1、20212021 武汉元调第武汉元调第 1010 题专题题专题隐圆（二）隐圆（二） 四点共圆四点共圆 四点共圆的判定：四点共圆的判定： （1）若两个直角三角形共斜边，则四点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径； （2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆； （3）对于凸四边形，若对角互补，则四点共圆（引申：外角等于内对角，四点共圆） 圆中最值圆中最值： 一定条件下，求平面图形中某个确定量（如线段长度、角度大小、图形面积等） 的最大值或最小值。 常用方法： （1）特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再 进行一般情形下的推证。特殊位置与极端位置是指中
2、点处、垂直位置关系、端点处、临界位 置等； （2）几何定理（公理）法： 应用几何中的不等量性质与定理，常用的几何性质有： 1垂线段最短；斜边大于直角边； 2两点之间线段最短； 三角形任两边之和大于第三边 3直径是圆中最长的弦 （3）路径引领法：即先确定动点路径形状，进而求最值； （4）数形结合法： 揭示问题中变动元素的代数关系，构造函数或方程解题 【例【例 1 1】 （1 1）如图，AB 为O 的直径，定长弦 CD 在O 上滑动（C、D 不与 A、B 重合） ，CE AB 于 E，M 是 CD 的中点，若 AB=8，则 EM 的最大值是_ （2 2） （2016 武汉元调）如图，扇形 OAB
3、的圆心角为 120，半径长为 4，P 为弧 AB 上的动点， PMOA，PNOB，垂足分别为 M、N，D 是PMN 的外心当点 P 运动的过程中，点 M、N 分 别在半径上作相应运动，从点 N 离开点 O 时起，到点 M 到达点 O 时止，点 D 运动的路径长为 （） A 3 2 BC2D32 定点定长型定点定长型 旋转旋转定点定长定点定长 【例【例 2 2】 （1 1）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 上，且 AC=3CB，点 P 在 AB上运动，且不 与 A，B 重合以 PC 为边向外作等边PCQ，点 Q 与 O 在直线 PC 异侧，已知O 的半径 为 6，则 OQ 长的最大值为
4、_ （2 2）如图，O 的半径是 1，AB 为O 的弦，将弦 AB 绕点 A 逆时针旋转 120，得到 AC， 连 OC，则 OC 的取值范围是_ 平移平移定点定长定点定长 【例【例 3 3】 （1 1） （2018 武汉元调）在O 中，弧 AB 所对的圆心角AOB108，点 C 为O 上 的动点，以 AO、AC 为边构造AODC当A_时，线段 BD 最长. （2 2） （2020 武汉市元月调考）如图，ABC 的两个顶点 A、B 在半径是3的O 上，A 60，B30.若固定点 A，点 B 在O 上运动，则 OC 的最小值是（） A. 2 3-3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 1-32
5、 构造中位线构造中位线定点定长定点定长 【例【例 4 4】 （1 1）如图，在 ABCD 中，AB4，BC3，ABC60，点 E 为平面内的一动点，点 P 为 CE 的中点，若 AE1，则 BP 的最大值是_ （2 2）如图，ABC 为正三角形，边长为 6，以 AB 为直径，向三角形外作半圆 O，P 为半圆弧 AB 上一动点，Q 为 CP 中点，求点 P 从 A 运动到 B 时，Q 点运动路径的长为_ 隐圆隐切线隐圆隐切线 【例【例 5 5】 （1 1）如图，点 A，B，P 三点在一条直线上，AB4，PB2，ACB90，当APC 最大时，求 PC 的长为_ （2 2）如图，A（0，8），B（0
6、，2），点 E 是 x 轴的正半轴上的一动点，连接 AE，BE，当 AEB 最大时，则点 E 的坐标为_ （3 3）如图，O 的半径为 3，P 为O 内一点，3OP ，A 为O 上 的一个动点，射线 AP、AO 分别与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的最大 值为_ 【例【例 6 6】 （2019 武汉元调）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE， 过点 B 作 BGAE 于点 G，连接 CG 并延长交 AD 于点 F，则 AF 的最大值是_ 变式训练： （1）求 DG 的最小值为_; （2）当 AF 最大时，求 AE 的长为_. 【例【例 7 7】 （
7、1 1）在四边形 ABCD 中，ABC90，ADBC，P 为边 AD 上一点，点 A 关于 BP 的 对称的点为 E，AD2，BC4，AB2，则CDE 的面积不可能为（） A423B32C422D33 （2 2）如图，在矩形 ABCD 中，AB 5 2 ，点 P 是边 BC 上的一动点（不与 B，C 重合），PQAP 交边 CD 于点 Q，若 CQ 的最大值为 2 5 ，则矩形 ABCD 的周长为_ 路径长路径长 【例【例 8 8】 （1 1）如图，四边形 ABCD 为正方形，边长为 4，以 CD 为直径， 向正方形外作半圆 O，P 为CD上一动点，Q 为 AP 中点，求点 P 从 C 运动
