的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的极坐标 方程 【解答】解： （1）将 2 2 1 2, 1, xt t yt t 的参数t消去得曲线 1 C的普通方程为 2 yx， cos()2 4 ， cossin20， 由 cos , sin , x y 可得曲线 2 C的直角坐标方程为20 xy； （2）将曲线 1 C与 2 C的方程联立得 2 20, , xy yx 第 21 页（共 21 页） 解得 4, 2, x y 或 1, 1, x y P的直角坐标为(1, 1)或(4,2)； 设所求圆的圆心坐标为(a，0)(0)a ， 则其方
43、程为 22 20 xaxy， 当P的坐标为(4,2)时， 5 2 a ， 则所求圆的极坐标方程为5cos； 当P的坐标为(1, 1)时， 1a， 则所求圆的极坐标方程为2cos 选修选修 4-5不等式选讲（不等式选讲（10 分）分） 23已知a，b，c是三个不全相等的实数 （1）证明： 222 abcabbcca； （2）若 222 1abc，证明：3abc 【解答】证明： （1）由题意得 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2caca， a，b，c是三个不全相等的实数， 上述三个不等式的等号不全成立， 222 2()2()abcabbcca， 即 222 abcabbcca； （2）由（1）得 222 abcabbcca， 2222222 ()2()3()3abcabcabbccaabc， 3abc
