1、1 江苏省苏州市 2021 届高三第二学期期初学业质量阳光指标调研卷 数学试题 20212 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1如图，阴影部分表示的集合为 AA( U B) BB( U A) CA( U B) DB( U A) 第 1 题 2已知复数 z 满足 iz1i（i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 135810 2()3()60aaaaa，则 11 S的值
2、为 A33 B44 C55 D66 4古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形 式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之 美如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗 （如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶 壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳 作数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02 月 02 日(20200202)被称为世界完全对称日（公 历纪年日期中数字左右完全对称的日期） 数学上 把 20200202 这样的对称数叫回文数，两位数的回 文数共有 9 个(11，22，99)，则在三位数的回 文数中，出现奇数的概率
3、为 A 1 3 B 4 9 C 5 9 D 2 3 5如图，在斜坐标系 xOy 中，x 轴、y 轴相交成 60 角， 1 e， 2 e分别是与 x 轴、y 轴正方向 同向的单位向量，若向量 12 OPxeye，则称有序实数对为向量OP的坐标，记 作OP，在此斜坐标系 xOy 中，已知向量a，b，则a，b 夹角的大小为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6 已知函数( )yf x和( )yg x分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数， 且(0)4f ，( )f x (2)g x，则( )g x的解析式可以是 A4sin 4 x y B4sin 2 x y C4cos 4 x y D4cos
4、2 x y 7已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，若为锐角且 6 () 25 f ，则() 12 f 的值为 2 A 48 25 B 24 25 C 24 25 D 48 25 8我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理） ： “幂势 既同，则积不容异” 这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是： 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等， 则这两个几何体体积相等 利 用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差图 1 是一 种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线 AOC 和 BOD 均是以 1 为半径的半圆，平面
5、AOC 和平面 BOD 均垂直于平面 ABCD，用任意平行于帐篷底面 ABCD 的平面截帐篷，所得 截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高 的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图 2） ，从而求得该帐篷的体 积为 A 2 3 B 4 3 C 3 D 2 3 第 5 题 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9设 52345 012345 ( 1 2 ) xaaxa xaxa xa x，则满足 2 11 2 nnn
6、aaa 的正整数 n 的值可能 为 A1 B2 C3 D4 10已知23 x ，34 y ，则 A 3 2 x B2xy Cxy D2 2xy 11已知双曲线 C： 22 1 42 xy 的右焦点为 F，两条直线 1 22xyt， 2 22xyt与 C 的 交点分别为 A，B，则可以作为FAFB的充分条件的是 A 1 1t ， 2 8t B 1 2t ， 2 3t C 1 2t ， 2 4t D 1 1t ， 2 4t 12在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AA1AB2AD2，E，F 分别为 BB1，D1C1的 中点，则 AEFEC BBD平面 AEF C三棱锥 C1CEF 外接球的
7、表面积为 5 D平面 A1BCD1被三棱锥 C1CEF 外接球截得的截面圆面积为 9 8 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 3 13已知随机变量服从正态分布 N(3， 2 )，且 P(1)1 P(5)9 ，则 P(35) 14设 F1，F2分别是椭圆 C： 22 2 1 2 xy a (a0)的左、右焦点，过 F2作 x 轴的垂线与 C 交 于 A，B 两点，若ABF1为正三角形，则 a 的值为 15已知函数 1 ( )11 2 f xxxx，若函数( )( )g xf xb恰有四个零点，则实数 b 的 取值范围是 16如图，