8、到 D 时，Q 点运动路径的长为 （2 2）如图所示，O 的半径为 6，弦 AB/CD，且 AB=CD=63，点 P 在CD 上运动，连 PA，PB，作 BEPA 于 E，AFPB 于 F，BE 交 AF 于 G，当点 P 从 C 运动到 D 时，点 G 运动路径的长 为 【例【例 9 9】 （1 1）如图，O 的半径为 2，AB，CD 是互相垂直的两条直 径，点 P 是O 上任意一点(P 与 A、B、C、D 不重合)，过点 P 作 PMAB 于点 M，PNCD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆 周走过 80弧长时，点 Q 走过的路径长为_. （2 2）如图，已知弧 BC
9、的半径为 3，圆心角为 120，圆心为 点 A，D 为BC上一动点，以 D 为旋转中心，将点 B 顺时针旋转 120得到点 E.若点 D 从 B 运动到点 C，则点 E 的运动路径长 为_. 【例【例 1010】 （1 1）如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点 F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路 径长为_ （2 2）如图，线段 EF 的长为 4，O 是 EF 的中点，以 OF 为边长作正方形 OABC，连接 AE，CF 交于点 P，将正方形 OABC 从 OA 与 OF 重合的位
10、置开始，绕着点 O 逆时针旋转 90止.点 P 运动的路径长为_；OP 的最小值为_ 【例【例 1111】（1 1）（2016 武汉市中考） 如图， 在等腰 RtRtABC 中， ACBC22， 点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是（） A2BC22D2 （2 2） （2019 武汉市中考）如图，AB 是O 的直径，M、N 是弧 AB（异于 A、 B）上两点，C 是弧 MN 上一动点，ACB 的角平分线交O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C、E 两点
11、的运动 路径长的比是（） A. 2 B. 2 C. 2 3 D. 2 5 配套训练配套训练 1.1.如图，在ABC 中，ABC=90，AB=6，BC=8，O 为 AC 的中点，过 O 作 OEOF，OE、OF 分别交射线 AB、BC 于 E、F，则 EF 的最小值为 2 2. .如图，在正方形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，点 P 为对角线 BD 上的一点，作 PEAP 交 BC 于点 E若CAE15，则 PB PE 的值为_ 3 3. .如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，2 2AB ，D 是线段 BC 上的一个动点， 以 AD 为直径画O 分别交 AB、AC 于 E、F，连
12、接 EF，线段 EF 的最小值是_ 4 4. .AB 是O 的直径，点 P 在 AB上运动，以 PB 为边向外作等边PBQ，点 Q 与 O 在直线 PB 异侧，已知 AB=6，则 OQ 长的最大值为_ 5 5. .如图，在ABC 中，ACB=90，AB=5，AD=2，将 AD 绕点 A 旋转，E 为 BD 中点，在旋转 过程中，则线段 CE 的取值范围是_ 6 6. .如图，点 C 是O 上的一点，O 的半径为 22，点 D，E 分别是弦 CA， CB 上的一动点，且 ODOE2，则 AB 的最大值是_ A A B B C C O O E E F F 7 7. .如图，边长为 4 的正方形 A
13、BCD 外有一点 E，且AEB90，点 F 为 DE 的中点，连接 CF， 则 CF 的最大值为_ 8 8. .如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，点 P 是边 AB 上的一点，PQCP 交 边 BC 于点 Q，则 BQ 的最大值为_ 9 9. .如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，CDBC，ABC60，AD8，BC12，点 P 是边 AD 上的动点，当BPC 最大时，PC 的长为_ 1010. .将边长为 4 的正方形 ABCD 向右倾斜，边长不变，ABC 逐渐变小，顶点 A，D 及对角线 BD 的中点 N 分别运动到 A，D和 N的位置，若ABC30，则点 N 到点 N的运动路径长 为_ 1111. .如图，AB 为O 的直径，且 AB=4，点 C 在半圆上，OCAB 于 O， P 为半圆上任意一点，过 P 点作 PEOC 于点 E，点 M 是OPE 的内 心，连接 OM，PM，当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，内心 M 所经过的路径长为_