8、已知球 O 的半径为5，圆 O1， O2为球 O 的两个半径均为 2 的截面圆，圆面 O、 圆面 O1、圆面 O2两两垂直，点 A，B 分别为圆 O 与圆 O1，O2的 交点，P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，按箭头方向沿圆周 O1， O2以每秒 6 弧度的角速度运动，直到两点回到起始位置时停止运 动，则其运动过程中线段 PQ 长度的最大值为 ；研究发现 线段 PQ 长度最大的时刻有两个，则这两个时刻的时间差为 秒 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 第 16 题 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17
9、 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c3，sin(A 3 ) 3 2 b c ，sinA sinB2 6sinAsinB （1）求ABC 外接圆的直径； （2）求ABC 的面积 4 18 （本小题满分 12 分） 随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、 以及新冠疫情的推动， 直播电商的模式正 在全球范围内掀起热潮目前，国际上 Amazon、Rakuten 等电商平台和以 Facebook 为代表 的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众 多平台都已成为该赛道内的玩家根据中研产业研究院20202025
10、年中国直播电商行业 市场深度分析及投资战略咨询研究报告显示，2020 年上半年，“直播经济”业态主要岗 位的人才达到 2019 年同期的 2.4 倍；2020 年“618”期间，带货主播和直播运营两大岗位 高达去年同期的 11.6 倍针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电 商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计， 对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （1）请完成关于商品和服务评价的 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好
11、评有关？ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 对商品不满意 10 合计 200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全 为好评的次数为随机变量 X，求对商品和服务全为好评的次数 X 的分布列和数学期望 附临界值表： P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2的观测值： 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd （其中 nabcd） 5 19 （本小题满分 12 分） 如
12、图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 n 个圆 C1，C2，Cn与 x 轴和直线 l：y3 (x1)均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆 Ci： 222 ()() iii xaybr(lin，iN， 1 n a 2 a 1 a8， i b0， i r0) （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 n 个圆的面积之和为 S，求证：S 243 8 20 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过原点的直线 l： 1 yk x( 1 k0)交拋物线 C：y22x 于点 P（异于原点 O） ，抛物线 C 上点 P 处的切线交 y 轴于点 M，设线段 OP 的中点为 N， 连结线
13、段 MN 交 C 于点 T （1）求 TM MN 的值； （2） 过点 P 作圆 O： (x1)2y21 的切线交 C 于另一点 Q， 设直线 OQ 的斜率为 2 k， 证明： 12 kk为定值 6 21 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PAPB3 （1）证明：PADPBC； （2） 当直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值最大时， 求此时二面角 PABC 的大小 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )eln ax f xxx，其中 e 是自然对数的底数，a0 （1）若曲线( )yf x在点(1，(1)f)处的切线斜率为
14、 2e1，求 a 的值； （2）对于给定的常数 a，若( )1f xbx对 x(0，)恒成立，求证：ba 7 江苏省苏州市 2021 届高三第二学期期初学业质量阳光指标调研卷 数学试题 20212 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1如图，阴影部分表示的集合为 AA( U B) BB( U A) CA( U B) DB( U A) 第 1 题 答案：B 解析：从图中可以看出阴影部分在 U A 内，同时也在集合 B 内，故选 B 2已知复数 z 满足 iz1i（i 为虚数单位
15、） ，则 z 在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：C 解析：1 iz ，故 z 在复平面内对应的点为(1，1)，在第三象限，选 C 3已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 135810 2()3()60aaaaa，则 11 S的值为 A33 B44 C55 D66 答案：C 解析： 1358103911111 2()3()6066601055aaaaaaaaaS，选 C 4古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形 式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之 美如清代诗人黄柏权的茶壶
16、回文诗 （如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶 壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳 作数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02 月 02 日(20200202)被称为世界完全对称日（公 历纪年日期中数字左右完全对称的日期） 数学上 把 20200202 这样的对称数叫回文数，两位数的回 文数共有 9 个(11，22，99)，则在三位数的回 文数中，出现奇数的概率为 A 1 3 B 4 9 C 5 9 D 2 3 答案：C 解析： 505 909 P ，选 C 8 5如图，在斜坐标系 xOy 中，x 轴、y 轴相交成 60 角， 1 e， 2 e分别是与 x 轴、y 轴正
17、方向 同向的单位向量，若向量 12 OPxeye，则称有序实数对为向量OP的坐标，记 作OP，在此斜坐标系 xOy 中，已知向量a，b，则a，b 夹角的大小为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 答案：C 解析：由题意知 12 23aee， 12 52bee ， 所以 1212 19 (23 ) ( 52) 2 a beeee ， 49619a ，2541019b ， 故 cos 1 2 a b ab ，选 C 6 已知函数( )yf x和( )yg x分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数， 且(0)4f ，( )f x (2)g x，则( )g x的解析式可以是 A4sin 4 x y
18、B4sin 2 x y C4cos 4 x y D4cos 2 x y 答案：A 解析：由题意知( )g x是奇函数，且关于直线 x2 对称，选 A 7已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，若为锐角且 6 () 25 f ，则() 12 f 的值为 A 48 25 B 24 25 C 24 25 D 48 25 答案：D 解析： 63 ()sin() 2565 f ，为锐角，故 6 ( 6 ， 2 3 )， cos( 6 )( 1 2 ， 3 2 )，故 cos( 6 ) 4 5 ， ()2sin(2) 123 f 4sin() 6 cos( 6 ) 48 25 ，选 D 8我国南北朝
19、时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理） ： “幂势 既同，则积不容异” 这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是： 9 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等， 则这两个几何体体积相等 利 用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差图 1 是一 种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线 AOC 和 BOD 均是以 1 为半径的半圆，平面 AOC 和平面 BOD 均垂直于平面 ABCD，用任意平行于帐篷底面 ABCD 的平面截帐篷，所得 截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高 的正四棱柱，从中挖
20、去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图 2） ，从而求得该帐篷 的体积为 A 2 3 B 4 3 C 3 D 2 3 答案：B 解析：由“祖暅原理”可知，帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，底面正方形 对角线为2， 正方形边长为2， V帐篷V正四棱柱V正四棱锥 22 14 ( 2)1( 2)1 33 ， 选 B 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9设 52345 012345 ( 1 2 ) xaaxa xaxa xa x，则满足 2 11 2 nnn aa
21、a 的正整数 n 的值可能 为 A1 B2 C3 D4 答案：BC 解析： 52 nn n aC，要使 2 11 2 nnn aaa ，则 21111 555 (2 )222 nnnnnn CCC ， 化简得 2 560nn，解得 n2 或 3，选 BC 10已知23 x ，34 y ，则 A 3 2 x B2xy Cxy D2 2xy 答案：BCD 解析： 2 log 3x ， 3 2log 2y ，因为 98，3223，故 2log233，即 x 3 2 ，A 错误； 23 log 3 2log 22xy ，B 正确； 因为 223 344 logloglog 233 ， 23 34 1l
22、og1log 23 ，即 23 log 3log 4，C 正确； 由于 B 正确，所以很容易看出 D 正确 综上选 BCD 10 11已知双曲线 C： 22 1 42 xy 的右焦点为 F，两条直线 1 22xyt， 2 22xyt与 C 的 交点分别为 A，B，则可以作为FAFB的充分条件的是 A 1 1t ， 2 8t B 1 2t ， 2 3t C 1 2t ， 2 4t D 1 1t ， 2 4t 答案：AC 解析： 2 11 22 1 228 2 224 A xytt x txy ，同理 2 2 2 8 2 2 B t x t ，要使FAFB，则 AB xx， 则 22 12 121
23、 2 12 88 ()(8)0 2 22 2 tt ttt t tt ，又 12 tt，则 1 2 8t t ，故选 AC 12在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AA1AB2AD2，E，F 分别为 BB1，D1C1的 中点，则 AEFEC BBD平面 AEF C三棱锥 C1CEF 外接球的表面积为 5 D平面 A1BCD1被三棱锥 C1CEF 外接球截得的截面圆面积为 9 8 答案：ACD 解析：易得 CEC1E，CEC1F，从而 CE平面 EFC1，从而 EFEC，A 正确； 取 B1C1中点 G，易得 FGBD，根据 FG 与平面 AEF 相交，可得 BD 与平面 AEF 相 交
24、，故 B 错误； 三棱锥C1CEF外接球， 球心O是CC1与C1F垂直平分线的交点， 易求半径OC 5 2 ， 故球的表面积为 5，C 正确； 作 OHCD1于点 H，则 OH平面 A1BCD1，求得 OH 2 4 ，故截面圆的半径 r 513 482 2 ，面积为 9 8 ，D 正确 综上选 ACD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知随机变量服从正态分布 N(3， 2 )，且 P(1)1 P(5)9 ，则 P(35) 答案：0.4 解析：首先求得P(5)0.1，所以 P(35)0.50.10.4 14设 F1，F2分别
25、是椭圆 C： 22 2 1 2 xy a (a0)的左、右焦点，过 F2作 x 轴的垂线与 C 交 于 A，B 两点，若ABF1为正三角形，则 a 的值为 答案：3 11 解析：易知 F1F23AF2，即 2 2 223 3 a a ，求得 a3 15已知函数 1 ( )11 2 f xxxx，若函数( )( )g xf xb恰有四个零点，则实数 b 的 取值范围是 答案： 3 2 b2 解析：函数( )( )g xf xb恰有四个零点，可转化为( )yf x与yb有四个交点， 3 , 1 2 1 2 , 10 2 ( ) 1 2, 00 2 3 , 1 2 x x xx f x xx x x
26、 ，作出( )yf x的简图，结合图像易知 3 2 b2 16如图， 已知球 O 的半径为5，圆 O1， O2为球 O 的两个半径均为 2 的截面圆，圆面 O、 圆面 O1、圆面 O2两两垂直，点 A，B 分别为圆 O 与圆 O1，O2的 交点，P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，按箭头方向沿圆周 O1， O2以每秒 6 弧度的角速度运动，直到两点回到起始位置时停止运 动，则其运动过程中线段 PQ 长度的最大值为 ；研究发现 线段 PQ 长度最大的时刻有两个，则这两个时刻的时间差为 秒 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 第 16 题 答案：2 5，8 解析：以 O1A 为 x 轴，在
27、圆 O1中，将 O1A 逆时针旋转 90得到 y 轴，O1O 为 z 轴，建立 空间直角坐标系，则 P(2cos 6 t ，2sin 6 t ，1)，Q(1，2sin 6 t ，2cos 6 t )， PQ 222 16sin2(2cos1)8cos8cos18 6666 tttt ，0t12， 当cos 6 t 1 2 时，PQ 取最大值为2 5，此时 t2 或 10，故 PQ 最大的两个时刻差为 8 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 12 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边
28、分别为 a，b，c，若 c3，sin(A 3 ) 3 2 b c ，sinA sinB2 6sinAsinB （1）求ABC 外接圆的直径； （2）求ABC 的面积 解： （1）由，得， 由正弦定理得 即， 又 sinA0，所以， 又，所以， 所以ABC 外接圆的直径； （2）由正弦定理得， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 结合，可得， 所以， 所以ABC 的面积 18 （本小题满分 12 分） 随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、 以及新冠疫情的推动， 直播电商的模式正 在全球范围内掀起热潮目前，国际上 Amazon、Rakuten 等电商平台和以 Facebook 为代表 的社交类平台
29、都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众 多平台都已成为该赛道内的玩家根据中研产业研究院20202025 年中国直播电商行业 市场深度分析及投资战略咨询研究报告显示，2020 年上半年，“直播经济”业态主要岗 位的人才达到 2019 年同期的 2.4 倍；2020 年“618”期间，带货主播和直播运营两大岗位 高达去年同期的 11.6 倍针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电 商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计， 对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为
30、 80 13 次 （1）请完成关于商品和服务评价的 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 对商品不满意 10 合计 200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全 为好评的次数为随机变量 X，求对商品和服务全为好评的次数 X 的分布列和数学期望 附临界值表： P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2的
31、观测值： 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd （其中 nabcd） 解： （1）由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表如下： ， 故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）每次购物中，对商品和服务全为好评的概率为 2 5 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3， 其中 X 的分布列为： 由于 XB ，则 X 的数学期望 19 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 n 个圆 C1，C2，Cn与 x 轴和直线 l：y3 (x1)均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆 Ci： 222 ()()
32、 iii xaybr(lin，iN， 14 1 n a 2 a 1 a8， i b0， i r0) （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 n 个圆的面积之和为 S，求证：S 243 8 解： （1）设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 P，Q， 根据题意可知，点到 x 轴的距离和到直线 l 的距离均为半径， 所以圆心都在QPO 的平分线上，且， 所以，则， 设圆在 x 轴上的切点为， 在和中，因为， 所以， 因为相邻两圆外切，所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列， 所以， 因为，所以； （2）如图，记圆的面积为，则， 由（1）可知，代入上式可得， 从而这 n 个圆的面
33、积之和 15 20 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过原点的直线 l： 1 yk x( 1 k0)交拋物线 C：y22x 于点 P（异于原点 O） ，抛物线 C 上点 P 处的切线交 y 轴于点 M，设线段 OP 的中点为 N， 连结线段 MN 交 C 于点 T （1）求 TM MN 的值； （2） 过点 P 作圆 O： (x1)2y21 的切线交 C 于另一点 Q， 设直线 OQ 的斜率为 2 k， 证明： 12 kk为定值 解： （1）设，点 P 处的切线方程为， 联立方程组，得， 由，解得； 可知切线为， 联立方程组得，即 T 为 MN 的中点， 所以； （
34、2）当直线 PQ 的斜率不存在时，其直线为 x2， 解得，则， 当直线 PQ 的斜率存在时，设方程为，由题意知， 因为直线 PQ 与圆 O相切，所以，即， 联立方程组得到， 16 设， 由韦达定理可知， 又，则 综上可知 12 kk为定值 2 21 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PAPB3 （1）证明：PADPBC； （2） 当直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值最大时， 求此时二面角 PABC 的大小 解： （1）分别取 AB，CD 的中点 E，F，连接 PE，EF，PF， 因为 PAPB，所以 PEAB， 又因为 ABC
35、D，所以 CDPE， 又因为 CDEF，PEEFE，所以 CD平面 PEF， 因为 PF平面 PEF，所以 CDPF， 在PCD 中，因为 PF 垂直平分 CD，所以 PCPD， 又因为 PAPB，ADBC，所以PADPBC， 从而可得PADPBC； （2）由（1）可知，PEF 是二面角 PABC 的平面角， 设，则， 在PEF 中， 过点 E 作 PF 的垂线，垂足为 G， 则， 因为 CD平面 PEF，CD平面 PCD，所以平面 PCD平面 PEF， 又因为平面 PCD平面 PEFPF，EGPF，EG平面 PEF， 所以 EG平面 PCD， 17 因为 AB平面 PCD， 所以点 A 到平
36、面 PCD 的距离等于点 E 到平面 PCD 的距离， 即为 EG， 设直线 PA 与平面 PCD 所成角为 ，所以， 令， 则， 所以当且仅当，即时，EG 有最大值 2， 此时直线 PA 与平面 PCD 所成角为 的正弦值最大 所以当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时， 二面角PABC的大小为 4 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )eln ax f xxx，其中 e 是自然对数的底数，a0 （1）若曲线( )yf x在点(1，(1)f)处的切线斜率为 2e1，求 a 的值； （2）对于给定的常数 a，若( )1f xbx对 x(0，)恒成立，求证：ba 解： （1）因为，所以切线斜率为， 即， 构造， 由于，所以在上单调递增， 又，所以； （2）设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 若对恒成立， 则对恒成立， 即对恒成立， 设， 由（*）可知， 当且仅当时等号成立 由，因为，所以单调递增， 又， 18 所以存在，使得， 即方程有唯一解， 所以 ba 得证
